Bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp 2m trên nửa trục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN Trần Thị Khuyên BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2m TRÊN NỬA TRỤC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Toán - Giải tích Người hướng dẫn: TS Trần Văn Bằng Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận, nhận hướng dẫn nhiệt tình chu đáo thầy giáo TS Trần Văn Bằng - Giảng viên tổ Giải tích toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả khóa luận xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc gửi lời cảm ơn trân trọng tới thầy cô, đặc biệt TS Trần Văn Bằng, người giúp hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Trần Thị Khuyên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Khóa luận ” Bài toán biên phương trình vi phân cấp 2m nửa trục ” kết nghiên cứu riêng tôi, có tham khảo ý kiến người trước, tham khảo tài liệu có liên quan, hướng dẫn khoa học TS Trần Văn Bằng Khóa luận không chép từ tài liệu, công trình sẵn có Kết khóa luận nhiều có đóng góp vào việc tìm hiểu, nghiên cứu toán biên Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Trần Thị Khuyên Mục lục Chương Bài toán biên PTVP thường nửa trục 1.1 Bài toán biên liên hợp hình thức 6 1.1.1 Thiết lập toán 1.1.2 Công thức Green toán liên hợp hình thức 1.1.3 Những toán tử biên có cấp cao 11 1.2 Tính giải toán biên nửa trục 1.2.1 Không gian Sobolev nửa trục 1.2.2 Tính quy toán biên nửa trục 1.2.3 Các định nghĩa tương đương tính quy 1.2.4 Tính giải BT biên quy nửa trục KG gian Sobolev 1.2.5 Tính giải toán liên hợp hình thức 12 13 14 15 18 21 Chương BT quy nửa trục KG Sobolev với cấp âm 24 2.1 BT quy nửa trục KG Sobolev với cấp âm 24 2.1.1 Không gian Sobolev với cấp âm 25 2.1.2 Thác triển toán tử A BT biên lên KG Sobolev cấp tuỳ ý 27 2.1.3 Tính song ánh toán tử A toán biên 30 2.2 Tính chất toán tử liên hợp A ∗ 2.2.1 Mối quan hệ toán tử liên hợp toán tử liên hợp hình thức 2.2.2 Tính song ánh toán tử liên hợp 2.2.3 Tính quy nghiệm toán liên hợp Tài liệu tham khảo 34 35 36 39 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng môn toán học vừa mang tính chất lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Rất nhiều ngành khoa học (kể xã hội), công nghệ phải sử dụng Nó có mặt góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu giá trị nhiều ngành tối ưu, điều khiển tối ưu, trò chơi vi phân, giải tích số, tính toán khoa học, kể lý thuyết lý thuyết kỳ dị, tai biến, rẽ nhánh, hỗn loạn Lí thuyết phương trình vi phân lí thuyết phương trình đạo hàm riêng có ứng dụng quan trọng nhiều nghành nên nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Giải toán biên có nhiều phương pháp, thực tiễn thường dẫn đến toán biên, toán ban đầu Dưới góc độ sinh viên ngành Toán khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, đòng thời hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo TS Trần Văn Bằng chọn đề tài ” Bài toán biên phương trình vi phân cấp 2m nửa trục” Trong luận văn xét lớp toán biên đặc biệt Để nghiên cứu toán biên nghiệm nghiên cứu không gian Sobolev Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu toán biên phương trình vi phân cấp 2m nửa trục giúp hiểu rõ tính quy tính giải đươc toán biên không gian Sobolev cấp nguyên tùy ý Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu tính quy tính nghiệm toán biên không gian Sobolev cấp nguyên tùy ý - Nghiên cứu mối liên