Một số vấn đề về tính ổn định trong các hệ sinh thái

Mục lục trang Mở đầu Chương Một số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 14 1.3.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính tổng quát 14 1.3.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số 18 Chương Một số vấn đề tính ổn định hệ sinh thái 21 2.1 Cấu trúc toán học hệ sinh thái 21 2.1.1 Định nghĩa hệ sinh thái 21 2.1.2 Các phương trình dự báo 21 2.1.3 Sự ổn định hệ sinh thái 23 2.1.4 Các phương pháp tìm nghiệm 24 2.2 Các mơ hình động học 26 2.2.1 Mơ hình hệ đơn giản 27 2.2.2 Quần thể với quan hệ tuổi tác 33 2.2.3 Sự ổn định hệ K quần thể Tiêu chuẩn Routh-hurwitz 33 2.2.4 Hệ hai quần thể .36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Lý thuyết ổn định nghiên cứu phát triển 100 năm Kể từ Liapunov trình bày luận án tiến sĩ với đề tài: "Bài toán tổng quát ổn định chuyển động" Trong trình tồn phát triển hệ sinh thái, vấn đề ổn định sinh thái tốn có ý nghĩa để bảo vệ mơi trường bền vững Trong hệ thống điều khiển tự động, việc xác định ảnh hưởng điều khiển yếu tố có liên quan cho đầu hệ thống điều khiển tuân thủ theo chế độ định sẵn Đó tốn ổn định tự động hố q trình kỹ thuật Khi nghiên cứu lý thuyết ổn định hình thành hai trường phái: Trường phái cổ điển trường phái đại Trong trường phái cổ điển nghiên cứu toán học cổ điển trạng thái cân giao động, quỹ đạo chuyển động vật thể, phát triển phương pháp cổ điển cho toán ứng dụng Trường phái đại không ngừng đưa khái niệm mới, cơng cụ tốn học mở rộng lý thuyết ổn định Tuỳ theo mục đích đối tượng nghiên cứu có nhiều định nghĩa khác tính ổn định, ổn định Poisson, ổn định cấu trúc, ổn định Liapunov Do thời gian lực không cho phép, hạn chế việc nghiên cứu tính ổn định hệ sinh thái với đề tài: "Một số vấn đề tính ổn định hệ sinh thái" Luận văn gồm có hai chương: Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề tính ổn định hệ sinh thái Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy giáo dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, thầy giáo khoa Tốn, khoa Sau Đại học bạn lớp Cao học 15 Toán thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tận tình suốt thời gian học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khố học luận văn Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương Một số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng nhiều lĩnh vực khác kinh tế khoa học kỹ thuật, sinh thái học môi trường học Chương trình bày nét lý thuyết ổn định giới hạn khái niệm ổn định theo nghĩa Liapunov Các khái niệm chương trình bày theo [1] 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Xét hệ phương trình vi phân dxj = fj (x1 , x2 , , xn , t), (j = 1, 2, , n), dt (1.1.1) t tìm biến độc lập x1 (t), x2 (t), , xn (t) hàm cần tìm, {fj }nj=1 hàm xác định miền T = Dx × Xa+ , Xa+ = (a, ∞) Dưới Dx tập mở thuộc Rn a số, −∞ Để ngắn gọn ta viết (1.1.1) dạng ma trận sau dX = F (X, t), dt (1.1.2) xT chuyển vị X, F (X, t) = (f1 (X, t), f2 (X, t), , fn (X, t))T , dx1 dx2 dxn dX = , , , dt dt dt dt T ta giả thiết hàm {fj }nj=1 xác định miền T , liên tục theo t có đạo hàm riêng cấp chuyển vị dfj dxk n liên tục, T phép j,k=1 Cho ma trận A = (aij ) cỡ n × n Khi chuẩn A ma trận A chuẩn vectơ x xác định tương ứng n | aij |, x = A = n n i,j=1 i=1 i=1 Nếu A = A(t) liên tục (xi )2 | xi |, x = A(t) liên tục Chuẩn có tính chất sau đây: X ≥ 0, X = ⇔ X = A + B ≤ A + |B ; AB ≤ A B cA =| c | A , với c vô hướng Ax ≤ A x , với vectơ x x + y ≤ x + |y cx =| c | x Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm X = X(t), (a < < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1.2.) gọi ổn định theo Liapunov t → ∞ ∀ε > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ(ε, t0 ) > cho tất nghiệm Y (t) hệ thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − X(t0 ) < δ, (1.1.3) Y (t) − X(t) < ε, ∀t ≥ t0 , (1.1.4) nghĩa nghiệm X(t) ổn định theo Liapunov, nghiệm Y (t) gần với thời điểm ban đầu t0 hoàn toàn nằm ống ε bé tùy ý cho quanh nghiệm X(t), với t ≥ t0 Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân    dx1 dt = x2   dx2 dt = x1 Dễ thấy hệ phương trình có nghiệm tầm thường (x1 (t); x2 (t)) = (0, 0) nghiệm tổng quát hệ (y1 (t), y2 (t)) = (Acos(t − α), −Asin(t − α)), A α số tùy ý Với t0 = 0, với ε chọn δ = ε ta có, (y1 (0), y2 (0)) − (x1 (0), x2 (0)) = (y1 (0), y2 (0)) =| A | < δ, suy (y1 (t), y2 (t)) − (x1 (t), x2 (t)) = (y1 (t), y2 (t)) =| A | < δ = ε Vậy nghiệm tầm thường hệ ổn định theo Liapunov Nhận xét Trong trường hợp F (0, t) = 0, nghiệm tầm thường X0 (t) ≡ 0, (a < < ∞) ổn định theo Liapunov t > t0 thuộc (a, ∞) tồn δ(ε, t0 ) cho bất đẳng thức Y (t0 ) < δ Kéo theo Y (t) < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm X(t); (a < t < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1.2) gọi ổn định ∀ε > 0, tồn δ(ε) > cho tất nghiệm Y (t) (1.1.2) thỏa mãn X(t0 ) − Y (t0 ) < δ kéo theo X(t) − Y (t) < ε với t0 ∈ (a, ∞) Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm X(t), (a < t < ∞) gọi ổn định tiệm cận nếu: (1) Nó ổn định theo Liapunov (2) Với t0 ∈ (a, ∞); tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm Y (t), (t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − X(t0 ) < ∆ có tính chất lim Y (t) − X(t) = t→∞ (1.1.5) Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân    dx1 dt = −2x1   dx2 dt = −3x2 Rõ ràng hệ phương trình có nghiệm tầm thường (x1 (t), x2 (t)) ≡ (0, 0) Với t0 = 0, đặt x1 (0) = a x2 (0) = b, dễ thấy nghiệm hệ phương trình (y1 (t), y2 (t)) = (ae−2t , be−3t) Với ε chọn δ = ε (y1 (0); y2 (0)) − (x1 (0); x2 (0)) = a2 + b2 < δ Suy (y1 (0); y2 (0)) − (x1 (t); x2 (t)) ≤ a2 + b2 < δ = ε, ∀t ≥ Vậy nghiệm tầm thường hệ ổn định theo Liapunov Hơn ta có lim (y1 (t), y2 (t)) = lim t→∞ t→∞ a2 e−4t + b2 e−6t = Nên nghiệm hệ ổn định tiệm cận Nhận xét Nghiệm tầm thường X0 (t) ≡ (trường hợp F (t, 0) = 0) hệ phương trình vi phân (1.1.2) ổn định tiệm cận nếu: (1) X0 (t) ≡ ổn định theo Liapunov (2) Với