Bài toán biên ban đầu đối với phương trình loại hypecbolic

Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển Toán học đánh dấu ứng dụng Toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng Ra đời từ năm 60, phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung Toán học nói riêng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic có ứng dụng lớn khoa học thực tiễn Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic khó khăn phức tạp Với khả ứng dụng rộng rãi khoa học thực tiễn, nhà Toán học tập trung nghiên cứu tìm nhiều phương pháp để giải toán phươg trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic Được hướng dẫn tận tình T.S Trần Văn Bằng với lòng yêu thích môn em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Bài toán biên ban đầu phương trình Hypecbolic Khoá luận gồm phần Phần I : Mở đầu Phần II : Nội dung *Chương : Những kiến thức chẩn bị *Chương : Phương trình loại Hypecbolic Bài toán Cauchy *Chương : Phương trình loại Hypecbolic Bài toán hỗn hợp *Chương 4: Một số toán áp dụng Phần III : Kết luận Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán – Trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng – Giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng cho suốt trình làm khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Bùi Thị Thuỷ Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương Những kiến thức chuẩn bị Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 1.1 Các khái niệm tổng quát 1.1.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Phương trình liên hệ ẩn hàm u1,…,uN, biến số độc lập x1,…, xn đạo hàm riêng ẩn hàm gọi phương trình đạo hàm riêng Nó có dạng u1 uN u1  k ui F ( x1 , x2 , , xn ; u1 , u2 , , un ; , , ; , , k )0 x1 x1 x2  x1  k xn F hàm số nhiều biến số Cấp phương trình đạo hàm riêng cấp cao đạo hàm có mặt phương trình  2u  x  y phương trình đạo hàm riêng cấp Ví dụ : xy 1.1.2 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng cấp Phương trình đạo hàm riêng cấp có dạng F ( x1 , x2 , , xn , u, u u u , , , )0 x1 x x n (1.1) Trong u  u  x1 , x2 , , xn  hàm phải tìm n biến số độc lập x1 , x2 , xn F hàm cho đối số miền không gian (2n+1) chiều Nghiệm phương trình (1.1) hàm u  u  x1 , x2 , , xn  xác định liên tục với đạo hàm riêng u u u miền biến thiên , , , x1 x x n biến số x1 , x2 , xn biến phương trình (1.1) thành đồng thức Ở ta giả thiết giá trị x1 , x2 , xn mà hàm u xác định giá Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp trị tương ứng hàm u đạo hàm nằm miền xác định hàm F 1.1.3 Phương trình đạo hàm riêng cấp tuyến tính không Phương trình có dạng X ( x1 , x2 , , xn , u ) u1 u u  X ( x1 , x2 , , xn , u )   X n ( x1 , x2 , , xn , u) x1 x2 xn  f ( x1 , x2 , , xn , u) (1.2) gọi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp (không ) Nếu vế phải phương trình (1.2) đồng không ( f  ) hàm số Xi (i=1,n ) không phụ thuộc hàm số phải tìm u, phương trình (1.2) có dạng X ( x1 , x2 , , xn , u ) u u u  X ( x1 , x2 , , xn , u )   X n ( x1 , x2 , , xn , u ) 0 x1 x x n (1.3) Khi phương trình (1.3) gọi phương trình tuyến tính Ví dụ : Phương trình x x u u  y  phương trình tuyến tính phương trình x y u u u u y  2u x  yu  phương trình tuyến tính x y x y không 1.2 Phương trình tuyến tính Xét phương trình (1.3) u u u X ( x1 , x2 , , xn , u )  X ( x1 , x2 , , xn , u )   X n ( x1 , x2 , , xn , u ) 0 x1 x x n Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Giả sử X1,X2,…,Xn xác định liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng theo tất biến lân cận điểm  x , x , , x  n không đồng thời không điểm chẳng hạn Xn  x10 , x20 , , xn0   (1.4) Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hàm u  u  x1 , x2 , , xn  thoả mãn điều kiện sau a u  u  x1 , x2 , , xn  xác định D b Khả vi liên tục lân cận điểm  x10 , x20 , , xn0  (tồn đạo hàm riêng u liên tục D) x i c Thay u  u  x1 , x2 , , xn  đạo hàm riêng u vào phương trình (1.3) x i trở thành đồng Rõ ràng phương trình (1.3) có nghiệm u=c (1.5) với c số tuỳ ý Ta gọi nghiệm (1.5) nghiệm tầm thường phương trình với phương trình (1.3) Ta xét hệ phương trình vi phân thương dạng đối xứng sau dx1 dx2 dxn    X ( x1 , x2 , , xn ) X ( x1 , x2 , , xn ) X ( x1 , x2 , , xn ) (1.6) Hệ phương trình (1.6) gọi hệ đối xứng tương ứng với phương trình (1.3) Định nghĩa : Hàm số  ( x1 , x2 , , xn ) gọi tích phân hệ (1.6) miền biến số x1,x2,…,xn    X1  X   Xn  x1 x2 xn Định lí Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1) Nếu hàm số  ( x1 , x2 , , xn ) tích phân khả vi liên tục hệ (1.6) hàm số u=  ( x1 , x2 , , xn ) nghiệm phương trình (1.3) 2) Nếu hàm u = ( x1 , x2 , , xn )  const nghiệm phương trình (1.3) hàm số  ( x1 , x2 , , xn ) tích phân hệ (1.6) Chứng minh 1) Hiển nhiên (dựa vào định nghĩa tích phân hệ (1.6)) 2) Lấy vi phân toàn phần hàm     d  dx1  dx2   dxn x1 x2 xn dựa vào hệ (1.6) ta   X  X  X n       dxn  x X  x X  x Xn   n n n        X  X   X n  X dxn  x  x  x  n  n (Ta giả thiết thêm X n ( x10 , x20 , ., xn0 )  ) Khi từ (1.5) ta có d  tức   c tích phân đầu hệ (1.6) Từ định lí ta suy việc tìm nghiệm (1.3) tương đương với việc tìm tích phân hệ (1.6) Ta giả thiết hệ (1.6) có (n-1) phương trình vi phân cấp sau dx1 X dx2 X dx X  ;  ; ; n1  n1 dxn X n dxn X n dxn Xn (1.8) Trong vế phải hệ (1.8) hàm số xác định khả vi liên tục lân cận điểm  x10 , x20 , , xn0  Ta lập hàm khả vi liên tục tích phân (1.7) u   (1 ,2 , ,n1 ) Bùi Thị Thủy (1.9) K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Khi hàm số xác định (1.9) tích phân (1.6) nghiệm phương trình (1.3) Ta gọi nghiệm (1.9)  hàm số (khả vi liên tục tích phân ) nghịêm tổng quát phương trình (1.3) Ví dụ: Cho phương trình x u u u y z 0 x y z Hệ phương trình vi phân đối xứng tương ứng dx dy dz   x y z Ta có dx dy   ln x  ln y  ln c1 x y  c1 x  y  c1  y/x= 1 dx dz   ln x  ln z  ln c2 x z  c2 x  z  c2  z  2 (c1 , c2 số ) x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho u   ( y / x, z / x) 1.3 Phương trình tuyến tính không Ta xét phương trình dạng (1.2) X ( x1 , x2 , , xn , u ) u1 u  X ( x1 , x2 , , xn , u )   x1 x2  X n ( x1 , x2 , , xn , u) Bùi Thị Thủy u1  f ( x1 , x2 , , xn , u) xn (1.10) K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trong hàm số Xi ( i  1, n ) f xác định liên tục đạo hàm riêng cấp chúng Ngoài X n ( x10 , x20 , , xn0 , u )  (1.11) Ta chứng tỏ nghiệm phương trình (1.10) có dạng ẩn V ( x1 , x2 , , xn , u)  (1.12) Trong V hàm số khả vi liên tục theo đối số thoả mãn V 0 ( x1 , x2 , , xn0 , u )  u (1.13) Thật ta lấy vi phân hệ thức (1.12) theo xk (k  1, n) u hàm x1,x2,…,xn ta u V V  : , k  1, n x k x k u (1.14) Đặt (1.14) vào (1.10) ta X1 V V V V  X2   X n f 0 x1 x2 xn u (1.15) Phương trình (1.15) phương trình tuyến tính với hàm số phải tìm V Hệ phương trình đối xứng tương ứng (1.15) dx1 dx2 dx du    n  X1 X Xn f (1.16) Hệ (1.16) có n tích phân độc lập 1 ( x1 , x2 , , xn , u),2 ( x1, x2 , , xn , u), ., n ( x1, x2, , xn ,u ) (1.17) Khi hàm số V   (1 ,2 , ,n ) (1.18) nghiệm tổng quát phương trình (1.15) Nếu đặt (1.18) vào (1.12) ta nghiệm phương trình (1.10) dạng V   (1 ,2 , ,n ) =0 (1.19) Đó điều phải chứng minh Chú ý: Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1) Nghiệm (1.19) nghiệm tổng quát phương trình (1.10) 2) Nếu từ phương trình (1.19) ta tìm u   ( x1 , x2 , , xn ) (1.20)  hàm số tuỳ ý, khả vi liên tục (1.20) nghiệm tổng quát dạng tường minh phương trình (1.10) Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau a) y z z  x  x  y (*) x y b) xy z z  x2  yz (**) x y Lời giải: a) y z z  x  x  y (*) x y Hệ phương trình đối xứng tương ứng dx dy dz   y x y  x Ta có dx dy 1   xdx  ydy  x  y  c1 y x 2  c1  x  y   Tương tự dx dz   c2  x  y  z   y y  x Vậy nghiệm tổng quát phương trình(*) u   ( , ) hay F(x2-y2,x-y+z)=0 b) xy z z  x2  yz (**) x y Bùi Thị Thủy K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Hệ phương trình đối xứng tương ứng dx dy dz   xy  x yz Ta có dx dx    xdx  ydy xy  x 1   x  c1  y  c1  x  y   2 Tưong tự dx dz   ln x  ln y  ln c2 xy yz  c2 x  z  c2  z  x z Vậy nghiệm tổng quát (**) : F( x  y , )=0 x 1.4 Bài toán biên Bài toán biên phương trình đạo hàm riêng toán tìm nghiệm miền thoả mãn điều kiện biên miền gọi điều kiện biên Định lí liên quan tới tồn nghiệm toán biên gọi định lí tồn nghiệm Ví dụ : u u   với u(0,y)=8e-3y x y 1.5 Nguyên lí cộng nghiệm phương pháp tách biến Bùi Thị Thủy 10 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Khi nghiệm tổng quát (2.1.8) X(x)=ax+b Từ (2.1.10) ta có  X (0)  b    X ()  a  b  Từ a=0, b=0 X ( x)  ta lại nghiệm tầm thường c)  >0 Khi nghiệm tổng quát (2.1.8) X ( x)  C1cos  x  C2sin  x Điều kiện (2.1.10) cho ta X (0)  C1  X ()  C2 sin    (2.1.12) Rõ ràng C2  C2=0 X ( x)  ta lại nghiệm tầm thường Vì C2  nên (2.1.12) cho ta k 2 sin        k     Với k nguyên , tức X ( x)  C2 sin (2.1.13) k x l Các giá trị  (2.1.13) cho nghiệm phương trình (2.1.8) thoả mãn điều kiện (2.1.10) nghiệm không tầm thường gọi giá trị riêng nghiệm tương ứng X(x) gọi hàm riêng toán (2.1.8), (2.1.10) Hàm X(x) phụ thuộc k, ta kí hiệu Xk(x) C2 ta kí hiệu Ck : X k ( x)  Ck sin k x  (2.1.14) Với giá trị  (2.1.13) thay vào (2.1.9) ta có k 2 2 T ''(t )  a T (t )   Bùi Thị Thủy 42 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Từ Khóa luận tốt nghiệp Tk (t )  Dk cos k k at  Ek sin at   (2.1.15) Từ (2.1.6), (2.1.14), (2.1.15), ta thấy phương trình (2.1.1) thừa nhận tập nghiệm : uk ( x, t )  ( Ak cos k k k at  Bk sin at )sin x    (2.1.16) Với Ak=CkDk, Bk=CkEk số tuỳ ý Những nghiệm thoả mãn điều kiện (2.1.4), (2.1.5) Ta xây dựng chuỗi   k 1 k 1 u ( x, t )   uk ( x, t )   ( Ak cos k k k at  Bk sin at )sin x    Và xác định hệ số Ak, Bk cho chuỗi (2.1.17) thoả mãn phương trình (2.1.1) điều biên (2.1.2), (2.1.3) Điều kiện (2.1.2) cho ta  u ( x,0)   Ak sin k 1 k x    x  (2.1.18) Nếu chuỗi (2.1.17) đạo hàm hạng thức, (2.1.3) cho ta  u k a k ( x,0)   Bk sin x   x t   k 1 (2.1.19) Giả sử   x  ,  x  hàm khai triển thành chuỗi Phuarie  k  theo sin  đoạn 0, Khi hệ số Ak, Bk, xác định    công thức 2 k Ak     x  sin xdx 0  Bk     x  sin k a Bùi Thị Thủy 43 k xdx  (2.1.20) (2.1.21) K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Như toán có nghiệm, nghiệm phải biểu diễn (2.1.17) Ak, Bk xác định (2.1.20), (2.1.21) thực nghiệm toán đặt Để khẳng định tổng u(x,t) (2.1.17) thoả mãn điều kiện (2.1.2), (2.1.4) (2.1.5) cần chứng minh x  x  l t  ta có   k 1 k 1 lim  uk  x, t    lim uk  x, t  Do cần chứng minh chuỗi (2.1.17) hội tụ Dễ thấy uk  x, t   Ak  Bk Và dấu hiệu Vâyơstrat cần chứng minh hội tụ chuỗi   A k 1 k  Bk  (2.1.22) Muốn cho tổng u(x,t) (2.1.17) đạo hàm hạng thức thoả mãn điều kiện (2.1.3), cần chứng minh chuỗi  u  x, t   k a  u k k  k  at  Bk cos at  sin x hội tụ  x, t    k   Ak sin t t l  l l l k 1 k 1  cần chứng minh hội tụ chuỗi:   A k 1 k  Bk  (2.1.23) Hơn nữa, muốn cho tổng u(x,t) (2.1.17) thoả mãn phương trình (2.1.1), cần (2.1.17) đạo hàm hạng thức hai lần theo x hai lần theo t, cần chứng minh hội tụ chuỗi  u k  x, t   2u       x, t    2 x x l  k k 1  u k  x, t   2u a     x, t     2 t t  l  k k  k  at  Bk sin at  sin x  Ak co s l l l    k k 1 k k  k  at  Bk sin at  sin x  Ak co s l l l    Và cần chứng minh hội tụ chuỗi k  A k 1 k  Bk  (2.1.24) Bùi Thị Thủy 44 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Để chứng minh Khóa luận tốt nghiệp  k k 1 ak hội tụ cần a Hàm  (x) [0,l] có đạo hàm liên tục cấp hai, đạo hàm cấp ba liên tục khúc  (0) =  (l) = (2.1.25)  ’’(0) =  ’’(l) =  Muốn cho k  k 1 k hội tụ cần b Hàm  (x) [0,l] hàm khả vi liên tục, đạo hàm cấp hai liên tục khúc  (0) =  (l) = (2.1.27) Như điều kiện a, b vừa nêu chuỗi (2.1.17) cho ta nghiệm toán Bài toán 2: Tìm nghiệm phương trình  2u  u  a  f ( x, t ) t x (2.2.1) Với điều kiện ban đầu điều kiện biên u(x,0) = 0 xl (2.2.2) u ( x,0)  t 0 xl (2.2.3) u(0,t) = u(l,t) =0 (2.2.5) Giả thiết chuỗi (2.2.6) hội tụ đều, rõ ràng hàm u(x,t) xác định (2.2.6) thoả mãn điều kiện biên (2.2.4), (2.2.5) Bây ta xác định Tk(t) (2.2.6) nghiệm phương trình (2.2.1) điều kiện ban đầu (2.2.2), (2.2.3) Giả thiết chuỗi (2.2.6) đạo hàm hạng thức hàm  f(x,t) triển khai thành chuỗi Phuarie: f ( x, t )   f k  t  sin k 1 Bùi Thị Thủy 45 k x l (2.2.7) K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 2l k x Trong f k  t    f ( x, t )sin dx Khi đó, đặt (2.2.6) vào (2.2.1) ta l0 l có k x  k x k a '' T t   T sin   f k  t  sin với k       k k k   l l l k 1 k 1  So sánh hệ số sin k x hai vế, ta phương trình vi phân l Tk(t) Tk''  t   k2Tk  t   f k  t  , k = 1,2,3 (2.2.8) Để hàm u(x,t) xác định (2.2.6) thoả mãn điều kiện ban đầu (2.2.2), (2.2.3) cần : Tk(0) = (k = 1,2,3…) Tk’(0) = (2.2.9) Như Tk(t) thoả mãn phương trình (2.2.8) điều kiện (2.2.9) Bằng cách thử trực tiếp thấy hàm biểu diễn công thức : Tk  t   k  t f k   sin k  t    d (2.2.10) Hay sau thay fk( ) biểu thức Tk  t    sin   t    d  l t k l f ( x, )sin k k x dx l (2.2.11) 3.5 Bài toán hỗn hợp tổng quát Xét toán: Tìm nghiệm phương trình:  2u  u  a  f ( x, t ) (2.3.1) t x thoả mãn điều kiện ban đầu u(x,0) =  (x)  x  l (2.3.2) Và điều kiện biên Bùi Thị Thủy u(0,t) =  (t) (2.3.4) u(l,t)= (t) (2.3.5) 46 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp u ( x, t )    t   x   t     t   l u(0,t) =  (t) Rõ ràng u(l,t) =  (t) Nếu ta đặt u(x,t) = v +  + u (2.3.6) Trong v(x,t) nghiệm toán : 2v  v a 0 t x v( x,0)    x   0 xl  v ( x ,0)   ( x )   t v(0, )   v(, t )   * ( x)    x   u * ( x,0) Với u  ( x)    x   ( x,0) t * * Thì rõ ràng hàm w(x,t) thoả mãn phương trình với  2   a  f * ( x, t ) 2 t x   2u*  u*  f *  x, t   f  x, t     a 2  thoả mãn điều kiện x   t   x,0        x,0    t 0 x   0, t      , t   Vậy biểu thức (2.3.6) cho ta nghiệm toán hỗn hợp tổng quát Bùi Thị Thủy 47 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương Một số toán áp dụng 4.1 Bài toán  2u  u miền a t x Tìm nghiệm u(x,t) phương trình   x  , t  0 thoả mãn u  x,0   2; u  x,0   cosx t Lời giải Áp dụng công thức Đalembe ta có nghiệm toán có dạng : u ( x, t )    x  at     x  at   x+at    d 2a x at u ( x,0)    x  Trong Khi u ( x,0)   ( x) t 1 x at u ( x, t )  cos  x+at   cos  x-at     2d  2a x at  cosx.cosat+ 2 2a  cosx.cosat+2t x  at x  at Vậy nghiệm toán cần tìm u(x,t)=cosx.cosat+2t Bài toán Giải phương trình  2u  2u 5 t x với điều kiện :  x   ; t>0 u (0, t )  0; u ( t )  u u ( x,0)  0; ( x,0)  sinx t Lời giải Trong ta có a2=5 ,    ,  x   sinx,  x   Khi nghiệm toán có dạng : Bùi Thị Thủy 48 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội  u ( x, t )   ( Ak cos k 1 Khóa luận tốt nghiệp k k k at  Bk sin at )sin x    2 k 2 k với Ak     x  sin xdx =  0.sin xdx  0  0  Bk     x  sin k a 2 k  k xdx  sinx.sin xdx    5k k  1  I   sinx.sin xdx     cos  x-kx   cos  x+kx  dx 0   2  Tính  1  1  c os x-kx d x-kx  cos  x+kx  d  x+kx        k 0   k 0   1 1  sin  x-kx   sin  x+kx   1 k   k 0  0; k  1 1 sin  1  k   sin  1  k     1 k  1 k 1; k  1 0; k    Bk    ;k 1  Vậy nghiệm toán : u ( x, t )  sinx.sin 5t Bài toán Tìm nghiệm phương trình :  2u  u a t x miền 0  x  1,0  t  T  với điều kiện ban đầu : u(x,0)=0 ;  x0 ; x   c   , c    u x ,0     t 0; x  (0, c   )   c   ,   điều kiện biên : u ( x,0)  0; u (, t )  Lời giải Bùi Thị Thủy 49 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Khi nghiệm toán có dạng :  u ( x, t )   ( Ak cos k 1 k k k at  Bk sin at )sin x    2 k 2 k Ak     x  sin xdx =  0.sin xdx  0  0  Với k xdx  c    c  k k k    x sin xdx   x sin xdx   x sin xdx           k a     c  c  Bk   2    x  sin k a  c   k a c  v0 sin 2v   k k k xdx  02 cos  c     cos  c     k  a    Vậy nghiệm phương trình k  c-  k  c+   k a 2v0   k x  cos t sin cos  sin 2     k 1 k  a    u ( x, t )   k  c-  k  c+    cos  cos     2v0     sin k a t sin k x    a k 1 k   4 Bài toán Giải phương trình :  2u  2u 4 t x với điều kiện 0[...]... tìm sẽ là z    x, y  tức là z  x 2  y 2 1.6.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất Đối với phương trình (1.10) ta cũng có bài toán Cauchy tương tự Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu của phương trình x z z   y  x2   z x y z=y-4 khi x=2 Lời giải: Xét hệ phương trình đối xứng tương ứng dx dy dz  2  x x y z Ta có dx... nghiệp Có nhiều phương pháp giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phương pháp tách biến (phương pháp Phuarie) là một trong những phương pháp quan trọng nhất Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát sau đó cho thoả mãn điều kiện biên Các định lí sau đây là cơ sở quan trọng cho phương pháp 1.5.1 Nguyên lí cộng nghiệm Định lí: Giả sử 1 ,2 , ,n1 là nghiệm của phương trình (1.4) thì C11... truyền sóng Ta xét bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng, cụ thể là bài toán 2  2u  2u  2 u  a  2  2   f ( x, y , t ) t 2  x y  (2.1.1) u( x, y, t0 )    x, y  (2.1.2) u  x, y , t 0     x , y  t (2.1.3) Như vậy mặt mang dữ kiện Cauchy đối với bài toán này là mặt phẳng t=t0 Nó không phải là mặt đặc trưng của phương trình này Họ các mặt đặc trưng của phương trình này là họ... K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp  z x2  y  Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : z    , x  x Để tìm nghiệm của bài toán Cauchy, ta đặt x=2 vào các tích phân trên y4 z  1 ,  2 và có y  21  4, z  22 2 2  22  21  4  4 z x2  y Do đó  hay z  y  x 2 là nghiệm phải tìm x x Chương 2: Phương trình loại hypecbolic Bài toán Cauchy 2.1 Bài toán. .. K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chương 3: Phương trình loại hypecbolic Bài toán hỗn hợp 3.1 Bài toán hỗn hợp Cũng bằng cách đổi biến thời gian t’ = at trong phương trình truyền sóng , ta có thể coi vận tốc truyền sóng a = 1 Trong mặt phẳng xOy của không gian (x, y, t) ta xét một miền giới nội G giới hạn bởi chu tuyến  , gồm một số hữu hạn các cung  i với tiếp tuyến biên. ..   d 2a xat (4.1.8) Đây là công thức Đalembe đối với phương trình dao động của dây 2.4.2 Xây dựng trực tiếp công thức Đalembe và công thức Kiêcsốp a) Công thức Đalembe Giả sử ta cần giải bài toán Cauchy của phương trình dao động của dây (4.1.5), (4.1.6), (4.1.7) Ta hãy đưa phương trình (4.1.5) về dạng chính tắc : u  F1*  , , u , u  Phương trình các đường đặc trưng : ady2-2bdxdy+cdx2 =0... K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Vậy (2.2.8), (2.2.9) được thoả mãn và bài toán 2 được giải xong Rõ ràng nếu   x, y, z  có đạo hàm riêng liên tục đối với các biến của nó liên tục cho tới cấp k+1 và do đó   v có các đạo hàm riêng đối với các t biến của nó liên tục cho tới cấp k 3) Giải bài toán 3 Trước hết ta chứng minh mệnh đề sau Nếu V  , x, y, z, t  với mọi...  1 a   dV 2  4 a V r (2.2.31) at Với Vat là hình cầu tâm (x,y,z) bán kính at Như vậy bài toán 3 đã hoàn thành 2.4 Phương trình hạ thấp Xây dựng trực tiếp công thức Đalembe và công thức Kiêcsôp 2.4.1 Phương trình hạ thấp a) Giả sử ta xét bài toán Cauchy trong mặt phẳng 2  2u  2u  2 u a  2  2 t 2  x y  Bùi Thị Thủy 27 (4.1.1) K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội 2 Khóa luận... xn ) (1.25) ( i  1, n ) sẽ là nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (1.3)-(1.22) Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình y z z  x  0 thoả mãn điều kiện z=y2 khi x=0 x y Lời giải : Giả sử (0,y0) , y0  0 Xét phương trình đối xứng tương ứng dy dx 1 1 1 1   ydy   xdx  C1  y 2   x 2  C1 x y 2 2 2 2  C1  x 2  y 2   Bùi Thị Thủy 13 K32A-Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội 2 Khóa luận... của phương trình (1.4) thì C11  C22  C33   Cn1n1 cũng là nghiệm của phương trình (1.4) Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần nhất 1.5.2 Phương pháp tách biến Giả thiết rằng nghiệm có thể biểu diễn dưới dạng tích của ... y , )=0 x 1.4 Bài toán biên Bài toán biên phương trình đạo hàm riêng toán tìm nghiệm miền thoả mãn điều kiện biên miền gọi điều kiện biên Định lí liên quan tới tồn nghiệm toán biên gọi định lí... x n (1.3) Khi phương trình (1.3) gọi phương trình tuyến tính Ví dụ : Phương trình x x u u  y  phương trình tuyến tính phương trình x y u u u u y  2u x  yu  phương trình tuyến tính... đơn vị dài dây ) 2.2 Bài toán Cauchy phương trình truyền sóng định lí 2.2.1 Bài toán Cauchy phương trình truyền sóng Ta xét toán Cauchy phương trình truyền sóng, cụ thể toán  2u  2u  2 u