khóa luận tốt nghiệp ứng dụng bất đẳng thức cauchy giải một số bài toán

LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành trường Đại học Hà Tĩnh, hướng dẫn tận tình Th.S Nguyễn Thị Thành Trước hết, xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới giáo hướng dẫn, người định hướng nghiên cứu, tận tình bảo giúp đỡ tơi suốt q trình thực nghiên cứu hồn thành khố luận Đồng thời qua xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo khoa Sư phạm Tự nhiên, đặc biệt thầy tổ Tốn q thầy giáo trường Đại học Sư phạm Hà Tĩnh tận tình dạy bảo, tạo điều kiện giúp đỡ động viên tơi q trình học tập thời gian làm đề tài Mặc dù cố gắng song khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo để khóa luận hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Đinh Thị Trình LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Những kết số liệu khố luận chưa cơng bố hình thức Tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước nhà trường cam đoan Hà Tĩnh, ngày tháng 05 năm 2014 Tác giả Đinh Thị Trình MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức lĩnh vực khó chương trình Tốn học phổ thơng, lại phần ln có sức hấp dẫn, thu hút tìm tịi, óc sáng tạo người u tốn Và từ có nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi nhà Toán học tiếng BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,… Trong bật mà ta không nhắc đến bất đẳng thức Cauchy (bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân số) Đó bất đẳng thức bản, gần gũi lại bất đẳng thức mạnh có nhiều ứng dụng Toán học Các toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy thường có mặt kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi hay kỳ thi Olimpic thử thách thực với thí sinh Để giải tốn địi hỏi phải có kiến thức tổng hợp tương đối vững vàng Thực tiễn cho thấy: Mặc dù bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức q trình vận dụng để giải tốn số học sinh cịn bộc lộ hạn chế nhìn đối tượng toán học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, máy móc Chưa có tính độc đáo tìm lời giải tốn Từ dẫn đến nhiều học sinh gặp khó khăn giải tập sử dụng bất đẳng thức Cauchy Nhận thức vấn đề nên chọn nội dung “Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy giải số toán” làm đề tài khoá luận Mục đích nghiên cứu Nhằm tổng hợp kỹ thuật để giúp học sinh nắm bắt số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán chương trình Tốn phổ thơng, kỳ thi Tuyển sinh Đại học kỳ thi học sinh giỏi khác Qua rèn luyện kỹ sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tịi, khám phá cho học sinh sáng tạo toán Đối tượng nghiên cứu Các toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình tốn liên quan phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức Cauchy với nội dung kiến thức phong phú, sâu sắc mà giáo viên học sinh biết khai thác triệt để tập giải tốn cách hiệu Khóa luận tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thơng, sinh viên ngành Tốn, giáo viên trẻ vào nghề muốn giải tốt tập sử dụng bất đẳng thức Cauchy Phạm vi nghiên cứu Trong phạm vi mơn học Tốn sơ cấp tơi trình bày phần nhỏ “Bất đẳng thức Cauchy giải số toán” Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hóa lí luận vấn đề liên quan đến đối tượng nghiên cứu đề tài là: “Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy giải số toán” Đưa số phương pháp giải, dạng tập nhằm giúp sinh viên, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức nắm ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu, phân tích tổng hợp tài liệu tạp chí, sách báo, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Hỏi ý kiến chuyên gia Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương Cơ sở lý thuyết Chương Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy giải số toán NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Định lý * Bất đẳng thức Cauchy tổng quát: Cho a1 , a , , a n số không âm Khi đó: a  a   a n n  a 1a a n (1) n Dấu xảy (1) a1  a   a n Chứng minh: Ta sử dụng nguyên lí quy nạp toán học để chứng minh +) Với n  , bất đẳng thức dạng: ab  ab , a, b  (1) a  b Khi (1)   ab  a  b2  2ab  4ab  a  b2  2ab    a  b   hiển nhiên Đẳng thức xảy  a  b +) Giả sử bất đẳng thức với n số không âm Xét 2n số không âm a1, a , , a n , a n1 , , a 2n , ta có: 1 a  a   a n a n 1  a n    a 2n    a1  a   a 2n     2n 2 n n   n a1a a n  n a n 1a n 2 a 2n  n a1a a n n a n 1a n 2 a 2n  2n a1a a n a n 1a n 2 a 2n   Đẳng thức xảy khi: a1  a   a n   a1  a   a n  a n 1  a n    a 2n a n 1  a n    a 2n a a a  a a a n 1 n  2n  n +) Giả sử bất đẳng thức cho n số không âm Lấy n  số không âm a1 , a , , a n 1 Đặt: a n  a1  a   a n 1   a n  0 n 1 Ta có: 1 a1  a   a n 1   a1  a   a n 1   a1  a   a n 1    n a1a a n 1.  n n 1 n 1    Hay a  a   a n 1  a  a   a n 1   n a1a a n 1.  n 1 n 1   Nâng hai vế lên luỹ thừa bậc n, ta được: n  a1  a   a n 1   a1  a   a n 1     a1a a n 1.  n 1 n 1     Vì cần xét trường hợp a1  a   a n 1  , nên suy ra:  a  a   a n 1    n 1   n 1  a1a a n 1 Hiển nhiên đẳng thức xảy khi: a1  a   a n 1  a1  a   a n 1 n 1 * Bất đẳng thức Cauchy viết dạng khác: a1  a   a n 1  a1  a   a n  n n a1a a n n  a1  a   a n     a1a a n n   * Bất đẳng thức Cauchy suy rộng Với số a1 , a , , a n không âm 1 ,  , ,  n dương ta có: 1a1   2a    n a n   1      n   a a a 1 2 n n  1   n Dấu xảy a1  a   a n 1.1.2 Một số bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Cauchy * Các bất đẳng thức dạng phân thức 1) a, b  , ta có: 1   a b ab Đẳng thức xảy  a  b 1 1 2)      a, b, c  a b c a bc Đẳng thức xảy  a  b  c Chứng minh 1) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: a  b  ab (Đẳng thức xảy a = b) 1 1 (Đẳng thức xảy  )  2 a b a b ab 1 1 1 Do đó:  a  b      ab.2 4   ab a b ab a b a  b  Đẳng thức xảy  1  a  b  a  b 2) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: a  b  c  3 abc (Đẳng thức xảy a = b = c) 1 1 1 (Đẳng thức xảy   )    33 a b c a b c abc 1 1 Do đó:  a  b  c       3 abc.3  abc a b c 1 1 Hay      a b c a bc a  b  c  Đẳng thức xảy  1  a  b  c  a  b  c Tổng quát ta có: 1 n2     a1 , a , , a n  (*) a1 a a n a  a   a n Đẳng thức xảy  a1  a   a n * Các bất đẳng thức dạng đa thức x, y, z  , ta có: 1) x  y  z  xy  yz  zx 2)  x  y  z    x  y  z  2 3)  x  y  z    xy  yz  zx  Dấu xảy x  y  z Chứng minh 1) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x  y  2xy (Dấu xảy x  y ); y2  z  2yz (Dấu xảy y  z ); z  x  2zx (Dấu xảy z  x ) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được:  x  y  z    xy  yz  zx  hay x  y  z  xy  yz  zx Dấu xảy x  y  z 2) Từ bất đẳng thức ta có:  x  y2  z   x  y  z   x  y  z   x  y2  z   xy  yz  zx    x  y  z  Dấu xảy x  y  z 3) Từ x  y  z  xy  yz  zx , ta có:  x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx    xy  yz  zx  Dấu xảy x  y  z 1.1.3 Hệ n S Hệ 1: Nếu a1  a   a n  S  const max P  a1a a n    n S n Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn a1  a   a n  Hệ 2: a1a a n  P  const S  a1  a   a n  n n P a1  a   a n  n P Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ 1.1.4 Một số ý sử dụng bất đẳng thức Cauchy * Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy số phải số khơng âm * BĐT Cauchy thường áp dụng bất đẳng thức cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu “=” số 1.2 Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy Nói chung, ta gặp toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy mà thường biến đổi tốn đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi biến đổi, ta nên lưu ý số kỹ thuật biến đổi sau: 1.2.1 Kỹ thuật thêm, tách, ghép số Trong mục đưa số dạng bất đẳng thức lấy từ kỳ thi Olimpic quốc tế Olimpic quốc gia số nước mà cách giải chủ yếu dựa vào tách, ghép điều chỉnh hệ số a k  bất đẳng thức Cauchy Kỹ thuật phụ thuộc vào toán nhạy bén người làm toán Một điểm cần ý ta phải tách ghép cho dấu xảy bất đẳng thức đảm bảo Để minh hoạ để tính tốn đơn giản, ta chủ yếu xết ví dụ với cặp ba biến Ta có số phương pháp nhỏ sau: * Bậc số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bậc số hạng cần mơ tả Ví dụ 1: Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a b c3    ab  bc  ca b c a Phân tích tốn: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải không chứa mẫu, ta cần khử mẫu cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả hai, nên bậc số hạng thêm vào hai a3 có chứa mẫu b, nên số hạng thêm vào phải chứa b nhân tử b Bậc số hạng 2, nên ta cộng thêm vào ab Chẳng hạn, số hạng a3  ab  2a b Tương tự ta có lời giải sau: Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3 a3 b c  ab  2a ,  bc  2b ,  ca  2c b c a Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a b c3    ab  bc  ca   a  b  c  (1) b c a Dấu đẳng thức xảy khi:  a3  b  ab a  b  a  b  b    bc   b  c  b  c  a  b  c c c  a c  a    c3  ca  a Lại có, a  b  c  ab  bc  ca (2) Dấu đẳng thức xảy a  b  c Từ (1) (2) suy ra: a b c3    ab  bc  ca   ab  bc  ca  b c a a b3 c3    ab  bc  ca b c a Dấu đẳng thức xảy a  b  c Ví dụ 2: Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:  a b c3    a  b  c bc ca ab Phân tích tốn: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả một, nên bậc số hạng thêm vào a3 Chẳng hạn, số hạng có chứa mẫu b, c bậc số hạng thêm vào bc a3 nên số hạng thêm vào b, c:  b  c  3a bc Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a3 b3 c3  b  c  3a ,  c  a  3b,  a  b  3c bc ca ab Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a b3 c3     a  b  c   3 a  b  c  bc ca ab a b3 c3    abc bc ca ab ...  1.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với số bất đẳng thức phụ Sử dụng bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Cauchy số bất đẳng thức quen thuộc khác Ví dụ 1: Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:... 1.1.4 Một số ý sử dụng bất đẳng thức Cauchy * Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy số phải số không âm * BĐT Cauchy thường áp dụng bất đẳng thức cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu “=” số. .. dấu “=” số 1.2 Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy Nói chung, ta gặp toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy mà thường biến đổi tốn đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi biến