Bước đầu nghiên cứu về sự ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

Mục lục Mở đầu Một số kiến thức ph-ơng trình vi phân Tính chất tổng quát nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính Công thức Ostrogratski-Liouville Ph-ơng pháp biến thiên số Lagrange Bổ đề Growall-Bellman Bihari 10 Các khái niệm lý thuyết ổn định 13 Các khái niệm lý thuyết ổn định 13 Các định lý tổng quát ổn định hệ vi phân tuyến tính 15 Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính 17 Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính với ma trận 18 Tiêu chuẩn Hurwits 20 Nghiên cứu ổn định số mũ Liapunov 26 Số mũ đặc tr-ng hàm số 26 Số mũ đặc tr-ng ma trận hàm 33 Phổ hệ vi phân tuyến tính 35 Hệ chuẩn tắc 38 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính 44 Bất đẳng thức Vazevski 45 Bất đẳng thức Liapunov 47 Hệ khả quy 49 Tính khả quy hệ tuyến tính với ma trận không 51 10 Hệ quy 53 11 Định lý Perron 54 12 Tính quy hệ tuyến tính tam giác 57 13 Lí thuyết Floquet 60 14 Tính khả quy hệ tuyến tính tuần hoàn 62 Tài liệu tham khảo 66 Mở đầu I Lí chọn đề tài khóa luận Lí thuyết ổn định toán học lý thuyết nghiên cứu định tính ph-ơng trình vi phân th-ờng Do hầu hết trình có tính chất biến đổi mô tả hệ ph-ơng trình vi phân (PTVP), khi, mặt lịch sử, việc giải tìm nghiệm xác hệ PTVP điều khó thực hiện, kể có trợ giúp máy tính điện tử Chính vậy, nhà toán học tập trung vào giải toán định tính nghiên cứu trình thông qua hệ PTVP mô tả trình Đó việc nghiên cứu để biết rõ tính chất nghiệm hệ PTVP dựa yếu tố đầu vào thể thân hệ ph-ơng trình Với ý nghĩa nh- vậy, lý thuyết ổn định, ban đầu đ-ợc hiểu ổn định chuyển động học túy, trình phát triển đ-ợc hiểu rộng rãi ổn định trình biến đổi nói chung, bao gồm từ trình vật lý đến trình kinh tế, biến đổi môi tr-ờng, sinh thái học nhiều lĩnh vực khác Với lí đó, lý thuyết ổn định đ-ợc nghiên cứu phát triển mạnh lí thuyết ứng dụng suốt nhiều thập kỷ qua Là sinh viên ngành S- phạm Toán học, trình học tập học phần Ph-ơng trình vi phân lý thuyết ổn định, với thời l-ợng chủ yếu học phần tập trung vào nghiên cứu tính chất PTVP giới thiệu khái l-ợc lý thuyết ổn định, nên thân định tìm hiểu, nghiên cứu cách sâu sắc, có hệ thống lý thuyết ổn định thông qua việc đăng ký làm khóa luận tốt nghiệp với tên đề tài khóa luận "B-ớc đầu nghiên cứu ổn định nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân" Bên cạnh đó, thông qua việc thực khóa luận, kỳ vọng với h-ớng dẫn thầy, cô giáo, trang bị thêm cho kỹ tự học, tự nghiên cứu để sử dụng nh- công cụ hữu hiệu suốt trình học tập, công tác II Mục đích nhiệm vụ Mục đích Khóa luận đặt mục tiêu: Nghiên cứu tài liệu, hệ thống hóa kiến thức lý thuyết ổn định, bao gồm khái niệm định lý ổn định; nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính ph-ơng pháp số mũ Liapunov, từ tìm hiểu kết tính ổn định hệ gần tuyến tính hệ có nhiễu tác động th-ờng xuyên Thông qua trình thực khóa luận để có điều kiện rèn luyện kỹ tự học, tự nghiên cứu tài liệu Đó trình tìm hiểu, lựa chọn học liệu, nghiên cứu để tập hợp hệ thống hóa, vận dụng trình bày lại kiến thức cách hệ thống theo mục tiêu đặt Nhiệm vụ Nhiệm vụ thực khóa luận là: Lựa chọn tài liệu, học liệu, nghiên cứu đề tài khóa luận; Xây dựng đề c-ơng tổng quát đề c-ơng chi tiết; Thực nội dung nghiên cứu khóa luận: Trình bày khái niệm, định lí có chứng minh chi tiết có liên quan III Ph-ơng pháp nghiên cứu Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết, tập hợp, s-u tầm, nghiên cứu tài liệu, so sánh, đối chiếu sử dụng kiến thức toán học biết để quán hóa trình bày hoàn chỉnh nội dung kiến thức liên quan thành chủ đề trọn vẹn Trong trình thực luận án có thảo luận, xin ý kiến thầy cô giáo thực đạo trực tiếp giảng viên h-ớng dẫn IV Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm phần mở đầu, ba ch-ơng nội dung phần kết luận Nội dung cụ thể là: Ch-ơng 1: Một số kiến thức ph-ơng trình vi phân: Trình bày vắn tắt kiến thức lý thuyết PTVP có sử dụng ch-ơng ch-ơng Khóa luận Ch-ơng 2: Các khái niệm lý thuyết ổn định: Trình bày cách hệ thống khái niệm kết lý thuyết ổn định Ch-ơng 3: Nghiên cứu tính ổn định ph-ơng pháp số mũ Liapunov: Ch-ơng trình bày ph-ơng pháp thứ gọi ph-ơng pháp số mũ Liapunov số ví dụ minh họa Phần kết luận tổng kết kiến thức trình bày khóa luận Ch-ơng Một số kiến thức ph-ơng trình vi phân Tính chất tổng quát nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính: dyj = dt n ajk(t)yk + fj (t) (j = 1, n) (1.1) k=1 Trong ajk (t), fj (t) C(I + ) với I + = (a; +) Chúng ta giả thiết ajk(t), fj (t) R có nghiệm yj (t) C Với ký hiệu A(t) = [ajk (t)]nìn , y(t) = col [y1 , , yn] , f(t) = col [f1 (t), , fn(t)], hệ (1.1) đ-ợc viết d-ới dạng ma trận sau: dy = A(t)y + f(t) dt (1.2) Hệ (1.2) với A(t), f(t) C(I + ) thoả mãn điều kiện tồn nghiệm toán Cauchy: Với (t0 , y0 ) I + ì Kn hệ (1.2) có nghiệm y(t) xác định I + thoả mãn y(t0 ) = y0 Xét hệ t-ơng ứng với hệ (1.2): dx = A(t)x dt (1.3) Cho xj (t) = col [x1j (t), x2j (t), , xnj (t)] , j = 1, n n nghiệm (1.3) khoảng I + , đó: Định nghĩa 1.1 Ma trận X(t) = [x1(t) x2(t) xn(t)] ma trận vuông cấp n lập nên n nghiệm cho cột thứ j cột toạ độ nghiệm xj (t) đ-ợc gọi ma trận nghiệm hệ (1.3) Nếu hệ nghiệm {xj (t)} hệ nghiệm (tức hệ n nghiệm độc lập tuyến tính I + ), X(t) đ-ợc gọi ma trận nghiệm Mệnh đề 1.2 Ma trận nghiệm X(t) hệ (1.3) thoả mãn ph-ơng trình ma trận sau: X(t) = A(t)X(t) (1.4) Mệnh đề 1.3 Nếu X(t) ma trận nghiệm hệ (1.3) nghiệm hệ đ-ợc biểu diễn d-ới dạng: x(t) = X(t)c, c = col(c1, , cn) Kn ma trận cột số (1.5) Thật vậy, hàm số xjk(t) thoả mãn ph-ơng trình thứ j hệ (1.3) nên: dxjk = dt n ajs(t)xsk (t) (1.6) s=1 Theo quy tắc nhân ma trận ta đ-ợc: dxjk X(t) = = dt n ajs(t)xsk (t) A(t)X(t) s=1 Ng-ợc lại cách nhân lần l-ợt hai vế hệ (1.4) với vector ei sở tắc Kn ta đ-ợc: Nếu X(t) ma trận thoả mãn ph-ơng trình (1.4), cột nghiệm hệ (1.3) Hơn định thức det X(t) = X(t) ma trận nghiệm hệ Giả sử x = x(t) nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 ta đ-ợc x(t0) = X(t0 )c Do c = X (to )x(to ) Vì vậy: x(t) = X(t)X (t0 )x(t0) (1.7) Định nghĩa 1.4 Ta gọi ma trận K(t, t0 ) = X(t)X (t0 ) ma trận Cauchy hệ (1.3) Ta thấy, nghiệm hệ có dạng: x(t) = K(t, t0)x(t0 ) Đặc biệt, ma trận nghiệm X(t) chuẩn tắc t0 , tức X(t0 ) = E, công thức (1.7) có dạng: x(t) = X(t)x(to ) (1.8) Ma trận Cauchy không phụ thuộc vào việc chọn ma trận nghiệm X(t) Thật vậy, giả sử X(t) ma trận khác (1.3) ta có X(t) = X(t)C, C ma trận không suy biến Do đó: K(t, t0) = X(t)X (t0) = X(t)CC X (t0 ) = K(t, t0 ) Nếu y(t) nghiệm hệ không (1.2), nghiệm tổng quát hệ (1.2) viết d-ới dạng: y(t) = y(t) + X(t)c, y(t) nghiệm riêng hệ c ma trận cột số Nếu y(t0 ) = c = X (t0 )y(t0 ) Do đó: y(t) = y(t) + K(t, t0)y(t0 ) Công thức Ostrogratski-Liouville Giả sử X(t) = [xjk (t)] ma trận hệ vi phân (1.3) Định thức W (t) = det X(t) đ-ợc gọi định thức Wronski hệ: W (t) = det X(t) (2.1) áp dụng quy