Khảo sát tính liên tục trên tôpô zariski của các hàm số trong toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ THỊ HOÀI LIÊN KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ TRONG TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ THỊ HOÀI LIÊN KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Hình học & Tôpô Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN HUỲNH PHÁN NGHỆ AN - 2014 LỜI CẢM ƠN 2222 2 3 Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS. TS. Nguyễn Huỳnh Phán, người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, Khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp. Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An, Ban Giám Hiệu trường PTTH Quỳnh Lưu 2, cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả Hồ Thị Hoài Liên MỤC LỤC Trang 3333 3 4 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm hàm số liên tục là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng như chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng nào đó, ứng dụng tính liên tục của hàm số để tính đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng trong đời sống, trong vật lý, trong hóa học Khái niệm hàm số liên tục trong toán phổ thông được nghiên cứu với tôpô thông thường trên ℝ n , là tôpô mà mỗi tập con của ℝ n gọi là tập mở nếu nó là hợp tùy ý các hình cầu mở trong ℝ n . Khi n = 1, ℝ là tập số thực, là tôpô mà mỗi tập con của ℝ gọi là tập mở nếu nó là hợp tùy ý các khoảng mở trong ℝ. Ta đã biết một tập hợp cho trước có thể có nhiều tôpô trên đó. Nếu như một tập được cho nhiều tôpô khác nhau, nó là những không gian tôpô khác nhau. Trên ℝ n bên cạnh tôpô thông thường còn có nhiều tôpô khác như tôpô rời rạc, tôpô Zairski. Tôpô Zairski là tôpô mà các tập mở là phần bù của tập nghiệm của một hệ các phương trình đa thức n biến. Mỗi tập nghiệm của một họ các đa thức như vậy gọi là tập đại số Zariski. Ta nhận thấy rất nhiều hình trong hình học phổ thông là tập đại số Zariski như đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, hypebol, parabol, elip… T ôpô Zairski cho phép nghiên cứu các tính chất hình học thông qua các công cụ của đại số như nhóm, vành, idean. Như vậy tôpô Zariski trên trường số thực ℝ, trên mặt phẳng ℝ 2 và trên không gian ℝ 3 có mặt một cách tự nhiên cùng với tôpô thông thường.Vì vậy việc nghiên cứu tính liên tục của các hàm trên ℝ, ℝ 2 , ℝ 3 đối với tôpô này là cần thiết. Chính vì vậy, tôi muốn nghiên cứu tính liên tục của các hàm số trong chương trính toán phổ thông trên tôpô Zairski, so sánh với tính liên tục của các hàm số trong chương trình toán phổ thông nên tôi chọn đề tài là: “Khảo 4444 4 5 sát tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán phổ thông”. 2. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong chương trình toán phổ thông hiện nay. Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu tính liên tục của các hàm số trong toán phô thông theo tôpô Zariski và so sánh với tôpô thông thường trên ℝ, ℝ 2 , ℝ 3 . 3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu những điểm giống nhau cũng như các điểm khác nhau của tính liên tục của các hàm số trong toán phổ thông đối với tôpô Zariski và tôpô thông thường. 4. Phương pháp nghiên cứu Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví dụ. Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái quát hóa, tổng hợp… đánh giá tính liên tục của các hàm số trong toán phổ thông. 5. Dự kiến đóng góp Tập hợp một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản phục vụ cho luận văn. Nêu hệ thống các hàm số trong toán phổ thông liên tục đối với tôpô Zairski. Bên cạnh đó chúng tôi đã chỉ ra rất nhiều những hàm số trong toán phổ thông liên tục đối với tôpô thông thường nhưng không liên tục đối với tôpô Zariski. 6. Kế cấu luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được kết cấu thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán phổ thông. 5555 5 6 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tôpô, tôpô thông thường, tính liên tục trên tôpô thông thường. Tập đại số, iđêan và cấu xạ trong tôpô Zariski. Nội dung này làm cơ sơ sở cho chương sau. 1.1. Không gian mêtric, không gian tôpô và tính liên tục của ánh xạ 1.1.1. Không gian mêtric, không gian tôpô tôpô 1.1.1.1 Định nghĩa Cho X ≠ ∅ là một tập. Một mêtric trên X là một hàm d: X x X →ℝ thỏa mãn các tính chất sau: 1) d(x, y) ≥ 0 ; d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) ; 3) d(x, y) ≥ d(x, z)+ d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X. 1.1.1.2 Định nghĩa Không gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên nó. Trường ℝ là một không gian mêtric với mêtric d (x, y) = |x-y|. 1.1.1.3 Ví dụ Hàm số d : ℝ n x ℝ n ℝ d : = 2 1 )( ∑ = − n i ii yx , x = (x 1 , x 2, …, x n ) ; y = (y 1 , y 2, …, y n ) là một mêtric trên ℝ n . Cho X là một không gian mêtric. Với mọi a ∈ X và số ε > 0 ta gọi: B(a, ε ) ={x ∈ X: d(x, a) < ε } là ε -lân cận của điểm a. 6666 6 7 Tập con M X gọi là mở nếu hoặc M = ∅ hoặc mọi a ∈ M, tồn tại ε sao cho B(a, ε ) M. 1.1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô là một cặp (X, ) trong đó X là một tập hợp, là một họ các tập con của X thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 1) X ∈ và ∅ ∈ ; 2) 1 U , 2 U ∈ ⇒ 1 U ∩ 2 U ∈ 3) ∈ t U ( ∈∀t T ) ⇒ ∈ Mỗi phần tử của được gọi là một tập mở của X; Họ được gọi là tôpô trên X. Mổi phần tử x của X được gọi là một điểm. Không gian tôpô sẽ được ký hiệu là (X, ). Hoặc ngắn gọn là X. Khi chỉ kí hiệu không gian tôpô là X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó. 1.1.1.5 Nhận xét Họ các tập mở trong không gian mêtric nói trong Ví dụ 1.1.1.3 lập nên một tôpô. Nên các không gian mêtric là không gian tôpô, tôpô trên nó gọi là tôpô sinh bởi mêtric. 1.1.1.6 Nhận xét 1) X và ∅ là những tập mở; 2) Giao của hai tập mở là mở; 3) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là mở. 1.1.1.7 Ví dụ là họ các tập con của tập của tập các số thực ℝ sao cho A∈ khi và chỉ khi A là hợp của một họ nào đó các tập có dạng: (a, b), (- ∞ , c), (d, + ∞ ) (a, b, c, d ∈ℝ, a < b). Khi đó, (ℝ, ) là một không gian tôpô. 7777 7 8 1.1.1.8 Nhận xét Giao hữu hạn các tập mở là mở. 1.1.1.9 Định nghĩa Tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao cho x G V. 1.1.1.10 Nhận xét G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. 1.1.1.11 Định nghĩa Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V x . 1.1.1.12 Định nghĩa Họ B x ⊂ V x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu ∀ V∈V x , ∃ B ∈ B x sao cho x ∈ B ⊂ V. 1.1.1.13 Định nghĩa Cơ sở tôpô của không gian tôpô X là một họ các tập con của X mà mổi tập mở là hợp tùy ý của những phần tử trong họ này. 1.1.1.14 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ): tập F ⊂ X được gọi là một tập đóng, nếu phần bù của F (ký hiệu là X\F) là mở. Ta có kết quả hiển nhiên suy từ định nghĩa tôpô. 1.1.1.15 Định lý Họ tất cả các tập đóng của không gian tôpô X có tính chất: 1) X và ∅ là tập đóng; 2) Họ tập đóng đóng kín với phép giao tùy ý, nghĩa là giao tùy ý các tập đóng là tập đóng. 8888 8 9 3) Họ tập đóng đóng kín với phép hợp hữu hạn, nghĩa là hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng. 1.1.1.16 Ví dụ Xét tập hợp các số thực ℝ. Tập A ⊂ ℝ là mở khi và chỉ khi: ∀ x∈A, ε ∃ > 0 sao cho ( , )x x ε ε − + ⊂ A. Họ các tập mở của ℝ là một tôpô trên ℝ, được gọi là tôpô tự nhiên trên ℝ (hay tôpô thông thường trên ℝ). Họ tất cả các khoảng mở với các điểm đầu mút hữu tỉ là một cơ sở của tôpô tự nhiên. 1.1.1.17 Định nghĩa Cho dãy số {x n } ⊂ . Ta nói rằng dãy số này có ℝ giới hạn là x 0 và được ký hiệu bởi = x 0 nếu * 0, n ε ∀ > ∃ ∈¥ sao cho m n ∀ ≥ thì |x m – x 0 | < ε . Nếu A ⊂ ℝ, thì A đóng đối với tôpô tự nhiên khi và chỉ khi 0 { } ,lim n n x x A x x →∞ ∀ ⊂ = ∈ℝ ⇒ x 0 ∈ A. 1.1.1.18 Định nghĩa Tôpô trên ℝ n sinh bởi mêtric d(x, y) = 2 1 )( ∑ = − n i ii yx , x, y∈ ℝ n , gọi là tôpô tự nhiên hay tôpô thông thường. 1.1.1.19 Định nghĩa Giả sử trên X trang bị hai tôpô 1 , 2 ta nói rằng 1 mạnh hơn 2 ( 2 yếu hơn 1 ), nếu 2 ⊂ 1 tức là mỗi tập mở đối với 2 cũng mở đối với 1 9999 9 10 1.1.1.20 Định nghĩa Cho (X, ) là không gian tôpô và A ⊂ X là tập bất kỳ. Khi đó họ A: = {TA| ∀ T ∈ } lập thành một tôpô trên A. Cặp (A,A) được gọi là không gian con của (X, ); A được gọi là tôpô cảm sinh bởi. 10101010 10 [...]... f ) = f 1 ({0}) a f(a) úng trong tụpụ Zariski v úng trong tụpụ thụng thng vỡ {0} l tp úng trong \ n A= Do ú U (Ă f S n Z( f ) m trong tụpụ thụng thng \ Z(f) l tp m trong tụpụ thụng thng Ngc li, cú tp úng A trong tụpụ thụng thng nhng khụng úng trong tụpụ Zariski Vớ d, khi A = Â l tp úng trong tụpụ thụng thng nhng khụng úng trong tụpụ trong tụpụ Zariski vỡ nú l tp vụ hn (pcm) 20 20 20 1.2.2.13 nh... tc trờn tụpụ Zariski vỡ ngc nh ca tp úng Zariski trong l tp úng Zariski 2) Nu n l s chn ta cú: ; Gi s H = H1 H2 vi H1={ }; H2={ } m, p l s t nhiờn i= ; j= Xột f-1(ci) ={x | y(x) = ci = ci}, f-1(H1) = (ci) l tp úng Zariski trong f-1(bj) ={x | f(x) = bj = bj phng trỡnh vụ nghim}=, Hay l tp hu hn l tp úng Zariski ; Vy f liờn tc trờn tụpụ Zariski vỡ ngc nh ca tp úng Zariski trong l tp úng Zariski Vy y... m trong tụpụ thụng thng trờn n nhng iu ngc li khụng ỳng) (xem [7]) Chng minh Nu A n l m Zariski, ngha l A=Ă n \ Z(S) = Ă n A = n \Z(S) = \ ( I Z(f)) = f S U (Ă f S n \ Z(f)) , trong ú Z(f) l tp nghim trong n ca a thc f thuc vnh a thc n [X] Nhng Z(f) úng trong tụpụ Zariski v úng trong tụpụ thụng thng vỡ a thc f cho ta ỏnh x liờn tc K[x1, x2,, xn] n a v Z ( f ) = f 1 ({0}) a f(a) úng trong tụpụ Zariski. .. ={x | y(x) = ci = ci}, f-1(H1) = (ci) l tp úng Zariski trong f-1(bj) ={x | y(x) = bj = bj phng trỡnh vụ nghim}=, Hay l tp hu hn l tp úng Zariski Vy f liờn tc trờn tụpụ Zariski vỡ ngc nh ca tp úng Zariski trong l tp úng Zariski (H qu 1.2.2.14) Vy f(x) = liờn tc trờn theo tụpụ Zariski (pcm) 2.1.1.3 Mnh 36 36 36 Hm s f: (n l s nguyờn) liờn tc theo tụpụ Zariski trờn Chng minh Kt hp Mnh 2.1.1.1 v Mnh... tụpụ Zariski trờn Chng minh Cho f(x) = Ta cú ; ; Ga s H = H1 H2 vi H1={ }; H2={ } m, p l s t nhiờn i= ; j= Xột f-1(ci) ={x | y(x) = ci = ci}, f-1(H1) = (ci) l tp úng Zariski trong f-1(bj) ={x | y(x) = bj = bj phng trỡnh vụ nghim}=, Hay l tp hu hn l tp úng Zariski Vy f liờn tc trờn theo tụpụ Zariski vỡ ngc nh ca tp úng Zariski trong l tp úng Zariski (H qu 1.2.2.14) Vy f(x) = liờn tc trờn theo tụpụ Zariski. .. i s trong K lp thnh mt tụpụ, gi l tụpụ Zariski Mi phn t ca tụpụ ny (tc l mi tp Z(S)) gi l mt tp úng Zariski (xem [7]) 1.2.2.11 Nhn xột Mi tp m trong tụpụ Zariski l tp dng I Kn \ Z(S) = Kn \ f S U(K Z( f ) = f S n \ Z(f) ) Ký hiu D(f) = Kn \ Z(f), thỡ h tt c cỏc D(f) lp thnh mt c s Tụpụ trờn Kn 19 19 19 1.2.2.12 nh lý Tụpụ Zariski trờn n thc s thụ hn tụpụ thụng thng (ngha l A n l m trong tụpụ Zariski. .. f + I ; f J} Th thỡ J/I l iờan ca A/I Ngc li, mi iờan Q trong A/I u cú dng Q = J/I trong ú J = {f Vỡ vy tng ng: J A; f + I Q} J/I cho tng ng 1 - 1 gia cỏc iờan cha I vi cỏc iờan trong A/I, nờn cú th quy vic nghiờn cu cỏc iờan trong A cha iờan I v vic nghiờn cu cỏc iờan trong A/I 1.2.4.6 nh lý A/J (A/I)/(J/I) (xem [7]) 1.2.5 Cu x trong tụpụ Zariski Cho ỏnh x F: F K n V W K m thỡ F luụn cú dng... tp úng Zariski Vy y = liờn tc trờn theo tụpụ Zariski (pcm) 2.1.1.2 Mnh Hm s f: (n l s t nhiờn) liờn tc trờn theo tụpụ Zariski 35 35 35 Chng minh 1 xn Cho f(x) = = Ta xột hai trng hp sau: 1) Nu n l s l thỡ f l song ỏnh v ; f-1(ai) ={x | y(x) = ai = ai}, f-1(H) = (ai) l tp úng Zariski ; f liờn tc trờn tụpụ Zariski vỡ ngc nh ca tp úng Zariski trong l tp úng Zariski 2)Nu n l s chn ta cú: ; Ga s H = H1... a11a12a13 a a a 21 22 23 a31a32 a33 l l ma trn 1 ct (xem [1]) 9> Trong khụng gian mi mt phng cú phng trỡnh ax + by + cz + d = 0 vi a + b +c 0 ng cu trong tụpụ Zariski vi mt phng Oxy cú phng trỡnh z = 0 (xem [11]) 10> Trong khụng gian, mi ng thng cú phng trỡnh l Ax + By + Cz + d = 0 A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 ng cu trong tụpụ Zariski vi ng thng Ox cú phng trỡnh l (xem [11]) 11> Mt cu cú dng... ZARISKI Chng ny chỳng tụi nghiờn cu tớnh liờn tc ca cỏc hm s trong , khi c cho bi tụpụ thụng thng v tụpụ Zariski C th l nghiờn cu tớnh liờn tc ca hm s vi tụpụ Zariski trờn v so sỏnh liờn tc ca chỳng i vi tụpụ thụng thng Cỏc kt qu trong chng ny l do chỳng tụi phỏt biu v chng minh m cha cú trong ti liu tham kho no Do cỏc hm s liờn tc trờn i vi tụpụ Zariski thỡ liờn tc i vi tụpụ thụng thng, khi tp ớch ly . trính toán phổ thông trên tôpô Zairski, so sánh với tính liên tục của các hàm số trong chương trình toán phổ thông nên tôi chọn đề tài là: Khảo 4444 4 5 sát tính liên tục trên tôpô Zariski của các. nghiệm trong khoảng nào đó, ứng dụng tính liên tục của hàm số để tính đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng trong đời sống, trong vật lý, trong hóa học Khái niệm hàm số liên tục trong toán phổ. HOÀI LIÊN KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ TRONG TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ THỊ HOÀI LIÊN KHẢO