hệ toán biên liên hợp hình thức toán liên hợp(theo nghĩa giải tích hàm) Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Hỏi ý kiến chuyên gia Chương Bài toán biên phương trình vi phân thường nửa trục Chương đề cập đến toán biên cho phương trình vi phân thường tuyến tính cấp 2m với hệ số khoảng (0, +∞) Chúng đưa khái niệm tính quy chứng minh cần đủ để toán biên có nghiệm không gian Sobolev cấp nguyên tuỳ ý Hơn nữa, nghiên cứu mối liên hệ toán biên liên hợp hình thức toán liên hợp(theo nghĩa giải tích hàm) 1.1 Bài toán biên liên hợp hình thức Trong phần đầu mục mô tả lớp toán biên R+ = (0, +∞) Theo nghĩa cổ điển toán biên ta phải tìm ẩn hàm nửa trục, ẩn hàm u ta phải tìm thêm vectơ u ∈ CJ Chúng trình bày công thức Green cho toán Công thức cho phép giới thiệu toán liên hợp hình thức có dạng với toán xuất phát 1.1.1 Thiết lập toán Cho n ∑ a j Dtj L(Dt ) = (1.1.1) j=0 toán tử vi phân tuyến tính cấp 2m với hệ số không đổi a j , a2m = Ở Dt đạo hàm: Dt = −i∂t = −i.d/dt Hơn nữa, cho µk ∑ bk, j Dtj Bk (Dt ) = j=0 (k=1, , m+J) toán tử vi phân tuyến tính cấp µk , : C = (ck, j )1 k m+J,1 j J ma trận cấp (m + J) × J Trong µk số nguyên Chúng cho phép µk âm.Trong trường hợp toán tử Bk giả thiết đồng Chúng ta xét toán L(Dt )u(t) = f (t),t > (1.1.2) B(Dt )u(t)|t=0 +Cu = g (1.1.3) Trong B(Dt ) vectơ toán tử B1 (Dt ), , Bm+J (Dt ), f hàm cho R+ , g vectơ thuộc Cm+J Chúng ta tìm hàm u R+ vectơ u = (u1 , , uJ ) cho u nghiệm phương trình vi phân (1.1.2), cặp (u, u) thoả mãn điều kiện biên (1.1.3), tức J Bk (Dt )u(t)|t=0 + ∑ ck, j u j = gk , k = 1, , m + J j=1 Chú ý 1.1.1 Ở sau này, không rõ vectơ cột hàng, chẳng hạn (1.1.3) u g coi vectơ cột 1.1.2 Công thức Green toán liên hợp hình thức Để xác định toán liên hợp hình thức toán (1.1.2), (1.1.3), sử dụng dạng điều chỉnh công thức Green cổ điển Đầu tiên, xét trường hợp µk < 2m Gọi 2m + L (Dt ) = ∑ a j Dtj j=0 toán tử liên hợp hình thức L Hơn nữa, gọi D vectơ D = (1, Dt , , Dt2m−1 ) (1.1.4) Khi đó, toán tử B(Dt ) viết dạng B(Dt ) = Q.D (1.1.5) (với D xem vectơ cột), phần tử ma trận cấp (m + J) × 2m Q = (qk, j )1≤k≤m+J,1≤ j≤2m xác định hệ số toán tử Bk sau: qk, j = bk, j+1 với j = 1, , µk + 1, với j > µk Định lý 1.1.1 Công thức Green sau thoả mãn với hàm khả vi vô hạn u, v R+ có giá compact với vectơ u ∈ CJ , v ∈ Cm+J : ∞ Lu.vdt + B(Dt )u|t=0 +Cu, v (1.1.6) Cm+J ∞ u.L+ vdt + (Du)(0), P(Dt )v|t=0 +Q∗ v = C2m +(u,C∗ v)CJ Ở P(Dt ) vectơ với thành phần : 2m− j Pj (Dt ) = −i ∑ a j+s Dts , j = 1, , 2m, (1.1.7) s=0 Q∗ ,C∗ tương ứng ma trận liên hợp Q C Chứng minh Gọi L j toán tử vi phân sau đây: j−1 Lj = ∑ asDts j = 1, , 2m, với L0 = (1.1.8) s=0 Ta chứng minh quy nạp rằng: ∞ ∞ j (L j u.v − iDt u.Pj v)dt − uL+ vdt = ∑ (Dts−1u)(0).(Psv)(0) s=1 0 j (1.1.9) với hàm trơn u, v có giá compact Rõ ràng, (1.1.9) thoả mãn với j = Giả sử (1.1.9) với số nguyên không âm j = j0 < 2m Sử dụng phương trình: j L j u = −a j Dt u + L j+1 u Pj v = −a j v + Dt Pj+1 v Và lấy tích phân phần ta được: ∞ j (L j u.v − iDt u.Pj v)dt (1.1.10) ∞ j+1 (L j+1 u.v − iDt = j u.Pj+1 v)dt − (Dt u)(0).(Pj+1 v)(0) Vậy (1.1.9) thoả mãn với j = j0 + thoả mãn với số nguyên không âm j ≤ 2m Đặc biệt, j = 2m ta có: ∞ ∞ u.L+ vdt 2m Lu.vdt − ∑ (Dts−1 u)(0).