Thực tế dạy học cho thấy, phương pháp lượng giác hóa là một phương tiện cực kỳ hữu hiệu trong việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giải phương trình,
Trang 1MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, một trong những mục đích hàng đầu của dạy học nói chung và dạy học toán học nói riêng đó là làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong nội bộ môn học, trong các môn khoa học khác cũng như trong đời sống thực tiễn
Để thực hiện mục đích đó, trong giải toán phổ thông, ta thường thấy rất nhiều trường hợp bài toán nằm ở lĩnh vực này nhưng chỉ có sử dụng kiến thức ở một hay nhiều mảng khác mới đem lại lời giải hay, ngắn gọn và hợp lý nhất Và một trong những nội dung có nhiều ứng dụng phổ biến chính là lượng giác Thực tế dạy học cho thấy, phương pháp lượng giác hóa là một phương tiện cực kỳ hữu hiệu trong việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, các bài toán về dãy số, tích phân và giải các bài toán hình học,…Tuy nhiên hầu như phải tới lớp 12, học sinh sử dụng phương pháp này một cách phổ biến trong việc tính tích phân Ở lớp 10 và 11, đa số các em học sinh không thể hay không thường xuyên sử dụng dẫn đến không giải được bài toán hoặc lời giải chưa sâu
sắc Chính vì những lí do đó, chúng tôi đã chọn đề tài “Sử dụng phương pháp lượng giác hóa vào việc giải một số dạng toán phổ thông” làm đề tài nghiên
cứu của mình Hy vọng nó sẽ góp phần giúp các em học sinh rèn luyện một số
kỹ năng cơ bản của Toán học, đặc biệt làm cho các em thấy được sự liên hệ giữa các nội dung Toán học, tạo hứng thú cho các em học sinh khi học Toán
2 Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần đặt vấn đề, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
đề tài gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày nguồn gốc của lượng giác và định nghĩa lượng giác dưới nhiều góc độ khác nhau như định nghĩa bằng tam giác vuông, định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, gồm dùng đại số và dùng hình học, định nghĩa bằng chuỗi, bằng số phức, bằng vi phân…và một số định nghĩa khác
Trang 2nữa nhằm từ đó, người đọc có thể bước đầu hình dung và hơn nữa là có cơ sở vận dụng mối liên hệ của lượng giác và các nội dung toán học khác
Chương 2: Sử dụng phương pháp lượng giác lượng giác hoá vào việc giải một số dạng toán phổ thông
Chương hai cũng là nội dung chính của đề tài, ở đây chúng tôi trình bày một số cách nhận biết các bài toán có thể vận dụng phương pháp lượng giác hoá
để giải
3 Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp một số phát biểu về lượng giác dưới các góc độ khác nhau, từ đó làm nền tảng cơ sở kiến thức cho việc đề xuất một số dấu hiệu nhận biết các dạng toán có thể dùng phương pháp lượng giác hoá để giải
4 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu: tập hợp và tham khảo các tài liệu liên quan đến đề tài, kết hợp nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn
5 Phạm vi nghiên cứu
Trên cơ sở trình bày về nguồn gốc của lượng giác và phát biểu lượng giác dưới nhiều góc độ toán học khác nhau, đề tài đề cập tới việc ứng dụng các kiến thức lượng giác vào giải toán thông qua phương pháp lượng giác hóa Ở đây, chúng tôi đặc biệt tập trung làm rõ dấu hiệu nhận dạng các bài toán cụ thể
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thạc sỹ Lê Thị Thu Hằng đã
hướng dẫn, giới thiệu tài liệu, đọc kĩ bản thảo và góp ý cho chúng tôi những ý kiến xác đáng và bổ ích Ngoài ra, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các quý thầy
cô giáo trong tổ Toán khoa sư phạm tự nhiên cũng như các bạn sinh viên cùng chuyên ngành của Đại học Hà Tĩnh đã góp ý và giúp đỡ tôi sớm hoàn thành đề tài này
Tác giả
Đặng Thị Huệ (B)
Trang 3Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 Nguồn gốc của lượng giác
Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ 3000 năm trước Các nhà toán học Ấn cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác Trong
đó, những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN),
người đã lập bảng tính độ dài của các cung tròn (có giá trị bằng góc, A, nhân với
bán kính, r) và chiều dài của dây cung tương ứng ( 2 sin
, cho phép ông lập bảng tính với bất cứ độ chính xác cần thiết nào Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy nay đã bị thất truyền
Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, trong công trình
Siddhantas (khoảng thế kỷ 4–5), định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây
cung Quyển Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn tại đến
nay (cùng với các giá trị 1 − cos), cho các góc có giá trị từ 0 đến 90 độ cách nhau 3.75 độ
Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển thêm bởi người Ả Rập Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản (trong tác
phẩm Abu'l-Wefa), với các bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau 0.25 độ, với
độ chính xác đến 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy, và bảng tính hàm tan
Từ sin mà ngày nay ta dùng xuất phát từ chữ La tinh sinus ("vịnh" hay
"gập"), dịch nhầm từ chữ Phạn jiva (hay jya) Jiva (vốn được đọc đầy đủ là
ardha-jiva, "nửa-dây cung", trong quyển Aryabhatiya thế kỷ 6) được chuyển tự
Trang 4sang tiếng Ả Rập là jiba ( ﺐﺟ), nhưng bị nhầm thành từ khác, jaib ( ﺐﺟ) ("vịnh"),
bởi các dịch giả ở châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona trong
quyển Toledo (thế kỷ 12) Sự nhầm lẫn này có thể là do jiba ( ﺐﺟ) và jaib ( ﺐﺟ)
được viết giống nhau trong tiếng Ả Rập (nhiều nguyên âm bị thiếu trong bảng chữ cái Ả Rập)
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triển trong nghiên cứu thiên văn Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu
về lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436–1476) Quyển Tabulae directionum nói về hàm tang Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học trò của
Copernicus, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác vuông thay vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác cơ bản Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596
Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung miêu
tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các
chuỗi vô tận và giới thiệu "Công thức Euler" e ix = cos(x) + i sin(x) Euler đã dùng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec giống ngày nay
Ngày nay ứng dụng của lượng giác được sử dụng khá rộng rãi Cụ thể có thể nói đến như là kỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh Ngoài ra lượng giác còn được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều các môn khoa học khác như lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê sinh học…
1.2 Một số định nghĩa của lượng giác
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số các định nghĩa của lượng giác theo các góc độ khác nhau, nhằm từ đó, tạo nền tảng cho việc sử dụng kiến thức lượng giác để giải quyết các dạng toán ở nội dung khác sẽ được trình bày ở chương 2
Trang 51.2.1 Định nghĩa bằng tam giỏc vuụng
Một tam giỏc vuụng luụn chứa một gúc 90° (
2
radian), được ký hiệu là C trong hỡnh này Gúc A và
B cú thể thay đổi Cỏc hàm lượng giỏc thể hiện mối
liờn hệ chiều dài cỏc cạnh và độ lớn cỏc gúc của tam
giỏc vuụng
Cú thể định nghĩa cỏc hàm lượng giỏc của gúc
A, bằng việc dựng nờn một tam giỏc vuụng chứa gúc
A Trong tam giỏc vuụng này, cỏc cạnh được đặt tờn
như sau:
Cạnh huyền là cạnh đối diện với gúc vuụng, là cạnh dài nhất của tam giỏc
vuụng, kớ hiệu h trờn hỡnh vẽ
Cạnh đối là cạnh đối diện với gúc A, kớ hiệu a trờn hỡnh vẽ
Cạnh kề là cạnh nối giữa gúc A và gúc vuụng, kớ hiệu b trờn hỡnh vẽ
Dựng hỡnh học Ơclit, tổng cỏc gúc trong tam giỏc là pi radian (hay 180⁰) Khi đú:
a(đối)
b(kề)
Trang 6Cosec Cạnh huyền chia cho cạnh đối cscA h
có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn
Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt
Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của hình học phẳng
thỏa mãn: 2 2
1
x y
Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên
vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có
Trang 7Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360 độ:
sin
C versin O
Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học
trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O
Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho
góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O Với θ là nửa cung AB:
đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang
lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là
"tiếp tuyến"
cot(θ) AF
sec(θ) OE
đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên
"secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng tròn"
csc(θ) OF
versin(θ) CD versin(θ) = 1 − cos(θ)
exsec(θ) DE exsec(θ) = sec(θ) – 1
Trang 8Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến tới π/2 (90 độ), cosec và cotang phân kỳ khi θ tiến tới 0 Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học
1.2.3 Định nghĩa bằng chuỗi
sin( DC ) f( DC )
Hàm sin được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7
Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho
mọi góc x đo bằng giá trị radian thực Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của
các hàm lượng dạng còn lại
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi
Trong bảng dưới, quy ước: En là số Euler thứ n, Un là số lên/xuống thứ n
Trang 9U x
x n
E x
x n
Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1
Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng
phức, gồm các điểm z = e ix, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn
Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:
2 1 0
1.2.4 Định nghĩa bằng phương trình vi phân
Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân y y
Trang 10Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng
Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương
trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y 0 0và
Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là
radian Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k
và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này: f x kcos kx
Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn: y k y2
Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác
1.2.5 Các định nghĩa khác
Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ hai hàm này, có thể
được định nghĩa là hàm s và c trong định lý sau:
Tồn tại duy nhất cặp hàm s và c trên trường số thực thỏa mãn:
Trang 11Ở đây ,x y R
Miền xác định và miền giá trị
Các hàm số lượng giác trên trường số thực có miền xác định và miền giá trị được tổng kết trong bảng sau:
Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán phức tạp Ngày nay,
đa số mọi người có thể dùng máy tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá trị các hàm này Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong lịch sử để tra giá trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày nay trong máy tính, và một số giá trị chính xác dễ nhớ
Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần tập trung vào các góc nằm, ví dụ, từ 0 đến π/2, vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác đều có thể được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm
Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác bằng cách nội suy từ một bảng tính sẵn, có độ chính xác tới nhiều chữ số thập phân Các bảng tính này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, như công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, bắt đầu từ một vài giá trị chính xác (như sin(π/2)=1)
Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996) Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho các máy tính có các bộ tính số thập phân, là kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ) với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị trong bảng về giá trị chính xác hơn Trên các phần cứng không có bộ số học và lô gíc,
Trang 12có thể dùng thuật toán CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả hơn, vì thuật toán này chỉ dùng toán tử chuyển vị và phép cộng Các phương pháp này đều thường được lắp sẵn trong các phần cứng máy tính để tăng tốc độ
xử lý
Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có thể được tính bằng giấy và bút dựa vào định lý Pytago Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội của π/60 radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút
Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông cân với các góc nhọn bằng π/4 radian
(45 độ) Cạnh kề b bằng cạnh đối a và có thể đặt a = b = 1 Sin, cos và tang của
π/4 radian (45 độ) có thể tính bằng định lý Pytago như sau:
có góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ) Mỗi tam giác vuông có cạnh ngắn nhất là 1/2, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại bằng (√3)/2 Như vậy:
Hàm lượng giác ngược
Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm ngược, cần giới hạn miền của hàm Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác ngược:
-π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
Trang 13-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)
Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác
x
2 0
1
1
dz x z
1
1
dz x z
1
1
dz z z
cos x y cos cosx ysin sinx y
Trang 14
sintan tan
cossin
Trang 15Nếu M (O;R) : x2 y2z2 R2 phép đổi biến là
cos coscos sinsin
Trang 16Chương 2 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ VÀO
VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG
2.1 Phương pháp lượng giác hóa trong đại số
Trong đại số, phương pháp lượng giác hoá có thể áp dụng được một cách rộng rãi Tuy nhiên ở đây, đề tài xin giới thiệu phương pháp cho các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…, đó không chỉ là những bài toán phổ dụng trong chương trình đại số lớp 10 mà hơn nữa, nó còn là phương pháp cực
kỳ hữu hiệu cho các bài toán nói trên ở trong các đề thi đại học Dưới đây là một số dấu hiệu nhận biết trong việc áp dụng các phép lượng giác hoá phù hợp đối với từng bài toán khác nhau
Dạng 1: Nếu trong bài toán có chứa biểu thức x 2 + y 2 =1 hoặc có thể
biến đổi để đưa về biểu thức x 2 + y 2 =1, thì chúng ta tìm cách đặt sin
2
12
và 1 + 164
sin 2a 17 Từ đó suy ra điều cần chứng minh
Trang 17Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện
a
caa
b
cbb
a
cab
+
b
cba
= cosv sinu + cosusinv 1 (3) Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v) 1 nên (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng
Bài 4 Chứng minh rằng:
1/ Nếu x2 + y2 = 1 thì x y 2 (Bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10
Nâng cao_ NXB Giáo dục)
2/ Nếu x2 +y2 = 1 thì x2y 5 (Bài tập 4.23a, trang 105 _SBT Đại số 10
Nâng cao_NXB Giáo dục)
Trang 18Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Lưu ý : Đối với một số bài toán, trong đề sẽ không có dạng tường minh
mà chúng ta phải dựa vào mối quan hệ ràng buộc giữa các biến hoặc các con
số để đưa về dạng cần thiết Ngoài ra, với các trường hợp mà trong biểu thức của đề ra có chứa dạng x 2 + y 2 = a 2 (a>0) hoặc có thể biến đổi đưa về dạng
Trang 19Giải
Điều kiện:
0
y x y
), thay vào phương trình (3) ta được:
sin
425
sin
5
t t
53cos
5
t t
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 3
S 4P nhưng ở đây chúng tôi nhận thấy có biểu thức x2y2 10
nên đề xuất cách giải đặt: 10 cos
10 (cost sin ) 10sin cost t t 7(3)
Đặt u = cost + sint, điều kiện: u 2, phương trình (3) trở thành:
(loại)
Trang 205u 10u12 0
2 105
3 105
u u
53sin cos
10
33
cos
110
sin
1cos
y x t
y t
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: 3
1
x y
Thay vào (3) ta được:
12
x
Nhưng vì cos(a - b)1, nên suy ra: cos(a - b) =1 khi a = b
Do đó:
P = x + u =4cosa3cosa7cosa7
Vậy Max P7 abk2 a b0 và a = b =2 suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x = 4, y = 0, u = 3, v = 0
4 cos 3 cosa a12 cos a 12
Vậy Max F 12 cosa 1 a k ab0, a = b = và a = b = 2 ,
suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x = 4, y = 0, u = 3, v = 0 và x = -4, y = 0,
u = -3, v = 0
(loại) (thoã mãn)
Trang 21Bài 4 Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn : x 2 + y 2 = 2 Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của P = 2(x 3 +y 3 ) - 3xy
(Trích đề thi Cao đẳng khối A,B,D _năm 2008_ Bộ GD&ĐT)
Vậy: Max P = 13/2 và Min P = -7
Dạng 2 : Nếu bài toán chứa x 1 hoặc 1x2 hoặc có thể biến đổi các điều kiện để đưa về chứa các biểu thức tương đồng như thế thì ta đặt
2
t c
Khi đó phương trình đã cho có
dạng 1 1 sin 2t sin (1 2 1 sint 2t) 1 cos t sin (1 2cos )t t
Trang 22t t
x x
t t
21l2
u u
Trang 23Bài 3 Giải hệ phương trình: 2
2
222
Từ các phương trình của hệ ta thấy rõ ràng , ,x y z Thật vậy: 1
- Nếu x từ phương trình đầu ta có 21 y y vô lí
- Nếu x từ phương trình đầu suy ra 21 y vô lí y
Tương tự cho các trường hợp y 1, z Do đó ta có hệ tương đương: 1
2
2
2
212121
x y
x y z
y z x
Trang 241 cos t 1 cos t cost 1 cos 2cos2 cos
Vậy phương trình này có nghiệm 1 x 0
Bài 5 Giải bất phương trình :
(2) luôn đúng với mọi t0; Vậy nghiệm của (1) là 1 x / 1
Bài 6 Chứng minh rằng nếu x < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta
Trang 25 nên 0 < sin
2
t
, cos2
t n > 1
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
4 cos3 (1cos2)3 - 3(cos - 1cos2) 2
4(cos3 - sin3) – 3 (cos - sin) 2
(4cos3 - 3cos) + (3sin - 4sin3) 2 cos3 + sin3 2
cos (3
-2
) 1, luôn đúng
Từ các ví dụ trên, ta thấy, phương pháp đặt của các bài toán này không phải được tìm từ công thức sinx 2 + cosy 2 =1 tuy nhiên, mà chúng ta dựa vào hệ điều kiện
Trang 26Bài 1 Giải phương trình :
8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 (1)
Ta có thể giải như sau:
Giải
Ta có các trường hợp sau :
Với x1, suy ra VT(1)>1, do đó phương trình vô nghiệm
Với x-1, suy ra VT(1)<0, do đó phương trình vô nghiệm
Với x <1, đặt x=cost , với t(0, )
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
8cost(2cost2-1)(8cost4-8cost2+1)=1
8cost.cos2t.cos4t = 1 8sint.cost.cos2t.cos4t = sint
k t
k t
Dạng 3 :Nếu x 1 hoặc bài toán có chứa x2 hoặc có thể biến đổi 1
đưa về một trong hai dạng như thế thì chúng ta đặt x = 1
Bài 1 Chứng minh rằng: a2 1 3 2a
Ta có thể giải như sau:
Giải
Điều kiện: a2 – 1 0 a 1
Đặt: a =
cos
1
, với [0 ;
2
)
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
Trang 27231cos
2
3cos 1
sin ( +
3
) 1, luôn đúng
Lưu ý : Các bài toán tương tự như x m hoặc bài toán có
chứa x2m2 thì ta đưa về dạng như trên bằng cách đặt x =
y x
x y x
2
c
(3) (1)2 sin cos os c sin sin sin (4)