Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN ĐĂNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN ĐĂNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG TỐN PHỔ THƠNG CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ MÃ SỐ: 62.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán NGHỆ AN - 2016 LỜI CẢM ƠN Với việc hồn thành Luận văn này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người nhiệt tình bước hướng dẫn tơi thực việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình học tập thực nghiên cứu để viết luận văn đến việc chỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn Trường đại học Vinh, nơi tác giả học tập nhiệt tình đóng góp ý kiến quý báu Bên cạnh tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 08 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Đăng MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Kết cấu luận văn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN I - TẬP ĐẠI SỐ 1.1 Khái niệm tập đại số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa tập đại số 1.2 Một số tính chất tập đại số 1.2.1 Mệnh đề 1.2.2 Bổ đề: 1.2.3 Bổ đề 1.2.4 Bổ đề 1.2.5 Hệ PHẦN II IĐEAN VÀ IĐEAN NGUYÊN TỐ 10 2.1 Định nghĩa 10 2.2 Ví dụ 10 2.3 Tính chất 10 2.3.1 Bổ đề 10 2.3.2 Ví dụ 10 2.3.3 Mệnh đề 11 2.3.4 Mệnh đề 11 2.3.5 Ví dụ 11 2.3.6 Mệnh đề 12 PHẦN III ÁNH XẠ ZARISKI 13 3.1 Ánh xạ Zariski 13 3.1.1 Ánh xạ Zariski 13 3.1.2 Một ví dụ ánh xạ Zariski 15 PHẦN IV: TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ 16 4.1 Nhận xét 16 4.2 Ví dụ 16 4.3 Định lí 17 4.4 Ví dụ 18 PHẦN V MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY 20 5.1 Định nghĩa 20 5.2 Ví dụ 20 5.3 Bổ đề 20 5.4 Định nghĩa 20 5.5 Ví dụ 20 5.6 Nhận xét 20 5.7 Định nghĩa 21 5.8 Ví dụ 21 5.9 Định lý 21 5.10 Ví dụ 22 5.11 Chú ý 22 5.12 Ví dụ 22 5.13 Đinh nghĩa 22 5.14 Bổ đề 22 5.15 Nhận xét 22 5.16 Mệnh đề 22 5.17 Hệ 22 5.18 Chú ý 23 Chương CÁC TẬP ĐẠI SỐ TRONG TỐN PHỔ THƠNG 24 VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO DẠY HỌC TOÁN 24 2.1 Tập đại số đường thẳng thực iđêan chúng 24 2.1.1 Định lý 24 2.1.2 Định lý 25 2.2 Tập đại số mặt phẳng iđêan chúng 26 2.2.1 Định lý: Ánh xạ afin f: R2 R2 26 2.2.2 Đường thẳng 27 2.2.3 Parabol 28 2.2.4 Đường tròn Elip 29 2.3 Tập đại số không gian iđêan chúng 29 2.3.1.Mệnh đề 29 2.3.2 Mệnh đề: 30 2.4 Một số tập đại số khác chương trình tốn phổ thông 30 KẾT LUẬN ……………………………………………………………… 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học đại số mơn nghiên cứu hình tập nghiệm đa thức Để làm điều người ta dùng phương trình đa thức để mơ tả hình hình học quy vấn đề hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Hình học đại số có vai trị quan trọng toán học đại kết nối nhiều ngành tốn học Giải tích, Đại số, Hình học, Tơpơ, … lại với Chẳng hạn, thấy hầu hết hình hình học hình học phổ thơng, Hình học afin, Hình học xạ ảnh