Một số vấn đề về tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của hệ phương trình vi phân

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh mạch quang tài một số vấn đề về tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của hệ phơng trình vi phân luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2006 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh mạch quang tài một số vấn đề về tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của hệ phơng trình vi phân Chuyên ngành: Giải tích M số: 60.46.01ã luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Phan Lê Na Vinh 2006 Mục lục Trang Mở đầu .2 Chơng 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân 5 1.1. Các định nghĩa 5 1.2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính .7 1.3. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất .8 1.4. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số là ma trận hằng .10 1.5. Hàm có dấu xác định 14 1.6. Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm .16 Chơng 2. Một số vấn đề về tính ổn định tiệm cận toàn cục của các hệ phơng trình vi phân .19 2.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản .19 2.2. Tính ổn định mũ và mối quan hệ giữa tính ổn định mũ và ổn định tiệm cận toàn cục 22 2.3. Tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của hệ phơng trình vi phân .29 2.4. Một số ví dụ 36 Kết luận .40 Tài liệu tham khảo 41 3 Mở đầu Trong thực tế khi khảo sát chuyển động của các hệ động lực học, khảo sát sự biến đổi của hệ sinh thái học và môi trờng hay khảo sát sự ổn định dân số, mật độ dân số, thì các nhà khoa học th ờng quan tâm đến sự tác động của các yếu tố bên ngoài tác động ban đầu vào hệ có ảnh hởng nh thế nào đến quá trình vận động tiếp theo của hệ hay không? Thực tế của quá trình vận động của hệ cho thấy có những trờng hợp mà sự tác động ban đầu có ảnh hởng đến cả quá trình vận động tiếp theo của hệ nhng cũng có những trờng hợp sự tác động ban đầu không làm thay đổi quá trình vận động tiếp theo. Để khảo sát sự ổn định của các quá trình đó ngời ta thờng mô hình hoá toán học các hệ đó và dựa vào lý thuyết ổn định phơng trình vi phân để khảo sát. Nh vậy, lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết ứng dụng, là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân. Với những lí do trên lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ và nó đợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhất là trong các lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong lĩnh vực sinh thái học và môi trờng, . Lý thuyết ổn định, đã bớc sang một bớc ngoặt mới kể từ khi nhà toán học ngời Nga là Liapunov, trong luận án tiến sĩ của mình đã trình bày hai phơng pháp nghiên cứu mới về lí thuyết, đây là hai phơng pháp kinh điển nhất giúp việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phơng trình vi phân đạt đợc hiệu quả nhất. Phơng pháp thứ hai Liapunov hay ngời ta còn gọi là phơng pháp hàm Liapunov, nó đợc áp dụng trong việc nghiên cứu định tính các hệ phơng trình vi phân, nhất là các hệ phi tuyến mà ở đó khó có thể nghiên cứu bằng phơng pháp thứ nhất Liapunov. Cơ sở của phơng pháp này là tìm hàm V(t,x) thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó và ngời ta gọi đó là hàm Liapunov. Phơng pháp thứ hai Liapunov có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định, 4 ổn định tiệm cận hoặc ổn định tiệm cận trong toàn cục của các hệ phơng trình vi phân. Bên cạnh việc nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận hoặc ổn định tiệm cận trong toàn cục, việc nghiên cứu tính ổn định mũ có vai trò quan trọng, nó bổ trợ cho nhau trong quá trình nghiên cứu. Việc nghiên cứu tính ổn định mũ còn có vai trò trong việc nghiên cứu tính ổn định hoá của các loại hệ vi phân khác nhau, nhất là trong lí thuyết ổn định hoá tối u. Trên cơ sở các tài liệu của các tác giả J. N. Valdés, B. P Demidovich, Babasin, . dới sự hớng dẫn của cô giáo, TS Phan Lê Na, chúng tôi nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề về tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của hệ phơng trình vi phân". Với khuôn khổ một luận văn, chúng tôi không đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng thực tế của tính ổn định mũ, hay tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của hệ vi phân mà chỉ dừng lại việc xét mối quan hệ giữa tính ổn định mũ với ổn định tiệm cận, trình bày và chứng minh chi tiết các điều kiện đủ để một hệ phơng trình vi phân là ổn định tiệm cận trong toàn cục, áp dụng điều kiện đủ xét một số ví dụ về phơng trình vi phân, phơng pháp khảo sát là phơng pháp thứ hai Liapunov. Với mục đích đó, luận văn đợc trình bày qua hai chơng nh sau: Chơng 1 trình bày các khái niệm cơ bản, các định lí về tính ổn định, ổn định tiệm cận của lí thuyết ổn định phơng trình vi phân. Chơng 2 trình bày các khái niệm ổn định mũ, ổn định tiệm cận trong toàn cục và các định lí nêu lên điều kiện đủ để hệ phơng trình vi phân là ổn định tiệm cận trong toàn cục. Cuối cùng áp dụng các điều kiện đủ để xét tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của một số phơng trình vi phân. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của cô giáo TS. Phan Lê Na. Nhân dịp này, tác giả xin đợc tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo. Qua đây tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy giáo trong khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS. 5 Đinh Huy Hoàng, PGS.TS. Trần Văn Ân, PGS.TS. Nguyễn Nhụy, PGS.TS. Tạ Quang Hải, PGS.TS. Tạ Khắc C, TS. Phạm Ngọc Bội cùng các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Đào tạo Sau Đại học và các bạn học viên lớp cao học XII - Toán đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu nhà tr- ờng, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học và các phòng ban có liên quan, xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa, trờng THPT Yên Định 1 đã tạo điều kiện về tinh thần cũng nh về vật chất cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh. Một lần nữa tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên lớp Cao học 12 - Giải tích. Vinh, tháng 12/2006 Mạch Quang Tài 6 chơng 1 các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định ph- ơng trình vi phân Trong chơng này sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân bất định. 1.1. các định nghĩa Xét hệ phơng trình vi phân dt dy j = f j (t,y 1 ,y 2 , ,y n ),j =1,2, ,n. (1.1.1) với t là biến độc lập y 1 ,y 2 , ,y n là các hàm cần tìm; f j là các hàm xác định trong bán trụ T= I t x D y , trong đó I t = }{ +<< tt 0 và D y là một miền mở thuộc R n , ở đây t 0 là một số hoặc ký hiệu là - . Đa vào ma trận Y= n y y y . . . 2 1 = colon(y 1 ,y 2 , ,y n ). F(t, Y) = colon(f 1 (t,Y), f 2 (t,Y), , f n (t,Y)). Gọi C1(I t ) là lớp các hàm khả vi trong khoảng I t . Hàm véc tơ Y=Y(t) C1(I t ) thoả mãn phơng trình dY dt = F(t, Y) (1.1.2) đợc gọi là nghiệm của phơng trình (1.1.2). Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm )(t = (a<t<+ ) của hệ (1.1.2) đợc gọi là ổn định theo Liapunov khi t + nếu với mọi > 0 và t 0 (a,+ ) tồn tại = ( ,t 0 )>0 sao cho 7 i) Tất cả các nghiệm Y =Y(t) của hệ (1.1.2) (Bao gồm cả nghiệm )(t = ) thoả mãn điều kiện )()( 00 ttY < , xác định trong khoảng (t 0 ,+ ). (1.1.3) ii) Đối với các nghiệm đó ta có )()( ttY < khi t 0 <t<+ . (1.1.4) Nhận xét 1.1.1.( [ ] 1 ) Nghiệm tầm thờng )(t = 0 (a<t<+ ) ổn định nếu với > 0 và t 0 (a, + ) tồn tại = ( , t 0 ) > 0 sao cho từ bất đẳng thức )( 0 tY < , suy ra )(tY < với mọi nghiệm Y(t) của hệ (1.1.2), t 0 < t < + . Định nghĩa 1.1.2. Nếu số có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t 0 , tức là = ( ) thì ổn định đợc gọi là ổn định đều. Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm )(t = , (a<t<+ ) đợc gọi là không ổn định theo Liapunov nếu với > 0 nào đó, t 0 (a, + ) và > 0 tồn tại nghiệm Y )(t và thời điểm t 1 = t 1 ( ) > t 0 sao cho )( 0)( 0 tY t < và )( 1)( 1 tY t > . Nhận xét 1.1.2. ( [ ] 1 ) Nghiệm tầm thờng )(t = 0 của hệ (1.1.2) không ổn định nếu với > 0 và t 0 (a, + ) và > 0 tồn tại nghiệm Y )(t và thời điểm đầu t 1 > t 0 sao cho )( 0 t Y < và )( 1 t Y > . Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm )(t = ( a < t < + ) đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t + nếu i) Nghiệm này ổn định theo Liapunov. ii) Với t 0 (a, + ) tồn tại )( 0 t = > 0 sao cho tất cả các nghiệm Y=Y(t), (t 0 < t < + ) thoả mãn điều kiện )()( 00 ttY < thì có tính chất + t lim ttY ()( = 0. (1.1.5) 8 NhËn xÐt 1.1.3.( [ ] 1 ) NghiÖm )(t η = 0 æn ®Þnh tiÖm cËn nÕu nã æn ®Þnh theo Liapunov vµ 0)(lim = +∞→ tY t khi )( 0 tY < ∆ víi mäi nghiÖm Y(t). 9 1.2. tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính dt dY = A(t)Y+f(t) (1.2.1) với A(t), f(t) C(I t ). Giả sử dt dX = A(t)X, là hệ thuần nhất tơng ứng. (1.2.2) Định nghĩa 1.2.1. Hệ vi phân (1.2.1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi t . Định lý 1.2.1.( [ ] 1 ) Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định với số hạng tự do tuỳ ý f(t) là nghiệm tầm thờng X 0 (t) 0, (t 0 < t < ) của hệ thuần nhất tơng ứng ổn định. Hệ quả 1.2.1.( [ ] 1 ) Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ ổn định và hoàn toàn không ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ không ổn định. Hệ quả 1.2.2.( [ ] 1 ) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi và chỉ khi hệ thuần nhất tơng ứng ổn định. Định nghĩa 1.2.2. Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm Y(t) của hệ là ổn định đều khi t đối với thời điểm đầu t 0 . Định nghĩa1.2.3.( [ ] 1 ) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm Y(t) của hệ này ổn định tiệm cận khi t . Định lý 1.2.2.( [ ] 1 ) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng X 0 (t) 0 của hệ (1.2.2) ổn định đều khi t . Định lý 1.2.3.( [ ] 1 ) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng X 0 (t) 0 của hệ thuần nhất tơng ứng (1.2.1) ổn định tiệm cận khi t . 10 . hoặc ổn định tiệm cận trong toàn cục của các hệ phơng trình vi phân. Bên cạnh vi c nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận hoặc ổn định tiệm cận trong toàn. Trờng đại học Vinh mạch quang tài một số vấn đề về tính ổn định tiệm cận trong toàn cục của hệ phơng trình vi phân Chuyên ngành: Giải tích M số: 60.46.01ã