t0 ∈ (a, ∞), tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm Y (t), (t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) lim Y (t) = t→∞ Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân    dx1 = x2 dt   dx2 dt = −x1 + 2x2 < ∆ có tính chất Hệ phương trình có nghiệm tầm thường (x1 (t), x2 (t)) ≡ (0, 0), ta dễ thấy (y1 (t), y2 (t)) = (tet , (t + 1)et ) nghiệm hệ phương trình Khi đó, nghiệm tầm thường hệ khơng ổn định Vì với δ ta có lim (x1 , x2 ) − (y1 , y2 ) = lim t→∞ t→∞ t2 e2t + (t + 1)2 e2t = ∞ Định nghĩa 1.1.4 Giả sử hệ phương trình vi phân (1.1.2) xác định nửa khơng gian Ω = {Y : Y < ∞}×(a, ∞) Nếu nghiệm X(t), (a < t < ∞) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y (t0 ≤ t < ∞, t0 > a) có tính chất (1.1.5) X(t) gọi ổn định tiệm cận tồn cục Bây ta xét hệ phương trình vi phân có nhiễu dX = F (X, t) + B(X, t), dt (1.1.6) B(X, t) hàm vectơ xác định miền T, liên tục theo t có đạo hàm riêng theo x1 , x2 , , xn liên tục Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm X(t), (a < t < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1.2) gọi ổn định với nhiễu B(X, t) ∀ε > t0 ∈ (a, ∞), tồn δ(ε, t0 ) > cho B(X, t) < δ tất nghiệm Y (t) hệ (1.1.6) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − X(t0 ) < δ, kéo theo X(t) − Y (t) < ε, ∀t ∈ [t0 , ∞) 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng ma trận dX = A(t)X + G(t), dt (1.2.1) ma trận A(t) hàm vectơ G(t) liên tục khoảng (a, ∞) Hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng dX = A(t)X dt (1.2.2) 10 Định nghĩa 1.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.1) gọi ổn định (hoặc khơng ổn định) theo Liapunov tất nghiệm ổn định (tương ứng khơng ổn định) theo Liapunov Định nghĩa 1.2.2 (i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.1) gọi ổn định tiệm cận nghiệm ổn định tiệm cận (ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.1) gọi ổn định nghiệm ổn định Định lý 1.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1.2.2) ổn định theo Liapunov Chứng minh * Điều kiện cần Giả sử hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định X(t), (t0 < t < ∞) nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.2), tồn hai nghiệm X1 (t), X2 (t) hệ (1.2.1) cho X(t) = X1 (t) − X2 (t) Do hệ (1.2.2) ổn định theo Liapunov nên nghiệm X1 (t) ổn định theo Liapunov t → ∞ Suy ra, ∀ε > 0, t0 ∈ (a, ∞), tồn δ > cho X1 (t0 ) = X2 (t0 ) < δ kéo theo X1 (t) = X2 (t) < ε, ∀t ≥ t0 , Hay nghiệm tầm thường Y(t) hệ (1.2.2) ổn định theo Liapunov * Điều kiện đủ Giả sử nghiệm tầm thường Y (t) ≡ hệ phương trình vi phân tuyến 11 tính (1.2.2) ổn định theo Liapunov X(t), Y (t) hai nghiệm hệ phương trình tuyến tính khơng (1.2.1) Mặt khác nghiệm tầm thường hệ (1.2.2) ổn định theo Liapunov, nên với ε > 0, t0 ∈ (a, ∞), tồn δ > cho X(t) < ε, ∀t ≥ t0 X(t) < δ Điều tương đương với X(t0 ) − Y (t0 ) < δ kéo theo X(t) − Y (t) < ε, ∀t ≥ t0 Hay nghiệm X(t) hệ (1.2.1) ổn định theo Lianpunov Do X(t) nghiệm nên hệ (1.2.1) ổn định theo Liapunov Định lý chứng minh xong Hệ 1.