nhiều hình thường xét ngành tốn học khác… tập đại số Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh dùng cơng cụ đại số Đại số tuyến tính để nghiên cứu, cịn Hình học đại số dùng Đại số giao hốn để làm cơng cụ nghiên cứu Cơng cụ hình học đại số đại số giao hốn nên địi hỏi người học phải nắm vững khơng kiến thức hình học mà kiến thức đại số giao hoán nhóm, vành, trường, mơ đun, iđêan,… Iđêan khái niệm quan trọng Đại số có nhiều tính chất quan trọng Hình học đại số Qua q trình học Chun đề Nhập mơn Hình học đại số tơi thấy tính chất iđêan thể hình học đại số nhiều quan trọng Với mong muốn tìm hiểu sâu hình học đại số thơng qua việc nghiên cứu, phân tích số yếu tố R1, R2, R3 Iđêan chúng, tác giả chọn đề tài : “Một số vấn đề hình học đại số tốn phổ thơng ” Sau tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tơi nhận thấy tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, khơng gian có ứng dụng giải tốn phổ thơng, với động viên, khích lệ Thầy Nguyễn Huỳnh Phán phương châm để thực đề tài Kết cấu luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn kết cấu thành hai chương : Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2:Các tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, không gian iđêan chúng Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN I - TẬP ĐẠI SỐ 1.1 Khái niệm tập đại số 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hốn có đơn vị 1≠0 Vành đa thức n biến x , x , , xn A tập A[X] : = A[ x1, x2 , , xn ] Mỗi phần tử f A[X] gọi đa thức, có dạng f = r1,r 2, ,r x1r1x2r xnrn n r1r2 rnd với d số tự nhiên r1,r2 , ,rn A gọi hệ tử Khi A trường ta gọi chúng hệ số Các biểu thức x1r1 x2r2 xnrn gọi đơn thức Bậc đơn thức x1r1 x2r2 xnrn tổng số mũ r1 + r2 +… + rn Bậc f bậc lớn đơn thức f ký hiệu degf Nếu f = 0, ta quy định degf = Nếu f A, ta nói degf = Khi degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, ln có dạng f = a x a x an xn an1 , 11 2 phải có hệ tử gắn biến khác khơng 1.1.2 Định nghĩa tập đại số Cho K trường, tập V Kn gọi tập đại số nghiệm họ đa thức n biến K X Ta ký hiệu tập nghiệm đa thức f Z(f) Thế Z f a K n f a Ví dụ (về tập đại số): Tập rỗng tập đại số phương trình f = với f K mà f vô nghiệm Tập điểm a = (a1, a2,…., an) tập đại số nghiệm hệ n phương trình tuyến tính x - a = i i i = 1, 2, , n Các m – phẳng không gian afin Kn tập đại số nghiệm đa thức bậc có phương trình dạng: a11x1+a12x2+ +a1nxn+b1=0 a x +a x + +a x +b =0 p1 p2 pn n p Trong n-m p n ma trận hệ số có hạng n-m Nói riêng, đường thẳng ,mặt phẳng tập đại số Kn tập đại số nghiệm phương trình = Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc việc chọn tọa độ, nghĩa V nghiệm hệ đa thức f(x1, x2,…., xn ) S, với x = ci0 + ci1 y1 + ci y2 + .+ cin yn tọa độ (y1, y2,…., yn ), ta có i i = 1, 2, , n Thì điểm V với tọa độ nghiệm hệ phương trình f(c10 + c11y1+….+ c1nyn,… , cn0 + cn1y1+….+ cnnyn) = 0, f S K n , f = Như ta có: Nếu deg f = Z(f) , f Nếu deg f > Z(f) gọi siêu mặt Nói riêng, deg f = (nghĩa f đa thức bậc nhất) Z(f) siêu phẳng Cho S tập K[X] Ký hiệu Z(S) tập nghiệm tất đa thức S (thường gọi vắn tắt tập nghiệm S), nghĩa Z(S) tập đại số Ta có Z(S) = Z( f ) f S 30 => f đơn ánh +) f toàn ánh Lấy Y(y1,y2,y3) R3 , tồn X(x1,x2,x3) : X = A-1Y – A-1B R3 (A => A-1 0) Khi Y = AX + B => f toàn ánh => f song ánh +) Vì f song ánh, ta có f-1: R3 R3 X Y = A-1X – A-1B Ta nhận thấy f f-1 liên tục tôpô Zariski Thật vậy, M = Z(S) tập đại số gồm tất nghiệm đa thức ba ẩn gi (x1, x2,x3) x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 S Thế với tọa độ (y1, y2,y3) ta có: x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 32 33 Cho nên M lại nghiệm của đa thức hệ tọa độ gi (a11 y1 a12 y2 a13 y3 , a21 y1 a22 y2 a23 y3 , a31 y1 a32 y2 a33 y3 );gi S Khi ngược ảnh f-1(M) tập A tập đại số R3 Tương tự vậy, N tập đại số R3 f(N) tập đại số R3 Do f f-1 ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh tập đại số Zariski tập đại số Zariski nên liên tục R3 với tôpô Zariski 2.3.2 Mệnh đề: Mặt cầu có dạng x a y b z c 2 R Elipxôit đồng phôi tôpô Zariski với mặt cầu đơn vị có dạng x y z Chứng minh: Vì Mặt cầu, Elipxôit mặt cầu đơn vị tương đương afin, nên chúng đồng phôi tôpô Zariski với 2.4 Một số tập đại số khác chương trình tốn phổ thơng 30 31 Trong mục ta xét thêm số tập đại số tốn phổ thơng mô tả iđêan chúng Thực kết trình bày Mục 2.1 với cách nhìn sai khác đồng phơi topo Zariski sai khác đẳng cấu vành đa thức Tuy nhiên Mục 2.3 muốn mô tả cách trực tiếp tập đại số iđêan chúng Trong mặt phẳng R xét đường bậc hai có dạng C tổng quát: a11 x2 a22 y 2a12 x 2a1 x 2a2 y a0 Xẩy trường hợp 2.4.1 C đường thẳng mặt phẳng R2 Dạng: :ax+by+c=0(a b2 0) a Tập đại số : Ta chia đường thẳng thành hai dạng Nếu :y ax+b(a 0) Cho f ax-y+b ta có Z ( f ) ( , a b) R2 / R Chứng minh: Đặt: A ( , a b) R2 / R - Ta thấy ( , a b) A f ( , a b) a. (a b) b ( , a b) Z ( f ) A Z ( f )(1) Mặt khác, Giả sử x, y Z ( f ), ax-y+b=0 y=ax+b (x,y)=(x,ax+b) A Z ( f ) A(2) Từ (1) (2) suy Z ( f ) A Nếu :x m Cho f x m ta có Z ( f ) ( m,0) R2 / R Chứng minh tương tự b Iđêan 31 32 Nếu :y ax+b(a 0) Lấy V tập vô hạn điểm đường thẳng y ax+b(ax-y+b=0) Thì IV (ax-y+b) Chứng minh: Ta cần chứng minh IV (ax-y+b) Coi đa thức f k x, y đa thức biến y với hệ số k x Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f h(ax-y+b)+v Với v k x Do V Z (ax-y+b)= ( ,a +b) k / k f ( , a b) h( , a b) v( ) v( ) 0, v k x mà v( ) với vô hạn số (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường thẳng) v f h(ax-y+b) (ax-y+b) 2.4.2 C đường tròn mặt phẳng R2 Dạng: (C):(x-a)2 ( y b)2 R2 a Tập đại số C : Cho f =(x-a)2 ( y b)2 R2 ta có Z ( f ) (a R sin , b R cos ) R2 / R Chứng minh: Đặt A (a R sin , b R cos ) R2 / R (a R sin , b R cos ) A f (a R sin , b R cos ) (a R sin , b R cos ) Z ( f ) A Z ( f )(1) Mặt khác, giả sử ( x, y) Z ( f ) ( x a)2 ( y b)2 R2 ( x a)2 R ( y b)2 x a R sin y b R cos Ta cần chứng minh Thật x a R sin Nếu x a y b R cos 32 33 Nếu x a Ta có ( x a ) R ( y b) R y b ( ) ( ) 2 ( x a) ( x a) xa xa Đặt x a R sin x b R cos Suy Z ( f ) A(2) Vậy Z ( f ) (a R sin , b R cos ) R2 / R b Iđêan C Nếu (C):(x-a)2 ( y b)2 R2 Lấy V tập vô hạn điểm đường tròn (x-a)2 ( y b)2 R2 Thì IV ( R2 ( x a)2 ( y b)2 ) Chứng minh: Hiển nhiên ( R2 ( x a)2 ( y b)2 ) IV Ta cần chứng minh IV ( R2 ( x a)2 ( y b)2 ) Coi đa thức f k x, y đa thức biến y với hệ số k x Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f h( R2 -(x-a)2 -(y-b)2 )+v Với v k x V Z ( R2 -(x-a)2 -(y-b)2 )= (a+Rsin ,b+Rcos ) k / k f IV f (a R sin , b R cos ) v(a R sin ) 0, v k x nên Do mà v(a R sin ) với vơ hạn số (vì ta giả thiết tập V gồm vô hạn điểm đường tròn) v f h(R -(x-a)2 -(y-b)2 ) (R -(x-a)2 -(y-b)2 ) Vậy IV ( R2 ( x a)2 ( y b)2 ) 2.4.3 C elip mặt phẳng R2 Dạng: (E): 2 x y 1 a b a Tập đại số E: 2 x y Cho f ta có Z ( f ) (a sin , b cos ) R2 / R a b Chứng minh: Đặt A (a sin , b cos ) R2 / R 33 34 (a sin , b cos ) A f (a sin , b cos ) (a sin , b cos ) Z ( f ) A Z ( f )(1) 2 x y Mặt khác, giả sử ( x, y) Z ( f ) a b Nếu x k y b cos k(k Z ) Nếu x x x a x a y2 a ( ) ( ) (1 ).( ) x x a a x b2 x y b Đặt x asin cos y=bcos Suy Z ( f ) A(2) Vậy Z ( f ) (a sin , b cos ) R2 / R b Iđêan E Nếu (E): 2 x y a b Lấy V tập vô hạn điểm elip 2 x y x2 y Thì I (1 ) V a2 b2 a b2 Chứng minh: Hiển nhiên (1 x2 y ) IV a b2 Ta cần chứng minh IV (1 x2 y ) Coi đa thức f k x, y a b2 đa thức biến y với hệ số k x Tương tự thuật tốn Euclid ta có x y2 thể viết f h(1 - )+v a b x y2 Với v k x Do V Z (1 - )= (asin ,bcos ) k / k nên f IV a b f (a sin , b cos ) v(asin ) 0, v k x mà v(asin ) với vô hạn số (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường tròn) v f h(1- x y2 x y2 x2 y ) (1) Vậy I (1 ) V a b2 a b2 a b2 2.4.4 C hypebol mặt phẳng R 34 35 2 x y Dạng: (E): a b a Tập đại số H: Cho f x y ta có: a b a Z ( f ) ( , b tan ) R / R, k , k Z cos a , b tan ) R / R, k , k Z cos Chứng minh: Đặt A ( Ta thấy ( a a a , b tan ) A f ( , b tan ) ( , b tan ) Z ( f ) A Z ( f )(1) cos cos cos 2 x y Mặt khác, giả sử ( x, y) Z ( f ) a b a x Ta cần chứng minh cos y b tan Đặt Ta có x x a x a y2 a ( ) ( ) (1 ).( ) x x a a x b2 x a y2 cos y b2 tan y b tan x b cos Suy Z ( f ) A(2) a , b tan ) R / R, k , k Z cos Từ (1) (2) suy Z ( f ) ( b Iđêan H 2 x y Nếu (H): a b 2 x y x2 y Lấy V tập vô hạn điểm đường Hypebol Thì IV (1 ) a b a b 35 36 Chứng minh: Hiển nhiên (1 x2 y ) IV a b2 Ta cần chứng minh IV (1 x2 y ) Coi đa thức f k x, y a b2 đa thức biến y với hệ số k x Tương tự thuật tốn Euclid ta có x y2 thể viết f h(1 )+v a b Với v k x Do V Z (1 f IV f ( x y2 a )= ( , b tan ) R / R, k , k Z a b cos a a a , b tan ) v( ) 0, v k x mà v( ) với vô hạn số cos cos