Bài toán biên ban đầu đối với phương trình Parabolic với điều kiện biên Robinson trong miền bị chặn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 --- NGUYỄN THU PHƯƠNG XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-

NGUYỄN THU PHƯƠNG

XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:TS NGUYỄN THÀNH ANH

Hà Nội, 2016

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin chânthành cảm ơn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, nơi mà tác giả đã hoànthành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình và tâm huyết củacác Thầy, Cô

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS NguyễnThành Anh, người Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình vàgiúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người

đã giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoànthành luận văn của mình

Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016

Nguyễn Thu Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiêm cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học với sựtrân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016

Nguyễn Thu Phương

MỤC LỤC

1.1 Không gian Sobolev 6

1.2 Một số bất đẳng thức 10

2 Xấp xỉ Galerkin đối với phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson 12 2.1 Phát biểu bài toán 12

2.2 Đánh giá sai số của xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc 14

2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ 14

2.2.2 Ước lượng sai số trong chuẩn L2 16

2.2.3 Ước lượng sai số trong chuẩn H1 20

2.3 Rời rạc hóa thời gian 22

2.3.1 Bước thời gian cách đều 23

2.3.2 Bước thời gian thay đổi 28

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán biên ban đầu đối với phương trình parabolic là mô hìnhtoán học của nhiều ứng dụng thực tế khác nhau Giải số của những bàitoán đó thường dùng phương pháp phần tử hữu hạn trong không gian.Trong khuôn khổ đề tài luận văn chúng tôi quan tâm đến giải số của cácbài toán biên ban đầu đối với phương trình parabolic tuyến tính với điềukiện biên không thuần nhất thứ ba (điều kiện biên Robinson) Bởi vậy,dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh, tôi đã chọn đề tài: “Xấp xỉ Galerkin đối với phương trình Parabolic tuyến tính vớiđiều kiện biên Robinson” Luận văn được hoàn thành dựa trên bàibáo [4]:"Galerkin Approximations for the Linear Parabolic Equation withthe Third Boundary Condition" của các tác giả I Faragó, S Korotov, P.Neittaanmaki, công bố năm 2003

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự hội tụ, các ước lượng sai số của dãy nghiệm xấp xỉGalerkin đối với bài toán biên ban đầu đối với phương trình parabolictuyến tính với điều kiện biên Robinson

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu sự hội tụ, ước lượng sai số trong không gian L2, H1 đốivới dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin

- Ước lượng sai số đối với nghiệm xấp xỉ rời rạc theo thời gian.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán biên ban đầu đối với phương trình Parabolic với điều kiện biênRobinson trong miền bị chặn

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại các kiếnthức có liên quan, phân tích, tổng hợp

6 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn không có đóng góp mới về mặt khoa học

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Cho Ω là một miền trong Rd (d = 1, 2, 3)

C∞(Ω) ={ u : Ω →R khả vi vô hạn } = ∞∩

Cc∞(Ω) kí hiệu các hàm trong C∞(Ω) với giá compact

Lp(Ω) = { u : Ω → R | u là độ đo Lebesgue, kukLp (Ω) < ∞ }, trong đó

kukLp (Ω) =

R

Ω

|u|pdx

1/p, p ≥ 1

"đạo hàm yếu"

Giả sử u là một hàm khả vi Khi đó với mọi "hàm thử" φ ∈ Cc∞(Ω), sửdụng công thức tích phân từng phần ta thu được đẳng thức sau

với mọi đa chỉ số α Chúng ta có định nghĩa của đạo hàm yếu như sau:

Định nghĩa 1.1.1 Với một hàm u ∈ L1loc(Ω), ta nói rằng v là đạo hàmyếu của u ứng với biến xj, ký hiệu v = Dju, nếu v ∈ L1loc(Ω) và

với mọi φ ∈ Cc∞(Ω)

Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấpcao như sau:

Định nghĩa 1.1.2 Nếu u, v ∈ L1loc(Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp

α của u, viết là v = Dαu, nếu

Không gian Sobolev Wr,p(Ω) được định nghĩa như trên là không gianBanach khả ly.