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định (khơng ổn định) theo Lianpunov có nghiệm ổn định (khơng ổn định) theo Lianpunov Chứng minh Giả sử X(t) nghiệm ổn định theo Liapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2.1) Y (t) nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1.2.2) Dễ thấy Z(t) = X(t) − Y (t) nghiệm hệ (1.2.1) Do nghiệm X(t) ổn định theo Liapunov, nên suy với ε > thuộc (a, ∞), tồn δ > cho X(t0 ) − Z(t0 ) = Y (t0 ) < δ X(t) − Z(t) = Y (t) < ε, ∀t ≥ t0 , 25 Bảng 2.1 26 b Phương pháp sai phân: Viết phương trình dạng Si (t + 1) ≈ Si (t) + Fi (t, Si ) Tính Si (t), tiếp tục dãy rời rạc Si (t) Ví dụ: Hệ phương trình thú mồi    Q1 (t + 1) = Q1 (t) + r1 Q1 (t) − a1 Q1 (t)Q2 (t) (2.1.6)   Q2 (t + 1) = Q2 (t) + r2 Q2 (t) + a2 Q1 (t)Q2 (t) Với r1 = 0, 5; a1 = a2 = 0, 001; r2 = −1; Q1 (0) = 1000; Q2 (0) = 400, ta có    Q1 (1) = 1100   Q2 (1) = 400 Thay vào (2.1.6) ta có    Q1 (2) = 1210   Q2 (2) = 440 2.2 Các mô hình động học Một hệ sinh thái bao gồm nhiều mối quan hệ phức tạp, biểu qua dòng luân chuyển vật chất biến trạng thái Một mơ hình dừng lại số mục tiêu Chẳng hạn mơ hình quan tâm đến phát triển số lượng quần thể hệ gọi mơ hình "vĩ mơ" Những mơ hình quan tâm đến vịng ln chuyển lý hố học bên quần thể gọi mơ hình "vi mơ" Mơ hình quan tâm đến biến động theo thời gian gọi mơ hình động học Mơ hình xem thời gian đại lượng khơng đổi, gọi mơ hình khơng gian Mơ hình xét với đại lượng xác định gọi mơ hình tất định Mơ hình xét với đại lượng có tính chất ngẫu nhiên gọi mơ hình ngẫu nhiên 27 Trong chương ta xét đến loại mơ hình động học tất định động học ngẫu nhiên 2.2.1 Mơ hình hệ đơn giản ta xét hệ có quần thể 2.2.1.1 Mơ hình dạng mũ a Dạng tất định Gọi Nt số lượng quần thể thời điểm t gọi cỡ quần thể thời điểm t, r tốc độ tăng trưởng cá thể (tức tốc độ sinh - tốc độ chết) Khi rõ ràng Nt+1 = Nt + rNt , sau khoảng thời gian ∆t Nt+∆t = Nt + r∆t.Nt Nt+∆t − Nt = rNt , ∆t Nt+∆t − Nt lim = lim rNt , ∆t→0 ∆t→0 ∆t dNt = rNt (2.2.1) dt Đây phương trình Malthusian Giải ta có Nt = N0 ert : tăng trưởng theo dạng mũ b Dạng ngẫu nhiên Giả sử xác suất để cá thể có sinh khoảng thời gian ∆t λ∆t + 0(∆t) Xác xuất để cá thể có chết khoảng thời gian ∆t µ∆t + 0(∆t) Khi xác suất để quần thể thời điểm t + ∆t có cỡ N PN (t+∆t) = PN −1 (t)λ(N −1)∆t+PN (t)[1−λN ∆t−µN ∆t]+PN +1 (t)µ(N +1)∆t 28 (Để quần thể thời điểm t + ∆t có cỡ N thời điểm t có cỡ N − 1, N, N + 1) Hay dPN (t) = −N (λ + µ)PN (t) + λ(N − 1)PN −1 (t) + µ(N + 1)PN +1 (t) (2.2.2) dt Ta có ∞ ENt = jPj (t), j=1 Hay dENt = dt ∞ j j=1 dPj (t) = (λ − µ)ENt dt Cho nên dENt = (λ − µ)dt ENt (2.2.3) ENt = N0 e(λ−µ)t = N0 ert , (2.2.4) Giải ta r = λ − µ Tính tương tự ta có D Nt = N0 (λ + µ) (λ−µ)t (λ−µ)t e (e − 1) λ−µ (2.2.5) Dựa vào cơng thức (2.2.4) ta dự báo quần thể thời điểm tương lai biết λ µ Như r > trung bình quần thể tiến ∞, r < trung bình quần thể tiến đến 0, r = trung bình quần thể