Nếu bài toán biên (1.1.2),(1.1.3) là chính quy, thì toán tử (2.2.3) là một đẳng cấu với số nguyên tuỳ ý l ≥ 2m. Bây giờ chúng tôi xét hạn chế của toán tử liên hợp A∗ trên không gian Sobolev với cấp âm.
Từ Định lí (2.2.1), chúng tôi giới thiệu không gian Dl2,k(R+) như sau. Cho l,k là các số nguyên tuỳ ý, k ≥0,l≥ −k. Khi đó không gian
Dl2,k(R+) là tập tất cả các hàm F ∈W2k(R+)∗ có dạng: (u,F)R+ = (u, f)R++ ((D(k)u)(0),g) Cl, u∈W2k(R+) (2.2.9) Trong đó f ∈W˜2l,0(R+)(tức là f ∈W2l(R+)khil≥0, và f ∈W2−l(R+)∗ khi l < 0),g∈Ck, và D(k) là vectơ D(k) = (1,Dt, . . . ,Dkt−1) nếuk = 1,2, . . . , D(0) = 0. (2.2.10) Chuẩn của phiếm hàm F trongDl2,k(R+) được định nghĩa một cách tự nhiên bằng cận dưới đúng của tổng
kfk˜
W2l,0(R+)+|g|
Ck, trong đó f vàg thoả mãn (2.2.9).
Nhận xét 2.2.1. Nếu l là một số nguyên âm, thì các phiếm hàm
u→ l
∑
j=1
(Dtj−1u)(0)gj
thuộc không gian W2−l(R+)∗ và không gian Dl2,k(R+) có thể được định nghĩa là tập tất cả các phiếm hàm F ∈W2k(R+)∗ có dạng (u,F)R+ = (u, f)R++ k ∑ j=−l+1 (Dtj−1u)(0)gj, trong đó f ∈W2−l(R+)∗,gj ∈C. Trong trường hợpl≤ −k,k≥0chúng ta đặtDl2,k(R+) =W2−l(R+)∗. Nói riêng, với kí hiệu này chúng ta có
Dl2(R+) =W˜2l,0(R+) =
(
W2l(R+) khi l ≥0
Dễ thấy không gian Dl1,k
2 (R+) được nhúng liên tục và trù mật trong
Dl2,k(R+) nếu l1 > l.
Định lý 2.2.2. Giả sử µk < 2mvới k = 1, . . . ,m+J và bài toán biên
(1.1.2),(1.1.3)là chính quy. Khi đó, toán tử liên hợpA∗ củaA là một đẳng cấu từ Dl2,0(R+)×Cm+J lên D2l−2m,2m(R+)×CJ với số nguyên tuỳ ý.
Chứng minh. Nếu l ≤ 0 thì Dl2,0(R+) =W2−l(R+)∗,D2l−2m,2m(R+) =
W22m−l(R+)∗, nên kết luận của định lí được suy ra từ Định lí (1.2.1). Bây giờ giả sử l là một số nguyên dương. Chúng ta chứng minh rằng toán tử A ∗ ánh xạ liên tục từ không gianW2l(R+)×Cm+J vào
Dl2−2m,2m(R+)×CJ. Gọi (v,v) là một phần tử tuỳ ý của W2l(R+)×
Cm+J và gọi ψ ∈C2m là một vectơ với các thành phần
ψj =
(
(Dtj−1v)(0) khi j= 1,2, . . . ,min(l,2m) 0 khi min(l,2m)< j≤ 2m.
Khi đó v,ψ là một phần tử thuộc không gianW˜2l,2m(R+)×Cm+J. Hơn nữa, theo Định lí (2.1.1), (f,g,h) = A +(vψ,v) ∈ W˜2l−2m,0(R+)× C2m×CJ và kfkW˜l−2m,0 2 (R+)+kgkC2m+khkCJ ≤ c(kvkWl 2(R+)+kvkCm+J) (2.2.11) với c là một hằng số độc lập vớiv và v. Hơn nữa, theo Định lí (2.2.1), chúng ta có A ∗(v,v) = (F,h), với phiếm hàmF ∈W2l(R+)∗ có dạng
(u,F)R+ = (u,f)R++ ((Du)(0),g)C2m, u∈W22m(R+), (2.2.12) tức làF ∈Dl2−2m,2m(R+). Do (2.2.11), chuẩn củaF trongDl2−2m,2m(R+) có thể được đánh giá theo các chuẩn của v và v. Chứng tỏ toán tửA ∗ ánh xạ liên tục từ không gianW2l(R+)×Cm+J vàoD2l−2m,2m(R+)×CJ
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng A ∗ ánh xạ W2l(R+)×Cm+J
ý thuộc khồn gian Dl2−2m,2m(R+)×CJ. Theo định nghĩa của không gian Dl2−2m,2m(R+), phiếm hàm F có dạng (2.2.12), trong đó f ∈
˜
W2l−2m,0(R+). Theo Định lí (2.1.2), tồn tại một nghiệm (v,ψ,v) ∈
˜
W2l,2m(R+)×Cm+J của phương trình A +(v,ψ,v) = (f,g,h).
Sử dụng Định lí (2.2.1), chúng ta kết luận rằng(v,v)là một nghiệm của phương trình A∗(v,v) = (F,h). Do đó, chúng tôi đã chứng minh rằngA∗là một ánh xạ liên tục từW2l(R+)×Cm+J lênDl2−2m,2m(R+)×
CJ khi l >0. Rõ ràng A∗ là đơn ánh, do đó là song ánh.