Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng phương pháp newton và phương pháp dây cung giải gần đúng phương trình phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN VŨ T H Ị H U Ệ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Giải tích Nguòi huóng dẫn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

v ũ T H Ị H U Ệ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

VŨ T H Ị H U Ệ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Giải tích

Nguòi huóng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI - 2015

LỜ I CẢM ƠN

Trong thời gian học tập, nghiên cún tại khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc toàn thể các thầy các cô trong khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 - những người đã luôn chăm

lo, dìu dắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt em xin cảm ơn thầy giáo PGS.TS KHUẤT VĂN NINH, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, thảng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ

LỜ I CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS KHUẤT VĂN NINH cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cún với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với khóa luận của tác giả nào

Hà Nội, thảng 5 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

LỜI NÓI Đ Ầ U 1

NỘI DƯ NG 3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đ ố i 3

1.1.1 Số gần đúng 3

1.1.2 Sai số tuyệt đ ố i 3

1.1.3 Sai số tương đối 3

1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn s ố 4

1.2.1 Làm tròn s ố 4

1.2.2 Sai số của phép làm tròn số 5

1.3 Cách viết số xấp x ỉ 5

1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 5

1.3.2 Chữ số đáng tin 5

1.3.3 Cách viết số xấp x ỉ 6

1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phương trình 6

1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình 6

1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm) 7

1.5 Đạo hàm và vi phân của toán tử 8

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON 9

2.1 Mô tả phương pháp 9

2.2 Mô tả phương pháp bằng hình h ọ c 11

2.3 Bậc hội t ụ 12

2.4 Tốc độ hội tụ của phương pháp Newton 12

2.6 Một số ví d ụ 14

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP DÂY CU N G 32

3.1 Mô tả phương p h áp 32

3.2 Mô tả phương pháp bằng hình h ọ c 34

3.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp dây cung 34

3.4 Sai số của phương pháp dây cung 36

3.5 Một số ví d ụ 37

KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lý do chọn đề tài

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, Toán học ngày càng phát triển chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán ứng dụng Nói đến Toán học ứng dụng không thể không nói đến Giải tích số, đó là một môn khoa học nghiên cún cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ, bài toán tối ưu

Việc giải các phương trình phi tuyến f(x) = 0, trong nhiều trường hợp

không có công thức giải chính xác nên hầu hết các phương trình cần giải gần đúng Do vậy, một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương trình đó

Phương pháp Newton và Phương pháp dây cung là công cụ hữu hiệu để

giải gần đúng phương trình f(x) = 0 Vì nhờ hai phương pháp này phương trình phi tuyến f(x) = 0 được thay thế bởi phương trình tuyến tính xấp xỉ và

nghiệm gần đúng của phương trình tuyến tính thay thế sẽ hội tụ đến nghiệm của phương trình phi tuyến nói trên

Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiếu biết của mình về vấn đề:

“ứng dụng phương pháp Newton và phương pháp dây cung giải

gần đúng phương trình phi tuyến”

2 Mục đích nghiên cún

Hiểu và lắm vững hai phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho phép

Áp dụng phần mềm Toán học như: Maple và Pascal vào đế giải quyết một số bài toán

LỜ I NÓI ĐẦU

3 Nhiệm vụ nghiên cún.

Nghiên cứu Phương pháp Newton và phương pháp dây cung giải

phương trình f(x) = 0, tro n g /là hàm số một biến số thực; ứng dụng các phương pháp đó giải một số phương trình phi tuyến cụ thể

4 Đối tượng nghiên cứu.

Phương trình phi tuyến tính

Các cách giải và bài tập áp dụng

Giải toán trên Maple và trên Pascal

5 Phương pháp nghiên cứu.

Tra cứu và tham khảo tài liệu

Viết thuật toán chạy chương trình

Đưa ra và giải các ví dụ minh họa cho từng phương pháp

N 01 DUNG

CHUƯNG 1 CÄC KIEN THÜC LIEN QU AN

Trong chuong näy chüng ta trinh bay mot so kien thuc ca bän ve so gän düng, sai so tuyet dưi, sai so tuang dưi, läm trưn so vä sai so cüa phep läm trưn so, cäch viet so xäp xi, su tưn tai nghiem thuc vä khộng täch nghiem cüa phuong trinh, dao häm vä vi phän cüa tộn tü

1.1 So gän düng, sai so tuyet dưi, sai so tiro’ng dưi

1.1.1 So gän düng

Ta nưi rang q lä so gän düng cüa q* neu q khưng sai khäc q* nhieu, hieu so A = q* - q goi lä sai so thuc su cüa q.

Neu A > Othi q \ä giä tri gän düng thieu cüa q*

Neu A < 0 thi q lä giä tri gän düng thüa cüa <7*

1.1.2 Sai so tuyet dưi

Trong tinh tộn, thu’ưng ta khưng biet so düng q* mä chi biet so gän düng cüa nư lä q Khi dư ta nưi “q xäp xi <7* ” vä viet lä “q xäp xi <7* Do

lech h = q* - q duoc goi lä sai so thuc cüa q*.

Do khưng biet q* nen ta cüng khưng biet h Tuy nhien, ta cư the tim duoc so duang Aq > h sao cho:

q - A q < q * < q +AC J

So Aq be nhät mä ta xäc dinh dugc goi lä sai so tuyet dưi cüa q

Neu so xäp xi cüa g* cư sai so tuyet dưi lä Aq ta viet:

vưi nghTa: q - Aq <q* <q +Aq

1.1.3 Sai so twang dưi

goi lä sai so tuong dưi cüa q.

Ta suy ra Aq = I q I ốq (1.1.3)

Do đó (1.1.1) có the viết thành:

q* = q(ỉ ± ổq)

Công thức ( 1.1.2) và ( 1.1.3) cho ta hệ thức liên hệ giữa sai số tuyệt đối

và sai số tương đối

Neu p - s—>> 00 thì q là số thập phân vô hạn.

Làm tròn số q là bỏ đi một số các chữ số bên phải của q đế được q gọn hon và gần đúng với số q

Quy tắc làm tròn số như sau: Xét số q ở dạng (1.2.1 ) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ ỉ, phần bỏ đi là |H thì :

1.3 Cách viết số xấp xỉ

1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

+ Xét số q có dạng (1.2.1) nghĩa là được viết dưới dạng số thập phân Khi đó, chữ số có nghĩa là một số khác 0 và những số không bị kẹp giữa hai chữ số khác 0 hoặc nó là những số 0 hoặc nó là những số 0 ở hàng được giữ

lại

+ Xét số q ở dạng ( 1.2.1 ).

q = ± (qp-l(y + + q ị.lớ + + qp.s.l ơ }'s) , chữ số CỊi ở ( 1.2.1 ) của chữ số q là chữ số chắc nếu: Лч < (ở ì ơ {(ở là

tham số cho trước)

Tham số Củ sẽ được chọn sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi

Tức là q có dạng (1.3.1) với a ] = 3, a0= 4, a.Ị= 2, a 2 = ỉ, cc- 3 = 4 là các chữ số qs ở (1.3.1).

Giả sử q là xấp xỉ của q* với sai số tuyệt đối giới hạn là Áq Ta chu ý là chữ số đứng ở hàng thứ s của q.

Nếu Ац < 0.5.10S thì nói CỊS là chữ số đáng tin, ngược lại thì nói qs là chữ

1.3.3 Cách viết số xấp x ỉ

Cho các số q là xấp xỉ của ợ* với giá trị tuyệt đối Áq Có hai cách viết

số xấp xỉ q

Cách 1 : Viết kèm sai số theo công thức (1.1.1)

Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin

Một số viết theo cách viết thứ 2 có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng

1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phương trình.

1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình

1.4.2 Khoảng tách nghiệm (ikhoảng phân li nghiệm )

Định nghĩa:

Khảng [a, b] nào đó được gọi là khoảng phân li nghiệm của phương

trình (1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

Đe tìm khoảng phân li nghiệm (khoảng tách nghiệm) ta có các định lí sau:

Cho phương trình: X3 - X - 2 = 0, chứng tỏ phương trình có nghiệm thực

và tìm khoảng tách nghiệm của phương trình

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Mặt khác/(7) < 0, f(2) > 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm

thực và phân li trong [1,2]

1.5 Đạo hàm và vi phân của toán tử

Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn F: X —>■ Y, xác định trên tập con mở В nào đó của không gian X, ta nói ánh xạ đó khả vi tại JC e в nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn L{x) E L (X, Y) sao cho

Từ (1.5.1 ) suy ra một ánh xạ khả vi tại X sẽ liên tục tại điểm đó Biếu

thức L(x)h (rõ ràng là phần tử của không gian Y với mọi h thuộc X được gọi là

vi phân mạnh hay vi phân Frechet) của ánh xạ F tại điểm Jt Toán tử L(x) được gọi là đạo hàm chính xác hơn là đạo hàm mạnh của ánh xạ F tại Jt kí hiệu:

F (*) Neu F khả vi tại điểm Jt thì đạo hàm tương ứng được xác định duy nhất

Thật vậy, đắng thức:

\\L1h - L 2h\\= 0(h) đối với toán tử Li e L(X, Y); i = 1, 2 chỉ xảy ra khi L/ = L2

Một số tính chất:

• Nếu F(x) = yo= const thì F (x)= 0 (F (jf) là toán tử không)

• Đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục L chính là ánh xạ đó

L(x) = L Thật vậy, theo định nghĩa ta có L (x+h) - L(x) = LỌÌ).

