Vì không gianDl2−2m,2m(R+)được liên tục nhúng vàoDq2−2m,2m(R+) với l≥ q, nên Định lí (2.2.2) cho ta khẳng định về tính chính quy sau đây của nghiệm (v,v) của bài toán liên hợp
A ∗(v,v) = (F,h). (2.2.13)
Định lý 2.2.3. Giả sử ta có các giả thiết của Định lí (2.2.2), (v,v) ∈
W2k(R+)∗×Cm+J,k≥0là một nghiệm của bài toán liên hợp(2.2.13). Trong đó F ∈Dl2−2m,2m(R+). Khi đó (v,v) ∈Dl2,0(R+)×CJ .
Hơn nữa, nếu l ≥ 2m và F có dạng (2.2.9) với một hàm f ∈
W2l−2m(R+) và g ∈ C2m, thì (v,v) là một nghiệm của bài toán liên hợp hình thức (1.1.15),(1.1.16).
Chứng minh.Khẳng định đầu tiên được suy ra từ Định lí (2.2.2). Ta chỉ còn phải chứng minh rằng (v,v) là một nghiệm của bài toán liên hợp tương ứng khi l ≥2m. Giả sử (v,v)∈W2l(R+)×Cm+J là một nghiệm của phương trình (2.2.13) với một phiếm hàm F ∈Dl2−2m,2m(R+),l≥
2m. Khi đó (v,(Dv)(0)) thuộc không gian W˜2l,2m(R+) và Định lí (2.2.1) cho ta
A +(v,(Dv)(0),v) = (f,g,h). Vậy (v,v) thoả mãn phương trình (1.1.15),(1.1.16) .
Nhận xét 2.2.2. Theo Định lí (2.2.2), toán tử liên hợp là một đẳng cấu từ
Dl2,γ−2m(R+)×Cm+J → Dl2−2m,γ(R+)×CJ
nếu bài toán(1.1.2),(1.1.3)là chính quy vàγ ≥max(2m,µ1+1, . . . ,µm+J+ 1). Hơn nữa, ta cũng có khẳng định về tính chính quy như trong Định lí (2.2.3).
KẾT LUẬN
Trong luận văn này tôi đã nghiên cứu một số vấn đề cơ bản sau đây: tính chính quy và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên trong không gian Sobolev cấp nguyên tùy ý, các mối liên hệ giữa bài toán biên liên hợp hình thức và bài toán liên hợp(theo nghĩa giải tích hàm). Luận văn mang tính tổng quan nhưng tôi đã chứng minh một số định lý bổ đề và đưa ra các ví dụ cụ thể làm rõ hơn một số tính chất để hiểu rõ về các vấn đề trong luận văn đã đề cập. Mong rằng nó là một tài liệu bổ ích cho những ai quan tâm đến vấn đề này.
Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác làm nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn đọc.
Trước khi kết thúc khóa luận tac giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian qua để tác giả có thể hoàn thành khóa luận này.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kĩ
thuật Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội.
[3] Trang wep http://www.scribd.com/doc/46063325/Khong-gian- sobolev-va-nghiem-suy-rong-cua-phuong-trinh-loai-elliptic
[B] Tài liệu tiếng Anh
[4] Vladimir Maz’ya (1979), Sobolev Spaces: with Applications to Elliptic Partial Differential Equations, 2nd, revised and aug- mented Edition, Spinger-Verlag, New York.
[5] Michail Borsuk, Vladimir Kondratiev (2001),Elliptic Boundary Value Problems of Second Order in Piecewise Smooth Domains, Volume 69 (North-Holland Mathematical Library), Spinger .