Tương tự như không gian L2(Ω), trong các không gian SobolevWr,p(Ω),trường hợp p = 2 được dùng nhiều nhất trong các nghiên cứu Vì lý do

đó, sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu chủ yếu không gian Wr,2(Ω) trên cơ

sở L2(Ω) Vì không gian đặc biệt này được dùng thường xuyên hơn cáckhông gian Sobolev khác nên nó có ký hiệu riêng Wr,2(Ω) = Hr(Ω) Người

ta chọn ký hiệu này vì Hr(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướngđược trang bị như sau

Chúng tôi giới thiệu nửa chuẩn

|u|r =



X

Định nghĩa 1.1.4 Ta kí hiệu Wr,p0 (Ω) là bao đóng của Cc∞(Ω) trong

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử X là một không gian Banach Không gian

Lp(0, T ; X) bao gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với

1/p(16 p < ∞) ,

ess sup06t6T

(ku(t)kX + ku0(t)kX) (p = ∞)

Ta viết H1(0, T ; X) = W1,2(0, T ; X)

Từ bây giờ chúng ta sử dụng những kí hiệu sau:

(·, ·) tích vô hướng trong L2(Ω)

k·k0,∂Ω chuẩn trong không gian L2(∂Ω)

chúng ta viết k·k thay cho k·k0

Vh không gian con hữu hạn chiều

• Bất đẳng thức YoungCho 1 < p, q < ∞, 1

• Bất đẳng thức H¨olderGiả sử 1 < p, q < ∞,1

x(t) ≤ C1

t

Z

0x(s)ds + C2

với C1, C2 là các hằng số không âm Khi đó

x(t) ≤ C2 1 + C1eC1 t
với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T

CHƯƠNG 2

XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN

TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON

2.1 Phát biểu bài toán

Giả sử Ω là một miền đa diện bị chặn trong Rd, d = 1, 2, , với biên

αu + νTAgradu = g trên (0, T ) × ∂Ω (2.2)

Ở đây, ν là véc tơ pháp tuyến đơn vị bên ngoài của Ω

A = A(x) := (aij(x))di,j=1, aij = aji vớii, j = 1, 2, , d

b = b(x) := (b1(x), , bd(x))

c = c(x), với x ∈ Ω

α = α(s) ≥ 0, s ∈ ∂Ω.Điều kiện ban đầu đưa ra là

Chúng tôi đưa ra các giả thiết sau đây:

(H1) Ma trận A là xác định dương, nghĩa là

(Aη, η) ≥ C0|η|2

với ∀η ∈ Rd, C0 là một hằng số dương.

(H2) Các hệ số aij, bi, c và α là một hàm đo được bị chặn trên Ω và ∂Ω

tương ứng, nghĩa là

ess supx,i,j

f ∈ C [0, T ], L2(Ω)
, g ∈ [0, T ], L2(∂Ω)
, u0 ∈ H1(Ω)∩C(Ω) (2.5)

Định nghĩa 2.1.1 Hàm u ∈ C [0, T ], H1(Ω)
TH1([0, T ], L2(Ω)) đượcgọi là nghiệm yếu của bài toán nếu u(·, 0) = u0 và thỏa mãn hệ thức sau:

(u0(t), v) + a(u, v) = F (t; v), ∀v ∈ H1(Ω) (2.6)

ở đây u0 = ∂u

∂t biểu thị đạo hàm theo thời gian, a(·, ·) là một dạng song

tuyến được xác định bởi

a(v, w) = (Agradv,gradw) + (b.gradv + cu, w) + hαv, wi (2.7)và

F (t; v) = (f (·, t), v) + hg(·, t), vi (2.8)Trong luận văn này chúng tôi giả sử rằng bài toán (2.1) − (2.3) có duynhất nghiệm yếu u Hơn nữa, chúng tôi giả thiêt rằng nghiệm yếu nàythuộc Ck [0, T ], Hl(Ω)
với k ≥ 1, l ≥ 2 trong mục 2.2 và k ≥ 3, l ≥ 2

Chú ý 2.1.1 Chúng ta chú ý rằng,thông thường dạng song tuyến tính bấtđối xứng a(·, ·) không thể đáp ứng điều kiện (2.9) Tuy nhiên,chúng ta cóthể chỉ ra rằng nó thỏa mãn, chẳng hạn, trong trường hợp B2 < 4C0β, ởđây B2 :=

2.2 Đánh giá sai số của xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc

Trong phần này chúng tôi phân tích tốc độ của hội tụ đối với xấp xỉnửa rời rạc của bài toán

2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ

Để cho {Th} là một họ các phép tam giác phân của Ω gồm các phần

tử Ki với những tính chất tiêu chuẩn thông thường Chúng tôi giả sử cókhông gian con hữu hạn chiều của H1(Ω) dưới dạng

Vh = χh ∈ H1(Ω) |χh|K ∈ Pl−1(K) , ∀K ∈ Th (2.11)

Hơn nữa, chúng tôi định nghĩa toán tử của phép chiếu elipticPh : H1(Ω) →

Vh sao cho bất kì v ∈ Hl(Ω) được ánh xạ vào Phv ∈ Vh như vậy hệ thứcsau được xác định

a (Phv, χh) = a (v, χh) ∀χh ∈ Vh (2.12)Toán tử này được giới thiệu trong (xem [2],chương 2)

Chú ý 2.2.1 Thông thường yêu cầu (xem [3], [10]) không gian con hữuhạn chiều phải thỏa mãn

χh∈V h

{kv − χhk + h kgrad (v − χh)k} ≤ C4hpkvkp (2.13)với v ∈ Hp(Ω) , 1 ≤ p ≤ l

Chúng tôi giả sử rằng không gian Vh thỏa mãn

kv − Phvk + h kgrad (v − Phv)k ≤ C5hlkvkl (2.14)với v ∈ Hl(Ω)

Chú ý 2.2.2 Điều kiện (2.14) là điển hình cho không gian hữu hạn chiều,chúng ta tham khảo ví dụ ở [8],[11] cho việc lập các điều kiện khi nó đúng

Chú ý 2.2.3 Với giả thiết rằng, nghiệm yếuu(x, t) của (2.1)−(2.3) thuộc

Hl(Ω) với bất kì hằng số t ∈ (0, T ), tức là, bằng hệ thức (2.12) chúng tôi

có thể xác định hàm số Phu(t) thuộc Vh với bất kì hằng số t ∈ (0, T ) Vì

hệ số của dạng song tuyến tính a (·, ·) không phụ thuộc vào t

Chúng tôi thấy rằng dưới điều kiện (2.14) ước lượng sau đúng

Phần tử uh(0) ∈ Vh xác định bởi

(uh(0) , χh) = u0, χh
, ∀χh ∈ Vh (2.17)Chúng ta tìm kiếm uh dưới dạng

Ở đâyN := dim Vh và v1, , vN là các hàm cơ sở trongVh Sử dụng (2.17)

chúng tôi đưa ra một hệ thống các phương trình vi phân thông thường bậcnhất

2.2.2 Ước lượng sai số trong chuẩn L 2

Định lý 2.2.1 Gọi u và uh tương ứng là nghiệm của (2.6) và (2.16) Nếu

ta giả sử rằng ku (0) − uh(0)k ≤ C7hl, thì với mỗi t ∈ [0, T ], đánh giá sauđúng

Chứng minh: Theo (2.6), (2.12) và (2.16) chúng ta có các đẳng thứcsau cho tất cả các χh ∈ Vh:

Lấy tích phân (2.28) trong khoảng (0, T ) ta được

1/2sup0≤t≤T

Định lý sau đây cung cấp cho chúng ta thông tin với độ chính xác caocủa sai số nửa rời rạc theo thời gian.

Định lý 2.2.2 Gọi u và uh tương ứng là nghiệm của (2.6) và (2.16), với

t ∈ [0, T ] ước lượng sau đúng

ku (t) − uh(t)k ≤ C10hlku (t)kl + e−C2 t ku (0) − uh(0)k + C11hlku (0)kl

+ C12hl

Z t 0

∂t (s) lds.