(Ps v)(0) = s=1 (1.1.11) Bổ đề 2.1.2 Toán tử (2.1.5) mở rộng thành toán tử liên tục L : W˜ 2l,2m (R+ ) → W22m−l (R+ )∗ (2.1.6) với số nguyên tuỳ ý l < 2m Với (u, φ ) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ), l ≤ 0, phiếm hàm L(u, φ ) = f xác định đẳng thức ( f , v)R+ = (u, L+ v)R+ + (φ , (Pu)(0))C2m , v ∈ W22m−l (R+ ), (2.1.7) Trong trường hợp < l < 2m ta có ∞ (Ll v − iDtl u.Pl v)dt + ( f , v)R+ = 2m ∑ φ j (Pj v)(0) (2.1.8) j=l+1 với v ∈ W22m−l (R+ ) (Trong Pl , Ll tương ứng toán tử vi phân xác định (1.1.7) (1.1.8)) Chứng minh Do (1.1.9) (1.1.11), toán tử L xác định (2.1.7) (2.1.8) phần mở rộng liên tục toán tử (2.1.5) Tính rút từ tính trù mật không gian W˜ 22m,2m (R+ ) W˜ 2l,2m (R+ ) (xem Bổ đề (2.1.1)) Sử đụng đẳng thức (1.1.5) mở rộng điều kiện biên (1.1.3) cho cặp (u, φ ) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ) với l < 2m Mở rộng xác định Qφ +Cu = g Như định lí sau Định lý 2.1.1 Nếu µk < 2m với k = 1, , m + J toán tử (2.1.4) mở rộng thành toán tử liên tục từ không gian W˜ 2l,2m (R+ ) × CJ với số nguyên tùy ý l < 2m vào W22m−l (R+ ) × Cm+J Mở rộng có dạng (u, φ , u) → (L(u, φ ), Qφ +Cu), 28 (2.1.9) Trong phiếm hàm f = L(u, φ ) xác định (2.1.7) l ≤ (2.1.8) < l < 2m Theo Định lí (2.1.1), toán tử A toán biên (1.1.2), (1.1.3) ánh xạ liên tục A : W˜ 2l,2m (R+ ) × CJ → W˜ 2l−2m,0 (R+ ) × Cm+J (2.1.10) với số nguyên tuỳ ý l Nhận xét 2.1.1 Với (u, φ , u) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ) × CJ , l ≤ phần tử ( f , g) = A (u, φ , u) xác định đẳng thức ( f , v)R+ +(g, v)Cm+J = (u, L+ v)R+ +(φ , (Pv)(0)+Q∗ v)C2m +(u,C∗ v)CJ (2.1.11) v, v tương ứng phần tử tuỳ ý W22m−l (R+ ) Cm+J Điều có nghĩa toán tử A : (u, φ , u) → ( f , g) toán tử liên hợp với toán tử A + : W22m−l (R+ ) × Cm+J → W2−l (R+ ) × C2m × CJ (2.1.12) toán liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16) l ≤ Nhận xét 2.1.2 Các khẳng định Bổ đề (2.1.2) Định lí (2.1.1) mở rộng cho số thực l, l = 12 , 32 , , 2m − 12 Để có điều này, ta định nghĩa không gian W˜ 2l,k (R+ ) với số thực tuỳ ý l ≥ bao đóng của tập hợp (2.1.3) theo chuẩn (2.1.1) với số thực l < bao đóng tập hợp (2.1.3) theo chuẩn (2.1.2) Rõ ràng, ánh xạ (u, φ ) → Qφ liên tục từ W˜ 2l,2m (R+ ) vào Cm+J với số thực tuỳ ý l trùng với ánh xạ (u, φ ) → (Bu)(0) l ≥ 2m o l Vì không gian W2 (R+ ) W2l (R+ ) trùng ≤ l ≤ 1/2, nên ta có W˜ 2l,0 (R+ ) = W2l (R+ ) l ≥ −1/2 Hơn nữa, hàm W2l (R+ ), l < 1/2 thác triển thành hàm thuộc W2l (R+ ) Từ suy toán tử L, L+ ánh 29 xạ liên tục từ W2l (R+ ) vào W˜ 2l−2m,0 (R+ ) l > 2m − 1/2 Tương tự toán tử L j xác định (1.1.8) ánh xạ liên tục từ W2l (R+ ) vào l− j+1,0 W˜ (R+ ) l > j − 3/2 Do đó, toán tử (u, (Du)(0)) → Lu liên tục từ W˜ 2l,2m (R+ ) vào W˜ 2l−2m,0 (R+ ) l > 2m − 1/2 Toán tử thác triển thành ánh xạ liên tục W˜ 2l,2m (R+ ) (u, φ ) → f ∈ W22m−l (R+ )∗ với l < 2m − 1/2,l = 12 , 32 , , 2m − 32 Ở hàm f xác định (2.1.7) l < 21 đẳng thức j ( f , v)R+ = (L j u, v)R+ −i(Dt u, Pj v)R+ + 2m ∑ φs (Ps )(0), v ∈ W22m−l (R+ ) s= j+1 j − 1/2 < l < j + 1/2, j = 1, 2, , 2m − 2.1.3 Tính song ánh toán tử A toán biên Để chứng minh tính song ánh toán tử A : W˜ 2l,2m (R+ ) × CJ → W˜ 2l−2m,0 (R+ ) × Cm+J , l < 2m cần khẳng định tính quy sau: Bổ đề 2.1.3 Giả sử L toán tử vi phân (1.1.1) l, q số nguyên tuỳ ý Hơn giả thiết L(τ) không điểm thực Nếu u ∈ W2l (R+ ) nghiệm yếu phương trình vi phân Lu = f q−2m q R+ , f ∈ W2 (R+ ), u ∈ W2 (R) q−µ Chứng minh Gọi f1 ∈ W2 (R) thác triển f lên toàn trục số thực t Nếuq − 2m > thác triển tương tự (1.2.1), trường hợp q − 2m ≤ phân bố f thác triển q−µ thành phân phối f1 ∈ W2 (R) bởi: 2m−q−1 ( f1 , ϕ)R = f , φ |R+ − χ ∑ j=0 j 2m−q (Dt ϕ)(0)(it) j , ϕ ∈ W2 (R) , j! Trong χ hàm khả vi tuỳ ý R+ , có giá compact, lân cận điểm 30 −1 Vì L(τ) = với τ thực, nên hàm v = Fτ→t (L(τ)−1 Ft→τ f1 )|t>0 q nghiệm phương trình Lu = f thuộc không gian W2 (R+ ) Do u − v nghiệm phương trình L(Dt )(u − v) = R+ viết thành tổ hợp tuyến tính hàm (1.2.3) (Chú ý hàm có dạng (1.2.3) với Imτ j < không thuộc vào không gian Sobolev) Do đó, u − v nằm không gian Sobolev cấp tuỳ ý Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề (2.1.3) cho toán tử (2.1.6), có kết sau: Bổ đề 2.1.4 Giả sử đa thức L(τ) không điểm thực Nếu (u, φ ) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ) nghiệm phương trình L(u, φ ) = f , q−2m,0 q,2m f ∈ W˜ (R+ ) (u, φ ) ∈ W˜ (R+ ) 2 Chứng minh Ta cần chứng minh với q = l1 Với q > l − kết luận suy quy nạp Giả sử (u, φ ) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ) nghiệm phương trình L(u, φ ) = f Theo (2.1.7), (2.1.8) (1.1.9) ta có: ( f , v)R+ = (u, L+ v)R+ với hàm v ∈ C0∞ (R+ ) Điều có nghĩa u nghiệm yếu phương trình Lu = f R+ Do đó, theo Bổ đề (2.1.3), u ∈ W2l+1,2m (R+ ) Nếu l < l ≥ 2m (u, φ ) ∈ W˜ 2l+1,2m (R+ ) Nếu l số nguyên không âm, nhỏ 2m Thì, theo định nghĩa không j−1 gian W˜ 2l,2m (R+ ) ta có φ j = (Dt u)(0) với j = 1, , l ta phải chứng minh φl+1 = (Dtl )(0) Theo (1.1.10) ta có: ∞ (Ll+1 (Dt )u.v − iDtl+1 u.Pl+1 (Dt )v)dt ( f , v)R+ − (2.1.13) = (φl+1 − (Dtl u)(0)).(Pl+1 v)(0) với v ∈ W22m−l (R+ ) Theo giả thiết bổ đề, vế trái (2.1.13) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục W22m−l−1 (R+ ), 31 cấp Pl+1 2m − l − cấp toán tử Pl+2 , , P2m nhỏ 2m − l − Do vế trái (2.1.13) phiếm hàm tuyến tính liên tục W22m−l−1 (R+ ) Tuy nhiên điều xảy φl+1 = (Dtl u)(0) Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.1.2 Cho µk < 2m với k = 1, , m + J 1, Nếu toán biên (1.1.2), (1.1.3) quy toán tử (2.1.10) đẳng cấu với số nguyên l tuỳ ý Hơn nữa, với ba (u, φ , u) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ) × CJ , đánh giá sau với số c độc với (u, φ , u): (u, φ ) W˜ 2l,2m (R+ ) + |u|CJ ≤ c A (u, φ , u) W˜ 2l−2m,0 (R+ )×Cm+J (2.1.14) Nếu c số tối ưu (2.1.14), 1/c hàm liên tục Lipschitz hệ số toán tử L, B C 2, Giả sử đánh giá (2.1.14) thoả mãn với tất (u, φ ) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ), u ∈ CJ l số nguyên cho Khi đa thức L(τ) không điểm thực điều kiện (ii) Định nghĩa (1.2.1) thoả mãn Hơn nữa, toán tử (2.1.10) toàn ánh , toán biên (1.1.2), (1.1.3) quy Chứng minh 1, Khi l ≤ toán tử (2.1.10) toán tử liên hợp với toán tử (2.1.12) toán liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16) Theo Định lí (1.2.1) Định lí (1.2.2), toán tử (2.1.12) đẳng cấu toán (1.1.2), (1.1.3) quy Do phương trình A (u, φ , u) = ( f , g) có nghiệm W˜ l,2m (R+ ) × CJ với f ∈ W 2m−l (R+ )∗ , g ∈ Cm+J 2 l ≤ Từ điều từ Bổ đề (2.1.14) ta suy phương trình có nghiệm W˜ 2l,2m (R+ ) × CJ ≤ l ≤ 2m Do không gian W˜ 2l,k (R+ ) không gian đủ nên ta có đánh giá (2.1.14) Khẳng định số c (2.1.14) nhận tương tự Bổ đề (1.2.2) 32 2, Giả sử (2.1.14) thoả mãn với (u, φ ) ∈ W˜ 2l,2m (R+ ) u ∈ CJ Khi tồn số c độc lập với u cho u W˜ 2l,0 (R+ ) ≤ c Lu (2.1.15) W˜ 2l−2m,0 (R+ ) với u ∈ C0∞ (R+ ) Trong chứng minh của Định lí (1.2.1) cho l ≥ 2m ta thấy đẳng thức cuối suy đa thức L(τ) không điểm thực Ta chứng minh điều trường hợp l < 2m Giả sử τ0 không điểm thực đa thức L(τ) Như chứng minh Định lí (1.2.1), đặt de f u(t) = uε (t) = eiτ0t ζε (t) ζε (t) = ζ (εt), ζ hàm thuộc C0∞ (R+ ), ε số thực dương nhỏ Theo (1.2.12), tồn số dương c1 , c2 độc lập với ε, cho c1 ε −1/2 ≤ uε W˜ 2l,0 (R+ ) ≤ c2 ε −1/2 (2.1.16) với l ≥ Sử dụng bất đẳng thức ta nhận trường hợp l < uε W˜ 2l,0 (R+ = uε ) ≥ W2−l (R+ )∗ uε uε = L2 (R+ ) sup v∈W2−l (R+ |(uε , v)R+ | v W −l (R+ ) ) ≥ cε −1/2 , W2−l (R+ ) c số dương độc lập vơi ε Hơn nữa, với l < có uε W˜ 2l,0 (R+ ) ≤ uε L2 (R+ ) = ζε L2 (R+ ) = ε −1/2 ζ Do (2.1.16) thoả mãn với số nguyên l tuỳ ý 33 L2 (R+ ) Theo (1.2.13), hàm Luε tổng hàm có dạng c j ε j ζ ( j) (t)eiτ0t , j = 1, , 2m Do đó, theo (2.1.16), chuẩn hàm Luε không gian W˜ 2l−2m,0 (R+ ) bị chặn số độc lập với ε Điều mâu thuẫn với (2.1.15), (2.1.16) Vậy, đa thức L(τ) không điểm thực Hơn nữa, từ (2.1.14) suy hạch toán tử (2.1.10) tầm thường, đó, toán biên (1.1.2), (1.1.3) có nghiệm tầm thường M + × CJ Vì điều kiện (ii) định nghĩa (1.2.1) thoả mãn Giả sử toán tử (2.1.10) toàn ánh đánh giá (2.1.14) Khi toán tử (2.1.10) đẳng cấu với số nguyên l = l0 cho trước, theo Bổ đề (2.1.4), toán tử (2.1.10) đẳng cấu với l ≥ l0 Dặc biệt, với l ≥ 2m toán biên (1.1.2), (1.1.3) có nghiệm W2l (R+ ) × CJ với f ∈ W2l−2m (R+ ), g ∈ Cm+J Theo Định lí (1.2.1), toán (1.1.2), (1.1.3) quy Định lí chứng minh Nhận xét 2.1.3 Các khẳng định Định lí (2.1.1), (2.1.2) µk < 2m với k = 1, , m + J Nếu điều kiện không thoả mãn, A thác triển liên tục thành toán tử l,γ l−2m,γ−2m A : W˜ (R+ ) × CJ → W˜ (R+ ) × Cm+J , (2.1.17) l, γ số nguyên, γ ≥ 2m, γ > maxµk Tương tự với Định lí (2.1.2), ta chứng minh toán tử (2.1.17) đẳng cấu toán (1.1.2), (1.1.3) quy 2.2 Tính chất toán tử liên hợp A ∗ Trong mục nghiên cứu toán tử liên hợp A ∗ toán tử A theo nghĩa Gải tích Hàm trước, hạn chế xét toán biên có toán tử vi phân có cấp nhỏ 2m 34 điều kiện biên Chúng chứng minh có mối quan hệ chặt chẽ toán tử A ∗ toán tử A + toán biên liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16) (xem Định lí (2.2.1)) 2.2.1 Mối quan hệ toán tử liên hợp toán tử liên hợp hình thức Áp dụng Định lí (2.1.1) cho toán liên hợp hình thức, ta thác triển toán tử (2.1.12) l ≤ thành toán tử liên tục A + : W˜ 22m−l,2m (R+ )×Cm+J → W2l (R+ )∗ ×C2m ×CJ (2.2.1) Thác triển xác định (u, ψ, v) → (L+ (v, ψ), T ψ + Q∗ v,C∗ v), T ma trận (1.1.14) Trong trường hợp l ≥ 2m phiếm hàm L+ (v, ψ) = f ∈ W2l (R+ )∗ định nghĩa ( f , u)R+ = (v, Lu)R+ − (ψ, T ∗ (Du)(0))C2m , u ∈ W2l (R+ ) (2.2.2) (xem Bổ đề (2.1.2)) Bây xét toán tử liên hợp (v, v) → (F, h) ∈ W2l (R+ )∗ × CJ , (2.2.3) l ≥ 2m, toán tử (1.2.10) toán biên (1.1.2), (1.1.3) Ánh xạ (2.2.3) xác định đẳng thức A ∗ : W2l−2m (R+ )∗ × Cm+J (u, F)R+ + (u, h)CJ = (Lu, v)R+ + ((Bu|t=0 +Cu), v)Cm+J , (2.2.4) u hàm tuỳ ý thuộc W2l (R+ ) u ∈ CJ vectơ tuỳ ý Định lí sau mô tả mối liên hệ toán tử A ∗ A + Định lý 2.2.1 Cho µk < 2m với k = 1, , m + J, f ∈ W2l (R+ )∗ , l ≥ 2m, g ∈ C2m , h ∈ CJ Hơn nữa, cho phiếm hàm F ∈ W2l (R+ )∗ xác 35 định đẳng thức u ∈ W2l (R+ ) (2.2.5) nghiệm phương (u, F)R+ = (u, f )R+ + ((Du)(0), g)C2m , Khi (v, ψ, v) ∈ W˜ 22m−l,2m (R+ ) × Cm+J trình A ∗ (v, v) = (F, h) Và ψ = T −1 (g − Q∗ v) Chứng minh 1, Giả sử (v, ψ, v) ∈ W˜ 22m−l,2m (R+ )×Cm+J nghiệm phương trình A + (v, ψ, v) = ( f , g, h), tức (u, f )R+ = (Lu, v)R+ + ((Du)(0), T ψ)C2m , T ψ + Q∗ v = g, C∗ v = h u ∈ W2l (R+ ) (2.2.6) (2.2.7) Khi đó, theo (2.2.5) (2.2.6) ta có (u, F)R+ = (Lu, v)R+ + ((Du)(0), g − T ψ)C2m , với u ∈ W2l (R+ ) (2.2.8) Kết hợp điều với (2.2.7) đẳng thức B = Q.D ta suy (2.2.4) Do (v, v) nghiệm phương trình A ∗ (v, v) = (F, h) 2, Tương tự, (v, v) ∈ W2l−2m (R+ )∗ × Cm+J nghiệm phương trìnhA ∗ (v, v) = (F, h) ψ = T −1 (g − Q∗ v), ta có (2.2.7),(2.2.8) Sử dụng biểu diễn (2.2.5) phiếm hàm F, ta có (2.2.6) Vậy,(v, ψ, v) nghiệm phương trình A + (v, ψ, v) = ( f , g, h) Định lí chứng minh 2.2.2 Tính song ánh toán tử liên hợp Nếu toán biên (1.1.2), (1.1.3) quy, toán tử (2.2.3) đẳng cấu với số nguyên tuỳ ý l ≥ 2m Bây xét hạn chế toán tử liên hợp A ∗ không gian Sobolev với cấp âm 36 Từ Định lí (2.2.1), giới thiệu không gian Dl,k (R+ ) sau Cho l, k số nguyên tuỳ ý, k ≥ 0, l ≥ −k Khi không gian D2l,k (R+ ) tập tất hàm F ∈ W2k (R+ )∗ có dạng: (u, F)R+ = (u, f )R+ + ((D (k) u)(0), g)Cl , u ∈ W2k (R+ ) (2.2.9) l,0 Trong f ∈ W˜ (R+ ) (tức f ∈ W2l (R+ ) l ≥ 0, f ∈ W2−l (R+ )∗ l < 0), g ∈ Ck , D (k) vectơ D (k) = (1, Dt , , Dtk−1 ) nếuk = 1, 2, , D (0) = (2.2.10) l,k Chuẩn phiếm hàm F D2 (R+ ) định nghĩa cách tự nhiên cận tổng f + |g|Ck , W˜ 2l,0 (R+ ) f g thoả mãn (2.2.9) Nhận xét 2.2.1 Nếu l số nguyên âm, phiếm hàm l u→ ∑ (Dtj−1u)(0)g j j=1 thuộc không gian W2−l (R+ )∗ không gian Dl,k (R+ ) định nghĩa tập tất phiếm hàm F ∈ W2k (R+ )∗ có dạng k (u, F)R+ = (u, f )R+ + ∑ j−1 (Dt u)(0)g j , j=−l+1 f ∈ W2−l (R+ )∗ , g j ∈ C Trong trường hợp l ≤ −k, k ≥ đặt D2l,k (R+ ) = W2−l (R+ )∗ Nói riêng, với kí hiệu có W2l (R+ ) l ≥ −l W2 (R+ )∗ l l Định lý 2.2.2 Giả sử µk < 2mvới k = 1, , m + J toán biên (1.1.2), (1.1.3) quy Khi đó, toán tử liên hợp A ∗ A m+J lên Dl−2m,2m (R ) × CJ với số nguyên đẳng cấu từ Dl,0 + (R+ ) × C tuỳ ý l−2m,2m −l ∗ Chứng minh Nếu l ≤ Dl,0 (R+ ) = (R+ ) = W2 (R+ ) , D2 2m−l W2 (R+ )∗ , nên kết luận định lí suy từ Định lí (1.2.1) Bây giả sử l số nguyên dương Chúng ta chứng minh toán tử A ∗ ánh xạ liên tục từ không gian W2l (R+ ) × Cm+J vào Dl−2m,2m (R+ ) × CJ Gọi (v, v) phần tử tuỳ ý W2l (R+ ) × Cm+J gọi ψ ∈ C2m vectơ với thành phần j−1 ψj = (Dt v)(0) j = 1, 2, , min(l, 2m) min(l, 2m) < j ≤ 2m Khi v, ψ phần tử thuộc không gian W˜ 2l,2m (R+ ) × Cm+J Hơn nữa, theo Định lí (2.1.1), ( f , g, h) = A + (vψ, v) ∈ W˜ l−2m,0 (R+ ) × C2m × CJ + W˜ 2l−2m,0 (R+ ) g C2m + ≤ c( v v Cm+J ) (2.2.11) với c số độc lập với v v Hơn nữa, theo Định lí (2.2.1), có A ∗ (v, v) = (F, h), với phiếm hàm F ∈ W2l (R+ )∗ có dạng f h CJ W2l (R+ ) + u ∈ W22m (R+ ), (2.2.12) tức F ∈ Dl−2m,2m (R+ ) Do (2.2.11), chuẩn F Dl−2m,2m (R+ ) 2 đánh giá theo chuẩn v v Chứng tỏ toán tử A ∗ ánh xạ liên tục từ không gianW2l (R+ )×Cm+J vào Dl−2m,2m (R+ )×CJ Bây chứng minh A ∗ ánh xạ W2l (R+ ) × Cm+J lên Dl−2m,2m (R+ ) × CJ l > Giả sử (F, h) phần tử tuỳ (u, F)R+ = (u, f )R+ + ((Du)(0), g)C2m , 38 ý thuộc khồn gian Dl−2m,2m (R+ ) × CJ Theo định nghĩa không gian Dl−2m,2m (R+ ), phiếm hàm F có dạng (2.2.12), f ∈ W˜ 2l−2m,0 (R+ ) Theo Định lí (2.1.2), tồn nghiệm (v, ψ, v) ∈ W˜ l,2m (R+ ) × Cm+J phương trình A + (v, ψ, v) = ( f , g, h) Sử dụng Định lí (2.2.1), kết luận (v, v) nghiệm phương trình A ∗ (v, v) = (F, h) Do đó, chứng minh A ∗ ánh xạ liên tục từ W2l (R+ )×Cm+J lên Dl−2m,2m (R+ )× CJ l > Rõ ràng A ∗ đơn ánh, song ánh 2.2.3 Tính quy nghiệm toán liên hợp q−2m,2m Vì không gian Dl−2m,2m (R+ ) liên tục nhúng vàoD2 (R+ ) với l ≥ q, nên Định lí (2.2.2) cho ta khẳng định tính quy sau nghiệm (v, v) toán liên hợp A ∗ (v, v) = (F, h) (2.2.13) Định lý 2.2.3 Giả sử ta có giả thiết Định lí (2.2.2), (v, v) ∈ W2k (R+ )∗ × Cm+J , k ≥ nghiệm toán liên hợp (2.2.13) Trong F ∈ Dl−2m,2m (R+ ) Khi (v, v) ∈ D2l,0 (R+ ) × CJ Hơn nữa, l ≥ 2m F có dạng (2.2.9) với hàm f ∈ l−2m W2 (R+ ) g ∈ C2m , (v, v) nghiệm toán liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16) Chứng minh Khẳng định suy từ Định lí (2.2.2) Ta phải chứng minh (v, v) nghiệm toán liên hợp tương ứng l ≥ 2m Giả sử (v, v) ∈ W2l (R+ ) × Cm+J nghiệm phương trình (2.2.13) với phiếm hàm F ∈ Dl−2m,2m (R+ ), l ≥ 2m Khi (v, (Dv)(0)) thuộc không gian W˜ 2l,2m (R+ ) Định lí (2.2.1) cho ta A + (v, (Dv)(0), v) = ( f , g, h) Vậy (v, v) thoả mãn phương trình (1.1.15), (1.1.16) 39 Nhận xét 2.2.2 Theo Định lí (2.2.2), toán tử liên hợp đẳng cấu từ l,γ−2m l−2m,γ D2 (R+ ) × Cm+J → D2 (R+ ) × CJ toán (1.1.2), (1.1.3) quy γ ≥ max(2m, µ1 +1, , µm+J + 1) Hơn nữa, ta có khẳng định tính quy Định lí (2.2.3) 40 KẾT LUẬN Trong luận văn nghiên cứu số vấn đề sau đây: tính quy tính nghiệm toán biên không gian Sobolev cấp nguyên tùy ý, mối liên hệ toán biên liên hợp hình thức toán liên hợp(theo nghĩa giải tích hàm) Luận văn mang tính tổng quan chứng minh số định lý bổ đề đưa ví dụ cụ thể làm rõ số tính chất để hiểu rõ vấn đề luận văn đề cập Mong tài liệu bổ ích cho quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm công tác làm nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đọc Trước kết thúc khóa luận tac giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa toán, đặc biệt TS Trần Văn Bằng người tận tình bảo giúp đỡ tác giả suốt thời gian qua để tác giả hoàn thành khóa luận 41 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trang wep http://www.scribd.com/doc/46063325/Khong-giansobolev-va-nghiem-suy-rong-cua-phuong-trinh-loai-elliptic [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Vladimir Maz’ya (1979), Sobolev Spaces: with Applications to Elliptic Partial Differential Equations, 2nd, revised and augmented Edition, Spinger-Verlag, New York [5] Michail Borsuk, Vladimir Kondratiev (2001), Elliptic Boundary Value Problems of Second Order in Piecewise Smooth Domains, Volume 69 (North-Holland Mathematical Library), Spinger 42 [...]... ≥ 2m và nghiệm (v, ω, v) thoả mãn các đánh giá: v W2l (R+ ) + |ω|Cγ 2m + |v|Cm+J ≤c với một hằng số c độc lập với f , g và h 23 f W2l (R+ ) + |g|Cγ + |h|CJ Chương 2 Bài toán chính quy trên nửa trục trong không gian Sobolev với cấp âm 2.1 Bài toán chính quy trên nửa trục trong không gian Sobolev với cấp âm Trong phần tiếp theo chúng tôi hạn chế xét bài toán biên, với cấp của toán tử trong điều kiện biên. .. , 2m m+J ∑ ck, j vk = h j , j = 1, , J k=1 Vậy bài toán liên hợp hình thức có cùng cấu trúc như bài toán bắt đầu.Tuy nhiên, nó có số các điều kiện biên và số ẩn lớn hơn trong (1.1.2), (1.1.3) 1.1.3 Những toán tử biên có cấp cao hơn Bây giờ chúng ta xét bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) không có sự hạn chế µk < 2m về cấp của các toán tử vi phân Bk Gọi γ là một số nguyên sao cho γ ≤ 2m , γ > maxµk với. .. được v = 0 Do đó, bài toán thuần nhất (1.1.21), (1.1.22) chỉ có nghiệm tầm thường Tương tự, nếu điều kiện (ii) đúng đối với bài toán liên hợp hình thức thì cũng đúng đối với bài toán (1.1.2), (1.1.3) 22 Cm+J Hệ quả 1.2.1 Giả sử bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy Khi đó bài toán liên hợp hình thức (1.1.21), (1.1.22) có nghiệm duy nhất trong W2l (R+ ) × Cm+J ×γ 2m với mọi f ∈ W2l 2m (R+ ), g ∈ Cγ... v)CJ Bài toán biên : L+ (Dt )v(t) = f (t) với t > 0 (1.1.21) P(γ) (Dt )v(t)|t=0 + (R(γ) )∗ ω + (Q(γ) )∗ v = g , C∗ v = h (1.1.22) được gọi là liên hợp hình thức của bài toán (1.1.2), (1.1.3) theo công thức Green (1.1.20) Trong trường hợp γ = 2m bài toán này trùng với bài toán( 1.1.15), (1.1.16) Lưu ý rằng các điều kiện biên (1.1.22) của bài toán liên hợp hình thức chỉ chứa các đạo hàm đến cấp 2m − 1... nguyên, γ ≥ 2m, γ > maxµk Tương tự với Định lí (2.1.2), ta có thể chứng minh rằng toán tử (2.1.17) là một đẳng cấu khi và chỉ khi bài toán (1.1.2), (1.1.3) là chính quy 2.2 Tính chất của toán tử liên hợp A ∗ Trong mục này chúng tôi nghiên cứu toán tử liên hợp A ∗ của toán tử A theo nghĩa của Gải tích Hàm cũng như trước, chúng tôi hạn chế chỉ xét bài toán biên có các toán tử vi phân có cấp nhỏ hơn 2m 34... bởi L và L+ T sẽ chứng minh rằng nếu (ii) đúng đối với bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) thì cũng đúng đối với bài toán liên hợp hình thức (1.1.21), (1.1.22) Giả sử (v, ω, v) ∈ M + × Cγ 2m ×Cm+J là một nghiệm của bài toán thuần nhất (1.1.21), (1.1.22) Khi đó công thức Green cho ta ∞ L(Dt )u.vdt + D (γ 2m) Lu (0), ω 0 Cγ 2m + B(Dt )u|t=0 +Cu , v (1.2.16) Với mọi u ∈ CJ Theo Bổ đề (1.2.1), tồn tại một... nhất với W2l (R+ ) khi l ≥ 2m (nhờ song ánh (u, (Du)(0)) ↔ u) nên toán tử (1.2.10) có thể được xét như một ánh xạ tuyến tính liên tục A : W˜ 2l ,2m (R+ ) × CJ → W2l 2m (R+ ) × Cm+J , l ≤ 2m (2.1.4) Bây giờ chúng ta mở rộng toán tử này lên không gian W˜ 2l ,2m (R+ ) × Cm+J với l < 2m Chúng ta bắt đầu với toán tử W˜ 2l ,2m (R+ ) (u, (Du)(0)) → Lu ∈ W2l (R+ ), Toán tử này cũng sẽ được kí hiệu là L 27 l ≥ 2m. .. ≥ 2m, l ≥ maxµk + 1 Rõ ràng toán tử (u, u) → ( f , g) của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) xác đinh một ánh xạ tuyến tính liên tục A : W2l (R+ ) × CJ → W2l 2m (R+ ) × Cm+J (1.2.10) Nếu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy, thì toán tử (1.2.10) là một đơn ánh Chúng tôi chứng minh rằng toán tử A của bài toán biên chính quy là một đẳng cấu Định lý 1.2.1 Các khẳng định sau đây là tương đương: 1, Bài. .. (1.2.13) j=1 với hệ số c j chỉ phụ thuộc vào τ0 và các hệ số của toán tử vi phân L Từ biểu diễn này suy ra chuẩn của Luε trong W2l 2m (R+ ) có cận trên độc lập với ε Điều này mâu thuẫn với (1.2.11) và (1.2.12) Do đó đa thức L(τ) không có không điểm thực Hơn nữa, từ 2) ta có bài toán: Lu = 0 trên R+ Bu|t=0 +Cu = g Có một nghiệm duy nhất trong W2l (R+ ) × CJ với mọi g ∈ Cm+J Do tập nghiệm của phương trình. .. hơn 2m Khi đó công thức Green (1.1.6) là đúng Trong mục vừa rồi ta đã chỉ ra toán tử A của bài toán biên chính quy là một đẳng cấu từ : W2l (R+ ) × CJ → W2l 2m (R+ ) × Cm+J , với số nguyên tuỳ ý l ≥ 2m Điều này không còn đúng cho trường hợp l < 2m, vì giá trị của các hàm u, Dt u, , Dt2m−1 u và do đó các giá trị của Bk u, tại điểm t = 0 không tồn tại đối với các hàm u thuộc không gian Sobolev với cấp ... Chương Bài toán quy nửa trục không gian Sobolev với cấp âm 2.1 Bài toán quy nửa trục không gian Sobolev với cấp âm Trong phần hạn chế xét toán biên, với cấp toán tử điều kiện biên nhỏ 2m Khi công... Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Hỏi ý kiến chuyên gia Chương Bài toán biên phương trình vi phân thường nửa trục Chương đề cập đến toán biên cho phương trình vi phân thường... thầy giáo TS Trần Văn Bằng chọn đề tài ” Bài toán biên phương trình vi phân cấp 2m nửa trục Trong luận văn xét lớp toán biên đặc biệt Để nghiên cứu toán biên nghiệm nghiên cứu không gian Sobolev