N0 Nói chưa hồn tồn xác, mà mơ hình ngẫu nhiên, nên ta phải xét Nt → ∞ hoặc N0 với xác suất Tổng quát ta xét toán: Quần thể diệt vong thời điểm nào, xét mối quan hệ với µ, λ 29 Năm 1964, Bailey đưa cơng thức tính xác suất quần thể với trạng thái ban đầu diệt vong thời điểm sau µe(λ−µ)t − µ P0 (t/N0 = 1) = (λ−µ)t λe −µ Tương tự vậy, với N0 = i ta có µe(λ−µ)t − µ i λe(λ−µ)t − µ P0 (t/N0 = i) = [P0 (t/N0 = 1)i ] = (2.2.6) Từ (2.2.6) nếu: λ < µ, suy limt→∞ P (t/i) = 1, (nghĩa quần thể chết nhiều sinh) chắn diệt vong với xác suất λ > µ, (sinh nhiều chết) ta có lim P0 (t/i) = t→∞ µ i λ Nghĩa diệt vong với xác suất Nếu ban đầu N0 = i lớn diệt vong với xác suất bé Nếu N0 = i bé xác suất diệt vong lớn λ = µ, (chết sinh) Từ (2.2.6) suy lim P0 (t/i) = lim t→∞ t→∞ µert − µ i rert − µ (2.2.7) Với r bé ta có khai triển (2.2.7) sau 2 µ rt + r2!t + µert − µ ≈ ≈ 2 λert − µ λ + rt + r2!t + + − µ ≈ µrt λ−µ+λrt ≈ µrt r(1+λt) ≈ λt 1+λt Vậy µt i = t→∞ t→∞ + λt Vậy diệt vong điều chắn (với xác suất 1) dù quần thể lim P0 (t/i) = lim ban đầu có cỡ 30 2.2.1.2 Mơ hình dạng logistic a Dạng tất định * Phương trình Verhulst - Pearl Giả sử tốc độ tăng trưởng cá thể phụ thuộc vào cỡ quần thể tức hàm N Khi tốc độ tăng trưởng quần thể dN = N f (N ) dt (2.2.8) Trường hợp đơn giản f (N ) hàm tuyến tính N tức f (N ) = r − sN (r, s > 0; N > 0), (2.2.9) dN = N (r − sN ) dt (2.2.10) Hay Phương trình (2.2.10) gọi phương trình Verhulst - pearl b Dạng ngẫu nhiên * Xác suất sinh tồn Giả sử xác suất để cá thể quần thể cỡ N sinh cá thể đơn vị thời gian λ(N ) chết µ(N ) Dạng đơn giản λ(N ) µ(N ) dạng tuyến tính sau λ(N ) = a1 − b1 N, µ(N ) = a2 + b2 N (2.2.11) Khi xác suất để quần thể cỡ N tăng lên cá thể đơn vị thời gian P (N → N + 1) = N λ(N ) = a1 N − b1 N giảm cá thể P (N → N − 1) = N µ(N ) = a2 N + b1 N2 31 Đặt δN = a1 N −b1 N +a2 N +b2 N = (a1 +a2 )N −(b1 −b2 )N (2.2.12) Như δN xác suất để khoảng đơn vị thời gian quần thể có sinh chết Vậy xác suất để khoảng thời gian ∆t quần thể có sinh chết [(a1 + a2 )N − (b1 − b2 )N ]∆t + 0(∆t) = δN ∆t + 0(∆t) Định nghĩa Gọi P0N (t) xác suất để khoảng thời gian t quần thể khơng có tượng sinh chết với cỡ quần thể N Khi P0N (t + ∆t) = − (δN ∆t + 0(∆t)) (2.2.13) Giả sử tượng xảy khoảng thời gian độc lập với khoảng thời gian lân cận P0N (t + ∆t) = P0N (t).P0N (∆t) = P0N (t)[1 − δN ∆t] Vậy P0N (t + ∆t) − P0N (t) = −δN P0N (t) ∆t Cho ∆t → ta dP0N (t) = −δN P0N (t) dt (2.2.14) Giải (2.2.14) ta có P0N (t) = ce−δN t Tất nhiên P0N (0) = Vậy c = Cho nên P0N (t) = ce−δN t Định nghĩa Gọi T đại lượng biểu thị khoảng thời gian, mà có sinh chết Khi F (t) = P (T ≤ t) = − P0N (t) = − ceδN t F (t) = f (t) = δN e−δN t 32 Vậy thời gian trung bình để quần thể cỡ N có tượng sinh chết ∞ E(t/N ) = ∞ tδN e−δN t dt = tf (t)dt = 0 δN Vậy E(t/N ) = δN Ví dụ: Một quần thể vi sinh vật với N0 = 70; a1 = 0, 7; a2 = 0, 2; b1 = 0, 005; b2 = 0, 0005 Ta có λ(N ) = 0,7 - 0,0045 70 = 0,358, suy E(t/N = 70) = δ70 = 0, 023 đơn vị thời gian Tương tự với N0 = 100, ta có E(t/N = 100) = δ100 = 0, 020 đơn vị thời gian Điều chứng tỏ cá thể quần thể có khả sinh sản chết Quần thể ban đầu có cỡ lớn biến động xẩy nhanh hơn, nói cách khác quần thể sơi động * Trạng thái cân ngẫu nhiên Định nghĩa Trạng thái quần thể gọi cân ngẫu nhiên xác suất tốc độ sinh tốc độ chết Tức µ(N ) = λ(N ) Bây toán đặt cần xác định xác suất để hệ trạng thái cân cỡ N (P (N )) Rõ ràng trạng thái cân N µ(N )p(N ) = (N − 1)λ(N − 1)p(N − 1) (Xác suất chết quần thể trạng thái cỡ N, xác suất quần thể cỡ N − 1) Do P (N ) = [(N − 1)λ(N − 1)p(N − 1)] N µ(N ) 33 2.2.2 Quần thể với quan hệ tuổi tác (Mô hình thời gian liên tục) Trong mục 2.2.1 ta xét quần thể với quan hệ độ tăng trưởng đơn giản Khi Nt = N0 ert , N0 số lượng quần thể thời điểm ban đầu, r tốc độ tăng trưởng cá thể, đơn vị thời gian không đổi Vậy xác định r nào? Trong mục ta xét phương pháp xác định r Gọi tốc độ sinh thời điểm t cá thể bt Khi bt = Bt , Nt đó, Bt số lượng sinh đơn vị thời gian thời điểm t quần thể Nt cỡ quần thể t (bt tổng số sinh quần thể đơn vị thời gian chia cho tổng số quần thể thời điểm xét) Tưng tự bt tốc độ chết cá thể thời điểm t Vì bt = Dt Nt , Dt tốc độ chết quần thể thời điểm t Khi rt = bt − bt 2.2.3 Sự ổn định hệ K quần thể Tiêu chuẩn Routh-hurwitz Trong mục trình bày tiêu chuẩn Routh-Hurwitz cho trường hợp tổng quát với k quần thể Khi với k = ta trở với mơ hình Thú-Mồi trình bày mục 2.2.4 Tiêu chuẩn định lượng Giả sử xét hệ k quần thể, cho hệ phương trình sau: dNi = Ni∗ = Ni ri − dt k aij Nj , j=1 (2.2.15) 34 Ni số lượng quần thể thứ i Để tìm trạng thái cân hệ ta giải hệ phương trình dNi = Ni∗ = dt Ta tìm nghiệm Ni∗ Khi ta có trạng thái cân N ∗ = (N1∗ , N2∗ , , Nk∗ ) Ký hiệu vectơ N = (N1 , N2 , , Nk ) Từ (2.2.15) ta có dNi = Ni∗ = Fi (N ) dt (2.2.16) Khai triển hệ (2.2.16) quanh vị trí cân N ∗ ta K Ni∗ ∗ = Fi (N ) + j=1 Mà ∂Ni∗ ∂Nj ∂Ni∗ ∂Nj (Nj − Nj∗ ) + N∗ = Ni (−aij ), nên Fi (N ∗ ) = N∗ Đặt Nj − Nj∗ = nj Khi từ (2.2.17) suy k Ni = −Ni∗ (aij nj ), i = 1, k j=1 Vậy k k (Ni∗ aij ) nj Ni = j=1 Do = aij aij nj j=1 k n∗i = aij nj , i = 1, k j=1 Ta viết dạng ma trận: N ∗ = An, (2.2.17) 35   n  1    n1   n=   ; .   nk  a  11  a21 A=    ak1 a1k    a2k      akk Với A ma trận cộng đồng hệ Khai triển hàm đặc trưng ma trận A ta có f (λ) = det(A − λI) = λk + C1 λk−1 + C2k−2 + + Ck (2.2.18) Thành lập ma trận Hurwitz sau  C1 0    C3 C2 C1   Hj =  C5 C4 C3 C2     C2j−1 C2j−2 C2j−3 C2j−4    0        Cj Tổng quát Hj ma trận cấp j × j Với phần tử hàng j cột v có phần tử C2j−v sau     với 2j − v =    C2j−v = với 2j − v <       với 2j − v > k Tiêu chuẩn Hurwitz - Routh A ổn định detHj > 0, ∀j = 1, k Tức hệ ổn định detHj > 0, ∀j = 1, k (2.2.18) 36 2.2.4 Hệ hai quần thể 2.2.4.1 Mơ hình Gauss Xét hệ hai quần thể, có phương trình dự báo sau dN1 = r1 − a11 N1 − a12 N2 N1 dt dN2 = r2 − a22 N2 − a21 N1 , N2 dt Ni số lượng quần thể i Trường hợp đặc biệt Khi có quần thể cạnh tranh thứ ba (N ) hệ phương trình biểu