(2.33)Chứng minh: Từ (2.24) ta có

12

d

dtkuh− Phuk2 = kuh− Phuk · d

dtkuh− Phuk

và từ (2.36) có

∂

∂t [u − Phu] ≥ d

dtkuh− Phuk + C2kuh− Phuk (2.37)Chúng ta chú ý rằng

2.2.3 Ước lượng sai số trong chuẩn H 1

Trong mục này chúng ta lấy đánh giá sai số trong chuẩn H1.Định lý 2.2.3 Lâý u và uh là nghiệm tương ứng của (2.6) và (2.16) Khi

đó, ước lượng sau đúng cho t ∈ [0, T ]

∂u

∂t (s)

2

lds

!1/2







(2.41)Chứng minh: Lâý χh = ∂

∂t[uh− Phu] trong (2.34) Do đó, chúng tacó

Từ a (·, ·) được giả sử là song tuyến tính, chúng ta chắc chắn có

∂

∂t(u − Phu)

2+ 12

∂

∂t (uh− Phu)

2

∂

∂t(u − Phu)

2ds

Tức là,

a (v, v) (t) ≤ a (v, v) (0) +

Z t 0

∂

∂t (u − Phu)

2ds

∂

∂t(u − Phu)

2ds

#

(2.45)Từ

kuh − Phuk1 ≤ kuh − uk1 + ku − Phuk1

Chúng ta có

kuh(0) − Phu (0)k1 ≤ kuh(0) − u (0)k1 + ku (0) − Phu (0)k1

∂t (u − Phu)

2ds

#

(2.46)Bây giờ, (2.46) cho ra

∂

∂t(u − Phu)

2ds

#1/2

(2.47)Do

∂

∂t (u − Phu)

2ds

#1/2

(2.48)

2.3 Rời rạc hóa thời gian

Ở mục này chúng ta nghiên cứu phương pháp θ để xét bài toán rời rạchoàn toàn đối với bài toán Cauchy nửa rời rạc (2.19) − (2.20)

2.3.1 Bước thời gian cách đều

Chúng tôi giới thiệu một vài chú ý: Giả sử τ là bước thời gian cách đều,

Un là xấp xỉ của u(t) trong Vh tại tn = nτ, n = 0, 1, 2, , và đặt toán tửsai phân hữu hạn ∂t được xác định như sau

Nhớ lại rằng trong mục này chúng ta yêu cầu tính trơn theo thời giancủa nghiệm đúng nhiều hơn: Chúng ta giả sử rằngu ∈ C3 (0, T ) , Hl(Ω)

Để ước lượng sai số toàn cục Un − u (tn) chúng ta chia sai số thành haiphần

Un − u (tn) = (Un− Phu(tn)) + (Phu (tn) − u (tn)) := σn+ %n (2.52)

Do (2.14), chúng ta có ước lượng

k%nk ≤ C5hlku (tn)kl (2.53)Trong phần tiếp theo, chúng ta xem xét số hạng σn Đặt L là phần elipticcủa toán tử parabolic, tức là,

Lu = div(A(x)gradu) − b · gradu − cu, (2.54)

xác định trên tập các hàm số thỏa mãn (2.2).

Do đó, chúng ta có

(−Lu, v) = a(u, v) − hg, vi , ∀v ∈ H1(Ω) (2.55)

Sử dụng định nghĩa của σn, (2.50), (2.12), (2.7) và (2.55), chúng ta đạtđược

∂tσn, θσn+ (1 − θ) σn−1
≤ kωnk θ kσnk + (1 − θ) σn−1
(2.58)Đầu tiên chúng ta xem xét lược đồ Crank-Nicolson, tức là, θ = 0.5 Khi

Cuối cùng, thay (2.61), (2.63), (2.64) và (2.65) vào (2.60) và sử dụng

(2.53) chúng ta có thể tóm tắt các kết quả như sau

Định lý 2.3.1 Đối với sai số toàn cục của phương pháp rời rạc hoàn toànCrank-Nicolson-Galerkin, ước lượng sau đúng

(2.66)

Chú ý 2.3.2 Nếu uh(0) là xấp xỉ phù hợp của u(0), khi đó (2.66) trởthành ước lượng

kUn − u (tn)k ≤ C25hl



1 + ku (0)kl + ku (tn)kl +

Z tn0

ku0(s)klds



+ C26τ2

Z tn0(ku000(s)k + kLu00(s)k) ds

(2.67)Chúng ta hãy xét trường hợp θ ∈ (0.5, 1] cho vế phải của (2.58) chúng

ta có đồng nhất thức

∂tσn, θσn + (1 − θ) σn−1

= τ1 θkσnk2 − (1 − θ) σn−1 2 + (1 − 2θ) σn−1, σn


Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Buniakovsky cho bất đẳng thứctrên, chúng ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng sau:

θkσnk2 − (1 − θ) σn−1 2 + (1 − 2θ) σn−1 kσnk

≤ τ kωnk θ kσnk + (1 − θ) σn−1
(2.68)Hơn nữa, chúng ta thấy rằng

θkσnk2 − (1 − θ) σn−1 2 + (1 − 2θ) σn−1 kσnk

= kσnk − σn−1
θ kσnk + (1 − θ) σn−1

Do đó, các kết quả (2.68) trong hệ thức (2.59) Vậy, ta có thể áp dụngtrực tiếp cách chứng minh của Định lý 2.3.1 Rõ ràng, các ước lượng

(2.61) − (2.62) đúng Cho số hạng ω2j sử dụng khai triển Taylor với phần

dư tích phân, chúng ta được

ω2j ≤ C27

Z tj

t j−1

Định lý 2.3.2 Cho sai số chung của phương pháp rời rạc hoàn toàn

Galerkin với θ ∈ (0.5, 1] ước lượng sau đúng

(2.71)Chú ý 2.3.3 Nếu uh(0) là một xấp xỉ phù hợp thì (2.71) có thể được viết

lại như sau

kUn − u (tn)k ≤ C31hl



1 + ku (0)kl + ku (tn)kl +

Z tn0

(2.72)

2.3.2 Bước thời gian thay đổi

Các kết quả trong mục 2.3.1 được xây dựng cho các bước thời gian cáchđều Bây giờ, chúng ta cũng xem xét cho bước thời gian biến đổi:

0 =: t0 < t1 < < tn, τj := tj − tj−1

Ta có định lý sau đây

Định lý 2.3.3 Với sai số chung của phương pháp rời rạc hoàn toàn

Crank-Nicolson-Galerkin với kích thước bước thời gian biến đổi, ước lượng sau

(2.73)Chứng minh: Tương tự như các cách chứng minh trước đây chúng ta

có thể suy ra (2.59) dưới dạng

kσnk ≤ σn−1 + τnkωnk (2.74)như trước đây, chúng ta được

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày được những vấn đề chính sau:

• Phát biểu bài toán (2.1) - (2.3) và xây dựng nghiệm xấp xỉ Galerkincho phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson

• Nhận được ước lượng sai số trong chuẩn L2 và H1 của nghiệm xấp xỉGalerkin nửa rời rạc

• Nhận được các đánh giá sai số về bước thời gian cách đều và bước thờigian thay đổi của nghiệm xấp xỉ Galerkin rời rạc

Chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong những

ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiệnhơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Q Alfio (2009), Numerical Models for Differential Problems,Springer, Milan and Lausanne

[2] S C Brenner, L R Scott (1994), The Mathematical Theory ofFinite Element Methods, Springer-Verlag, New York, Inc A,.[3] I Faragó, S Korotov, P Neittaanmaki (1998), Finite element anal-ysis for the heat conduction equation with the third boundary con-dition, Annales Univ, Sci, Budapest 41, 183-195

[4] I Faragó, S Korotov, P Neittaanmaki (2003), "Galerkin mations for the Linear Parabolic Equation with the Third BoundaryCondition", Applications of Mathematics, No.2, 111-128

Approxi-[5] E C Lawrence (1997), Partial Differential Equations, AmericanMathematical Society

[6] K Peter, A Lutz (2002), Numerical Methods for Elliptic andParabolic Partial Differential Equations, Springer, Germany

[7] A A Samarskii (1997), Theory of Difference Schemes, Nauka,Moscow, Russian

[8] G Strang, G Fix (1973), An Analysis of the Finite ElementMethod, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey

[9] B C Susanne , L Ridgway Scott (2007), The Mathematical Theory

of Finite Element Methods Third Edition , Springer, Chicago