Phép nội suy và ứng dụng giải một số dạng toán phổ thông

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI N G UYN T H NGN PHẫP NI SUY Y NG DNG GII MT S DNG TON PH THễNG LUN VN THC s TON HC H NI, 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI N G UYN T H NGN PHẫP NI SUY Y NG DNG GII MT S DNG TON PH THễNG C huyờn ngnh: Toỏn gii tớch M ó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON H C Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYEN H NI, 2016 h ự n g Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n TS Nguyn Vn Hựng, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, ton th cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi ong sut quỏ trỡnh hc ti trng Cui cựng, tụi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh v bn bố ó c v, ng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Ngi thc hin Nguyn Th Ngõn 11 Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca TS Nguyn Vn Hựng, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Phộp ni suy v ng dng gii mt s dng toỏn p h thụng c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi, khụng ựng lp vi bt c lun no khỏc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Ngũi thc hin Nguyn Th Ngõn I ll Mc lc Lũi cm fin i Lũi cam oan ii 3 1.2 1.3 1.1 S gn ỳng 1.2 Sai s thu gn 1.1.3 Sai s tớnh toỏn 1.1.4 S n nh ca quỏ trỡnh tớnh 1.1.5 Bi toỏn ngc ca sai s Mụt s khỏi niờm c bn ca s 1.2.1 Mt s ca i s tuyn tớnh 1.2.2 nh ngha v tớnh cht ca a thc 10 Mụt s khỏi niờm c bn ca gii tớch 11 1.3.1 Gii hn ca dóy s 11 1.3.2 Gii hn ca hm s 12 1.3.3 Cụng thc Taylor 14 Phộp ni suy 15 2.1 Bi toỏn ni suy tng quỏt 15 2.2 Cụng thc ni suy Lagrange 16 2.2.1 Cụng thc ni suy Lagrange 16 2.2 Sai s ca phộp ni suy 18 iv 2.2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 Mc ni s u y 18 Cụng thc ni suy N e w to n 20 2.3.1 a thc ni suy cú mc ni suy khụng cỏch u 20 2.3.2 a thc ni suy cú mc ni suy cỏch u n h a u Cỏc cụng thc ni suy trung tõm 23 28 2.4.1 Cụng thc ni suy Gauss I 28 2.4.2 Cụng thc ni suy Gauss I I 29 Bi toỏn ni suy ngc 30 2.5.1 S dng a thc ni suy LagrangeI 30 2.5.2 Trng hp cỏc mc ni suy 31 Hm ni suy S p l i n e 32 Xi ( 0, rỡ) cỏch u n g dng ca phộp ni suy gii m t s dng toỏn ph thụng 39 3.1 ng dung ca cụng thc nụi suy Lagrange 39 3.1.1 Bi tõp ỏp d u n g 39 3.1.2 Bi toỏn nụi suy Lagrange 53 ng dng ca cụng thc ni suy Newton 55 3.2.1 Cỏc bi toỏn v xỏc nh a thc 55 3.2.2 Tớnh t n g 61 ng dng ca mt s cỏc cụng thc ni suy khỏc 63 3.3.1 Cụng thc ni suy T a yo r 63 3.3.2 Cụng thc ni suy H e r m ỡt e 66 ng dng Maple tớnh giỏ tr a t h c 69 3.4.1 a thc ni suy Lagrange 69 3.4.2 a thc ni suy N ew ton\ 73 3.2 3.3 3.4 K t lun 78 Ti liu tham kho 79 M u Lớ chn ti Cỏc bi toỏn ni suy i t rt sm, rt nhiu nh toỏn hc ni ting ó nghiờn cu v ni suy trc ht phi k n cỏc cụng trỡnh ca Lagrange, Newton, Hermit, Tuy nhiờn, vic xõy dng cỏc bi toỏn ni suy tng quỏt, cỏc thut toỏn tỡm nghim ca nú v nhng liờn quan n ni suy ang c cỏc nh toỏn hc tip tc nghiờn cu Bi nú khụng nhng nh l mt i tng nghiờn cu trng tõm ca i s m cũn l mt cụng c c lc ca gii tớch lý thuyt xp x, lý thuyt ni suy, lý thuyt ti u, , nú úng mt vai trũ rt quan trng vic thit lp cỏc a thc tha h cỏc iu kin rng buc c bit Ngoi ra, cỏc c ng c bn ca ni suy cũn c s dng nhiu bi toỏn chng hn ong toỏn cao cp, toỏn ng dng, nhng mụ hỡnh thc t v toỏn ph thụng Tuy nhiờn, cỏc trng ph thụng lý thuyt v cỏc bi toỏn ni suy cha c cp, cú chng ch l s dng chỳng gii quyt cỏc bi toỏn khú Vỡ vy, vic hỡnh thnh mt chuyờn chn lc nhng c bn nht v cỏc bi toỏn ni suy, di gúc toỏn ph thụng, c bit l nhng ng dng ca nú quỏ trỡnh gii mt s dng toỏn khú l rt cn thit Nờn tụi ó ly tờn lun ca mỡnh l Phộp ni suy v ng dng gii mt s dng toỏn p h thụng nhm a khỏi nim ni suy v ng dng ca nú n gn hn vi thy cụ v hc sinh cỏc trng ph thụng 2 Mc ớch nghiờn cu H thng li cỏc phộp ni suy v ng dng chỳng gii mt s bi toỏn ph thụng nh cỏc bi toỏn v a thc, cỏc dng toỏn khai trin, ng nht thc, cỏc bi toỏn xỏc nh gii hn ca biu thc cho trc, cỏc bi toỏn v tớnh chia ht ca a thc, ng dng vo tớnh gii hn ca mt s dng vụ nh, H thng li mt s dng toỏn v sỏng tỏc nhiu bi mi Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v mt s bi toỏn ni suy c in, cỏc cụng thc ni suy ng dng cỏc cụng thc ni suy vo gii mt s dng toỏn ph thụng i tng v phm v nghiờn cu Vi mc ớch nh trờn, lun trung vo nghiờn cu v cỏc cụng thc ni suy: Cụng thc ni suy Lagrange, cụng thc ni suy Taylor, khai trin Tayư lor, cụng thc ni suy Newton phm vi ng dng chng ỡnh ph thụng, gii quyt mt sụ bi toỏn khú ong chng ỡnh ph thụng Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu ca gii tớch v gii tớch s úng gúp ca lun Xõy dng lun thnh ti liu tng quan v tham kho tt cho sinh viờn, hc viờn cao hc v ng dng ca phộp ni suy gii mt s dng toỏn ph thụng Chng Kin thc chun b 1.1 1.1.1 Sai s S gn ỳng Ta núi rng a l mt s gn ỳng ca a* nu nh a khụng sai khỏc * nhiu, hiu s A a = a* a l sai s thc s ca a, nu A a > thỡ a l giỏ tr gn ỳng thiu, cũn nu A a < thỡ a l giỏ tr gn ỳng tha ca a* Vỡ rng a* cha bit, ch bit a nờn i lng A cha th xỏc nh, nhiờn cú th thy tn ti A a > tha iu kin: \a* a\ < A a Khi ú: A a c gi l sai s tuyt i ca a, a = l sai s tng i ca \a\ a Rừ rng A a, a cng nh cng tt Hai s gn ỳng a ca a* v b ca b* cú cựng sai s tuyt i A a = A 6, s no cú giỏ tr ln tuyt i ln hn thỡ s