Phương trình parabolic ngược thời gian

29 1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a=1.. 31 1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bà

Bộ giáo dục và đào tạo Trường đại học vinh -

Nguyễn văn đức

Phương trình parabolic ngược thời gian

Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62 46 01 01

Người hướng dẫn khoa học: 1 GS TSKH Đinh Nho Hào

2 PGS TS Đinh Huy Hoàng

Vinh -2011

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH ĐinhNho Hào và PGS TS Đinh Huy Hoàng Tôi xin cam đoan rằng các kếtquả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bốtrước đó

Tác giả

Nguyễn Văn Đức

2 MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan 1

Mục lục 2

Một số ký hiệu dùng trong luận án 3

Mở đầu 4

Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian 28

1.1 Một số khái niệm và bổ đề cơ sở 29

1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a=1 31

1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a>1 41

1.4 Ví dụ số 63

1.5 Kết luận chương 1 68

Chương 2 Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 69

2.1 Các kết quả ổn định 69

2.2 Hiệu chỉnh bài toán 77

2.3 Các ví dụ 91

2.4 Kết luận chương 2 96

Chương 3 Các kết quả ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian 97

3.1 Các kết quả bổ trợ 98

3.2 Phương pháp nhuyễn và kết quả ổn định 100

3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định 110

3.4 Ví dụ số 113

3.5 Kết luận chương 3 115

Kết luận chung và kiến nghị 119

Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

h·, ·i: tích vô hướng trong không gian Hilbert H

k · k: chuẩn trong không gian Hilbert H

C([a, b], H): tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên

C1((a, b), H): tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên (a, b) và nhận giá

L p (Ω) = {u : Ω → R| u đo được Lebesgue, kuk L p(Ω) < +∞}

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyênxuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủyđộng học, y học, xử lý ảnh, Đó là những bài toán khi các dữ kiện củaquá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng

từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận án này, chúng tôi đề cập tớiphương trình parabolic ngược thời gian Đó là bài toán cho phương trìnhparabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nókhi biết điều kiện cuối cùng (đó là lý do tại sao bài toán này được gọi làngược thời gian)

1.2 Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiệntrong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thờiđiểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiệntại ([31], [56], [67]), bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong Địavật lý ([67]) Trong bài toán về nước ngầm, để xác định việc truyền tảicủa chất gây ô nhiễm tại một vùng nước ngầm người ta dùng phươngtrình khuếch tán - đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với

đo đạc ở thời điểm hiện tại ([15]) Phương trình parabolic ngược thời giancũng thường xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu ([90]), thủy độnghọc ([15]), xử lý ảnh ([21], [60], [87]) Các bài toán này đã được nghiêncứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ cho một lớp phương trình đặc biệt; hơnthế nữa việc đề xuất các phương pháp số hữu hiệu để giải gần đúng cácbài toán này luôn là những vấn đề thời sự

1.3 Một cách hình thức các bài toán trên có thể mô tả như sau: giả

sử Lu(x, t) là một toán tử (có thể phi tuyến) elliptic đều Ở đây,x là biến

4

không gian, còn t là biến thời gian Giả sử Q t = ∪ s∈[0,t] Ω(s), Ω(s) là các

u t = Lu(x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ Q T ,

u¯¯t=0 = u0(x), x ∈ Ω0,

Bu = g(ξ, t), (ξ, t) ∈ ∪ s∈[0,T ] ∂Ω(s)

với B là toán tử điều kiện biên nào đó Đây là Bài toán thuận thời gian.

ban đầu Đây là Bài toán ngược thời gian và là chủ đề nghiên cứu của

Bài toán đặt không chỉnh Hadamard cho rằng các bài toán đặt không

chỉnh không có ý nghĩa vật lý Tuy nhiên, như đã nói ở trên, nhiều bàitoán thực tiễn của khoa học và công nghệ đã dẫn đến các bài toán đặtkhông chỉnh Chính vì những lý do này mà từ đầu thập niên 50 của thế

kỷ trước, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập tới bài toán đặt khôngchỉnh Các nhà toán học A N Tikhonov, M M Lavrent’ev, F John, C.Pucci, V K Ivanov là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này Kể

từ năm 1963, sau khi Tikhonov ([99]) đưa ra phương pháp chỉnh hóa cácbài toán đặt không chỉnh nổi tiếng của ông, bài toán đặt không chỉnh vàbài toán ngược đã trở thành một ngành riêng của vật lý toán và khoa họctính toán Phương trình parabolic ngược thời gian vừa được kể trên khôngnằm ngoài trào lưu này

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án

của mình là:"Phương trình parabolic ngược thời gian".

2 Mục đích nghiên cứu

2.1 Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặtkhông chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định Các đánh giá này cho tabiết bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp

số hữu hiệu Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trongviệc chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương phápchỉnh khi giải bài toán đặt không chỉnh Cho đến nay, các đánh giá ổnđịnh cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu chophương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian và điều kiện

rất ít kết quả nhận được cho các chuẩn khác Một trong những mục đíchcủa luận án là tìm các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược

cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời

2.2 Mục đích thứ hai của luận án là chỉnh hóa phương trình parabolicngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương Để xấp xỉmột cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh, ta phải dùng cácphương pháp chỉnh hóa Các thuật toán chỉnh Tikhonov, lặp, hoặc phươngpháp bài toán liên hợp ([18], [31], [41], [56], [74], [75]), đã tỏ ra khá hữuhiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Tuy nhiên, các phươngpháp này còn ít được áp dụng cho phương trình parabolic ngược thời giantổng quát Trong luận án này chúng tôi phát triển luận văn cao học củamình ([1], [2]) về việc sử dụng phương pháp chỉnh hóa bằng bài toán biênkhông địa phương cho phương trình parabolic Ý tưởng chỉnh hóa phươngtrình parabolic ngược thời gian bằng bài toán biên không địa phương chophương trình parabolic được Vabishchevich ([103]) đề xuất vào năm 1981,sau đó vào năm 1985 Showalter ([93]) cũng đưa ra phương pháp tương tự;Clark và Oppenheimer ([23]) đã có một số cải tiến cho phương pháp nàyvào năm 1994 Trong luận văn cao học của mình, tác giả đã đưa ra một

số đánh giá tốt hơn cho phương pháp của các tác giả kể trên ([10], [23])

và chứng minh rằng phương pháp trên thực sự là một phương pháp hiệuchỉnh Mục đích tiếp theo là mở rộng phương pháp cho các phương trìnhphức tạp hơn, đặc biệt là phương trình parabolic ngược thời gian với hệ

số phụ thuộc thời gian

2.3 Mục đích thứ ba của luận án là nghiên cứu về sơ đồ sai phân tiến

ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian Trong các bài báo([29], [30], [37]), dựa trên phương pháp làm trơn của mình, Đinh Nho Hào

số bài toán đặt không chỉnh Áp dụng phương pháp này cho phương trìnhparabolic ngược thời gian là một điều khả thi và thú vị Tính toán trênmáy tính dựa theo sơ đồ sai phân tiến rất có hiệu quả, nên việc nghiêncứu chúng cho các bài toán đặt không chỉnh là cần thiết

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu về các đánh giá ổn định và chỉnh hóaphương trình parabolic ngược thời gian

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ sốkhông phụ thuộc thời gian và cả hệ số phụ thuộc thời gian Luận án nghiên

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp lồi logarithm, phương pháp bài toán

giá trị biên không địa phương và phương pháp làm nhuyễn do Đinh Nho

Hào đề xướng

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu vềphương trình parabolic ngược thời gian

Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng vào các bài toán truyền nhiệt, đồng hóa

số liệu, xử lý ảnh,

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Bài toán đặt không chỉnh Để tiện lợi cho các thảo luận vềsau, trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đánh giá ổn định

và chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [3])

Giả sử ta cần giải phương trình

Au = f

cũng có nghiệm và thường là khi nghiệm của bài toán tồn tại (theo mộtnghĩa nào đó), thì lời giải này không phụ thuộc liên tục (theo một metric

giải số nó gặp khó khăn Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bàitoán có thể dẫn đến một sai số lớn bất kỳ trong lời giải Mục đích của lýthuyết bài toán đặt không chỉnh là đưa ra các phương pháp số hữu hiệu

để giải các bài toán này một cách ổn định Để đạt được mục đích đó trước

hết phải nghiên cứu về tính ổn định có điều kiện của bài toán, nghĩa là

lớp này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán

Các đánh giá này không chỉ nói lên tính chất định tính của bài toán

mà còn giúp ta trong việc phát triển các phương pháp số để giải bài toán

kuk X 6 ω(kf k Y ).

Đánh giá này được gọi là đánh giá ổn định ([14]) và trong trường hợp này, bài toán được gọi là ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa

Tikhonov ([56]) (Tikhonov là người đầu tiên đưa ra nhận xét này vào năm

ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như đó là tập mà ở đó lời giải bị chặn (nhiệt độhoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì giới nội, ), hoặc đó là một tập

α > 0 nào đó, thì ta có đánh giá ổn định kiểu H¨older và ta có một "bài

kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu" Còn nếu ta không có một đánh

xấu"

(Y, k · k Y) vừa đề cập ở trên, bài toán giải phương trình Au = f là một

chúng tôi nhắc lại khái niệm chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem[27], [41], [67])

mọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y: kf − ¯ f k Y 6 δ, δ ∈ (0, δ1);

tại δ(ε) 6 δ1 thỏa mãn: với mọi f ∈ Y, kf − ¯ f k Y 6 δ kéo theo bất đẳng

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read