Trong chương này, em trình bày phương pháp Newton giải gần đúng phương trình phi tuyến Đồng thời em cũng giải mẫu một số ví dụ bằng phương pháp Newton, lập trình trên Maple, trên Pascal và đưa ra các bài tập

Điểm Xo được gọi là điểm Fourier của f(x ) nếu f(x 0) / M > 0

Ý chủ đạo của phương pháp Newton là tìm cách thay phương trình (2.1.1), phi tuyến đối vói X, bằng một phương trình gần đúng, tuyến tính đối với X

c = Xọ + 6{x - Xo), 0 < 6 < ì ( c là số trung gian giữa Jt và Xo)

Xét phương trình (2.1.1), giả thiết nó có nghiệm thực a duy nhất ở trong [a, b]. Giả sử hàm / c ó đạo hàm / (x) ^ 0 tại X E [a, b] và đạo hàm cấp

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEW TON

hai / U) tại Jte(a, b) Ta chọn Xo £ [a, b] rồi viết khai triển Taylor bậc nhất của f(x ) tại xỏ.

X e (a , b), c = Xo + 6{x - Xo) e (a , b )

Như vậy phương trình (2.1.1) viết lại được:

0 = / O o ) + - xo) + f- ^ k x - Xo)2, với X đủ gần x0 thì X — Xọ là một đại lượng nhỏ nên (x - Xo Ý rất nhỏ, bỏ

qua số hạng cuối cùng ta được phương trình:

Phương trình (2.1.2) dùng để thay cho phương trình (2.1.1) là tuyến

tính đối với X và là phương trình tiếp tuyến với đường cong y = fix) tại điểm (xo,f(xo)) nên phương pháp Newton cũng là phương pháp tuyến tính hóa và là

phương pháp tiếp tuyến

Nhìn vào (2.1.3), (2.1.4) ta thấy phương pháp Newton thuộc loại

phương pháp lặp với hàm lặp là:

2.2 Mô tả phương pháp bằng hình học

Giả sử hàm sốf(x) liên tục trên [a, b] có đồ thị là cung AB

+ N euf ( x) f (x)> 0 thì qua điểm B(b,f(b)) dựng tiếp tuyến với đồ thị

У =ЛХ)> tiếp tuyến cắt Ox tại X].

TÙX/ dựng đường thẳng song song với Oy, đường thẳng này cắt đồ thị

у =f(x) tại Kjixiflxj)) Qua Kị dựng tiếp tuyến với đồ thị và nó cắt Ox tại x2 Tiếp tục quá trình này ta được dãy {x n }.

+ N ếu/ ( x) f (x)< 0 thì qua điểm A(a,f(a)) dựng tiếp tuyến với đồ thị

у = f(x) và làm hoàn toàn tương tự như trên.

Từ đó có các trường họp được mô tả như sau:

A a

2.4 Tốc độ hội tụ của phương pháp Newton

Cho r là nghiệm của phương trình f(x) = 0 và xn là giá trị xấp xỉ thứ n của r, ta xác định một số Çt như sau: Çn - r - xn-

Neu với n đủ lớn thì chúng ta có mối quan hệ xấp xỉ như sau:

Vậy bậc hội tụ của phương pháp Newton là p = 2.

2.5 Sai số của phương pháp Newton

Vậy nghiệm gần đúng của (2.6.1) \а х5 ỉ 147757632

Giải ví dụ 2.6.1 trên Maple:

[> fsolve(xA2-exp(x)-l,{x});

(x = -1.147757632)

Đồ thị của phương trình là:

Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.1 vói nghiệm:

writeC nhap sai so w = '); readln(w);

xvriteC chon xap XỈ ban dau xO = '); readln(xO);

writelnC cac xap xi tiep theo la: ');

End.

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.00001.

Chon cac xap xi ban dau xO = -1.1

Cac xap xi tiep theo la:

Vay nghiem xap xi cua (2.6.1) la : -1.147757632

Ví dụ 2.6.2: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton, với độ

/ ( * l)

x 2 = x 1 - т т Н 4 « 1.16731102

/ (*i)/ О 2)

Gidi vidu 2.6.2 bang cluvong trinh Pascal:

write(' nhap sai so w = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau xO = '); readln(xO); writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

writeln(' vay nghiêm xap xi cua phuong trinh la: x [ i ]: 2: 9);

readln;

End.

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.0001.

Chon xap xi ban dau xO = 1.2

Cac xap xi tiep theo la:

x[ỉ ] = 1 Ị 69222886

x[2] = 1.16731102

x[3] = 1.167303979

Vay nghiem xap xi cua (2.6.2) la : 1.167303979

Ví dụ 2.6.3: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton với sai

số tuyệt đối không vượt quá 10'5

write(' nhap sai so vy = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau xO - '); readln(xO);

writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

End.

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.00001.

Chon xap xi ban dau xO = 1

Cac xap xi tiep theo la:

x[l ] = 0.6200159522

X [2] = 0.607120658Ị

x[3] = 0.6071016481

Vay nghiem xap xi cua (2.6.3) la : 0.6071016481

Ví dụ 2.6.4: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton, với độ

Do đó phương trình f{x) = 0 có nghiệm X*e (0;ỉ)

Theo phương pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau:

/ t e )

* 4 = *3 - 4 ^ - ^ - « 0.806443963

/ (*3)/ ( *4)

Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.4 VÓI nghiệm:

X* * 0 8 0 6 4 4 3 9 3 2 4 :

write(' nhap sai so w = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau xO - '); readln(xO);

writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

Chon xap xi ban dau xO = 0.5

Cac xap xi tiep theo la:

Vay nghiem xap xi cua (2.6.4) la : 0.806443932

Ví dụ 2.6.5: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton:

Nghiệm của phương trình (2.6.5) xấp xỉ bằng nghiệm của phương trình

Vậy nghiệm gần đúng của (2.6.6) là x4&-].447325834.

Nghiệm x4~ -1.447325834 cũng là nghiệm xấp xỉ của phương trình

X 2 — ex - 2 =0

Giải ví dụ 2.6.5 trên Maple:

[>fsolve(-3-x+xA2/2-xA3/6,{x});

VarxO, x l, w, e : real; i: byte;

xvrite(' nhap sai so w = '); readln(w);

xvrite(' chon xap xi ban dau xO - '); readln(xO);

writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.00001.

Chon xap xi ban dau xO = -1.1

Cac xap xỉ tiep theo la:

Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp Newton với sai số

không vượt quá € = - 1 0-5

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG

Trong chương này, em nêu cách giải gần đúng phương trình phi tuyến bằng phương pháp dây cung, đưa ra một số ví dụ minh họa và lập trình trên Maple, trên Pascal Ngoài ra em cũng nêu thêm các bài tập áp dụng

3.1 Mô tả phương pháp

Xét phương trình; f(x) = 0 (3.1.1), giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:

i) Phương trình (3.1.1) có nghiệm ị duy nhất trên [a,b~ị

ii) f e c 2\_a,b~ị v à / , / không đổi dấu trên \_a,b~ị

Giả sử hàm số ỵ =f (x) liên tục trên \_a,b~ị vầf(a).f(b) < 0

Giả sử f(x) có đạo hàm đến cấp hai, liên tục và không giảm tính tổng quát có thế coi / (x) > 0 trên , nếu không ta xét phương trình gột) = 0, với g:= -f

Khi đó đồ thị: y =f(x) nằm phía dưới dây cung AB với A(a, f(a)),

Trường họp 1:

Ta giả s ử /(x ) < 0, cóf ( a) > f(<Ẹ) = 0 và f (a) > 0

> điểm X = b \ầ điểm Fourier.

Gọi xn là xấp xỉ thứ n > 0 của nghiệm £>(x0 = b là xấp xỉ ban đầu) Để tìm hoành độ giao điểm của cung ABn với trục hoành ( với A(a, f{a)), Bn(xn,

f(x n))), ta thay cung ABn bằng dây cung ABn và tìm hoành độ giao điểm của ABn với trục hoành.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và Bn là:

x -a _ y - f ( a )

x - a

=>y = f ( a ) + - ( x-a)

X -a n Cho y = 0 ta tìm được hoành độ X n + 1 của giao điểm ABn với trục hoành: