Khảo sát tính liên tục trên tôpô zariski của các hàm số trong toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ THỊ HỒI LIÊN KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TƠPƠ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ TRONG TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ THỊ HỒI LIÊN KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TƠPƠ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ TRONG TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành: Hình học & Tơpơ Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HUỲNH PHÁN NGHỆ AN - 2014 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Huỳnh Phán, người nhiệt tình bước hướng dẫn tơi thực việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn đến việc chỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Bộ mơn Hình Học, Khoa Tốn Trường Đại học Vinh giúp tơi hồn thành tất học phần Khóa học, nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập hữu ích; giúp tơi hồn thành học trình, đặc biệt luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn quan tâm lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Nghệ An, Ban Giám Hiệu trường PTTH Quỳnh Lưu 2, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả Hồ Thị Hoài Liên MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp Kế cấu luận văn CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mêtric, khơng gian tơpơ tính liên tục ánh xạ 1.1.1 Không gian mêtric, không gian tôpô tôpô 1.1.2 Ánh xạ liên tục 1.1.3 Các hàm sơ cấp 1.1.4 Tính liên tục hàm số sơ cấp 1.2 Tôpô Zariski 1.2.1 Vành đa thức 1.2.2 Tôpô Zariski 10 1.2.3 Iđêan 16 1.2.4 Vành tọa độ iđêan tập hợp 19 1.2.5 Cấu xạ tôpô Zariski 20 CHƢƠNG II HÀM LIÊN TỤC ĐỐI VỚI TÔPÔ ZARISKI 26 2.1 Tính liên tục hàm sơ cấp 26 2.1.1 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm lũy thừa y =xa số thực) 27 2.1.2 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski hàm số mũ 31 2.1.3 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số lơgarít: 32 2.1.4 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski hàm số lượng giác 32 2.1.5 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số lượng giác ngược 33 2.1.6 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số hypebơlníc 35 2.2 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số thường gặp 36 2.2.1 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số đa thức 37 2.2.2 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số phân thức 37 2.2.3 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski hàm số thức 38 2.3 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số khác 38 2.4 Tính liên tục hàm số có đồ thị hình hình học phổ thơng 41 2.4.1 Xét tính liên tục hàm số có đồ thị hình mặt phẳng tọa độ Oxy (theo tôpô thông thường tôpô Zariski) 42 2.4.2 Xét tính liên tục hàm số có đồ thị hình khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đối với tôpô thông thường tôpô Zariski) 43 KẾT LUẬN 45 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm hàm số liên tục khái niệm quan trọng chương trình tốn phổ thơng Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh phương trình có nghiệm khoảng đó, ứng dụng tính liên tục hàm số để tính đạo hàm, tích phân ứng dụng chúng đời sống, vật lý, hóa học Khái niệm hàm số liên tục tốn phổ thơng nghiên cứu với tơpơ thơng thường ℝn, tôpô mà tập ℝngọi tập mở hợp tùy ý hình cầu mở ℝn Khi n = 1, ℝ tập số thực, tôpô mà tập ℝ gọi tập mở hợp tùy ý khoảng mở ℝ Ta biết tập hợp cho trước có nhiều tơpơ Nếu tập cho nhiều tơpơ khác nhau, khơng gian tơpơ khác Trên ℝn bên cạnh tơpơ thơng thường cịn có nhiều tôpô khác tôpô rời rạc, tôpô Zairski Tôpô Zairski tôpô mà tập mở phần bù tập nghiệm hệ phương trình đa thức n biến Mỗi tập nghiệm họ đa thức gọi tập đại số Zariski Ta nhận thấy nhiều hình hình học phổ thơng tập đại số Zariski đường thẳng, mặt phẳng, đường trịn, hypebol, parabol, elip… Tơpơ Zairski cho phép nghiên cứu tính chất hình học thơng qua cơng cụ đại số nhóm, vành, idean Như tôpô Zariski trường số thực ℝ, mặt phẳng ℝ2 khơng gian ℝ3 có mặt cách tự nhiên với tơpơ thơng thường.Vì việc nghiên cứu tính liên tục hàm ℝ, ℝ2, ℝ3 tơpơ cần thiết Chính vậy, tơi muốn nghiên cứu tính liên tục hàm số chương trính tốn phổ thơng tơpơ Zairski, so sánh với tính liên tục hàm số chương trình tốn phổ thơng nên tơi chọn đề tài là: “Khảo sát tính liên tục tơpơ Zariski hàm số tốn phổ thơng” Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tính liên tục tơpơ Zariski hàm số chương trình tốn phổ thơng Phạm vi nghiên cứu nghiên cứu tính liên tục hàm số tốn phơ thơng theo tơpơ Zariski so sánh với tôpô thông thường ℝ, ℝ2, ℝ3 Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Chúng nghiên cứu điểm giống điểm khác tính liên tục hàm số tốn phổ thơng tơpơ Zariski tôpô thông thường Phƣơng pháp nghiên cứu Chủ yếu phương pháp nghiên cứu lý thuyết minh họa qua ví dụ Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái qt hóa, tổng hợp… đánh giá tính liên tục hàm số tốn phổ thơng Dự kiến đóng góp Tập hợp cách có hệ thống kiến thức phục vụ cho luận văn Nêu hệ thống hàm số tốn phổ thơng liên tục tơpơ Zairski Bên cạnh chúng tơi nhiều hàm số toán phổ thông liên tục tôpô thông thường không liên tục tôpô Zariski Kế cấu luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn kết cấu thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tính liên tục tôpô Zariski hàm số tốn phổ thơng CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức tôpô, tôpô thông thường, tính liên tục tơpơ thơng thường Tập đại số, iđêan cấu xạ tôpô Zariski Nội dung làm sơ sở cho chương sau 1.1 Không gian mêtric, khơng gian tơpơ tính liên tục ánh xạ 1.1.1 Không gian mêtric, không gian tôpô tôpô 1.1.1.1 Định nghĩa Cho X   tập Một mêtric X hàm d: X x X →ℝ thỏa mãn tính chất sau: 1) d(x, y)  ; d(x, y) =  x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) ; 3) d(x, y)  d(x, z)+ d(z, y) với x, y, z  X 1.1.1.2 Định nghĩa Không gian mêtric X = (X, d) tập X với mêtric d Trường ℝ khơng gian mêtric với mêtric d (x, y) = |x-y| 1.1.1.3 Ví dụ Hàm số d : ℝn x ℝn → ℝ n d:= (x  y ) i 1 i i , x = (x1, x2, …,xn ) ; y = (y1, y2, …,yn ) mêtric ℝn Cho X không gian mêtric Với a  X số  > ta gọi: B(a,  ) ={x  X: d(x, a) <  }  -lân cận điểm a X gọi mở M =  a  M, tồn  Tập M cho B(a,  ) M 1.1.1.4 Định nghĩa Không gian tơpơ cặp (X, ) X tập hợp, họ tập X thoả mãn đồng thời điều kiện sau: 1) X    ; 2) U , U  3) Ut   U1  U  ( t  T)  ⋃ Mỗi phần tử  gọi tập mở X; Họ gọi tôpô X Mổi phần tử x X gọi điểm Không gian tôpô ký hiệu (X, ) Hoặc ngắn gọn X Khi kí hiệu khơng gian tơpơ X ta ngầm hiểu X trang bị tơpơ 1.1.1.5 Nhận xét Họ tập mở không gian mêtric nói Ví dụ 1.1.1.3 lập nên tơpơ Nên không gian mêtric không gian tôpô, tôpô gọi tơpơ sinh mêtric 1.1.1.6 Nhận xét 1) X  tập mở; 2) Giao hai tập mở mở; 3) Hợp họ tùy ý tập mở mở 1.1.1.7 Ví dụ họ tập tập tập số thực ℝ cho A A hợp họ tập có dạng: (a, b), (-  , c), (d, +  ) (a, b, c, d ℝ, a < b) Khi đó, (ℝ, ) khơng gian tơpơ 1.1.1.8 Nhận xét Giao hữu hạn tập mở mở 1.1.1.9 Định nghĩa Tập V cho x G X gọi lân cận x tồn tập mở G X V 1.1.1.10 Nhận xét G tập mở lân cận điểm thuộc 1.1.1.11 Định nghĩa Họ tất lân cận điểm x gọi hệ lân cận x, ký hiệu Vx 1.1.1.12 Định nghĩa Họ Bx  Vx gọi sở lân cận điểm x  VVx,  B  Bx cho x  B  V 1.1.1.13 Định nghĩa Cơ sở tôpô không gian tôpô X họ tập X mà mổi tập mở hợp tùy ý phần tử họ 1.1.1.14 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ): tập F  X gọi tập đóng, phần bù F (ký hiệu X\F) mở Ta có kết hiển nhiên suy từ định nghĩa tôpô 1.1.1.15 Định lý Họ tất tập đóng khơng gian tơpơ X có tính chất: 1) X  tập đóng; 2) Họ tập đóng đóng kín với phép giao tùy ý, nghĩa giao tùy ý tập đóng tập đóng 3) Họ tập đóng đóng kín với phép hợp hữu hạn, nghĩa hợp hữu hạn tập đóng tập đóng 32 2.1.3 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số lơgarít: 2.1.3.1 Mệnh đề : 0, Hàm số →ℝ (a số thực dương a liên tục theo tôpô Zariski (0, 1) Chứng minh Cho f(x) = Ta có: ; Xét f-1(ai) ={x 0, f-1(H) = ⋃ ℝ (ai) tập đóng Zariski 0, ; liên tục 0, Vậy f = a = ai} = | f(x) = theo tơpơ Zariski ngược ảnh tập đóng Zariski ℝ tập đóng Zariski liên tục 0, Vậy y = theo tôpô Zariski (đpcm) 2.1.4 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số lượng giác 2.1.1.1 Mệnh đề Hàm số sinx: ℝ → ℝ không liên tục theo tôpô Zariski ℝ Chứng minh Cho f(x) = sinx Ta có : f-1({1}) = {x ℝ | sinx =1 } = {2k| k } tập vô hạn nên tập đại số ℝ Trong đó, tập số {1} lại đóng tơpơ Zariski Cho nên hàm sin không liên tục tôpô Zariski ngược ảnh hàm sin tập đóng Zariski khơng phải tập đóng Zariski Rõ ràng hàm f(x) = sinx xác định ℝ nên liên tục ℝ tôpô thông thường 33 Hay f(x) = sinx liên tục ℝ theo tôpô thông thường không liên tục ℝ theo tôpô Zariski (đpcm) Chứng minh tương tự với hàm số f(x) = sinx, ta có hàm số f(x) = cosx; f(x) = tanx; f(x) = cotx không liên tục tập xác định chúng theo tôpô Zariski liên tục tập xác định chúng theo tôpô thông thường Vậy y = sinx; y = cosx liên tục ℝ theo tôpô thông thường không liên tục ℝ theo tôpô Zariski Hàm y = tanx liên tục khoảng ( , ), theo tôpô thông thường không liên tục khoảng ( , ), theo tôpô Zariski Hàm y = cotx liên tục khoảng , , khoảng , Z theo tôpô thông thường không liên tục , Z theo tôpô Zariski 2.1.5 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số lượng giác ngược 2.1.5.1 Mệnh đề Hàm số arcsinx: [ , ]→ℝ arcsinx liên tục [ , ] theo tôpô Zariski Chứng minh c Cho f(x) = ; Xét f-1(ai) = {x [ , ] | f(x) = f-1(H) = ⋃ Vậy f(x) = = ai}={ sin ai} (ai) tập đóng Zariski [ ℝ c c , ]; liên tục [ , ] theo tôpô Zariski ngược ảnh tập ℝ tập đóng Zariski 2.1.5.2 Mệnh đề Hàm số arccosx: [ , ]→ℝ arccosx liên tục [ , ] theo tôpô Zariski 34 Chứng minh Chứng minh tương tự hàm y = arcsinx, ta có y = arccosx liên tục [ , ] theo tôpô Zariski (đpcm) 2.1.5.3 Mệnh đề Hàm số arctanx: (   , ) →ℝ 2 arctanx liên tục (   , ) theo tôpô Zariski 2 Chứng minh Cho f(x) = c ; Xét f-1(ai) ={x (   , ) | f(x) = 2 f-1(H) =⋃ ℝ Vậy f(x) = = ai}={ tang ai} (ai) tập đóng Zariski ( c c   , ); 2 liên tục (   , ) theo tơpơ Zariski ngược 2 ảnh tập đóng Zariski ℝ tập đóng Zariski Vậy f(x) = arctanx liên tục (   , ) theo tôpô Zariski (đpcm) 2 2.1.5.4 Mệnh đề 2.13 Hàm số arccotx : (0, ) → ℝ arccotx liên tục (0,  ) theo tôpô Zariski 35 Chứng minh c Chứng minh tương tự hàm số f(x) = , ta có f(x) = arccotx liên tục (0,  ) theo tôpô Zariski (đpcm) 2.1.6 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số hypebơlníc 2.1.6.1 Mệnh đề Hàm số shx: ℝ → ℝ (hàm số shx gọi hàm sin hyperbolic) liên tục ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh ; Xét f-1(ai) ={x ℝ | f(x) = nghiệm dương phương trình f-1(H) = ⋃ ℝ = ai} = { lnx0} với x0 = (ai) tập đóng Zariski ℝ Vậy f(x) = ; liên tục trên ℝ theo tơpơ Zariski ngược ảnh tập đóng Zariski ℝ tập đóng Zariski Vậy f(x) = liên tục ℝ theo tôpô Zariski tôpô thông thường (đpcm) 2.1.6.2 Mệnh đề Hàm số chx : ℝ → ℝ (hàm số chx gọi hàm cosin hyperbolic) liên tục ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh Chứng minh tương tự hàm số shx, ta có hàm chx = tục ℝ theo tôpô Zariski (đpcm) liên 36 2.1.6.3 Mệnh đề Hàm số thx : ℝ → ℝ liên tục ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh Chứng minh tương tự hàm số chx, ta có thx = liên tục ℝ theo tơpơ Zariski 2.1.6.4 Mệnh đề Hàm số f: ℝ → ℝ liên tục ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh Chứng minh tương tự hàm số chx, hàm cthx = liên tục ℝ theo tơpơ Zariski Tóm lại: 1> f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tanx, f(x) = cotx không liên tục tập xác định chúng theo tôpô Zariski liên tục tập xác định chúng theo tôpô thông thường 2> Các hàm sơ cấp lại liên tục tập xác định chúng theo tôpô Zariski tôpô thơng thường Do thay xét tính liên tục hàm số tập xác định hàm số theo tơpơ thơng thường ta cần xét tính liên tục hàm số theo tơpơ Zariski (chỉ cần xét tính liên tục hàm số tập hữu hạn điểm theo tôpô Zariski) 2.2 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số thƣờng gặp Trong mục này, cách sử dụng kết mục trước ta 37 khảo sát tính liên tục hàm số theo tơpơ Zariski hàm số thường gặp 2.2.1 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số đa thức Mệnh đề 2.2.1.1 Hàm số y: ℝ → ℝ y = f(x): (f(x) hàm đa thức) liên tục ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh Ta biết y = f(x):(f(x) hàm đa thức) hàm liên tục ℝ theo tôpô Zariski (đpcm) Mệnh đề : Cho f(x) hàm đa thức biến 2.2.1.2 Thế hàm số g: D → ℝ , y= D theo tôpô Zariski Ở D := {x ℝ| f(x) số nguyên) liên tục 0} \ {b1, b2, , bk } ̅̅̅̅̅ , ) nghiệm phương trình f(x) = 0) Chứng minh f(x), liên tục ℝ theo tơpơ Zariski Vì hàm số hàm liên tục ℝ theo tôpô Zariski Và hàm số liên tục D theo tôpô Zariski (đpcm) Nên hàm số hợp y = 2.2.2 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski hàm số phân thức : f(x), g(x) hàm đa thức g(x) y= Mệnh đề 2.2.1.1 →ℝ Hàm số y: : liên tục D theo tôpô Zariski (D := {x ℝ| y= g(x) g(x)=0) 0} ℝ { } ; với ̅̅̅̅̅ , ) nghiệm phương trình 38 Chứng minh ; Xét y-1(ai) = {x D | y(x) = = f(x) = ai.g(x) f(x)- ai.g(x) = } Do f(x), g(x) hàm đa thức nên f(x)- ai.g(x) hàm đa thức y-1(H) = ⋃ ℝ (ai) tập đóng Zariski D hàm liên tục D theo tôpô Zariski (đpcm) Vậy y = 2.2.3 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski hàm số thức 2.2.3.1 Mệnh đề → ℝ (D : Hàm số y: ℝ| f(x) > ) y= √ : f(x) hàm đa thức số nguyên, f(x) hàm đa thức) liên tục D theo tơpơ Zariski Chứng minh Ta có y = f(x) hàm đa thức liên tục ℝ y= √ số nguyên) hàm liên tục (0, + ) theo tơpơ Zariski Do hàm số hợp y = √ liên tục D theo tôpô Zariski 2.3 Khảo sát tính liên tục theo tơpơ Zariski hàm số khác 2.3.1 Ví dụ Hàm số y: ℝ → ℝ y={ 0 Không liên tục ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh y-1(0) ={x | y (x) = ≥ } 39 Vậy y-1(0) khơng tập đóng theo tơpơ Zariski nên hàm số xét không liên tục tôpô Zariski tập xác định ℝ Ta có: = = f(0) hàm số liên tục x = Từ ta suy → hàm số liên tục ℝ tôpô thông thường Vậy y = { 0 hàm liên tục ℝ tôpô thông thường không liên tục ℝ tơpơ Zariski (đpcm) 2.3.2 Ví dụ Hàm số y: ℝ → ℝ liên tục ℝ theo tôpô Zariski y={ Chứng minh ; -1 y (ai) ={x ℝ | y(x) = y-1(H) =⋃ ℝ { (ai) tập đóng Zariski ℝ; Hàm số liên tục ℝ theo tơpơ Zariski Do hàm số liên tục ℝ theo tôpô thông thường hàm liên tục ℝ theo tôpô Zariski Vậy y = { (đpcm) 2.3.3 Ví dụ Hàm số y: ℝ → ℝ liên tục tôpô Zariski y={ √ Chứng minh ; 40 y-1(ai) ={x ℝ | y(x) = y-1(H) =⋃ ℝ { (ai) tập đóng Zariski ℝ; Hàm số liên tục ℝ theo tôpô Zariski hàm liên tục ℝ theo tôpô Zariski Vậy y = { √ 2.3.4 Ví dụ Hàm số y: ℝ → ℝ không liên tục ℝ y={ theo tôpô Zariski Chứng minh f-1({1}) = {x  ℝ| sinx =1} = {2k| k } tập vô hạn nên tập đại số ℝ Trong đó, tập số {1} lại đóng tơpơ Zariski Cho nên hàm số không liên tục tôpô Zariski ngược ảnh hàm sin tập đóng Zariski khơng phải tập đóng Zariski Ta có: → → nên → = f(0) nên hàm số liên tục x = tôpô thông thường Từ ta suy hàm số liên tục ℝ tôpô thông thường liên tục ℝ theo tôpô thông thường Hay f(x) = { không liên tục theo tơpơ Zariski (đpcm) 2.3.5 Ví dụ Hàm số y: ℝ → ℝ y={ liên tục ℝ theo tôpô Zariski 41 Chứng minh ; y-1(ai) ={x ℝ | y(x) = y-1(H) =⋃ ℝ { cc (ai) tập đóng Zariski ℝ; Hàm số liên tục ℝ theo tôpô Zariski Vậy y = { hàm liên tục ℝ theo tơpơ Zariski c Tóm lại: * Hàm số y = sinx ; y = cosx không liên tục theo tôpô Zariski ℝ liên tục khoảng (a,b) ; [a,b) ; (a,b]; [a,b]; a< b , a, b số thực * Hàm số y = tanx; không liên tục theo tơpơ Zariski tập xác định liên tục khoảng (a+k , b+k ); [a+k , b+k ); (a+k , b+k ]; [a+k , b+k ]; (