chớnh xỏc hn Chng hn a = 100, b = 1, A a = A = 0, 01 ú s a* [99, 99; 100, 01], b* G [0,99; 1,01], tc l s a s chớnh xỏc hn s b so vi giỏ tr ỳng ca nú i lng no s phn ỏnh sai s ca mt s, hay núi cỏch khỏc chớnh xỏc ca phộp tớnh c phn ỏnh qua i lng no vớ d trờn, nu |a| cng ln thỡ khong xỏc nh ca a* cng rng, vỡ vy t s a = cú th c trng cho chớnh xỏc | | ca mt phộp o tớnh toỏn, a c gi l sai s tng i ca s a 1.1.2 Sai s th u gn Trong quỏ trinh tớnh toỏn, s gn ỳng a ca a* ụi l s thp phõn vụ hn cỏc s sau du phy, hoc hu hn nhng s lng cỏc ch s sau du phy rt ln buc chỳng ta phi ngt bt mt s ch s sau du phy Vic ngt bt ú c gi l thu gn s a c s ó ngn gn hn v gn ỳng s a Qui tc thu gn mt s a nh sau: Gi s s a = A , a !a 2a a an, ú A l phn tr nguyờn, dj E 0,1, , , (j = 1, n ) l cỏc ch s sau du phy (phn thp phõn) Mun lm ũn s ó t s a vi i ch s sau du phy ta lm nh sau: gi nguyờn A , i, a2, , j_i Xột +1 - Nu _|_i < thỡ ó A , a1a2a3 a i-1ai, - Nu ai+1 > thỡ ó = A , a ia 2a a_iaĂ, vi ỏ = d + Vớ d 1.1.1 Cho s a* = n , a = 3,141592 Khi ú s thu gn ca a l: - S thu gn sau du phy 2ch s: ó= 3,14 - S thu gn sau du phy 3ch s: ó= 3,141 - S thu gn sau du phy 4ch s: ó= 3,1416 t: Ta = |a ó, Ta c gi l sai s thu gn ca s a 1.1.3 Sai s tớn h to ỏn Cỏc s dựng tớnh toỏn ó l cỏc s gn ỳng (cú sais), cũn xut hin thờm sai s ca kt qu Sai s ny c gi l sai s tớnh toỏn.Trong ti ny, trung nghiờn cu cỏc giỏ tr gn ỳng liờn quan n sai s tớnh toỏn Gi s cn tớnh giỏ tr u y vi cỏc giỏ tr u vo l X\, x 2, , x n Mi liờn h gia u vo v u c xỏc nh bi y* = f ( x [ , x 2, , ặ*) õy y * , x , x 2, , ổ* l cỏc giỏ tr ỳng ca giỏ tr hm v cỏc bin tng ng Thc tin, khụng th xỏc nh c y * , x \ , x 2, , m ch xỏc nh c giỏ tr gn ỳng tng ng ca nú vi cỏc sai s tng ng A y , A x Sai s giỏ tr A y ca y = f ( x I , x 2, , x n) c gi l sai s tớnh toỏn Gi s y = f ( x i , x 2, , x n) l hm kh vi, liờn tc theo cỏc bin X Theo gii tớch, ta cú: 64 ú /7*3 /y.5 ^.3 + m 6' + (l5 ) Say za2^ ^ ~ 36 = ^ kh X > ~ 216 = Do ú sin3# = X3 X5 + O ( x 5) z X ^ Tip theo, ta s chng minh rng sin5ặ = X5 + O ( X5) , X y Tht vy, vỡ a (x) ~ kh X > nờn s in 5ổ = X5 + O (ổ5) , X > x^ Nh vy, X ằ ta cú sin (sin x) = X - b o (a:5) Tng t x V X2 = X ^ -X2 - ặ4 + o (x4)^ = X -X3 - X5 + o (x b) , X > v 19 Do ú sin (sin x) x y / l X2 = X5 + o ( x 5) v ' 90 v ' Vy nờn xToJ v ' x->0 go X5 y 90 Bi 3.3.2 Tớnh gii hn lim (cos (X.ex) ln (1 x) a;)cota: Ê->0 Gii Gii hn cn tỡm cú dng l 00 Ta cú 1- / / x\ \ \co tx _ lim (cos ớx.e ) ln (1 X) X) x->0 vi f (X) = cos (X.ex) ln (1 x) X Ta cn tớnh lim c o tX l n / (x) = e*-> 65 lim cot X3 ln [cos (X.ex) ln (1 x ) x] x^o ý rng , 1 cot x = = x^o ta n a r x ú + (J (ar) Do ú, ta cn phi khai trin hm [f(x) 1] theo cụng thc Taylor tng ng vi o (x3) bng cỏch s dng cc khai trin sau xex = X + X2 + o (x2) , X > 0, cos t - + o (ớ3) , t > Suy X2 cos (x e x) = - X3 + o (a?3) , ac > 0, ln (1 x ) = X - - - - o ( x 3) , X ằ Ta thu c / (a;) = X3 + o ( x 3) , X > v - p + o (x 3) lim n = z - * X3 + o (x3) Vy lim (cos ( X.ex) ln (1 x ) x )cota; = e_ Bi toỏn ni suy Taylor Cho Xo I v fljt G K vi k = ,1 , N Hóy xỏc nh a thc T ( x ) cú bc deg T (x) < N v tha cỏc iu kin T ^ { x 0) = ak, Vk = ,1 , N Nghim nht ca bi toỏn c biu din bi cụng thc T (x) = E - x 0)k k - /c! Bi 3.3.3 Xỏc nh a thc bc ba f ( x ) tha cỏc iu kin 66 /W (1) = 2n3 - 3n2 - n + 2, 71 = ,1 ,2 ,3 Gii Ta cú n = = s /( l) = 2, n = =* / (1) (1) = 0, = =4 / (1) = 4, n = =* / (3) (1) = 26 77eo bi toỏn ni suy Taylor, ta cú = / ( 1) + ^ ^ ( Z /M - 1) + ^ ^ ( Z = + (x - 1) + - 1)2 + ^ P ( Z - 1)3 - l)2 + ^ ( x - l)3 13 = + (x2 2x + l) + (x 3x2 + 3x l) 13 ^ = X3 l l x + 9x 3 3.3.2 Cụng thc ni suy Hermite Bi toỏn ni suy Hermite Cho Xi, a G R vi = , , t ; k = 0,1, 2, v X 7^ Xj, Vi 7^ j ú Pi + p + ớ?3 + + Pn = -/V Hóy xỏc nh a thc iớ( x ) cú bc d eg iiớ (x) < N tha cỏc iu kin H (Xj) = iti, Vô = l , , ,n ; VA: = ,l ,2 , ,P i - Nghim nht ca bi toỏn c biu din bi cụng thc ú 67 l on khai trin Taylor n cp th ' (Pi k) ti = X X ca hm s Wj (s) Bi 3.3.4 Xc nh a thc f (x), (deg / (x) < 3) tha cỏc iu kin f n (1) = n 3n 12 + n + 1, n = 0, 1, , / (2 ) = Gii Kớ hiu Xi, ki ( = 1, 2, = 0, 1, TTie cng ớ/ic ni Hermit, ta cú 1, v' Pi = ;P = / (1) = 1, / ô (1) = 0, / (1) = 1, / (2) = ú Xi = 1, X2 = 2, oi = 1, n = 0, 21 = 1, ô02 = 7a cú Wi (x) = n (x - Xj)Pj Vô = 1, W i (x) = (x X2 = X Vi = 2, w (x) = (a; Xi)3 = (x l ) Vy Pi~t ('P f(i) = E E a*ô ,, w, (z)T =1 fc=o r ỡ (Pi-1-fc) ^ w w / (l=Il) ú t { w ỡ (i ^ (Pi )} (x=X) A; s 1=0 (z Xiý LW, (x)J ' Do ú (Pl-l-fc) (a:=a;i) (P21fe) + g aB ^ W Jfe! fc=o , ( , ) T f } ầ K/3 S 69 3.4 Ung dung Maple tfnh gia tri da thufc 3.4.1 Da thufc noi suy Lagrange [> dtns := proc (a :: list, b :: list, xo) [> local n , i , j , g , p , f ; [> n := nops(a ); [> p array{l n)\ [> f o r i to n [> p[i] := l;od; [> for i f rom to n [> p\i] := 1; [> f or j f r o m to n [> i f j < > i then p\i\ := p[i] * {x - a[j])/(a[i\ - a[j]); fi; od\ od ; [> / := 0; [> f or i to n [ > / : = / + 6[ô] *p[*];od;prôni(/); [> f or i f r o m to n [> p[i] := 1; od; [> f or i to n [> f o r j to n [> i f j < > i then p\i\ := p[i\ * (xo o[j])/(ô[*] a [j ]); /ô; od; od;print(p); [> / := 0; [> f o r i to n [ > / = = / + &[*] [> evalf(f); [> end; 70 d tn s := proc(a :: is t,b :: lis t, xo) local n , i , j , g , p , f ; n := nops{a)\ p := a r r a y ( l n ); for z to n p[i] := od; for i to n p[i] := ; for j to n if j i then p[i] := p[i] * (x a[j])/ {a[i] a[j]) fi od od; / : = 0; for to n / := / + 6[z] * p[i] od; p r in t y , for i to n p[i] := od; for i to n for j to n if O i then p[i] := p[i] * (xo a[j])/(a[] a[j])fi od od; p r in t (p)', f := 0; for i to n / := / + b[i] * p[i] od; evalf(f) end Bi 3.4.1 Hm s y = f ( x ) c cho bng bng sau X f i x i) -1 1 Tớnh f ( ) [> dt ns([l, 0,1], [1/3,1, 3], 1/2); x(x - !) - (x + iXđ - 1) + 3{\x + \ ) x 71 1.833333333 Vy f { ~ ) = 1,833333333 Bi 3.4.2 Hm f ( x ) c cho bng bng sau X -3 -2 f i xi) 58 19 -1 Tỡm a thc ni suy Lagrange caýx)? [> d t n s { [- 3, - ,1 ,3 ] , [58,19,4, - ] , 2); 12 ( - - 2){x - l ) ( z - 3) + ^ { x + 3)(x - l ) ( z - 3) ~ ( \ x + 4)0= + 2)(x - 3) - ( g Z + ) ix + 2)0e - 1) [- - - - ] 3J 6.333333333 Vy f ( x ) = 6.333333333 Bi 3.4.3 Hm s y = f ( x ) c cho bng bng sau x0 h 2/2 2/0 yi 1 2/3 27 2/4 64 2/5 125 Tớnh / ( 6) [> dtns{[0,1, 2, ,4 ,5 ], [0 ,1 ,8, 27,64,125], 6); x x 2)(a; 3){x 4)(a; ) -x ( x l)(a; 3)(x 4)(a: 5) + ^x{x l) ( x 2)(x 4){x 5) - x ( x l)(x 2)(x 3)(x 5) 25 + - ~ x (x - - 2)(z - 3)(x - 4) [ - ,6 ,- ,2 ,- ,6 ] 216 72 3.4.2 Da thỹrc nụi suy Newton [> dtnewton := proc(xo,h, x, y [> local t,j,i, D\ :: list) [> print(y)] [> n := nops{y)\print{n)\m := n [> D := array(l m)-,print(D)-, [> for i to m := y[i + 1]- y[i\] [> od;print(D); [> D[i] [> /:= ằ [!] + [> for j from to n [> for i to n j + [> D[i\ := D[i + 1\ - D[i]-, [> od;print(D); [ > t : = t * ( t - j + 2)/(j - 1); [>/:=/ + ** -D[l]ợod;print(f); [> t := (x xo)/h\ tl := i; [> for i to m [> D[i\ := y[*+ 1]- y\i]\ [> od; [> f = y[l] + t * D[l]\ [> for j from to n [> for i to n j + [> D[i\ := D[i + 1] - D[i\; [> od; 1\print{m) 73 [> t - j + 2)/{j - 1); [> / := f + t * D [ 1]; [> od; [> evalf(f); [> end ; := proc(xo, /i,a:,y ::zôsi) local t,j, i, f, n ,m, 1,Z); print(y); n := nops(y); dtnewton print{n)\ m := n 1; print{m)\ := array(l-.m); print(D) ; for ito m Z)[ợ] := y[z+ 1] y[ô] od; print(D); /:= d tn e w to n (0 ,1 ,6, [0 ,1 ,8 ,2 ,6 ,1 ]); [0 ,1 ,8 ,2 ,6 ,1 ] [D [1],D [2],D [3],D [4], [5]] [1.7.19.37.61] [6.12.18.24.61] [6 ,6 ,6 ,2 ,6 ] [0 ,0 ,6 ,2 ,6 ] 75 [0,0,6,24,61] z t + 3t{t - ) + t( t - - ) - 2) 216 Vy / ( 6) = 216 Bi 3.4.5 Hm s y = f ( x ) dwc cho bng bng sau Xo h 10 2/0 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 1002 10000 2013 10000 8054 10000 4108 10000 5211 10000 Tớnh / ( ^r) \10(r [> d ớn e ô ;ớũ n (0 ,1 /1 ,1 /1 0 , [0,1002/10000, 2013/10000,8054/10000, 4108/10000,5211/10000]); 501 2013 1609 1027 5211 ^ 5ếếế 10000 2ếếế 2500 1000(r [D[},D[2},D[3},D[4},D[5]} 501 1011 377 3937 1103 5ếếế 10000 625 _ 10000 ừ tr 5021 9969 63 1103 ^10000 10000 ~ 10000 125 10000^ 1253 1499 15009 63 1103 2500 ~ 0 10000 125 10000^ 10001 29999 15009 63 1103 5000 10000 10000 125 10000^ 50001 29999 15009 63 1103 ^10000 10000 10000 125 10000^ 76 501 , 5000 20000 v 1253 15000 v 1W1 _ n v ' 1) - ) ( t - 1) ( t - 1) - 2) - 3) + } 10001 , W1 , 120000 v A2 v - )(li(t - ) - - l)(lt(i-l)-2 )-3 )(^ i(ớ-l)(lt(t-l)-2 )(it(t-l)(Ăi(ớ-l)-2 )-3 )-4 ) 0.00941915520 14 Võy / ( ) = 0.00941915520 ' * v10(r 77 Kt lun Trờn c s tng hp kin thc t nhiu ngun ti liu khỏc nhau, lun ó t c mt s kt qu sau: H thng mt cỏch c bn nht v cỏc cụng thc ni suy: Lagrange, Newton, Taylor, Hermite Trong phn ng dng, lun ó SU tm, h thng v phõn loi c mt s dng bi toỏn s dng cụng thc ni suy, ong ú cú nhiu bi toỏn c s dng cỏc k thi hc sinh gii cp quc gia v quc t Cụng thc ni suy cú th ng dng vo ỏnh giỏ bt ng thc, ỏnh giỏ tng giao th ca cỏc hm s, c lng cỏc dóy s, tỡm cụng thc tng quỏt ca dóy s, Tuy nhiờn, khuụn kh ca lun chỳng tụi cha cú iu kin nghiờn cu sõu hn, rng hn v nhng ng dng ca cỏc cụng thc ni suy Tỏc gi lun s tip tc nghiờn cu, b sung thng xuyờn ni dung lun ngy cng cp nht v mong mun lun s tr thnh ti liu cú ớch cho vic bi dng hc sinh gii bc Trung hc c s v Trung hc ph thụng [...]... vi X = minh T nh lý trờn ta cú: Nu chn cỏc mc ni suy chớnh l cỏc nghim ca a thc Chebyshev thỡ hm s U)n + 1 (x) = T n + 1 (ổ) lm cc tiu phim hm ip v c lng tt nht ca phộp ni suy l R nn \(s)J = IIp (x) (a:)| V ) - J/ U I -< 7^ 2.3 M I ^ 2" Cụng thc ni suy Newton a thc ni suy Lagrange cú u im n gin, d lp ỡnh, song cng cú nhc im ln l mi ln thờm mt mc ni suy mi ta li phi tớnh toỏn li t u m khụng s dng c... ta cú + + -p-* - 1 ) (ớ - ra + 1 ) + t h ) = y0 + (2.4) Cụng thc (2.4) l a thc ni suy Newton tin a thc ni suy Newton lựi Gi s rng, cỏc mc ni suy vn tha món nh phn trờn a thc ni suy Newton lựi p (x) c tỡm cú dng, p (x) = a 0+ i (x - x n)+ a 2 {x - x n) (:X - x n_ i)+ + a n (x - x n) [x - Xi) Tng t, nh phộp ni suy Newton tin, thay ln lt X bng x n, Xn- 1 , X i ta thu c Vn = p {xn) = ô0 _ D/ \ _ ... , j = l , n ) , i 1, i = j n vi Vx Ê X , ta cú X L (x) X; i=l 2) Bi toỏn (2A I cú li gii duy nht X* = E 2.2 Cụng thc ni suy Lagrange 2.2.1 C ụng th c ni suy Lagrange Vi X Gi s, hm s f ( x ) c cho bi bng (2.1) Cỏc giỏ tr X0, X , , x n c gi l cỏc mc ni suy xõy dng cụng thc ni suy Lagrange ca hm f ( x ) trờn on [xo, x n], trc ht ta xõy dng cỏc a thc bc n sao cho ti cỏc im x , X i , , x n cỏc a thc... cú: P ( x ) = f (x0) + (x - Xo) / (x0, Xi) + (x - Xo) (x - Xi) / (x0, Xi, x 2) + + (x - Xo) (x - Xx) (x - x n_ I ) / (x0, X, , x n) (2.3) Cụng thc (2.3) c thc ni suy N e w to n vi mc ni suy khụng cỏch u 2.3.2 a th c ni suy cú m c ni suy cỏch u n h a u Sai phõn nh ngha 2.3.2 Gi s y = / (x) l hm s xỏc nh trờn tp X , h l hng s ln hn 0 Ký hiu A x = h l s gia ca i s Biu thc A / (x) = / (x + h) f (x)... 7T 77T 1,106.10-9 2.2.3 M c ni suy Khi c lng sai s ca a thc ni suy, ta cú \P(x) - f ( x ) \ < vi Lỹn + 1 (x) = n (x - M (n + 1)! K+1 (x)| Xi ) i= 0 Trong mc ny ta s chn cỏc mc ni suy Xi [a; 6] m ax \ớvn+i (x)| l xe[a;b] nh nht 19 T gi thit f ( x ) xỏc nh trờn on [a; 6], bng mt phộp i bin t = - [2x (a + 6)] b a thỡ on [a; 6] c chuyn thnh [1 ; 1 ] vi cỏc mc ni suy thuc on a thc Chebyshev Xột hm... lựi, cỏc cụng thc ú mang c trng mt phớa Trong nhiu ng hp cn tớnh X gia bng, cụng thc mt phớa (tin hoc lựi) s b hn ch (nhiu mc ni suy khụng c s dng tớnh) Vỡ vy ta a ra cụng thc s dng c hai phớa v gi l cỏc cụng thc ni suy trung tõm 2.4.1 Cụng thc ni suy Gauss I a thc ni suy tỡm di dng "tin, lựi" p (X) = 0 + i (x - Xo) + 2 (x - Xo) (X - X) + + a2 n - 1 (x - Ê_(_!)) (x - x_i) (x - Xq) (x - x n_i)... + + ( - l ) n_1 + o (xn) Tỡ/ 15 Chng 2 Phộp ni suy 2.1 Bi toỏn ni suy tng quỏt Gi s hm s y = f ( x ) c cho bi bng (2.1) X Xo X x2 Xn yo yi V2 yn y Bng 2.1 hoc bi mt biu thc khỏ phc tp Ta phi tớnh giỏ tr hoc o hm ca hm s ti mt im bt kỡ s gp nhiu khú khn Vỡ vy, ta s tỡm mt hm d tớnh toỏn v cú sai s vi f ( x ) l nh nht Phộp tỡm mt hm nh vy gi l phộp ni suy Trong lp cỏc hm s liờn tc v kh vi thỡ a thc... phng phỏp khỏc khc phc hn ch ca Lagrange, cỏc d liu ó cú trc khi b sung mc mi c s dng li, gim i khi lng tớnh toỏn 2.3.1 a th c ni suy cú m c ni suy khụng cỏch u n h a u T sai phõn Xột hm s y = f (x) ; X [a, b] nh ngha 2.3.1 T bng s yi = / (X) i = 0, n trong ú cỏc mc ni suy l: a = x 0 < Xi < x 2 < < x n = b Ta gi , ^ _ f (Xi) - / (X i-i) _ / [Xi - uX ) = -, i =1, 71 "t'i X I 21 l sai... 1; X \ T sai phõn ca t sai phõn cp n-1 l t sai phõn cp n v ký hiu l t, _ J ^ 0, X\. _ A_ f { x u ,xn) - / (a:0,a:i, x n) x n 3*0 Ta thy t sai phõn cp mt cn hai mc ni suy, t sai phõn cp hai cn ba mc ni suy, t sai phõn cp n cn n + 1 mc ni suy Tớnh cht 2.3.1 Tớnh cht ca t sai phõn 1) T sai phõn cp k ca tng hai hm s f ( x ) v g(x) bng tng cỏc t sai phõn cựng cp (y h) (Ê*>t'i+1 > )X+ ) f {x, X--1 J 53?j-|_fc)... n) 23 a thc ni suy Newton trờn mc khụng cỏch u T nh ngha t sai phõn, suy ra P ( x ) = p (x0) + (x - Xo) p (x, Xo) p (x, Xo) = P ( x 0, Xi) + (x - Xi) p (x, Xo, Xi) p (x, Xo, Xi) = p (x0, Xi, x 2) + (x - x 2) p (x, Xo, Xi, x 2) P ( x , x 0, , x n_i) = P ( x 0,Xi, ,Xn) + (x - xn) P ( x , x 0, x i , , x n) = p (x0,Xi, ,xn) + (x - x n) 0 = p (x0,Xi, ,xn) Khi ú, nu p (x) l a thc ni suy ca hm / (