Ứng dụng của phương pháp galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****************** NGUYỄN THỊ HƯỜNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội-2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****************** NGUYỄN THỊ HƯỜNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội-2013 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng em dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh - Giảng viên khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Các kết khóa luận trung thực, không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013 Người cam đoan Nguyễn Thị Hường Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vec tơ 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ 1.1.2 Một số ví dụ 1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1.1.4 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.1.5 Không gian vectơ 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 1.2.3 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 10 1.3 Không gian Hilbert 11 1.3.1 Tích vô hướng 11 1.3.2 Tính trực giao 13 1.3.3 Cơ sở trực chuẩn - Đẳng thức Parseval 15 1.4 Phương pháp chiếu định lý hình chiếu lên không gian đóng không gian Hilbert 15 1.4.1 Phương pháp chiếu 15 1.4.2 Định lý hội tụ 16 1.4.3 Định lý hình chiếu lên không gian đóng không gian Hilbert 18 1.4.4 Ứng dụng định lý hình chiếu lên không gian đóng không gian Hilbert 19 1.5 Phương trình vi phân thường toán biên phương trình vi phân thường 24 1.5.1 Một số khái niệm phương trình vi phân 24 1.5.2 Bài toán biên phương trình vi phân thường 25 1.6 Kết luận chương 28 Chương Phương pháp Galerkin ứng dụng vào giải gần toán biên phương trình vi phân thường 29 2.1 Cơ sở lý thuyết chung 29 2.2 Phương pháp Galerkin ứng dụng vào giải toán biên 30 2.2.1 Nội dung phương pháp 30 2.2.2 Một số ví dụ: 32 2.3 So sánh phương pháp Galerkin với số phương pháp giải toán biên hai điểm tuyến tính 37 2.3.1 Phương pháp Collocation 37 2.3.2 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp Collocation 39 2.3.3 Phương pháp sai phân 42 2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp sai phân 43 2.4 Kết luận chương 47 Chương Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal Maple vào giải toán biên phương trình vi phân thường 48 3.1 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal vào giải toán biên 48 3.2 Ứng dụng Maple vào giải toán biên 52 3.3 Kết luận chương 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân mảng kiến thức quan trọng toán học Việc giải phương trình vi phân không giúp giải lượng lớn toán lĩnh vực toán học, vật lý, hóa học, mà đem lại nhiều ứng dụng thực tiễn sống Tuy nhiên, giải phương trình vi phân để tìm nghiệm xác gặp nhiều khó khăn Do vậy, nhà khoa học nghiên cứu tìm phương pháp giải gần phương trình vi phân Để mở rộng nâng cao hiểu biết phương pháp giải phương trình vi phân, khóa luận này, em xin mạnh dạn trình bày phương pháp Galerkin ứng dụng quan trọng phương pháp để giải gần toán biên phương trình vi phân thường cấp 2 Mục đích nghiên cứu Tổng hợp kiến thức phương pháp Galerkin ứng dụng việc giải phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp Galerkin để giải toán biên phương trình vi phân thường Hệ thống số kiến thức liên quan đến phương pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng phương pháp Galerkin để giải toán biên phương trình vi phân thường cấp • Phạm vi nghiên cứu: Bài toán biên phương trình vi phân thường cấp Phương pháp nghiên cứu • Tìm tòi, sưu tầm, hệ thống tài liệu liên quan • Nghiên cứu tài liệu • Phân tích, so sánh, tổng hợp nội dung • Tham khảo ý kiến chuyên gia Những đóng góp đề tài Đề tài trình bày hệ thống sở lý thuyết, đưa phương pháp số ví dụ cụ thể cho ứng dụng phương pháp Galerkin vào giải toán biên hai điểm tuyến tính phương trình vi phân thường cấp 2, so sánh phương pháp Galerkin với số phương pháp khác để thấy hiệu phương pháp Ngoài ra, đề tài giới thiệu ứng dụng Pascal Maple vào toán để việc tính toán nhanh chóng đơn giản Bố cục khóa luận bao gồm chương : • Chương khóa luận trình bày tóm tắt số kết biết đại số tuyến tính giải tích hàm, định lý kết liên quan đến khóa luận • Chương khóa luận tập trung trình bày ý tưởng, khái niệm tính chất nội dung phương pháp Galerkin Bên cạnh số ví dụ cụ thể ứng dụng phương pháp Galerkin vào giải toán biên phương trình vi phân thường • Chương trình bày ứng dụng tin học vào giải toán biên hai điểm tuyến tính Do thời gian thực khóa luận không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hường Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vec tơ 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.1 Cho V tập khác rỗng mà phần tử ký hiệu x,y ,z , K trường Giả sử V trang bị hai phép toán sau: a) Phép cộng: +: V ×V → V → x+y (x, y) b) Phép nhân: ·:K ×V →V (λ, x) → λ · x thỏa mãn điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây: (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V ; ∃θ ∈ V : θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V , (θ phần tử không V ); ∀x ∈ V , ∃x ∈ V : x + x = x + x = θ; x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ; (λ + µ)x = λ · x + µ · x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V ; λ(x + y) = λ · x + λ · y, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ V ; (λ(µx)) = (λµ)x, ∀λµ ∈ K, ∀x ∈ V ; · x = x, ∀x ∈ K Khi V với hai phép toán cho gọi không gian vectơ trường K hay K - không gian vectơ Các phần tử V gọi vectơ, phần tử K gọi vô hướng Phép cộng ”+” gọi phép cộng vectơ, phép nhân ” ·” gọi phép nhân vectơ với vô hướng Khi K = R V gọi không gian vectơ thực Khi K = C V gọi không gian vectơ phức 1.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.1 Tập hợp K[X] đa thức biến số X với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức phép nhân đa thức với vô hướng thuộc trường K K- không gian vectơ Ví dụ 1.2 Tập hợp X khác rỗng, V K-không gian vectơ Tập Ω gồm tất ánh xạ ϕ : X −→V với phép toán: (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) (λϕ)(x) = λ · ϕ(x) với ϕ, ψ ∈ Ω, λ ∈ K K- không gian vectơ Ví dụ 1.3 Cho trường K n ≥ Xét tích Descartes: Rn = {(x1 , x2 , , xn )|xi ∈ R, i = 1, 2, , n} với hai phép toán: (x1 , x2 , , xn ) + (y1 , y2 , , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ), λ(x1 , x2 , , xn ) = (λx1 , λx2 , , xn ), λ ∈ R Rn với hai phép toán K- không gian vectơ 1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.2 Cho K- không gian vectơ V • Một tổ hợp tuyến tính vectơ x1 , , xn ∈ R biểu thức PP Galerkin PP Collocation x=0 0 x = 0, 01 -0,00414 -0,00408 x = 0, 02 -0,00816 -0,00805 x = 0, 03 -0,01205 -0,01193 x = 0, 04 -0,01582 -0,01571 x = 0, 05 -0,01947 -0,01844 x = 0, 06 -0,02300 -0,02199 x = 0, 07 -0,02642 -0,02549 x = 0, 08 -0,02972 -0,02959 x = 0, 09 -0,03290 -0,03221 x=1 0 Nhận xét: Trong ví dụ này, nghiệm xấp xỉ toán tìm phương pháp Galerkin phương pháp Collocation chọn hệ sở có sai khác sai số nghiệm nhỏ 0,002 2.3.3 Phương pháp sai phân Xét toán: y + p(x)y + q(x)y = f (x) Với điều kiện biên:   α y(a) + α y (a) = A  β0 y(b) + β1 y (b) = B Đặt: yi+1 − yi h yi+2 − 2yi+1 yi = h2 Trong đó: yi giá trị gần yi xi yi giá trị gần yi xi yi = 42 (2.4) yi giá trị gần yi h = xi+1 − xi x0 = a; xi = a + ih; xn = a + n.h = b y1 − y0 y(a) ≈ y0 ; y (a) ≈ h y(b) ≈ yn ; y (b) ≈ yn −yh n−1 Thay vào toán ban đầu, ta hệ phương trình đại số tuyến tính: yi+2 − 2yi+1 + yi yi+1 − yi + p + qi yi = fi , i = 1, n i h2 h   α y + α y1 −y0 = A∗ 0 h  β0 yn + β1 yn −yn−1 = B ∗ (2.5) h Trong pi ≈ p(xi ), qi ≈ q(xi ), fi ≈ f (xi ) Ta phải tìm giá trị y1 , y2 , · · · , yn−1 giá trị nút bên khoảng (a, b) Vậy hệ (4.2) (*) hệ phương trình đại số tuyến tính gồm n + phương trình n+1 ẩn Giải hệ này, ta giá trị gần nghiệm y(x) toán điểm x0 , · · · , xn , giá trị gần nghiệm toán Nhận xét: Khi n lớn, hệ (4.2) (*) gồm nhiều phương trình số điểm nút tăng lên cho ta nghiệm xác Nếu ta thay y , y công thức sai phân trung tâm: yi+1 − 2yi + yi−1 yi+1 − yi−1 ; yi = yi = 2h h2 Ta hệ có độ xác cao 2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp sai phân Ví dụ 2.4: Tìm nghiệm gần phương trình: y + x2 y + = Với điều kiện biên: y(−1) = y(1) = Giải: (*)Sử dụng phương pháp Galerkin: Chọn hệ sở: {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x)}, với: 43 ϕ0 (x) = , ϕ1 (x) = − x2 , ϕ2 (x) = x2 (1 − x2 ) Hệ độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên: ϕ0 (−1) = = ϕ0 (1) = ϕi (0) = ϕi (1) = 0, i = {1, 2} Khi đó, nghiệm xấp xỉ toán có dạng: y(x) = ϕ0 (x) = ci ϕi (x) i=1 Đặt: L(ϕ0 ) = L(ϕ1 ) = −x4 + x2 − L(ϕ2 ) = −x6 + x4 − 12x2 + Áp dụng công thức: aik = ϕi (x)L(ϕk )dx −1 a11 = ϕ1 (x)L(ϕ1 (x))dx −1 (1 − x2 )(−x4 + x2 − 2)dx = − = 88 35 −1 a12 = ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx −1 (1 − x2 )(−2)(−x6 + x4 − 12x2 + 2)dx = − = −1 a21 = ϕ2 (x)L(ϕ1 (x))dx −1 x2 (1 − x2 )(−x4 + x2 − 2)dx = − = 44 152 315 152 315 −1 a22 = ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx −1 x2 (1 − x2 )(−x6 + x4 − 12x2 + 2)dx = − = 2824 3465 1 ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, Và bk = Ta có: −1 −1 (−2)(1 − x2 )dx = −2 b1 = −1 (1 − x2 )dx = − −1 (−2)x2 (1 − x2 )dx = −2 b2 = (x2 − x4 )dx = − 15 Ta có hệ phương trình:  152 88   c − c = − −    35 315    152 2824  − c1 − c2 = − 315 3465 15 ⇔  8925   c =    15488    441   c2 = 1408 Vậy nghiệm phương trình là: y(x) = 8925 441 (1 − x2 ) + x (1 − x2 ) 15488 1408 (*)Sử dụng phương pháp sai phân: Ta chia đoạn [−1, 1] thành phần với bước h = Do điều kiện biên tính chất đối xứng toán nên ta có: y−4 = y4 = yi = y−i , i = 1, 2, Vì ta cần xác định giá trị y0 , y1 , y2 , y3 thay giá trị xi vào phương trình sai phân: yi+1 − 2yi + yi−1 + x2i yi + = h 45 Ta hệ phương trình đại số tuyến tính xác định giá trị yi là:  y1 − 2y0 + y−1   x0 = : +2=0    h2   y2 − 2y1 + y0   x1 = 0, 25 : + y1 + = h2 16 y3 − 2y2 + y1   + y2 + = x = 0, :  2  h    y4 − 2y3 + y2   x3 = 0, 75 : + y3 + = h2 16 Thay y4 = h2 = vào hệ Giải hệ phương trình ẩn ta được: 16    y0 = 0, 890        y = 0, 766  y−1 = 0, 766 ⇔ y−2 = 0, 515     y = 0, 515    y−3 = 0, 132   y3 = 0, 132 Bảng so sánh kết số giá trị hai phương pháp: PP Galerkin PP Sai phân x = −1, 00 0 x = −0, 75 1,395276 1,392721 x = −0, 50 0,827863 0,827645 x = −0, 25 0,633271 0,633101 x = 0, 00 0,576253 0,576018 x = 0, 25 0,633271 0,633152 x = 0, 50 0,827863 0,827651 x = 0, 75 1,395276 1,394432 x = 1, 00 0 Nhận xét: Trong ví dụ này, nghiệm xấp xỉ toán tìm phương pháp Galerkin phương pháp sai phân có sai khác sai số nghiệm nhỏ 0,002 46 Kết luận: Sự sai khác kết phương pháp Galerkin so với phương pháp không đáng kể, tùy vào mức độ sai số giới hạn mà ta lựa chọn phương pháp hệ độc lập tuyến tính phù hợp 2.4 Kết luận chương Chương nêu lên Cơ sở lý thuyết chung phương pháp Galerkin, trình bày nội dung phương pháp Galekin - trường hợp đặc biệt phương pháp chiếu, ứng dụng quan trọng phương pháp vào giải toán biên phương trình vi phân thường Bên cạnh ví dụ điển hình giúp người đọc hiểu rõ ràng, cụ thể phương pháp Đặc biệt, có so sánh phương pháp Galerkin với số phương pháp khác: phương pháp Collocation, phương pháp sai phân để người đọc có nhìn khái quát hơn, phục vụ cho việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp, hiệu với toán 47 Chương Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal Maple vào giải toán biên phương trình vi phân thường 3.1 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal vào giải toán biên Ví dụ 3.1: Giải phương trình sau: y + (x + 1)y + y = x Với điều kiện biên: y(0) = 1, y(1) = Giải: (*)Sử dụng phương pháp Galerkin: Chọn hệ sở: {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x)}, với: ϕ0 (x) = − x , ϕ1 (x) = x − x2 , ϕ2 (x) = x2 − x3 Hệ độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên: ϕ0 (0) = = ϕ0 (1) = ϕi (0) = ϕi (1) = 0, i = {1, 2} 48 Khi đó, nghiệm xấp xỉ toán có dạng: y(x) = ϕ0 (x) = ci ϕi (x) i=1 Đặt: p(x) = x + 1, q(x) = 1, f (x) = x L(y) = y + (x + 1)y + y; f (x) = x, ta có: L(ϕ0 ) = −2x L(ϕ1 ) = −3x2 − L(ϕ2 ) = −2x(2x3 + 2x − 1) Áp dụng công thức: aik = ϕi (x)L(ϕk )dx a11 = (x − x2 )(−3x2 − 1)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ1 (x))dx = 0 1 a12 = (x − x2 )(−2)(2x3 + 2x − 1)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx = a21 = (x2 − x3 )(−3x2 − 1)dx = − ϕ2 (x)L(ϕ1 (x))dx = a22 = (x2 − x3 )(−2)(2x3 + 2x − 1)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx = 0 ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, Và bk = 1 (x − x2 )(x + 2x)dx = (3x2 − 3x3 )dx = (x2 − x3 )(x + 2x)dx = b2 = 11 60 b1 = 15 Ta có: 19 60 (3x3 − 3x4 )dx = 49 20 70 Ta có hệ phương trình:  19   − c − c =    60 15    11   − c1 − c2 = 60 70 20   c = −0, 74634 ⇔  c2 = −0, 10244 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình là: y(x) ≈ −0, 