Luận văn thạc sỹ một số vấn đề về bài toán nội suy và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THÚY HƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn : TS NGUYỄN VĂN VŨ BÌNH ĐỊNH - 2021 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép tính vi phân hàm biến 1.2 Phép tính tích phân hàm biến 1.3 Đa thức vài tính chất sơ cấp 1.4 Một số lớp đa thức đặc biệt Một số toán nội suy cổ điển 2.1 Khai triển Taylor số toán nội suy Taylor 2.1.1 Bài toán nội suy Taylor 2.1.2 Một số minh họa 10 2.2 Khai triển Lagrange toán nội suy Lagrange 11 2.3 Nội suy Newton 14 2.3.1 Một số minh họa 15 Đa thức nội suy hàm đánh giá sai số 16 2.4 Nội suy Lidstone 18 3.1 Tổng quan 18 3.2 Đa thức Lidstone 19 3.3 Biểu diễn đa thức nội suy 36 3.4 Biểu diễn sai số 39 3.5 Ước lượng sai số 41 ii Ứng dụng toán nội suy giải toán THPT 43 Kết luận 55 Mở đầu Trong nhiều tình định, ta cần phải xác định giá trị (gần đúng) hàm số f (x) họ điểm cho trước, với điều kiện ban đầu phù hợp (chẳng hạn, biết số giá trị rời rạc hàm số đạo hàm đến cấp số điểm x1 , x2 , , xk ) Ngay biểu thức xác định hàm số cho tường minh, việc tính tốn xác giá trị hàm theo công thức cơng việc tương đối phức tạp Bởi vậy, việc tìm kiếm cơng cụ tính tốn xấp xỉ có hiệu vấn đề có nhiều ý nghĩa Nghiên cứu phép xấp xỉ nội dung toán nội suy, trường hợp riêng lý thuyết xấp xỉ Giải tích số Các toán nội suy cổ điển đời từ sớm đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực, phần quan trọng đại số giải tích Tốn học Chúng khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong chương trình tốn phổ thơng, lý thuyết nội suy chưa đề cập đầy đủ, ta bắt gặp ứng dụng sơ cấp (thường ẩn sau định lý, toán liên hệ với đa thức) Trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp, toán liên quan đến toán nội suy hay xuất dạng toán xác định đa thức; toán khai triển, đồng thức; ước lượng tính giá trị tổng, tích; toán xác định giới hạn biểu thức cho trước; Đây thường tốn khó, nhiều đòi hỏi kỹ thuật phức tạp Trong tình vậy, việc vận dụng lý thuyết tốn nội suy góc độ tốn phổ thơng cần thiết, chí cho lời giải gọn gàng Luận văn hướng đến mục tiêu tiếp cận vấn đề Mục tiêu chủ yếu đề tài nhằm tiếp cận số vấn đề liên quan đến toán nội suy đa thức vận dụng chúng vào số tốn có nội dung liên quan chương trình bậc trung học phổ thơng Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo luận văn gồm có bốn chương Chương 1: Một số kiến thức sở, trình bày số kiến thức phép tính vi phân hàm biến; đa thức vài tính chất sơ cấp, lớp đa thức đa thức Euler, đa thức Bernoulli Chương 2: Một số toán nội suy cổ điển, khảo sát số lớp toán nội suy cổ điển như: khai triển Taylor, khai triển Lagrange, nội suy Newton; đồng thời trình bày sơ lý thuyết ước lượng sai số toán nội suy Chương 3: Nội suy Lidstone, dành cho việc nghiên cứu số vấn đề đa thức Lidstone, biểu diễn đa thức nội suy Lidstone biểu diễn sai số tương ứng Chương 4: Ứng dụng, giới thiệu số toán bậc trung học phổ thơng mà ứng dụng đa thức nội suy Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy hướng dẫn Nguyễn Văn Vũ, Trường Đại học Quy Nhơn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy giáo giảng dạy lớp Cao học Phương pháp toán sơ cấp Khóa 22 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Cuối cùng, tác giả cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nỗ lực luận văn khơng tránh khỏi có chỗ thiếu sót hạn chế định Tác giả mong nhận góp ý q Thầy Cơ bạn bè đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương hệ thống hóa số kiến thức chuẩn bị cần thiết sau Chúng tham khảo từ tài liệu [11], [14], [1], [16] Do điều kiện có hạn, tác giả tập trung đề cập đến khái niệm quan trọng nhất, phần lại coi quen thuộc, tìm thấy từ tài liệu dẫn 1.1 Phép tính vi phân hàm biến Trong nhiều nội dung sau luận văn thường xuyên đề cập đến cơng cụ từ giải tích hàm biến Mục nhắc lại vài đối tượng thường xuất lập luận tính tốn Với dãy số thực (an ) cho trước người ta nói a giới hạn dãy (hay dãy (an ) hội tụ a) ∀ϵ > 0, ∃n0 ∈ N cho: n ≥ n0 ⇒ an − a < ϵ Trong trường hợp ngược lại dãy (an ) phân kỳ Về mặt ký hiệu, giống thơng lệ giáo trình giải tích, chúng tơi viết limn→∞ an = a (hay an → a) kiện dãy (an ) hội tụ a Bây giờ, xét hàm số f : D → R với D tập R a điểm tụ tập D Số L gọi giới hạn f x dần đến a ∀(xn ) ⊂ D, xn ̸= a, xn → a ⇒ f (xn ) → L sup   f (x) = π 2π ; x∈ sin x = sup   π 2π ; Vậy theo lý thuyết      π π π π f (x) − P (x) ≤