cos (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường tròn) v f h(1- Vậy IV (1 x y2 x y2 ) (1 ) a b2 a b2 x2 y ) a b2 2.4.5 C parabol mặt phẳng R2 Dạng: (P):x y a Tập đại số P : Cho f x y ta có Z ( f ) ( , Chứng minh: Đặt A ( , 2 ) R2 / R 2 ) R2 / R Ta thấy ( , nên 2 ) A f ( , 2 ) ( , 2 ) Z ( f ) A Z ( f )(1) Mặt khác, giả sử ( x, y) Z ( f ) x y y 36 x2 37 x2 ( x, y) ( x, ) z ( f ) A(2) Từ (1) (2) suy Z ( f ) ( , 2 ) R2 / R b Iđêan P Nếu (P):x y Lấy V tập vô hạn điểm đường parabol x y Thì IV ( x2 y) Chứng minh: Hiển nhiên ( x2 y) IV Ta cần chứng minh IV ( x2 y) Coi đa thức f k x, y đa thức biến y với hệ số k x Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f h( x2 -2y)+v Với v k x Do V Z ( x -2y)= ( , 2 f ( , 2 ) R / R nên f IV ) v( ) 0, v k x mà v( ) với vơ hạn số (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường trịn) v f h( x2 -2y) (x2 -2y) Vậy IV ( x2 y) 2.4.6 Mô tả tập đại số iđean mặt phẳng R2 đồ thị số hàm số chương trình tốn phổ thơng 2.4.6.1 Hàm bậc mặt phẳng R2 Dạng y = ax3 bx2 cx d (a 0) a Tập đại số: Cho f ax3 bx2 cx y d ta có Z ( f ) ( , a b c d ) R / R Chứng minh: Đặt A ( , a b c d ) R2 / R 37 38 Ta thấy ( , a b c d ) A f ( , a b c d ) ( , a b c d ) Z ( f ) A Z ( f )(1) Mặt khác, Giả sử ( x, y) Z ( f ) ax3 bx2 cx y d y ax3 bx cx d ( x, y) ( x,ax bx2 cx d ) z( f ) A(2) Từ (1) (2) suy Z ( f ) ( , a b c d ) R2 / R b Iđêan *) Nếu y = ax3 bx2 cx d Lấy V tập vô hạn điểm đồ thị y=ax3 bx2 cx d (a 0) Thì IV (ax3 bx2 cx d y) Chứng minh: Hiển nhiên (ax3 bx2 cx d y) IV Ta cần chứng minh IV (ax3 bx2 cx d y) Coi đa thức f k x, y đa thức biến y với hệ số k x Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f h(ax3 +bx +cx+d-y)+v Với v k x Do V Z (ax3 +bx +cx+d-y)= ( , a b c d ) R2 / R nên f IV f ( , a b c d ) v( ) 0, v k x mà v( ) với vô hạn số (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường v f h(ax3 +bx +cx+d-y) (ax3 +bx +cx+d-y) Vậy IV (ax3 +bx +cx+d-y) 2.4.6.2 Hàm bậc bốn trùng phương mặt phẳng R2 Dạng: y = ax bx2 c(a 0) a Tập đại số: Cho f ax bx2 y c ta có Z ( f ) ( , a b c) R2 / R 38 tròn) 39 Chứng minh: Đặt A ( , a b c) R2 / R Ta thấy ( , a b c) A f ( , a b c) ( , a b c) Z ( f ) A Z ( f )(1) Mặt khác, Giả sử ( x, y) Z ( f ) ax bx2 y c y ax bx2 c ( x, y) ( x,ax bx2 c) z( f ) A(2) Từ (1) (2) suy Z ( f ) ( , a b c) R2 / R b Iđêan Nếu y = ax bx2 c Lấy V tập vô hạn điểm đồ thị hàm số y=ax bx2 c(a 0) Thì IV (ax bx2 c y) Chứng minh: Hiển nhiên (ax bx2 c y) IV Ta cần chứng minh IV (ax bx2 c y) Coi đa thức f k x, y đa thức biến y với hệ số k x Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f h(ax +bx +c-y)+v Với v k x Do V Z (ax4 +bx +c-y) = ( , a b c) R2 / R nên f IV f ( , a b c) v( ) 0, v k x mà v( ) với vơ hạn số (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường trịn) v 0 f h (ax +bx +c-y) (ax +bx4 +c-y)2 Vậy IV (ax +bx +c-y) Một sơ ứng dụng hình học