Về tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên

Trờng đại học vinh Khoa toán -------- Về tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân S phạm toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Phan Đức Thành Sinh viên thực hiện: Đậu Thị Thu Hiền Lớp : 42A 2 - Khoa Toán vinh - 2005 *** 1 Mở đầu Mọi hệ thống hoạt động trong môi trờng đều có thể mô tả đợc bởi một hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên hoặc sai phân ngẫu nhiên. Do đó tính ổn định của hệ thống liên quan chặt chẽ đến tính ổn định của hệ vi phân và sai phân ngẫu nhiên. Trong lý thuyết định tính phơng trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên thì việc nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên là một nội dung quan trọng. Vấn đề đó đã đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và đạt đợc những kết quả đáng kể bằng phơng pháp giải tích. Song trong những năm gần đây đã hình thành một cách tiếp cận mới để nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên bằng phơng pháp đại số ma trận Sylvester. Theo cách tiếp cận mới đó khoá luận này đã hệ thống hoá một số kết quả nghiên cứu đã có và tiếp tục nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân và sai phân ngẫu nhiên. Khoá luận gồm có 2 chơng: Chơng 1: Sự ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính tất định. Chơng 2: Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên. Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của PGS. TS Phan Đức Thành. Nhân dịp này em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy. Em cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích của các thầy PGS. TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Trần Xuân Sinh cùng các thầy cô trong tổ điều khiển, khoa Toán, trờng Đại Học Vinh. Ngời thực hiện Đậu Thị Thu Hiền 2 Chơng I Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính tất định ổn định là một trong những khái niệm sâu sắc nhất mà ngời ta đã nghĩ ra để giải thích hành vi của một hệ thống. Hơn nữa bất kỳ một hệ thống nào (hệ sinh học, hệ kỹ thuật, xã hội hay tổ chức kinh tế ) bao giờ cũng làm việc ở trạng thái ổn định nhất. Hệ vi phân là một phơng tiện cơ bản để mô tả một hệ thống. 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định. Xét hệ vi phân: ),( YtF dt dY = (1.1) trong đó: Y = ( y 1 , y 2 , y 3 , , y n ) T T n dt dy dt dy dt dy dt dY ], .,,[ 21 = F(t, Y) = (f 1 (t, Y), , f n (t, Y)) T f j (t, Y), ( nj ,1 = ) là các hàm số xác định trong miền D = [t 0 , ) x D Y (D Y là một miền mở thuộc R n ), liên tục theo t, có các đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến y 1 , y 2 , , y n liên tục. Định nghĩa 1.1.1: Nghiệm Z = Z(t) ( a < t < ) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn định theo Liapunov khi t nếu > 0 và t 0 (a, ), = ( , t 0 ) > 0 sao cho tất cả các nghiệm Y(t) thoả mãn điều kiện )()( 00 tZtY < thì )()( tZtY < , t t 0 . Định nghĩa 1.1.2: Nghiệm Z = Z(t) ( a < t < ) của hệ (1.1) đợc gọi là không ổn định theo Liapunov nếu > 0 và t 0 [a, ) sao cho > 0 tồn tại nghiệm Y(t) và thời điểm t 1 > t 0 thoả mãn )()( 00 tZtY < nhng )()( 11 tZtY > . Định nghĩa 1.1.3: 3 Nghiệm Z(t) (a < t < ) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t nếu nó ổn định theo Liapunov và đối với tất cả các nghiệm Y(t) nó thoả mãn 0)()( lim = tZtY t . Định nghĩa 1.1.4: Cho hệ có nhiễu: ) ~ ,() ~ ,( ~ YtYtF dt Yd += (1.2) trong đó hàm vectơ (t, Y ~ ) xác định trên D, liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo y 1 , y 2 , ., y n . Khi đó nghiệm Z(t) (a < t < ) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn định dới tác động của nhiễu ) ~ ,( Yt nếu > 0 và t 0 (a, ), = (, t 0 ) > 0 sao cho khi ) ~ ,( Yt < tất cả các nghiệm Y ~ (t) của hệ (1.2) thoả mãn điều kiện )( ~ 0 tY < thì )()( ~ tZtY < , t > t 0 . Định nghĩa 1.1.5: Trong hệ (1.1) nếu ta đặt: X = Y - Z thì có hệ mới: ),( XtG dt dX = (1.3) trong đó: G(t, X) = F(t, X +Z) - F(t, Z). Khi đó hệ (1.3) đợc gọi là hệ qui đổi. Rõ ràng G(t, 0) 0 và hệ (1.3) cho nghiệm tầm thờng X 0 (tơng ứng với nghiệm Z(t) của hệ (1.1)). Định nghĩa 1.1.6: Nghiệm tầm thờng (trạng thái cân bằng) X 0 (a < t < ) ổn định nếu > 0 và t 0 (a, ), > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) mà )( 0 tY < thì thoả mãn )(tY < , t > t 0 . Định nghĩa 1.1.7: Nghiệm tầm thờng X(t) = 0 (a < t < ) không ổn định nếu > 0 và t 0 (a, ) sao cho > 0 tồn tại nghiệm Y(t) và thời điểm t 1 > t 0 thoả mãn < )( 0 tY nhng )( 1 tY > . Định nghĩa 1.1.8: 4 Nghiệm X 0 đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu > 0 và t 0 (a, ), = (, t 0 ) > 0 sao cho đối với tất các các nghiệm Y(t) thoả mãn )( 0 tY < thì )(tY < , t > t 0 và ||)(|| lim tY t = 0. 2. tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính. Xét hệ vi phân tuyến tính: )().( tFYtA dt Yd += (2.1) và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất: YtA dt Yd ~ )( ~ = (2.2) trong đó ma trận A(t) và vectơ F(t) liên tục trên (a, ). Định nghĩa 1.2.1: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y(t) của nó tơng ứng ổn định (hoặc không ổn định). Nhận xét 1.2.2: Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cùng ổn định hoặc cùng đồng thời không ổn định. Chứng minh: Giả sử Z = Z(t) (t 0 < t < ) là một nghiệm ổn định nào đó của hệ vi phân tuyến tính, ta cần chứng minh nghiệm Y = Y(t) bất kỳ của hệ cũng ổn định. Do nghiệm Z = Z(t) ổn định nên > 0, t 0 (a, ), > 0 sao cho mọi nghiệm X = X(t) mà thoả mãn: )()( 00 tZtX < thì )()( 00 tZtX << (*) Ta có: )()( 00 tYtX = )()()()( 0000 tZtYtZtX + < = )())(( 00 tZtYZX + Mặt khác X, Y, Z đều là nghiệm của hệ vi phân tuyến tính nên X +Y- Z cũng là nghiệm của hệ đó. Từ đó suy ra nếu )())(( 00 tZtYZX + < , (tức là )()( 00 tZtX < ) thì theo (*) ta có: )())(( tZtYZX + < hay )()(( tYtX < . Nh vậy nghiệm Y = Y(t) ổn định . 5 Do đó nếu hệ vi phân tuyến tính có một nghiệm ổn định thì các nghiệm khác cũng ổn định. Giả sử hệ vi phân tuyến tính có 1 nghiệm Z = Z(t) không ổn định khi đó các nghiệm khác của hệ cũng không ổn định. Vì nếu ngợc lại có 1 nghiệm nào đó ổn định thì theo trên tất cả các nghiệm của hệ ổn định. Điều này mâu thuẫn với nghiệm Z = Z(t) không ổn định. Định nghĩa 1.2.3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận. Định lí 1.2.4: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định với số hạng tự do bất kỳ F(t) khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng Y ~ 0 của hệ thuần nhất (2.2) ổn định. Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1) ổn định. Khi đó Z(t) (a < t < ) là nghiệm bất kỳ của hệ thì nó cũng ổn định. Nghĩa là > 0, > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) của hệ mà có )()( 00 tZtY < thì thoả mãn )()( tZtY < . Mặt khác hệ (2.2) là hệ thuần nhất tơng ứng của hệ (2.1) nên )( ~ tY = Y(t) - Z(t) là một nghiệm của hệ (2.2). Do đó : )( ~ tY < khi )( ~ 0 tY < . Điều đó có nghĩa là nghiệm 0 ~ 0 = Y là nghiệm tầm thờng của hệ (2.2) ổn định. Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng 0 ~ 0 = Y của hệ (2.2) ổn định. Khi đó nghiệm bất kỳ )( ~ tY (a < t < ) của hệ (2.2) mà có )( ~ 0 tY < thì thoả mãn )( ~ tY < , t > t 0 . Do đó nếu Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ (2.1) và Y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ đó thì Y(t) - Z(t) là một nghiệm của hệ (2.2). Vì thế nếu )()( 00 tZtY < , t > t 0 thì )()( tZtY < , t t 0 . Nh vậy nghiệm Z(t) của hệ (2.1) ổn định. Vì Z(t) là một nghiệm bất kỳ nên suy ra hệ (2.1) ổn định. Định lí 1.2.5: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định tiệm cận là nghiệm tầm thờng 0 ~ 0 Y của hệ thuần nhất (2.2) ổn định tiệm cận. 6 Hệ quả 1.2.6: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất tơng ứng ổn định. Hệ quả 1.2.7: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) với số lợng tự do F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng ổn định tiệm cận. 3. tính ổn định và tính giới nội của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất. Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất: YtA dt dY ).( = (3.1) trong đó A(t) liên tục trên (a, ). Khái niệm 1.3.1: Ma trận (t) = [x jk (t)] nxn với det (t) 0, gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (3.1) với: X i (t) = [x 1i (t), x 2i (t), , x ni (t)] T , i = n,1 gọi là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (3.1) . Khi (t 0 ) = E (ma trận đơn vị) thì ma trận nghiệm cơ bản (t) là ma trận chuẩn hoá. Nhận xét: Nếu hệ (3.1) có nghiệm Y(t) thoả mãn điều kiện ban đầu Y(t 0 ) = Y 0 thì khi đó ta viết: Y(t) = (t). -1 (t 0 ). Y(t 0 ) . Khi X(t) là ma trận chuẩn hoá thì Y(t) = (t). Y(t 0 ). Định lí 1.3.2: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân thuyến tính thuần nhất ổn định (theo Liapunov) là mỗi nghiệm Y = Y (t) của hệ bị chặn trên [t 0 , ). Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ (3.1) ổn định nhng có nghiệm Z(t) không bị chặn trên [t 0 , ), Z(t 0 ) 0. Ta sẽ chỉ ra nghiệm tầm thờng của hệ không ổn định. Thật vậy, lấy > 0 bất kỳ và xét nghiệm : Y(t) = 2 . )( )( 0 tZ tZ . Rõ ràng <= 2 )( 0 tY và do Z(t) không bị chặn nên Y(t) không bị chặn trên [t 0 , ). Do đó với cố định, t 1 > t 0 sao cho ( ) > 1 tY . 7 Từ đó suy ra nghiệm tầm thờng Y 0 = 0 không ổn định. Điều này mẫu thuẫn với giả thiết hệ ổn định. Nh vậy mỗi nghiệm Y = Y(t) của hệ bị chặn trên [t 0 , ). Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ bị chặn trên [t 0 , ). Khi đó ma trận cơ bản chuẩn hoá (t) = [x ik (t)] bao gồm các hàm giới nội nên giới nội. Do đó M hằng số dơng để )(tX < M, t [t 0 , ). Mặt khác với mỗi nghiệm Y(t) của hệ ta có Y(t) = (t). Y(t 0 ) <= )(.)(.)()().()( 000 tYMtYttYttY khi ( ) = M tY 0 (chọn M = ) . Nh vậy nghiệm tầm thờng Y 0 0 ổn định. Do đó hệ (3.1) ổn định. Hệ quả 1.3.3: Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả các nghiệm của nó hoặc đồng thời giới nội hoặc đồng thời không giới nội. Chú ý 1.3.4: Đối với hệ vi phân phi tuyến từ tính giới nội của các nghiệm của nó nói chung không suy ra tính ổn định của chúng. Chẳng hạn: Phơng trình x dt dx 2 sin = có nghiệm: = =+ = kxkhik kxxkhiktxggarc x 0 00 , )0()(cotcot (k = 0, +1, 2, ). Rõ ràng các nghiệm của hệ này đều giới nội trên [0, ) nhng nghiệm x 0 = 0 không ổn định. Định lí 1.3.5: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận là tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó thoả mãn: t lim Y(t) = 0. Chứng minh: 8 Điều kiện cần: Giả sử hệ (3.1) ổn định tiệm cận. Khi đó nghiệm tầm th- ờng Z 0 0 ổn định tiệm cận. Từ đó suy ra mọi nghiệm Z(t) mà có < )( 0 tZ thì t lim Z(t) = 0 (*) Giả sử Y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ với điều kiện ban đầu Y(t 0 ) = Y 0 ( 0)( 0 tY ). Khi đó đặt: Z(t) = 2 . )( )( 0 tY tY thì Z(t) cũng là nghiệm của hệ và thoả mãn (*). Do đó: t lim Y(t) = 0)(. 2 )( lim 0 = tZ tY t . Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm Y(t) bất kỳ của hệ thoả mãn t lim Y(t) = 0 Suy ra với T đủ lớn (T > t 0 ) thì nghiệm Y(t) bị chặn trên (T, ). Mặt khác hàm vectơ Y(t) liên tục trên [t 0 , T] nên bị chặn trên đoạn đó. Nh vậy nghiệm Y(t) bị chặn trên [t 0 , ). Do đó hệ ổn định. Suy ra nghiệm tầm thờng Z 0 ổn định. Kết hợp với giả thiết t lim Y(t) = 0 ta suy ra đợc nghiệm tầm thờng Z 0 ổn định tiệm cận. Do đó theo định lí (1.2.5) hệ ổn định tiệm cận. Chú ý 1.3.6: Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất cả các nghiệm dần tới không nói chung không phải là điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng ổn định tiệm cận. Ví dụ: = = t y dt dy xyt t x dt dx 22 có nghiệm tầm thờng x = 0, y = 0 tích phân hệ phơng trình này ta đợc: 9 = = t c y ctcx tc 2 . 1 2 2 Đặt t 0 = 1 ta có: = = t y ty etxtx ty )1( )( .)1()( )1).(1( 2 Rõ ràng x(t) 0 và y(t) 0 khi t . Nhng > 0 khi x(1) = 2 và y(1) = ta có x(1+ 2 1 ) > e 1 . Nh vậy nghiệm tầm thờng không ổn định, nên lại càng không ổn định tiệm cận. 4. ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất: XA dt dX . = (4.1) trong đó A = [a jk ] nxn là ma trận hằng . Định lí 1.4.1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j của A đều có phần thực không dơng và các nghiệm đặc trng có phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn. Chứng minh: -Trớc hết ta thấy hệ (4.1) có nghiệm X(t) = e At . X 0 với X 0 = X (0). Thật vậy, hệ (4.1) Adt X dX = . Lấy tích phân 2 vế ta có: lnX = At + C X = e C . e At . Vì X(0) = X 0 nên e C = x 0 . Do đó X = e At .X 0 . Nếu phơng trình đặc trng của A có n nghiệm 1 , 2 , , n phân biệt thì khi đó nghiệm của hệ (4.1) có thể đa về dạng: 10 . hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên hoặc sai phân ngẫu nhiên. Do đó tính ổn định của hệ thống liên quan chặt chẽ đến tính ổn định của hệ vi phân và sai phân. cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân và sai phân ngẫu nhiên. Khoá luận gồm có 2 chơng: Chơng 1: Sự ổn định của hệ phơng trình vi phân