diễn dạng    dN1 = r1 − a1 N N1 dt   dN2 N2 dt = r2 − a2 N với N = N1 + pN2 2.2.4.2 Mô hình Lotka - Volterva a Định nghĩa Mơ hình Lotka-Volterva mơ hình hệ hai quần thể Thú-Mồi (lần đưa Lotka -1925) cho dạng hệ phương trình vi phân    dN1 dt = (a1 − b1 N2 )N1   dN2 dt = (−a2 + b2 N1 )N2 Với a1 , a2 , b1 , b2 > a1 : Biểu thị tốc độ tăng trưởng cá thể quần thể mồi N1 vắng mặt quần thể thứ N2 a2 : Hệ số suy giảm cá thể loài thú N2 , vắng mặt quần thể mồi 37 b1 N2 : Là lượng suy giảm tốc độ tăng trưởng cá thể quần thể mồi có mặt lồi thú N2 b2 N1 : Là lượng tăng thêm tốc độ tăng trưởng cá thể thú có mồi b Trạng thái cân hệ Trạng thái cân trạng thái mà    dN1 = dt   dN2 dt (2.2.19) = Giải hệ phương trình (2.2.19) ta có    N∗ =   N∗ = a2 b2 (2.2.20) a1 b1 Bây ta xét điều kiện ổn định (2.2.20) Muốn theo phương pháp Routh - Hurtwitz khai triển hàm:    N ∗ = dN1 := F1 (N1 N2 ) dt   N∗ = dN2 dt := F2 (N1 N2 ), quanh vị trí (N1∗ N2∗ )    n∗ = a11 n1 + a12 n2   n∗ = a21 n1 + a22 n2 , với    a11 = 0;   a21 = a1 b1 b1 ; a12 = − b1ba2 (2.2.21) a22 = Theo tiêu chuẩn Hurwitz hệ (2.2.21) ổn định a11 + a22 < 0; ngược lại a11 + a22 > không ổn định a11 + a22 = Do hệ (2.2.21) chưa kết luận 38 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày có hệ thống số kiến thức lý thuyết ổn định (theo nghĩa Loapunov) hệ phương trình vi phân bao gồm nội dung: - Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính - Tính ổn định hệ phương trình vi phân Trình bày số vấn đề tính ổn định hệ sinh thái với nội dung: + Cấu trúc hệ sinh thái đặc tính ổn định hệ sinh thái + Giới thiệu số mơ hình động học hệ sinh thái đơn giản chẳng hạn như: - Mơ hình dạng mũ - Mơ hình dạng logictic - Mơ hình với thời gian liên tục + Nghiên cứu tính ổn định hệ K quần thể, chủ yếu hệ quần thể Trong thời gian tới, chúng tơi mong muốn có điều kiện để tiếp tục nghiên cứu, vận dụng hiểu biết tính ổn định hệ sinh thái vào thực tiễn giáo dục bảo vệ môi trường 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển học toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Christine A Shoemaker (1985), Mathematical construction of Ecological Models, Spring - Verlag - N.Y 1985 [4] E C Pie lo (1976), Mathematical Ecology, Spring - Verlag N.Y 1976 [5] Chu Đức (2001), Mathematical models of Ecological systems, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ... nhiều định nghĩa khác tính ổn định, ổn định Poisson, ổn định cấu trúc, ổn định Liapunov Do thời gian lực không cho phép, hạn chế việc nghiên cứu tính ổn định hệ sinh thái với đề tài: "Một số vấn đề. .. hệ có nhiều cách tiếp cận cách tiếp cận tốn học vơ cần thiết Chương trình bày số vấn đề ổn định hệ sinh thái Các khái niệm tìm [5] 2.1 Cấu trúc tốn học hệ sinh thái 2.1.1 Định nghĩa hệ sinh thái. .. thuyết ổn định (theo nghĩa Loapunov) hệ phương trình vi phân bao gồm nội dung: - Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính - Tính ổn định hệ phương trình vi phân Trình bày số vấn đề tính ổn định