tắc lấy đạo hàm định thức, ta đ-ợc: dW (t) = dt n j=1 x11(t) xj1(t) xn1(t) ããã ããã x1k (t) xjk (t) xnk(t) ããã ããã x1n(t) xjn(t) xnn(t) Do xjk(t) = n s=1 ajs (t)xsk (t) dW (t) = dt n (j, k = 1, n) tính chất định thức ta đ-ợc: n x11(t) n j=1 s=1 xsk (t) ããã x1n(t) ajs(t) xs1(t) ããã xn1(t) ããã xnk (t) ã ã ã xnn(t) n = x1k (t) xsn(t) n ajs(t)js W (t) = W (t) j=1 s=1 ajj (t) = Sp A(t)W (t) j=1 Lấy tích phân ph-ơng trình sau [t0; t] I + ta đ-ợc công thức Ostrogratski-Liouville sau đây: t Sp A( )d t0 W (t) = W (t0 ).e (2.2) Sau nêu công thức tìm ma trận nghiệm tr-ờng hợp không tìm đ-ợc hệ nghiệm Đó công thức cho phép tìm ma trận nghiệm thông qua tổng chuỗi ma trận biết nghiệm không tầm th-ờng hệ Xét hệ PTVP tuyến tính nhất: dx = A(t)x, dt A(t) C(I + ) (2.3) Giả sử t0 I + x = x(t) nghiệm hệ (2.3) xác định điều kiện đầu: x(t0 ) = x0 (2.4) Để biểu diễn giải tích nghiệm x(t), ta dùng ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp: Hệ (2.3) với điều kiện đầu (2.4) t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình tích phân: t x(t) = x(t0 ) + A(t1 )x(t1)dt1 t0 t1 Thay x(t1) ph-ơng trình x(t1 ) = x(t0 ) + A(t2 )x(t2 )dt2 ta đ-ợc: t0 t x(t) = x(t0) + t A(t1 )x(t0 )dt1 + t0 t1 A(t1 )dt1 t0 A(t2 )x(t2)dt2 t0 Lặp lại trình vô hạn lần ta đ-ợc công thức biểu diễn nghiệm: t x(t) = x(t0) + t1 t A(t1 )x(t0)dt1 + t0 A(t1 )dt1 t0 A(t2 )x(t2 )dt2 + t0 Kí hiệu: t tt0 =E+ A(t1 )dt1 + t0 t1 t A(t1 )dt1 t0 A(t2 )dt2 + t0 (2.5) Định nghĩa 2.1 Ma trận tt0 gọi ph-ơng trận hệ vi phân (2.3) Ta có: x(t) = tt0 x(t0) (2.6) Chuỗi vế phải (2.5) hội tụ tuyệt đối hội tụ đoạn [, ] I + Thật t tt0 E + t1 t A(t1) |dt1| + t0 A(t1) |dt1| t0 A(t2) |dt2| + (2.7) t0 Giả sử [, ] [t0 A, t0 + B] I + , C = max(A, B), M = max t0 A t t0 +B A(t) Với t [, ], ta có đánh giá sau: t A(t1 ) dt1 M | t t0 |, t0 t1 t A(t1 ) dt1 t0 Vì |t t0 | t M2 A(t2 ) dt2 t0 |t1 t0 |dt1 M2 |t t0 |2, 2! t0 C nên chuỗi vế phải (2.7) đ-ợc làm trội chuỗi số d-ơng hội tụ E +M C + M C2 + = E + exp(M C) (2.8) Do nhờ dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hàm (2.7) hội tụ [, ] I + Vì chuỗi ma trận (2.5) hội tụ tuyệt đối hội tụ [, ] Lấy vi phân số hạng chuỗi (2.5), ta nhận đ-ợc chuỗi hội tụ [, ] : dtt0 = A(t) + A(t) dt t t2 t A(t2 )dt2 + A(t) t0 A(t3 )dt3 + A(t)tt0 , A(t2 )dt2 t0 t0 Ngoi tt00 = E nên ph-ơng trận tt0 l ma trận chuẩn tắc hệ vi phân (2.3) nghiệm x(t) hệ đ-ợc biểu diễn theo công thức: x(t) = tt0 x(t0 ) K(t, t0 )x(t0 ) Nhờ tính chất nghiệm ta nhận đ-ợc tính chất ph-ơng trận: tt1 tt10 = tt0 với (t0, t1) I + Ph-ơng pháp biến thiên số Lagrange Xét hệ vi phân không nhất: dy = A(t)y + f(t) dt (3.1) Hệ vi phân sau gọi hệ t-ơng ứng với hệ (3.1): dx = A(t)x dt (3.2) Chúng ta tìm nghiệm hệ ph-ơng pháp biến thiên số Lagrange Giả sử hệ (3.1) có nghiệm y(t) dạng: y(t) = X(t)u(t) (3.3) X(t) ma trận hệ t-ơng ứng v u = u(t) hàm vector ch-a biết Thay y(t) (3.3) vào (3.1) ta đ-ợc: X(t) du + X(t)u = A(t)X(t)u + f(t) dt t du Vì X(t) = A(t)X(t) nên X(t) = f(t) Do u(t) = c + X (t1 )f(t1 )dt1 Kết hợp với (3.3) có: dt t0 t y(t) = X(t)c + K(t, t1)f(t1 )dt1 (3.4) t0 Trong K(t, t1 ) = X(t)X (t1 ) l ma trận Cauchy hệ (3.2) Để xác định vector c ta thay t = t0 vo công thức (3.4) ta đ-ợc: c = X (t0 )y(t0 ) Từ đó: t y(t) = K(t, t0 )y(t0 ) + K(t, t1)f(t1 )dt1 (3.5) t0 Đặc biệt, X(t) chuẩn tắc t0, từ công thức (3.5) ta có: t y(t) = X(t)y(t0 ) + K(t, t1 )f(t1 )dt1 t0 Từ công thức (3.5) ta suy hệ không (3.1) có nghiệm riêng: t y(t) = K(t, t1)f(t1 )dt1 t0 thoả mãn điều kiện ban đầu y(t0 ) = Chú ý ma trận A(t) = A l ma trận số X(t0 ) = E thì: X(t)X (t1) v X(t t1 + t0) ma trận hệ (3.2) chúng t = t1 Do vậy: X(t)X (t1 ) X(t t1 + t0 ) Nếu đặt t0 = ta nhận thấy hệ vi phân: dy = Ay + f(t) dt (3.6) Trong A l ma trận số, có nghiệm tổng quát: t y(t) = X(t)y(0) + X(t t1)f(t1 )dt1 t0 (3.7) Đặc biệt, y(0) = 0, hệ không (3.6) có nghiệm riêng: t X(t t1)f(t1 )dt1 y(t) = Bổ đề Growall-Bellman Bihari 1.Bổ đề Growall-Bellman Bổ đề 4.1 (Growall-Bellman) Giả sử u(t) Nếu 0, f(t) với t t0 u(t), f(t) C[t0, +) t u(t) c+ f( )u( )d với t t0 (c số d-ơng) (4.1) t0 Thì t u(t) c exp f( )d, (4.2) t0 Chứng minh Từ bất đẳng thức (4.1) ta nhận đ-ợc: u(t) c+ f(t)u(t) t f( )u( )d c+ t0 Chú ý (4.3) f( )u( )d t0 t d c + f( )u( )d = f(t)u(t) nên lấy tích phân bất đẳng thức (4.3) từ t0 đến t ta đ-ợc: dt t0 t ln[c + f(t) t t f( )u( )d ] ln c f( )d t0 t0 t Từ ta có u(t) c+ t f( )u( )d c exp t0 f( )d t0 Chú ý Nếu chuyển qua giới hạn công thức (4.1) (4.2) c +0, ta thấy Bổ đề số c 2.Bổ đề Growall-Bellman mở rộng Bổ đề 4.2 Giả sử u(t) liên tục, d-ơng khoảng (a; b) thoả mãn điều kiện: t u(t) u(t1 ) + | f( )u( )d |, t1, t (a; b) (4.4) t1 f(t) C(a; b) Khi đó, với a < t0 t < b ta có: t u(t0) exp[ t f( )d ] u(t) t0 u(t0 ) exp[ t0 10 f( )d ] (4.5) kết hợp với giả thiết ta đ-ợc: t Sp A(t1 )dt1 ||detX(t)|| = ||detX(t0 )||e t0 ||detX(t0 )||ea = c2 > với t > t0 , c2 số Đặt x = X(t)y vào ph-ơng trình (9.1) đ-ợc: dx dy = X(t)y + X(t) = A(t)X(t)y dt dt = A(t)X(t) nên X(t) dy = Vì detX(t) = nên nhân hai vế đẳng thức với X (t) ta đ-ợc: Do X(t) dt dy = dt Hệ 9.2 Nếu ma trận A(t) hệ (9.1) khả tích tuyệt đối tức là; ||A(t1)||dt1 = k < + (9.4) t0 hệ khả quy hệ có ma trận không Chứng minh Mọi nghiệm x(t) hệ (9.1) biểu diễn d-ới dạng: t x(t) = x(t0) + A(t1 )x(t1)dt1 t0 đó: t ||x(t)|| ||x(t0)|| + ||A(t1)||||x(t1)||dt1 t0 áp dụng bổ đề Gronwall-bellman giả thiết (9.4) ta đ-ợc: t ||A(t1 )||dt1 ||x(t)|| t0 ||x(t0)|| ã e ||x(t0)||ek Vì tất nghiệm hệ (9.1) bị chặn khoảng [t0; )Ngoài A(t) = [ajk], rõ ràng ta có: t t Do đó: t Sp A(t1 )|dt1 Sp A(t1 )dt1 t0 t |ajj (t1 )|dt1 t0 t0 t n |A(t1 )|dt1 t0 t Sp A(t1 )dt1 t0 j Sp A(t1 )dt1 t0 52 nk nk 10 Hệ quy Xét hệ vi phân tuyến tính: dx = A(t)x dt với ma trận A(t) liên tục, thực giới nội: A(t) C[t0, ) sup ||A(t)|| < Giả sử: (10.1) t m = nk k (10.2) k=1 tổng số mũ đặc tr-ng (tính bội nk chúng) nghiệm hệ (10.1) chứa hệ chuẩn tắc Định nghĩa 10.1 Hệ vi phân tuyến tính đ-ợc gọi quy theo Liapunov, tổng số mũ đặc tr-ng trùng với giới hạn d-ới giá trị trung bình vết ma trận hệ, tức là, có đẳng thức: t t t = lim Sp A(t1)dt1 (10.3) t0 Chú ý 24 Nếu A(t) phức, điều kiện (10.3) đ-ợc viết lại nh- sau: t t t = lim Re Sp A(t1 )dt1 t0 Bổ đề 10.2 Hệ vi phân tuyến tính (10.1) quy khi: 1) Tồn giới hạn giá trị trung bình phần thực vết ma trận hệ: t S = lim t t Re Sp A(t1 )dt1 (10.4) t0 2) Thoả mãn đẳng thức Liapunov: =S Chứng minh (10.5) Điều kiện cần Giả sử hệ (11.1) quy và: t S = lim t t t Re Sp A(t1 )dt1, S = lim t t t0 Re Sp A(t1 )dt1 t0 Sử dụng công thức (10.3) bất đẳng thức Liapunov ta có: S Mặt khác, hiển nhiên S =S S Suy ra: S = S = S = Điều kiện đủ Hiển nhiên Định lý 10.3 Mọi hệ vi phân tuyến tính khả quy quy Chứng minh định lý xem thêm [2] 53 Bằng ví dụ sau, ta thấy điều ng-ợc lại định lý 10.3 không Ví dụ 11 Ph-ơng trình vô h-ớng: x dx = dt t quy, nghiệm tổng quát là: (t > 0) x = ce t (10.6) với c = 0, ta có: t [x] = = lim t t t0 dt1 (t > 0) t1 (10.7) Tuy nhiên, ph-ơng trình không khả quy, nghiệm tổng quát (10.6) dạng nêu định lý Erughin 11 Định lý Perron Giả sử hệ: dx = A(t)x dt (11.1) dy = A (t)y dt (11.2) hệ tuyến tính với ma trận thực phức Định nghĩa 11.1 Hệ A (t) = AT (t) ma trận liên hợp Hermite ma trận A(t), đ-ợc gọi hệ liên hợp hệ (11.1) Nếu A(t) thực A (t) = AT (t), hệ liên hợp (11.1) có dạng: dy = AT (t)y dt Ta thấy hệ (11.1) hệ liên hợp (11.2), hệ (11.1) (11.2) hai hệ liên hợp với Bổ đề 11.2 Đối với nghiệm x y hệ liên hợp với (11.1) (11.2), ta có: y x < x, y > c (11.3) y vector liên hợp Hermite với y c số T-ơng tự ma trận X = X(t), Y = Y (t) hệ này, ta có hệ thức: Y X C (11.4) Trong Y ma trận liên hợp Hermite Y, C số Đảo lại có (11.4), C ma trận không suy biến, X ma trận hệ (11.1) Y ma trận hệ (11.2) Chứng minh Xem [2] 54 Định lý 11.3 (Perron.) Hệ vi phân tuyến tính quy phổ hệ đó: n (11.5) n (11.6) phổ đầy đủ hệ liên hợp với nó: đối xứng với qua Nghĩa thoả mãn đẳng thức: s + s = (s = 1, , n) (11.7) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hệ (11.1) quy X(t) = [xjk(t)] ma trận chuẩn tắc hệ gồm nghiệm xk = (x1k , , xnk) (k = 1, , n) cho [xk ] = k (k = 1, , n) k thoả mãn (11.5) Nhờ Bổ đề 11.2 ta có: Y (t) = [X ] [yjk(t)] (11.8) ma trận hệ liên hợp (11.2) Đặt yk = col[y1k , , ynk ] thoả mãn [yk ] = k (11.9) Từ công thức (11.8) ta suy Y (t)X(t) = E nên ta có: y(s) x(s) = 1, (s = 1, , n) Sử dụng định lý số mũ đặc tr-ng tích hai ma trận, ta đ-ợc: = [1] = [y(s) x(s) ] [y(s) ] + [x(s)] = s + s hay s + s (11.10) Mặt khác, Xjk (t) phần bù đại số phần tử xjk (t) ta có: yjs (t) = Xsj (t) detX(t) 55 = Xjs(t) detX(t) t detX(t) = detX(t0 )( Sp A(t1 )dt1 ) = Từ đó: t0 t [yjs(t)] = + detX(t0 ) Sp A(t1 )dt1 + Xjs(t) t0 Rõ ràng: = 0, hệ (11.1) hệ quy nên: detX(t0 ) t = s s = lim t t Re Sp A(t1 )dt1 t0 nên t exp = Sp A(t1 )dt1 t0 Ta lại có: Xjs(t) = Xjs(t) s Vậy [yjs(t)] + () + s = s Do s = max [yjs (t)] j s tức s + s (11.11) s + s = (11.12) Kết hợp với bất đẳng thức (11.10) ta đ-ợc: Chứng minh Y (t) chuẩn tắc , 2, , n thực toàn phổ hệ liên hợp t y = s = s s s = lim t t Re Sp A(t1 )dt1 = t0 t = lim t t Re Sp[A (t1 )]dt1 t0 Vậy ma trận Y (t) hệ liên hợp (11.2) đẳng thức Liapunov đ-ợc thoả mãn ma trận chuẩn tắc Điều kiện đủ Giả sử (11.5) (11.6) phổ hệ liên hợp với đẳng thức (??) thoả mãn Nhờ bất đẳng thức Liapunov: t s s lim t t Re Sp A(t1 )dt1 = S t0 56 t s s lim t t t Re Sp[A (t1 )]dt1 = lim t t t0 Re Sp A(t1 )dt1 = S t0 Từ bất đẳng thức đẳng thức (??), ta đ-ợc: 0= (s + s ) S S s Hiển nhiên S S nên S = S Do tồn giới hạn: S = lim t Re Sp A(t1)dt1 t Ngoài ra: s = S s s > S Thật vậy, s s S, ta có: s 0= (s + s ) > (Vô lí.) s Từ nhờ Bổ đề (10.2) suy hệ (11.1) quy Hệ 11.4 Hệ liên hợp với hệ tuyến tính quy hệ tuyến tính quy Hệ 11.5 Nếu hệ (12.1) quy X(t) ma trận chuẩn tắc thì: Y = [X 1(t)] ma trận chuẩn tắc hệ (11.2) 12 Tính quy hệ tuyến tính tam giác Xét hệ vi phân với ma trận tam giác d-ới bị chặn: dx1 = a11(t)x1 dt dx2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 dt dxn = a (t)x + a (t)x + + a (t)x n1 n2 nn n dt (12.1) Đặt A(t) = [ajk(t)] C[t0; ) với ajk (t) = k > j Định lý 12.1 (Liapunov) Hệ tuyến tính tam giác thực với hệ số bị chặn quy hệ số chéo akk (t) (k = 1, , n) có giá trị trung bình hữu hạn, tức: t àk = lim t t akk (t1 )dt1 t0 57 (12.2) Chứng minh (Điều kiện cần) Giả sử hệ (12.1) quy, đặt: t àk = lim t t akk (t1 )dt1 t0 t àk = lim t t akk(t1 )dt1 (k = 1, , n) t0 Giả sử t S = lim t