: K[W] → K[V] thì tồn tại duy nhất ánh xạ
2.1.1. Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm lũy thừa y = xa là số thực)
y = xa là số thực) 2.1.1.1 Mệnh đề 33 33 33 33
Hàm số f:
(n là số tự nhiên) liên tục trên theo tôpô Zariski.
Chứng minh.
Gĩa sử f(x) =. Ta xét hai trường hợp sau: 1) Nếu n là số lẽ thì f là song ánh và
;
f-1(ai) ={x ℝ | f(x) = ai = ai},
f-1(H1) = (ai) là tập đóng Zariski ;
f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tập đóng Zariski.
2) Nếu n là số chẵn ta có: ;
Giả sử H = H1 H2 với H1={ }; H2={ } m, p là số tự nhiên. i= ; j=
Xét f-1(ci) ={x | y(x) = ci = ci},
f-1(H1) = (ci) là tập đóng Zariski trong
f-1(bj) ={x ℝ | f(x) = bj = bj phương trình vô nghiệm}=,
Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski. ;
Vậy f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tập đóng Zariski.
Vậy y = liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm).
2.1.1.2 Mệnh đề
Hàm số f:
(n là số tự nhiên) liên tục trên theo tôpô Zariski.
3434 34 34 34
Chứng minh.
Cho f(x) = =
1
n x
. Ta xét hai trường hợp sau: 1) Nếu n là số lẽ thì f là song ánh và ;
f-1(ai) ={x | y(x) = ai = ai},
f-1(H) = (ai) là tập đóng Zariski ;
f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tập đóng Zariski.
2)Nếu n là số chẵn ta có: ;
Gĩa sử H = H1 H2 với H1={ }; H2={ } m, p là số tự nhiên. i= ; j=
Xét f-1(ci) ={x | y(x) = ci = ci},
f-1(H1) = (ci) là tập đóng Zariski trong
f-1(bj) ={x | y(x) = bj = bj phương trình vô nghiệm}=,
Hay
là tập hữu hạn là tập đóng Zariski.
Vậy f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14).
Vậy f(x) = liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm).
2.1.1.3 Mệnh đề 35 35 35 35
Hàm số f:
(n là số nguyên) liên tục theo tôpô Zariski trên.
Chứng minh.
Kết hợp Mệnh đề 2.1.1.1 và Mệnh đề 2.1.1.2 ta có điều phải chứng minh.
2.1.1.4 Mệnh đề
Hàm số f:
liên tục theo tôpô Zariski trên .
Chứng minh.
Cho f(x) = . Ta có ;
;
Gĩa sử H = H1 H2 với H1={ }; H2={ } m, p là số tự nhiên. i= ; j=
Xét f-1(ci) ={x | y(x) = ci = ci},
f-1(H1) = (ci) là tập đóng Zariski trong
f-1(bj) ={x | y(x) = bj = bj phương trình vô nghiệm}=,
Hay
là tập hữu hạn là tập đóng Zariski.
Vậy f liên tục trên theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14).
Vậy f(x) = liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm).
Tổng quát. Hàm số f: (n là số tự nhiên) 36 36 36 36
liên tục theo tôpô Zariski trên .
2.1.1.5 Mệnh đề
Hàm số f:
(n là số tự nhiên) liên tục theo tôpô Zariski.
Chứng minh. Cho f(x) =. Ta cóf(x) là song ánh và ; f-1(ai) ={x ℝ | f(x) = ai = ai} f-1(H) = (ai) là tập đóng Zariski ;
f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tập đóng Zariski.
Vậy f(x) = liên tục theo tôpô Zariski trên (đpcm).
2.1.1.6 Mệnh đề
Hàm số f:
( là số thực) liên tục theo tôpô Zariski trên .
Chứng minh.
Cho f(x) =( là số thực). Ta có ;
;
Gĩa sử H = H1 H2 với H1={ }; H2={ } m, p là số tự nhiên. i= ; j=
Xét f-1(ci) ={x | y(x) = ci = ci}, f-1(H1) = (ci) là tập đóng Zariski trong 37 37 37 37
f-1(bj) = {x | y(x) = bj = bj } =,
Hay
là tập hữu hạn là tập đóng Zariski.
Vậy f liên tục trên theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14).
Vậy f(x) =( là số thực) liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm).