Bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp 2m trên nửa trục

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I II KHOA TỐN Tran Th% Khun BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP 2m TRÊN NUA TRUC KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Ngành: Tốn - Giái tích Ngưèi hưéng dan: TS Tran Văn Bang Hà N®i - 2011 LèI CÃM ƠN Trong q trình thnc hi¾n khóa lu¾n, tơi nh¾n đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình chu đáo cúa thay giáo TS Tran Văn Bang - Giáng viên to Giái tích tồn the thay giáo khoa Tốn, trưòng Đai hoc Sư pham Hà Nđi Tỏc giỏ khúa luắn xin oc by tú lòng biet ơn sâu sac gúi lòi cám ơn trân nhat tói thay cơ, đ¾c bi¾t TS Tran Văn Bang, ngưòi giúp tơi hồn thành khúa luắn ny H Nđi, thỏng 05 nm 2011 Tỏc giá Tran Th% Khuyên LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Khóa lu¾n ” Bài tốn biên đoi vói phương trình vi phân cap 2m núa trnc ” ket q nghiên cúu cúa riêng tơi, có tham kháo ý kien cúa nhung ngưòi trưóc, tham kháo tài li¾u có liên quan, dưói sn hưóng dan khoa hoc cúa TS Tran Văn Bang Khóa lu¾n khơng chộp tự mđt ti liắu, mđt cụng trỡnh no san có Ket q khóa lu¾n nhieu có đóng góp vào vi¾c tìm hieu, nghiên cúu ve tốn biên Hà N®i, tháng 05 năm 2011 Tác giá Tran Th% Khuyên Mnc lnc Chương Bài toán biên đoi véi PTVP thưèng nNa trnc 1.1 Bài toán biên liên hep hình thNc cúa 1.1.1 Thiet l¾p tốn 1.1.2 Cơng thúc Green tốn liên hop hình thúc .8 1.1.3 Nhung toán tú biên có cap cao 11 1.2 Tính giái đưec cúa tốn biên nNa trnc 12 1.2.1 Không gian Sobolev núa trnc 13 1.2.2 Tính quy cúa toán biên núa trnc .14 1.2.3 Các đ%nh nghĩa tương đương cúa tính quy 15 1.2.4 Tính giái đưoc cúa BT biên quy núa trnc KG gian Sobolev 18 1.2.5 Tính giái đưoc cúa tốn liên hop hình thúc 21 Chương BT quy nNa trnc KG Sobolev véi cap âm 24 2.1 BT quy nNa trnc KG Sobolev véi cap âm 24 2.1.1 Không gian Sobolev vói cap âm 25 2.1.2 Thác trien cúa toán tú A cúa BT biên lên KG Sobolev cap tuỳ ý 27 2.1.3 Tính song ánh cúa tốn tú A cúa toán biên .30 ∗ 2.2 Tính chat cúa tốn tN liên hep A 34 2.2.1 Moi quan h¾ giua tốn tú liên hop tốn tú liên hop hình thúc 35 2.2.2 Tính song ánh cúa tốn tú liên hop 36 2.2.3 Tính quy cúa nghi¾m cúa tốn liên hop 39 Tài li¾u tham kháo 42 Me ĐAU Lý chon đe tài Phương trình đao hàm riêng m®t b® mơn tốn hoc bán vùa mang tính chat lý thuyet cao vùa mang tính úng dnng r®ng Rat nhieu ngành khoa hoc (ke cá xã h®i), cơng ngh¾ đeu phái sú dnng Nó có m¾t góp phan nâng cao tính hap dan lý thú, tính đay đú sâu sac, tính hi¾u q giá tr% cúa nhieu ngành toi ưu, đieu khien toi ưu, trò chơi vi phân, giái tích so, tính tốn khoa hoc, ke cá lý thuyet lý thuyet kỳ d%, tai bien, re nhánh, hon loan Lí thuyet phương trình vi phân lí thuyet phương trình đao hàm riêng có úng dnng rat quan nhieu nghành nên đưoc rat nhieu nhà Toán hoc quan tâm nghiên cúu Giái tốn biên có nhieu phương pháp, thnc tien thưòng dan đen tốn biên, tốn ban đau Dưói góc đ® m®t sinh viên ngnh Toỏn v khuụn kho mđt bi khúa luắn tot nghi¾p, đòng thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cúa thay giáo TS Tran Văn Bang chon đe tài ” Bài tốn biên đoi vói phương trình vi phân cap 2m núa trnc” Trong lu¾n văn ny xột mđt lúp bi toỏn biờn ắc biắt e nghiên cúu tốn biên nghi¾m cúa đưoc nghiên cúu khơng gian Sobolev Mnc đích nhi¾m nghiên cNu - Nghiên cúu tốn biên đoi vói phương trình vi phân cap 2m núa trnc giúp hieu rõ ve tính quy tính giái đươc cúa tốn biên khơng gian Sobolev cap nguyên tùy ý Đoi tưeng pham vi nghiên cNu - Nghiên cúu tính quy tính nhat nghi¾m cúa tốn biên không gian Sobolev cap nguyên tùy ý - Nghiên cúu moi liên h¾ giua tốn biên liên hop hình thúc tốn liên hop(theo nghĩa giái tích hàm) Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Hói ý kien chun gia Chương Bài tốn biên đoi véi phương trình vi phân thưèng nNa trnc Chương đe c¾p đen tốn biên cho phương trình vi phân thưòng tuyen tính cap 2m vói h¾ so hang khống (0, +∞) Chúng tơi đưa khái ni¾m ve tính quy chúng minh rang can đú đe tốn biên có nhat nghi¾m không gian Sobolev cap nguyên tuỳ ý Hơn nua, chúng tơi nghiên cúu moi liên h¾ giua tốn biên liên hop hình thúc tốn liên hop(theo nghĩa cúa giái tích hàm) 1.1 Bài tốn biên liên hep hình thNc cúa Trong phan đau cúa mnc chúng tơi mơ tá lóp toán biên R+ = (0, +∞) Theo nghĩa co đien tốn biên ta chí phái tìm m®t an hàm núa trnc, ó ngồi an hàm u ta phái tìm thêm m®t vectơ u ∈ CJ Chúng tơi trình bày m®t cơng thúc Green cho nhung tốn Cơng thúc cho phép giói thi¾u tốn liên hop hình thúc có dang vói tốn xuat phát 1.1.1 Thiet l¾p toán Cho n L(Dt ) = ∑ ja (1.1.1) t jD j=0 tốn tú vi phân tuyen tính cap 2m vói h¾ so khơng đoi a j, a2m ƒ= Dt đao hàm: Dt = −i∂t = −i.d/dt Hơn nua, cho µk Bk(Dt ) = ∑ bk, j Dt j j=0 (k=1, , m+J) toán tú vi phân tuyen tính cap µk, : C = (ck, j)1km+J,1 jJ l mđt ma trắn hang cap (m + J) ì J Trong ú àk l nhung so nguyờn Chúng tơi cho phép µk âm.Trong trưòng hop tốn tú Bk đưoc giá thiet đong nhat bang Chúng ta xét toán L(Dt )u(t) = f (t), t > (1.1.2) B(Dt )u(t)|t=0 + Cu = g (1.1.3) Trong B(Dt ) vectơ tốn tú B1(Dt ), , Bm+J (Dt ), f m®t hàm cho R+, g m®t vectơ thu®c Cm+J Chúng ta tìm m®t hàm u R+ m®t vectơ u = (u , , uJ ) cho u l mđt nghiắm cúa phương trình vi phân (1.1.2), c¾p (u, u) thố mãn đieu ki¾n biên (1.1.3), túc J Bk(Dt )u(t)|t=0 + ∑ ck, ju j = gk j=1 , k = 1, , m + J Chú ý 1.1.1 O sau này, chúng tơi khơng chí rõ vectơ c®t hàng, chang han (1.1.3) u g coi nhung vectơ c®t 1.1.2 Cơng thNc Green tốn liên hep hình thNc Đe xác đ%nh tốn liên hop hình thúc cúa tốn (1.1.2), (1.1.3), chúng tơi sú dnng m®t dang đieu cúa cơng thúc Green co đien Đau tiên, xét trưòng hop µk < 2m Goi L+(Dt ) = 2m ∑ a j Dt j j=0 tốn tú liên hop hình thúc cúa L Hơn nua, goi D vectơ D = (1, Dt , , D2m−1) (1.1.4) t Khi đó, tốn tú B(Dt ) có the đưoc viet dưói dang (1.1.5) B(Dt ) = Q.D (vói D đưoc xem m®t vectơ c®t), phan tú cúa ma trắn cap (m + J) ì 2m Q = (qk, j)1≤k≤m+J,1≤ j≤2m đưoc xác đ%nh bói h¾ so cúa toán tú Bk sau: qk, j = bk, j+1 vói j = 1, , µk + 1, vói j > µk Đ%nh lý 1.1.1 Cơng thúc Green sau đưoc thố mãn vói moi hàm vi vơ han u, v R+ có giá compact vói vectơ u ∈ CJ, v ∈ Cm+J: ¸ (1.1.6) ∞ Lu.vdt + B(Dt )u|t=0 + Cu, vm+ C J ¸∞ = ∗ +(u,C v)CJ ∗ u.L+vdt + (Du)(0), P(Dt )v|t=0 +Q v2 C m ≥ "uε "W −l ≥ cε −1/2 , (R+ ) c l mđt hang so dng đc lắp vi Hơn nua, vói l < có "uε "W˜ l,0 (R+) ≤ "uε "L2 (R+ ) = "ζε "L2 (R+ ) = ε− Do (2.1.16) thố mãn vói so nguyên l tuỳ ý 1/2 "ζ "L2 (R+ ) Theo (1.2.13), hàm Luε tong cúa hàm có dang c jε jζ ( j) (t)eiτ0t , j = 1, , 2m Do đó, theo (2.1.16), chuan cúa hàm Luε khơng W˜ gian l2m,0 (R+) b% chắn búi mđt hang so đc l¾p vói ε Đieu mâu thuan vói (2.1.15), (2.1.16) V¾y, đa thúc L(τ) khơng có khơng điem thnc Hơn nua, tù (2.1.14) suy hach cúa tốn tú (2.1.10) tam thưòng, đó, tốn biên thuan nhat (1.1.2), (1.1.3) chí có nghi¾m tam thũng M + ì CJ Vỡ vắy ieu ki¾n (ii) cúa đ%nh nghĩa (1.2.1) đưoc thố mãn Giá sú rang tốn tú (2.1.10) tồn ánh đánh giá (2.1.14) Khi tốn tú (2.1.10) m®t cau vói so nguyên l = l0 cho trưóc, theo Bo đe (2.1.4), tốn tú (2.1.10) m®t cau vói moi l ≥ l D¾c bi¾t, vói l ≥ 2m tốn biên (1.1.2), (1.1.3) có nghiắm nhat W l (R+) ì CJ vúi moi f ∈ W l−2m (R+ ), g ∈ Cm+J Theo Đ %nh 2 lí (1.2.1), tốn (1.1.2), (1.1.3) quy Đ%nh lí đưoc chúng minh □ Nh¾n xét 2.1.3 Các khang đ%nh cúa Đ%nh lí (2.1.1), (2.1.2) neu µk < 2m vói k = 1, , m + J Neu đieu ki¾n khơng thố mãn, A có the thác trien liên tnc thành m®t tốn tú l,γ A : W˜ l−2m,γ−2m (R+ ) × CJ → W˜ (R+ ) × Cm+J , (2.1.17) l, γ nhung so nguyên, γ ≥ 2m, γ > maxµk Tương tn vói Đ%nh lí (2.1.2), ta có the chúng minh rang tốn tú (2.1.17) m®t cau chí tốn (1.1.2), (1.1.3) quy 2.2 Tính chat cúa tốn tN liên hep A ∗ Trong mnc chúng tơi nghiên cúu tốn tú liên hop A ∗ cúa toán tú A theo nghĩa cúa Gái tích Hàm trưóc, chúng tơi han che chí xét tốn biên có tốn tú vi phân có cap nhó 2m đieu ki¾n biên Chúng tơi chúng minh rang có nhung moi quan h¾ ch¾t che giua tốn tú A ∗ toán tú A + cúa toán biên liên hop hình thúc (1.1.15), (1.1.16) (xem Đ%nh lí (2.2.1)) 2.2.1 Moi quan h¾ giĐa tốn tN liên hep tốn tN liên hep hình thNc Áp dnng Đ%nh lí (2.1.1) cho tốn liên hop hình thúc, ta có the thác trien tốn tú (2.1.12) l ≤ thành m®t toán tú liên tnc ∗ m+J l 2m J (R ) × C → W (R ) × C × C + + 2 A + : W˜ (2.2.1) 2m−l,2m Thác trien xác đ%nh bói (u, ψ , v) → (L+ (v, ψ ), T ψ + Q∗ v,C∗ v), T ma tr¾n (1.1.14) Trong trưòng hop l ≥ 2m phiem hàm l ∗ L+ (v, ψ ) = f ∈ W (R+ ) đưoc đ%nh nghĩa bói ( f , u)R = (v, Lu)R+ − (ψ, T ∗ (Du)(0)) C + 2m , u ∈ W2 l (R+) (2.2.2) (xem Bo đe (2.1.2)) Bây giò xét tốn tú liên hop A∗ : W l−2m ∗ C (R+) × m+J l s (v, v) → (F, h) ∈ W2 (R+) ∗ J ×C, (2.2.3) l ≥ 2m, cúa tốn tú (1.2.10) cúa toán biên (1.1.2), (1.1.3) Ánh xa (2.2.3) đưoc xác đ%nh bói thúc (u, F)R+ + (u, h)CJ = (Lu, v)R+ + ((Bu|t=0 + Cu), v)Cm+J , (2.2.4) u m®t hàm tuỳ ý thu®c W l (R+) u ∈ CJ m®t vectơ tuỳ ý Đ%nh lí sau mơ tá moi2 liên h¾ giua toán tú A ∗ A + l Đ%nh lý 2.2.1 Cho µk < 2m vói k = 1, , m + J, f ∈ W (R+)∗, l ≥ 2m, g ∈ C2m, h ∈ CJ Hơn nua, cho phiem hàm F ∈ 2W l (R+)∗ xác đ%nh bói thúc (u, F)R+ = (u, f )R+ + ((Du)(0), g)C 2m , u ∈ W2 l (R+) (2.2.5) 2m−l,2m Khi (v, ψ , v)2 W (R+ ) ì Cm+J l mđt nghiắm cúa phương trình A ∗ (v, v) = (F, h) Và ψ = T −1 (g − Q∗ v) 2m−l,2m Chúng minh 1, Giá sú (v, ψ , v) ∈ W (R+ )ìCm+J l mđt nghiắm cỳa phng trỡnh A + (v, ψ , v) = ( f , g, h), túc (u, f )R+ = (Lu, v)R+ + ((Du)(0), T ψ C ) Tψ + Q∗v = g, C∗v = h 2m , u ∈ W2 l (R+) (2.2.6) (2.2.7) Khi đó, theo (2.2.5) (2.2.6) ta có (u, F)R =+ (Lu, v)R ++((Du)(0), g − T ψ ) 2m C , vói u ∈ W l2(R+) (2.2.8) Ket hop đieu vói (2.2.7) thúc B = Q.D∗ta suy (2.2.4) Do (v, v) l mđt nghiắm cỳa phng trỡnh A (v, v) = (F, h) l−2m 2, Tương tn, neu (v, (R+ )∗ ì Cm+J l mđt v) W nghiắm cúa phương trìnhA (v, v) = (F, h)∗ ψ = T (g − Q v), ta có đưoc (2.2.7),(2.2.8) Sú dnng bieu dien (2.2.5) cúa phiem hàm F, ta cú (2.2.6) Vắy,(v, , v) l mđt nghiắm cúa phương trình A + (v, ψ , v) = ( f , g, h) Đ%nh lí đưoc chúng minh □ 2.2.2 Tính song ánh cúa tốn tN liên hep Neu tốn biên (1.1.2), (1.1.3) quy, tốn tú (2.2.3) m®t cau vói so ngun tuỳ ý l ≥ 2m Bây giò chúng tơi xét han che cúa toán tú liên hop A ∗ khơng gian Sobolev vói cap âm l,k Đ%nh tơi giói nhưTùsau Cholíl,(2.2.1), k cácchúng so ngun tuỳthi¾u ý, k ≥khơng 0, l ≥gian −k D Khi(R đó+) khơng gian ∗ k l,k D (R+) t¾p tat cá hàm F ∈ 2W (R+ ) có dang: (u, F)R+ = (u, f )R+ + ((D (k ) u)(0), g) l , u ∈ W2k (R+ ) (2.2.9) l,0 Trong f ∈ W˜ (R+ ) (túc f ∈ W l (R+ ) l ≥ 0, f ∈ W −l (R+ )∗ C 2 l < 0), g ∈ Ck, D (k) vectơ D (k) = (1, Dt , , t Dk−1)neuk = 1, 2, , D (0) = l,k D (R+) Chuan cúa phiem hàm F nhiên bang c¾n dưói cúa tong " f "W˜ l,0 (2.2.10) đưoc đ%nh nghĩa m®t cách tn + |g|Ck , (R+) f g thố mãn (2.2.9) Nh¾n xét 2.2.1 Neu l m®t so ngun âm, phiem hàm l u→ t ∑ (D j−1 u) (0)g j j=1 ∗ thu®c khơng gian W −l (R+) l,k khơng gian D (R+) có the đưoc k đ%nh nghĩa t¾p tat cá phiem hàm F ∈2W (R+ )∗ có dang (u, F)R+ = (u, f )R+ + k ∑ j−1 (Dt u)(0)g , f ∈ W −l (R+)∗, g j j=−l+1 ∈ C l,k Trong∗trưòng hop l ≤ −k, k ≥ đ¾t D (R+) = W −l (R+) Nói riêng, vói kí hi¾u có W l,0 l l (R+) D ˜ (R+ ) = W (R+ ) W2−l (R+) = 2 l ≥ l l Đ%nh lý 2.2.2 Giá sú µk < 2mvói k = 1, , m + J tốn biên (1.1.2), (1.1.3) quy Khi đó, tốn tú liên hop A ∗ cúa A m®t l,0 l−2m,2m cau tù D (R+) × Cm+J lên D (R+) × CJ vói so nguyên 2 tuỳ ý l,0 Chúng minh Neu l ≤ D (R+) = W −l (R+)∗, l−2m,2m D (R+) = 2m−l 2 W ∗ , nên ket lu¾n cúa đ%nh lí đưoc suy tù Đ%nh lí (1.2.1) (R+) Bây giò giá sú l m®t so ngun dương Chúng ta chúng minh rang tốn tú A ∗ ánh xa liên tnc tù không gian W l (R+) × Cm+J vào (R+) × CJ Goi (v, v) m®t phan tú 2tuỳ ý cúa2W l (R+) l−2m,2 D× m m+J C goi ψ ∈ C2m m®t vectơ vói thành phan j−1 (D v)(0) j = 1, 2, , min(l, 2m) t ψj = min(l, 2m) < j ≤ 2m Khi v, ψ m®t phan tú thu®c khơng gian W˜ l,2m (R+ ) × Cm+J Hơn nua, theo Đ%nh lí (2.1.1), ( f , g, h) = A + (vψ , v) ∈ W˜ l−2m,0 (R+ ) × C2m × CJ + "g"C2m + "h"CJ ≤ " f "W˜ + "v"Cm+J ) c("v"W l l−2m,0 (R+) (R+) (2.2.11) vói c m®t hang so đ®c ∗ l¾p vói v v Hơn nua, theo Đ%nh llí (2.2.1), có A (v, v) = (F, h), vói phiem hàm F ∈ W (R+ )∗ có dang , u ∈ W2 2m(R+), (2.2.12) l−2m,2m túc F ∈ D (R+) Do (2.2.11), chuan cúa F l−2m,2m D (R+) (u, F)R+ = (u, f )R+ + ((Du)(0), g)C 2m 2 có the đưoc đánh giá theo chuan cúa v v Chúng tó tốn tú A ∗ l−2m,2m ánh xa liên tnc tù không gianW l (R+) × Cm+J vào D (R+) × J C Bây giò chúng minh rang A lên l−2m,2m D ∗ ánh xa W2 l (R+) × Cm+J (R+) × CJ l > Giá sú (F, h) m®t phan tú tuỳ l−2m,2m ý thuđc khon gian D2 (R+) ì CJ Theo đ%nh nghĩa cúa không gian l−2m,2m (R+), phiem hàm F có dang (2.2.12), f ∈ D (R+) Theo %nh lớ (2.1.2), ton tai mđt nghiắm (v, , v) W2˜ l−2m,0 ∈ W2˜ (R+ ) × Cm+J cúa phương trình A + (v, ψ , v) = ( f , g, h) l,2m Sú dnng Đ%nh lí (2.2.1), chúng ∗ ta ket lu¾n rang (v, v) mđt nghiắm cỳa ph ng trỡnh A (v, v) = (F, h) Do đó, chúng tơi chúng minh ∗ rang A m®t ánh xa liên tnc tù W l (R+)×Cm+J lên l−2m,2m D (R+ )× J C l > Rõ ràng A ∗ đơn ánh, song ánh □ 2.2.3 Tính quy cúa nghi¾m cúa tốn liên hep l−2m,2m Vì khơng gian D q−2m,2m vàoD (R+) (R+) đưoc liên tnc nhúng 2 vói l ≥ q, nên Đ%nh lí (2.2.2) cho ta khang đ%nh ve tính quy sau cúa nghi¾m (v, v) cúa tốn liên hop A ∗ (v, v) = (F, h) (2.2.13) Đ%nh lý 2.2.3.m+Giá sú ta có giá thiet cúa Đ%nh lí (2.2.2), (v, v) ∈ J , k ≥ l mđt nghiắm cỳa bi toỏn liờn hop C × W2 ∗ k (R ) (2.2.13) + l−2m,2m l,0 Trong F ∈ D (R+) Khi (v, v) ∈ D (R+) × CJ 2 Hơn nua, neu l ≥ 2m F có dang (2.2.9) vói m®t hàm f ∈ , (v, v) m®t nghi¾m cúa tốn liên W2l−2m (R+) g ∈ C2m hop hình thúc (1.1.15), (1.1.16) Chúng minh Khang đ%nh đau tiên đưoc suy tù Đ%nh lí (2.2.2) Ta chí phái chúng minh rang (v, v) m®t nghi¾m cúa tốn liên hop tương úng l ≥ 2m Giá sú (v, v) ∈2W l (R+) × Cm+J l mđt nghiắm l2m,2m cỳa phng trỡnh (2.2.13) vúi m®t phiem hàm F ∈ (R+), D l≥ 2m Khi (v, (Dv)(0)) thu®c khơng gian (2.2.1) cho ta l,2m W˜ (R+ ) Đ%nh lí A + (v, (Dv)(0), v) = ( f , g, h) V¾y (v, v) thố mãn phương trình (1.1.15), (1.1.16) □ Nh¾n xét 2.2.2 Theo Đ%nh lí (2.2.2), tốn tú liên hop m®t cau tù l,γ−2m l−2m,γ D m+J (R+) × C → D2 (R+) × CJ neu tốn (1.1.2), (1.1.3) quy γ ≥ max(2m, µ1 +1, , µm+J + 1) Hơn nua, ta có khang đ%nh ve tính quy Đ%nh lí (2.2.3) 40 KET LU¾N Trong luắn ny tụi ó nghiờn cỳu mđt so van đe bán sau đây: tính quy tính nhat nghi¾m cúa tốn biên khơng gian Sobolev cap nguyên tùy ý, moi liên h¾ giua tốn biên liên hop hình thúc tốn liên hop(theo nghĩa giái tích hàm) Lu¾n văn mang tính tong quan tơi chúng minh m®t so đ%nh lý bo đe đưa ví dn cn the làm rõ m®t so tính chat đe hieu rõ ve van đe lu¾n văn đe cắp Mong rang nú l mđt ti liắu bo ớch cho nhung quan tâm đen van đe Do thòi gian có han chưa có kinh nghi¾m công tác làm nghiên cúu khoa hoc nên không tránh khói nhung thieu sót Rat mong đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay cô giáo ban đoc Trưóc ket thúc khóa lu¾n tac giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành nhat tói thay giáo khoa tốn, đ¾c bi¾t TS Tran Văn Bang ngưòi t¾n tình chí báo giúp đõ tác giá suot thòi gian qua đe tác giá có the hồn thành khóa lu¾n 69 Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phn Hy (2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc v k thuắt H Nđi [2] Hong Tny (2005), Hm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc Quoc gia H Nđi [3] Trang wep http://www.scribd.com/doc/46063325/Khong-giansobolev-va-nghiem-suy-rong-cua-phuong-trinhloai-elliptic [B] Ti liắu tieng Anh [4] Vladimir Maz’ya (1979), Sobolev Spaces: with Applications to Elliptic Partial Differential Equations, 2nd, revised and aug- mented Edition, Spinger-Verlag, New York [5] Michail Borsuk, Vladimir Kondratiev (2001), Elliptic Boundary Value Problems of Second Order in Piecewise Smooth Domains, Volume 69 (NorthHolland Mathematical Library), Spinger ... Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Hói ý kien chun gia Chương Bài tốn biên đoi véi phương trình vi phân thưèng nNa trnc Chương đe c¾p đen tốn biên cho phương trình vi phân thưòng... TS Tran Văn Bang tơi chon đe tài ” Bài tốn biên đoi vói phương trình vi phân cap 2m núa trnc” Trong lu¾n ny xột mđt lúp bi toỏn biờn ắc biắt Đe nghiên cúu tốn biên nghi¾m cúa đưoc nghiên cúu khơng... - Nghiên cúu tốn biên đoi vói phương trình vi phân cap 2m núa trnc giúp hieu rõ ve tính quy tính giái đươc cúa tốn biên khơng gian Sobolev cap nguyên tùy ý 3 Đoi tưeng pham vi nghiên cNu - Nghiên