t t Sp A(t1 )dt1 = lim t t t0 n akk (t1 )dt1 t0 k=1 Kí hiệu: t Ak (t) = exp akk (t1 )dt1 (k = 1, , n) t0 Tích phân ph-ơng trình hệ (12.1) ta thấy hệ có hệ chuẩn tắc X(t) ma trận tam giác d-ới xjk(t) xjk(t) = với j < k = Ak (t) t j1 xjk(t) = Aj (t) A1 ajs(t1 )xsk (t1 )dt1 với j > k j (t1 ) t0 s=k i, j = 1, , n (12.3) X(t0 ) = E Nhân bên phải ma trận X(t) với ma trận số thích hợp: c21 cn1 cn2 ta đ-ợc ma trận chuẩn tắc: X(t) = X(t)C, (X(t) = [xjk(t)]), nữa, rõ ràng: xkk (t) = Ak (t) (k = 1, , n) Ma trận nghịch đảo chuyển vị: Y (t) = [X 1(t)]T [yjk(t)] ma trận chuẩn tắc hệ liên hợp: dy = AT (t)y dt Dễ thấy rằng: ykk (t) = A1 k (t) (12.4) Giả sử [x(k)] = max [xjk(t)] = k [y(k)] = max [yjk (t)] = k 58 (k = 1, , n) Nhờ định lý Perron, ta có: k + k = (k = 1, , n) (12.5) Vì toạ độ xkk(t) = Ak (t) tham gia vào thành phần nghiệm x(k) nên: k [Ak (t)] = àk (k = 1, , n) (12.6) Nhờ công thức (12.4), t-ơng tự, ta có: [A1 k (t)] = àk k (k = 1, , n) (12.7) Từ (12.5), (12.6) (12.7) đ-ợc: = k + k àk àk (k = 1, , n) tức àk = àk = àk (k = 1, , n) Vậy t àk = lim t t akk (t1 )dt1 t0 (Điều kiện đủ) Giả sử điều kiện (12.2) đ-ợc thoả mãn Z(t) = [zjk (t)] hệ hàm thoả mãn: zjk (t) zkk (t) = với j < k = Ak (t) t j1 zjk (t) = Aj (t) A1 ajs(t1 )zsk (t1)dt1 với j > k j (t1 ) jk s=k i, j = 1, , n jk = t0 àj (12.8) àk jk = + àj > àk Rõ ràng: det Z(t0 ) = Vì t t f(t1 )dt1 = f(t1 )dt1 t0 f(t1 )dt1 t0 nên hệ hàm Z(t) khác với hệ X(t) chỗ tích phân đ-ợc cộng thêm số Vì Z(t) ma trận hệ vi phân (12.1) Từ suy ra: Z(t) = X(t)B đó: b21 B= bn1 bn2 . ma trận Ta có: [zkk (t)] = [Ak (t)] = àk 59 (k = 1, , n) Tiếp theo quy nạp ta suy nếu: [zsk (t)] àk (s = k, , j 1; j > k) từ (12.3) sử dụng định lý số mũ đặc tr-ng tích phân ta có: [Aj (t)] + [A1 j (t)] + max {[ajs(t)] + [zsk (t)]} [zjk(t)] s àj + (àj ) + àk = àk Do đó: k = [z (k) = max [zjk(t)] àk s (k = 1, , n) Từ đặt: t S = lim t t n n akk (t1 )dt1 = t0 k=1 àk k=1 Nhờ bất đẳng thức Liapunov ta đ-ợc: n n S= àk k k=1 S k=1 Nghĩa là: n k = àk (k = 1, , n) k = S k=1 Vậy hệ nghiệm Z(t) đ-ợc xây dựng nh- chuẩn tắc, nghĩa hệ (12.1) hệ quy Hệ 12.2 Nếu hệ (12.1) với ma trận tam giác thực, bị chặn quy giá trị trung bình hệ số chéo akk (t) cho ta phổ {1, 2, , n} hệ này, tức là: t k = lim t t 13 n akk (t1)dt1 (k = 1, , n) t0 k=1 Lí thuyết Floquet Xét hệ vi phân tuyến tính: dx = A(t)x dt (13.1) với ma trận A(t) liên tục (; +), tuần hoàn với chu kì , tức: A(t + ) A(t) ( > 0) (13.2) Định lý 13.1 (Floquet) Đối với hệ (13.1), ma trận chuẩn hoá t = có dạng: X(t) = (t)et (13.3) (t) ma trận tuần hoàn không suy biến thuộc lớp C (hoặc liên tục khúc), (0) = E ma trận 60 Chứng minh Giả sử X(t) ma trận nghiệm chuẩn hoá hệ (13.1) 0, tức: X(0) = E, (13.3) Khi đó, ma trận X(t + ) ma trận Thật vậy: d + ) d (t + ) = A(t + )X(t + ) = A(t)X(t + ) X(t + ) = X(t dt dt Nh- vậy, X(t + ) ma trận hệ (13.1) Từ ta đ-ợc: X(t + ) X(t)C (13.4) C ma trận không suy biến, cho t = 0, ta đ-ợc: C = X() Vậy ta có: X(t + ) X(t)X() (13.5) Ma trận X() với det X() = gọi ma trận mônôđrômi Đặt: ln X() = , (13.6) X() = e , (13.7) X(t) X(t)et et, (13.8) Ta có: Viết X(t) = (t)et , (t) = X(t)et tuần hoàn với chu kì Thật vậy: (t + ) = X(t + )e(t+) = X(t)X()et e = X(t)e e et = X(t)et = (t), Ngoài ra: Nếu A(t) C(, ) (t) = X(t)et C 1(, ), (0) = E det (t) = det X(t) ã det e(t) = Chú ý 25 Các ma trận = ln X() (t) = X(t)et nói chung phức Các giá trị j ma trận tức det( E) = đ-ợc gọi số mũ đăc tr-ng hệ (13.1) Số mũ đặc tr-ng hệ tuyến tính tuần hoàn (13.1) khác với số mũ Liapunov nghiệm không tầm th-ờng hệ Loại thứ số phức, loại thứ hai phần thực loại thứ Ma trận không đ-ợc xác định cách ln X() đa trị Định nghĩa 13.2 Các giá trị riêng j (j = 1, , n) ma trận C = X(), tức nghiệm ph-ơng trình det(X() E) = đ-ợc gọi nhân tử Từ (13.9) rút ra: n n j = Sp X() j=1 j = det X() j=1 61 (13.9) Ngoài ta có: j = 1 ln j = [ln |j | + i(argj + 2k) (j = 1, , n; k = 0, 1; 2, ) (13.10) Định lý 13.3 Với nhân tử tồn nghiệm không tầm th-ờng (t) hệ tuần hoàn (13.1) thoả mãn điều kiện (t + ) = (t) (13.11) Ng-ợc lại nghiệm (t) không tầm th-ờng điều kiện (13.11) đ-ợc thoả mãn nhân tử hệ cho Chứng minh Xem [2] Hệ 13.4 Hệ (13.1) có nghiệm tuần hoàn chu kì có nhân tử Thật vậy: Đối với = 1, nghiệm không tầm th-ờng (t) = ta có hệ thức: (t + ) = 1(t) (13.12) tức (t) tuần hoàn với chu kì Ng-ợc lại có hệ thức (13.3) nhân tử đơn vị 14 Tính khả quy hệ tuyến tính tuần hoàn Định lý 14.1 Hệ tuyến tính với ma trận liên tục, tuần hoàn khả quy Chứng minh Theo công thức (13.3) ma trận nghiệm chuẩn hoá hệ (13.1) có dạng: X(t) = (t) ã et (t) C 1(, ) (t + ) = (t) Do tính tuần hoàn nên (t) (t) bị chặn (, ) Ngoài ra, (t) = X(t)et X(t) ma trận không suy biến, (t) tuần hoàn nên: inf | det (t)| > với < t < t Do đó: (t) ma trận Liapunov, theo định lý Erughin hệ tuần hoàn (13.1) khả quy Chú ý 26 Thực phép biến đổi x = (t)y = X(t)et y hệ (13.1) ta đ-ợc: dy = y dt (14.1) Vậy số mũ đặc tr-ng j nghiệm ph-ơng trình đặc tr-ng ma trận hệ (14.1) Định lý 14.2 1)hệ vi phân tuyến tính tuần hoàn với ma trận liên tục ổn định tất nhân tử j nằm hình tròn đơn vị đóng |j | nhân tử nằm đ-ờng tròn || = có -ớc đơn 2) Hệ tuần hoàn ổn định tiệm cận nhân tử nằm nằm hình tròn đơn vị || < 62 Thật vậy, từ hệ thức: j = nên |j | 1, ta có j (ln |j | + iArg j ) Từ suy định lý Để xác định miền ổn định tiệm cận của, ta đ-a điều kiện bảo đảm cho nghiệm đa thức: f() det[E X()] (14.2) nằm hình tròn đơn vị || < 1, với giả thiết ma trận X() thực Hình 3.4: Ta thấy phép biến đổi tuyến tính +1 biến hình tròn đơn vị || < mặt phẳng = + i thành nửa mặt phẳng trái Re < mặt phẳng = (Hình 21) Vậy ph-ơng trình (14.2) đ-ợc thay bởi: f +1 =0 F () = ( 1)nf +1 , (14.3) F () phải đa thức Hurwitz phải chọn dấu công thức cho đa thức F () đa thức chuẩn, tức phải có: F (0) == (1)n f(1) > Ví dụ 12 Với điều kiện nghiệm đa thức f(z) = z + pz + q nằm hình tròn |z| < Đặt F (z) = (z 1)2 +1 +p +1 +q = (z + 1)2 + p(z + q(z 1)2 = (1 + p + q)z + 2(1 q)z + (1 p + q) 63 (14.4) F (z) đa thức Hurwitz nên từ ta có điều kiện cần tìm + p + q 1q 1p+q >0 + p + q > q >0 1p+q [...]... nhất ổn định khi v chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất t-ơng ứng ổn định Với hệ quả trên, sau này để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính ta chỉ cần nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ thuần nhất t-ơng ứng Định nghĩa 2.5 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định đều nếu tất cả các nghiệm của hệ đó ổn định đều đối với t0 It+ khi t + Định lý 2.6 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định. .. thuần nhất (2.1) ổn định nên hệ đó ổn định Chú ý 5 Trong chứng minh trên ta thấy tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ thuần nhất đ-ợc suy ra từ tính ổn định của ít nhất một nghiệm của hệ không thuần nhất t-ơng ứng với số hạng tự do f(t) bất kì Hệ quả 2.3 Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu có ít nhất một nghiệm ổn định, không ổn định nếu có một nghiệm không ổn định Hệ quả 2.4 Hệ vi phân tuyến tính... ứng (2.2) ổn định tiệm cận khi t + Vi c chứng minh định lý (2.8) đ-ợc suy ra trực tiếp từ chú ý hiệu hai nghiệm bất kì của hệ không thuần nhất là nghiệm của hệ thuần nhất t-ơng ứng Hệ quả 2.9 Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.1) ổn định tiệm cận khi v chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định tiệm cận 3 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ vi phân tuyến... không ổn định đối với thời điểm ban đầu t0 It+ thì nó cũng không ổn định đối với thời điểm bất kì t0 It+ 2 Các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính Xét các hệ vi phân tuyến tính: dy = A(t)y + f(t), dt A(t), f(t) C(I + ) (2.1) và hệ thuần nhất đối với nó: dx = A(t)x dt (2.2) Định nghĩa 2.1 Hệ (2.1) đ-ợc gọi là ổn định (không ổn định) nếu tất cả các nghiệm của hệ đều ổn định (không... nghiệm của hệ đều ổn định (không ổn định) Liapunov khi t + 15 Chú ý 4 Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc tất cả đều ổn định hoặc tất cả đều không ổn định Đối với hệ vi phân phi tuyến có thể có cả nghiệm ổn định và nghiệm không ổn định Định lý 2.2 Hệ (2.1) ổn định với mọi f(t) C(I + ) khi và chỉ khi nghiệm tầm th-ờng (t) 0 của hệ thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định Liapunov khi t + Chứng minh... +) Nh- vậy mọi nghiệm của hệ (3.1) đều bị chặn nên hệ ổn định Liapunov khi t + Hơn nữa, theo giả thiết mọi nghiệm x(t) đều thoả mãn lim t+ x(t) 0 = 0 nên nghiệm tầm th-ờng của hệ ổn định tiệm cận khi t + Suy ra hệ ổn định tiệm cận khi t + Hệ quả 3.4 Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận thì ổn định tiệm cận trên ton thể khi t + Chú ý 7 Đối với hệ vi phân phi tuyến mà tất cả các nghiệm dần tới... v chỉ khi nghiệm tầm th-ờng x(t) 0 của hệ thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định đều khi t + Vi c chứng minh định lý (2.6) t-ơng tự chứng minh định lý (2.2) 16 Định nghĩa 2.7 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận khi t + nếu tất cả các nghiệm của hệ đó ổn định tiệm cận khi t + Định lý 2.8 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định tiệm cận khi v chỉ khi nghiệm tầm th-ờng x(t) 0 của hệ thuần nhất... + dy = 1 + t y có nghiệm không bị chặn y0 = t Bởi vì mọi nghiệm của hệ dt t đều có dạng: y(t) = t + y(0)e nên |y(t) y0 (t)| 0 khi t + Chứng tỏ nghiệm y0 (t) ổn định Ví dụ 1 Ph-ơng trình vô h-ớng tiệm cận khi t + 17 Chú ý 6 Với hệ vi phân tuyến tính thì từ tính bị chặn của các nghiệm không suy ra đ-ợc tính ổn định của hệ Ví dụ 2 Xét ph-ơng trình: dx = sin2 (x) Tích phân ph-ơng trình đó, ta có: dt... cho mọi nghiệm y(t) của hệ (1.2) trên khoảng [t0 ; +) m y(t0 ) < ta đều có y(t) 0 khi t + 14 Hình 2.2: Định nghĩa 1.5 Giả sử hệ (1.2) xác định trong không gian = It+ ì Kn Khi đó nghiệm y(t) của hệ (1.2) trên khoảng (a; +) gọi là ổn định tiệm cận trong toàn thể nếu nó ổn định tiệm cận khi t + và mọi nghiệm y(t) trong khoảng [t0 ; +) của hệ (1.2) đều thoả mãn y(t) (t) 0 khi t + Xét hệ vi phân có... cho mọi nghiệm x(t) của hệ thuần nhất xác định trên [t0, +) nếu thoả mãn x(t0) < , ta đều có x(t) < , (t t0 ) Do hiệu hai nghiệm bất kì của hệ không thuần nhất (2.1) là nghiệm của hệ thuần nhất (2.2) nên ta suy ra: Nếu (t) l một nghiệm bất kì của hệ không thuần nhất (2.1) thì với mọi nghiệm y(t) của hệ đó, nếu ||y(t0 ) (t0 )|| < thì ||y(t) (t)|| < , (t t0 ) Điều này chứng tỏ mọi nghiệm của hệ không