74634(x − x2 ) − 0, 10244(x2 − x3 ) (*)Sử dụng lập trình Pascal: Program Giai_ phuong_trinh_vi_phan; Uses crt; Var i,n: byte; y, a_1, b_1, α_01, β _01, γ _01, α_02, β _02, γ _02:Real; Function h: Real; Begin h := (b_1 − a_1)/(n + 1); end; Function h: Real; Begin x := a_1 + i ∗ h; end; Function h: Real; Begin a:=2+h+h*x(i); end; Function h: Real; Begin b:=2*h*h-4; end; Function h: Real; Begin c:=2-h*x(i)-h; end; 50 Function h: Real; Begin t:=2*h*h*x(i); end; Function h: Real; Begin If i = then X:=-β _01/α_01; ElseX:=-a(i-1)/(b(i-1)+c(i-1)*X(i-1)); end; Function Z(i:integer): Real; Begin If i = then Z:= γ _01/α01 Else Z:=(t(i-1)-c(i-1)*Z(i-1))/(b(i-1)+c(i-1)*X(i-1)); end; BEGIN Clrscr; Write(’Cho a_1, b_1, α_01, β _01, γ _01, α_02, β _02, γ _02’); Readln(a_1, b_1, α_01, β _01, γ _01, α_02, β _02, γ _02); Write(’Nhap n=’);Readln(n); y:=(γ _02 − α_02 ∗ Z(n))/(β _02 + α_02 ∗ X(n)); For i:= n downto y:= X(i)*y(i)+Z(i); Write(’Ket qua tinh duoc la:’); For i:= to n Writeln(’y[’,y:5:4,’]=’); Readln; END Sau chạy chương trình ( nhập n = ), ta kết quả: y0 = 1, 0000 y1 = 0, 8338 y2 = 0, 6780 y3 = 0, 5354 y4 = 0, 4080 y5 = 0, 6780 y6 = 1, 0000 y7 = 0, 8338 y8 = 0, 6780 y9 = 0, 0270 y10 = 0, 0000 51 3.2 Ứng dụng Maple vào giải toán biên Ví dụ 3.2: Giải phương trình sau: y − xy + y = −2x3 + 2x2 + 6x − Với : y(0) = −1, y(1) = Giải: (*) Sử dụng phương pháp Galerkin: Chọn hệ sở gồm hàm: ϕ0 (x) = 2x − 1ϕ1 (x) = x(1 − x); ϕ2 (x) = x2 (1 − x) Ta thấy hệ {ϕi (x)}4i=0 hệ độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên: ϕ0 (0) = −1, ϕ0 (1) = 1; ϕi (0) = 0, ϕi (1) = 0, i = 1, Ta tìm nghiệm gần toán dạng: y(x) = ϕ0 (x) + ci ϕi (x) i=1 Đặt: L(y) = y − 2y + y; f (x) = −2x3 + 2x2 + 6x − Ta có: L(ϕ0 ) = ϕ0 − xϕ0 + ϕ0 = −1 L(ϕ1 ) = ϕ1 − xϕ1 + ϕ1 = x2 − L(ϕ2 ) = ϕ2 − xϕ2 + ϕ2 = 2x3 − x2 − 6x + Áp dụng công thức: aik = ϕi (x)L(ϕk )dx, ta có: a11 = (x2 − 2)x(1 − x)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ1 ) = 0 a12 = (2x3 − x2 − 6x + 2)x(1 − x)dx = ϕ1 (x)L(ϕ2 ) = 17 60 52 20 a21 = (x2 − 2)x2 (1 − x)dx = − ϕ2 (x)L(ϕ1 ) = 0 a22 = 15 (2x3 − x2 − 6x + 2)x2 (1 − x)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ1 ) = 0 π 42 ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, Và bk = −π Ta có: 1 x(1 − x)[−2x3 + 2x2 + 6x − 4]dx = − ϕ1 [f (x) − L(ϕ0 ] = b1 = 0 x2 (1 − x)[−2x3 + 2x2 + 6x − 4]dx = − ϕi (x)L(ϕ0 )dx = b2 = 15 70 Ta có hệ phương trình:  17   c − c = − −    60 20 15      − c1 − c2 = − 15 42 70  c =1 ⇔  c2 = −1 Vậy nghiệm toán là: y(x) = x3 − 2x2 + 3x − (*) Sử dụng Maple 13: Giải ví dụ lập trình Maple 13: restart : ϕ0 := x → 2x − : ϕ1 := x → x(1 − x) : ϕ2 := x → x2 (1 − x) : y := unapply(ϕ0 + c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x), x) L := unapply(dif f (dif f (y(x), x), x) + −xdif f (y(x), x) + y(x), x, c1 , c2 ) 53 π a11 = π L(ϕ1 )ϕ1 (x)dx : a12 = −π π a21 = L(ϕ2 )ϕ1 (x)dx : −π π L(ϕ1 )ϕ2 (x)dx : −π a22 = L(ϕ2 )ϕ2 (x)dx : −π π ϕ1 (x)(−2x3 + 2x2 + 6x − − L(ϕ0 ))dx : b1 = −π π ϕ2 (x)(−2x3 + 2x2 + 6x − − L(ϕ0 ))dx : b2 = −π eqn1 := a11 c1 + a12 c2 eqn2 := a21 c1 + a22 c2 solve(eqn1, eqn2, c1 , c2 ); Sau chạy chương trình, kết là:  17   − c1 − c2 = −    60 20 15      − c1 − c2 = − 15 42 70 {c1 = 1, c2 = −1} 3.3 Kết luận chương Chương nêu ứng dụng tin học để lập trình lời giải toán biên hai điểm tuyến tính, việc sử dụng lập trình Pascal phần mềm tin học Maple vào toán cụ thể để rút ngắn thời gian, đơn giản hóa bước tính toán, góp phần đưa ứng dụng Giải tích số vào thực tiễn 54 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, em trình bày tư tưởng nội dung, kiến thức xây dựng phương pháp Galerkin, sâu phân tích ứng dụng quan trọng phương pháp, tìm lời giải cho toán biên phương trình vi phân thường cấp Bên cạnh có so sánh phương pháp Galerkin với phương pháp khác số toán cụ thể để bạn đọc thấy rõ ưu điểm, nhược điểm phương pháp, từ đó có lựa chọn phương pháp giải hợp lý cho toán Trên sở đó, bạn đọc hoàn toàn tự giải toán tương tự Đồng thời, có ứng dụng Tin học vào lập trình tìm lời giải toán, mang lại hiệu cao hơn, góp phần rút ngắn khoảng cách toán học thực tiễn sống Tuy nhiên, khóa luận dừng lại việc tìm lời giải cho lớp toán biên hai điểm tuyến tính phương trình vi phân thường cấp hai với điều kiện biên đơn giản Vấn đề nghiên cứu toán thực tế đòi hỏi nghiên cứu sâu Khóa luận nghiên cứu em vấn đề khoa học với vốn kiến thức thời gian hạn hẹp, em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 55 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, (2005) Giải tích số, NXB ĐHQG HN [2] Nguyễn Phụ Hy, (2006) Giải tích hàm, NXB KHKT [3] Khuất Văn Ninh - Nguyễn Văn Hùng, (2011) Giải tích số, Sách dự án GD [4] Mingjun Chen - Zhongying Chen - Guanrong Chen, (1997) Approximate solutions of operator equations, Editor-in-Chief: Charles K Chui [5] A Jeffrey, H Brezis, R.G Douglas, (1998) Numerical Optimization, Springer-Verlag of Berlin 56 [...]... cơ sở phương pháp chiếu có thể suy ra nhiều phương pháp số cụ thể khác nhau giải các phương trình tuyến tính, phương trình vi phân, phương trình tích phân, 2. 2 Phương pháp Galerkin và ứng dụng vào giải bài toán biên 2. 2.1 Nội dung phương pháp Khi E = F, En = Fn (n = 1, 2, ) phương pháp chiếu được gọi là phương pháp Galerkin Xét bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: y + p(x)y... 27 1.6 Kết luận chương 1 Chương 1 đã hệ thống những kiến thức cơ bản, chuẩn bị làm cơ sở lý thuyết cho vi c xây dựng phương pháp Galerkin giải bài toán biên hai điểm tuyến tính Đặc biệt là phương pháp chiếu và ứng dụng của Định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 28 Chương 2 Phương pháp Galerkin và ứng dụng vào giải gần đúng bài toán biên của phương trình vi phân thường 2. 1... và bài toán biên của phương trình vi phân thường 1.5.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân • Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và các đạo hàm của hàm số đó • Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập, ta có phương trình vi phân thường • Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập, ta có phương trình đạo hàm riêng • Phương. .. có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.5), nếu: 1 ∀(x, y) ∈ D D là miền xác định của phương trình, ta có thể giải ra đối với c, c = ψ(x, y) 2 Hàm y = ϕ(x, c) thỏa mãn (1.5) khi (x, y) chạy khắp D, ∀c ∈ R 24 1.5 .2 Bài toán biên của phương trình vi phân thường • Bài toán Cauchy: Xét phương trình vi phân thường cấp n khi đạo hàm cấp cao nhất y (n) biểu diễn dưới... (n−1)(a) ) = 0, j = L + 1, L + 2, , n (1 .24 ) Nếu các phương trình (1 .22 )-(1 .24 ) là tuyến tính đối với y(x), y (x), y (x), , y (n) (x) thì bài toán biên (1 .22 ) đến (1 .24 ) là bài toán biên tuyến tính • Bài toán biên hai điểm tuyến tính: Bài toán biên hai điểm tuyến tính là bài toán có dạng: Tìm nghiệm của phương trình: y + p(x)y + q(x)y = f (x) thỏa mãn điều kiện biên:   α y(a) + α y (a) = A... bài toán biên không thuần nhất, nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường của bài toán Nếu ϕ1 , , ϕn là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ hợp tuyến tính tùy ý của chúng: c1 ϕ1 + + cn ϕn cũng là nghiệm của bài toán đó • Điều kiện giải được của bài toán biên: Giả sử biết một nghiệm riêng ϕ0 của phương trình (1.14) và hệ nghiệm cơ bản ϕ1 , , ϕn của phương trình thuần nhất tương ứng, ... chung Chúng ta đã biết phương pháp lặp để giải gần đúng phương trình toán tử, trên cơ sở tử tưởng hoàn toàn mới chúng ta xét phương pháp xấp xỉ: đầu tiên là xấp xỉ không gian, xấp xỉ phương trình, tiếp theo là giải gần đúng phương trình xấp xỉ, các phương trình được thiết kế sao cho vi c tìm nghiệm của nó dẫn tới vi c giải hữu hạn những phương trình vô hướng Dựa vào tính trù mật của các không gian mà... − h0 | |2 Tính duy nhất: Giả sử h1 , h2 là hai xấp xỉ tốt nhất của x trong H0 ⇒ ||x − h1 || = ||x − h2 || = inf ||x − h|| h∈H0 Theo định lý trên x − h2 ⊥ H0 và h2 − h1 ∈ H0 ⇒ x − h2 ⊥ h2 − h1 ⇒ ||x − h1 | |2 = ||x − h2 + h2 − h1 | |2 = ||x − h2 | |2 + ||h2 − h1 | |2 ≥ ||x − h2 | |2 Dấu "=" xảy ra ⇔ h2 = h1 Vậy xấp xỉ tốt nhất của x trong H0 là duy nhất Để ước lượng phương sai, ta xét các trường hợp sau:... nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường Cho phương trình: F (x, y, y , y , , y n ) = 0; a ≤ x ≤ b (1 .22 ) Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1 .22 ) như sau: Tìm hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện (1 .21 ) trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện biên ở hai đầu đoạn thẳng: ϕi (y(a), y (a), , y (n−1)(a) ) = 0, i = 1, 2, , L (1 .23 ) ψj (y(a), y (a),... p là toán tử chiếu thì p2 = p Thật vậy: Với mỗi x ∈ H , đặt px = u ⇒ p2 x = p(px) = pu = u = px Vậy p2 = p • p là toán tử chiếu thì p là toán tử dương Thật vậy: p là toán tử tuyến tính bị chặn và ∀x ∈ H : x = u + v, u ∈ H0 , v ⊥ H0 Ta có (px, x) = (u, u + v) = (u, u) + (u, v) = (u, u) ≥ 0 Do đó p là toán tử dương Ta sử dụng toán tử chiếu để giải phương trình toán tử 23 1.5 Phương trình vi phân thường ... trình tích phân, 2. 2 Phương pháp Galerkin ứng dụng vào giải toán biên 2. 2.1 Nội dung phương pháp Khi E = F, En = Fn (n = 1, 2, ) phương pháp chiếu gọi phương pháp Galerkin Xét toán biên phương. .. p toán tử dương Ta sử dụng toán tử chiếu để giải phương trình toán tử 23 1.5 Phương trình vi phân thường toán biên phương trình vi phân thường 1.5.1 Một số khái niệm phương trình vi phân • Phương. .. Maple vào giải toán biên phương trình vi phân thường 48 3.1 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal vào giải toán biên 48 3 .2 Ứng dụng Maple vào giải toán biên 52 3.3