đại số vào giảng dạy tốn phổ thơng Chúng tơi nêu sơ tìm tịi chúng tơi ứng dụng hình học đại số vào giảng dạy tốn phổ thơng Đấy sơ tốn đại số chứng minh hình học ngược lại Cho V ⊂ Rn Nhắc lại 39 40 IV = { f ∈ R[x1, x2, , xn] = R[X]; f(a) = với ∀ a ∈ V} Nói riêng, V = {a}; a = (a1, a2, , an) ta có kết sau I{a} = {(x1-a1)f1 + (x2-a2)f2+ + (xn-an)fn; f1 , f2, , fn ∈ R[X]} Từ ta có tốn sơ cấp sau Bài toán (Mệnh đề): Chứng minh đa thức f(x1, x2, , xn) nhận a = (a1, a2, , an) làm nghiệm f có dạng f = (x1-a1)f1 + (x2-a2)f2+ + (xn-an)fn; f1 , f2, , fn ∈ R[X]} Mệnh đề: Nếu V R2 tập vơ hạn điểm parabol y = x2 IV = (x2 – y) = {(x2-y)f ; f ∈ R[x, y] } Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) : Ta cần chứng minh IV (x2 – y) bao hàm thức ngược lại hiển nhiên Coi đa thức f R[x, y] đa thức ẩn y với hệ số R[x] Tương tự thuật toán Euclide ta viết f = h(x2 – y) + g với g R[x] Do V Z(x2 – y) = { (a, a2) ; a K } nên với f IV f(a, a2) = g(a) = với a thuộc tập vô hạn K nên g đa thức 0, nên f = h(x – y), nghĩa f (x2 – y) Từ kết ta có tốn sơ cấp sau Bài toán (Mệnh đề): Ký hiệu V = {(x, x2); x lấy vô hạn giá trị}, chẳng hạn lấy V = {(n, n2) ; n ∈ℕ } Chứng minh đa thức hai biên f(x, y) triệu tiêu V f có dạng f (x, y) = (x2-y)g(x, y) với g(x, y) đa thức hai biến Mệnh đề: Nếu V K2 tập vô hạn điểm đường cong x3 – y2 = IV = (x3 – y2) = {(x3 – y2)f ; f ∈ R[x, y] } Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) : Ta cần chứng minh IV (x3 – y2) bao hàm thức ngược lại hiển nhiên Tương tự trên, ta viết 40 41 f = h(x3 – y2) + uy + g u, g K[x] đa thức ẩn x Do Z(x3 – y2) = { (a2, a3) ; a 3 K } nên với f IV f(a , a ) = u(a ) a = g(a ) = với a thuộc tập vô hạn K nên đa thức ẩn u(x 2) x3 + g(x2) = Nhưng u(x2)x3 gồm đơn thức bậc lẻ, g(x2) gồm đơn thức bậc chẵn nên phải có u(x2)x3 = = g(x2) Suy u = = g, f = h(x3 – y2) (x3 – y2) Bài toán (Mệnh đề): Ký hiệu W = {(a2, a3); a lấy vô hạn giá trị}, chẳng hạn lấy W = {(n2, n3) ; n ∈ℕ } Chứng minh đa thức hai biên f(x, y) triệu tiêu W f có dạng f (x, y) = (x3-y2)g(x, y) với g(x, y) đa thức hai biến Mệnh đề: Nếu V d- phẳng Rn mà ta giả sử tập hợp có dạng V = {( x1, x2,…., xd , 0, …0) Rn } IV = (xd+1, xd+2,…., xn) = { xd+1f1 + xd+2f2+….+ xnfn-d; f1 , f2 , , fn-d ∈ R[X]} Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tơi) : Ta viết đa thức R[X] dạng f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn + g g R[x1, x2 ,…., xd] Thế f IV f(a1, a2 ,…., ad, 0, 0,….,0) = g(a1, a2 ,…., ad) = với a1, a2 ,…., ad R Điều có nghĩa g = 0, nên f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn (xd+1, xd+2 ,… , xn) Bài toán (Mệnh đề): Cho V d-phẳng Rn Chứng minh đa thức n biến f triệt tiêu V có đổi biến phép biến đổi afin cho f có dạng 41 42 f = xd+1f1 + xd+2f2+….+ xnfn-d; f1 , f2 , , fn-d đa thức n biến Nhận xét: Các đa thức x2 – y x3 – y2 bất khả quy K[x, y] Mặt khác I Z(x2-y) = (x - y) I Z(x3-y2) = (x - y 2) nên đường cong (tập đại số) x2 – y = x3 – y2 = bất khả quy Bài tốn (Mệnh đề): Chứng minh khơng tồn hai đa thức hai biến f(x, y) g(x, y) cho hợp hai tập nghiệm chúng parabol Bài tốn (Mệnh đề): Chứng minh khơng tồn hai đa thức hai biến f(x, y) g(x, y) cho hợp hai tập nghiệm chúng đường cong bậc ba x3 – y2 = Những kết chúng tơi vừa nói lên rằng: Ứng dụng Hình học đại số vào dạy tốn phổ thơng phong phú 42 43 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là: 1.Trình bày lại theo hệ thống để phục vụ cho luận văn Đại số giao hốn Trình bày xếp theo hệ thống kèm với chứng minh chi tiết khái niệm tập đại số, tôpô Zariski, iđêan tập đại số, tập đại số bất khả qui tính chất chúng Các chứng minh chúng tơi cụ thể hóa mà tài liệu tham khảo nêu vắn tắt không chứng minh Mô tả số tập đại số đường thẳng, mặt phẳng, không gian iđêan chúng, mô tả tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, không gian Nhiều kết chưa đề cập tài liệu tham khảo nên hầu hết chứng minh chúng tơi tự tiến hành Tìm tịi nêu số ứng dụng Hình học đại số vào dạy tốn phổ thơng Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu hình học đại số hình học khác, chẳng hạn Hình học Ơclit, Hình học afin 43 44 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngơ Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http://www.vietmaths.com [2] Văn Như Cương - Tạ Mẫn (2002), Hình học afin hình học Ơclit,Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [3] Văn Như Cương (1977), Lịch sử hình học, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] R.Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Spring - Verlag.Bertand [5] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số, Nxb Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Nhập mơn hình học đại số, Viện nghiên cứu phát triển công nghệ [7] Sách giáo khoa phổ thông (2008) ,Đại số hình học 10;Đại số giải tích 11; Hình học 11;Giải tích 12;Hình học 12, Nxb giáo dục [8] Ngơ Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, Nxb Khoa học tự nhiên công nghệ [9] Trần Thị Thúy Vinh(2013), Luận văn “tập đại số không gian chiều thấp iđêan chúng”, Trường Đại học Vinh 44 ... afin, Hình học xạ ảnh nhiều hình thường xét ngành toán học khác… tập đại số Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh dùng cơng cụ đại số Đại số tuyến tính để nghiên cứu, cịn Hình học đại số. .. thức Hình học đại số có vai trị quan trọng tốn học đại kết nối nhiều ngành tốn học Giải tích, Đại số, Hình học, Tơpơ, … lại với Chẳng hạn, thấy hầu hết hình hình học hình học phổ thơng, Hình học. .. TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN ĐĂNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG TỐN PHỔ THƠNG CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ MÃ SỐ: 62.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS
Ngày đăng: 27/08/2021, 09:42
Xem thêm:
