: K[W] → K[V] thì tồn tại duy nhất ánh xạ
2.3. Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số khác
2.3.1. Ví dụ
Hàm số y: y =
Không liên tục trên theo tôpô Zariski.
Chứng minh.
y-1(0) ={x | y (x) = 0}.
Vậy y-1(0) không là tập đóng theo tôpô Zariski nên hàm số đang xét không liên tục đối với tôpô Zariski trên tập xác định của nó là .
Ta có: = 0 = f(0) hàm số liên tục tại x = 0. Từ đó ta suy ra hàm số liên tục trên trên tôpô thông thường
Vậy y = là hàm liên tục trên trên tôpô thông thường nhưng không liên tục trên trên tôpô Zariski (đpcm).
2.3.2. Ví dụ
Hàm số y:
y= liên tục trên theo tôpô Zariski.
Chứng minh. ; y-1(ai) ={x | y(x) = ai 45 45 45 45
y-1(H) = (ai) là tập đóng Zariski ;
Hàm số liên tục trên theo tôpô Zariski. Do đó hàm số liên tục trên theo tôpô thông thường
Vậy y = là hàm liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm). 2.3.3. Ví dụ
Hàm số y:
y = liên tục trên tôpô Zariski.
Chứng minh.
;
y-1(ai) ={x | y(x) = ai
y-1(H) = (ai) là tập đóng Zariski ;
Hàm số liên tục trên theo tôpô Zariski.
Vậy y = là hàm liên tục trên theo tôpô Zariski.
2.3.4. Ví dụ
Hàm số y:
y =không liên tục trên theo tôpô Zariski.
Chứng minh.
f-1({1}) = {x ∈| sinx =1} = {2kπ| k∈ }
là tập vô hạn nên không phải là tập đại số trong. Trong khi đó, tập một số {1} lại là đóng trong tôpô Zariski. Cho nên hàm số trên không liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh bởi hàm sin của tập đóng Zariski không phải là tập đóng Zariski.
Ta có: nên = f(0) nên hàm số liên tục tại x = 0 trên tôpô thông thường. Từ đó ta suy ra hàm số liên tục trên trên tôpô thông thường.
4646 46 46 46
Hay f(x) = liên tục trên theo tôpô thông thường và không liên tục theo tôpô Zariski (đpcm).
2.3.5. Ví dụ
Hàm số y:
y = liên tục trên theo tôpô Zariski.
Chứng minh.
;
y-1(ai) ={x | y(x) = ai
y-1(H) = (ai) là tập đóng Zariski ;
Hàm số liên tục trên theo tôpô Zariski.
Vậy y = là hàm liên tục trên theo tôpô Zariski. Tóm lại:
* Hàm số y = sinx ; y = cosx không liên tục theo tôpô Zariski trên nhưng liên tục trên các khoảng (a,b) ; [a,b) ; (a,b]; [a,b]; a< b , a, b là các số thực.
* Hàm số y = tanx; không liên tục theo tôpô Zariski trên tập xác định của nó nhưng liên tục trên các khoảng (a+k, b+k); [a+k, b+k); (a+k, b+k]; [a+k, b+k]; ( < a < b < a,b là các số thực, k là số nguyên).
* Hàm số y = cotx; không liên tục theo tôpô Zariski trên tập xác định của nó nhưng liên tục trên các khoảng (a+k, b+k); [a+k,b+k); (a+k,b+k]; [a+k,b+k]; ( < a < b < a, b là các số thực, k là số nguyên).