Phương trình parabolic ngược thời gian

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh - Nguyễn văn đức Phơng trình parabolic ngợc thời gian Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 01 Ngời hớng dẫn khoa học: GS TSKH Đinh Nho Hào PGS TS Đinh Huy Hoàng Vinh -2011 LI CAM OAN Lun ỏn c hon thnh di s hng dn ca GS TSKH inh Nho Ho v PGS TS inh Huy Hong Tụi xin cam oan rng cỏc kt qu c trỡnh by lun ỏn l mi v cha tng c cụng b trc ú Tỏc gi Nguyn Vn c MC LC Trang Li cam oan Mc lc Mt s ký hiu dựng lun ỏn M u Chng 1: Phng trỡnh parabolic ngc thi gian vi h s khụng ph thuc thi gian 28 1.1 Mt s khỏi nim v b c s 29 1.2 Chnh húa phng trỡnh parabolic ngc thi gian bng bi toỏn giỏ tr biờn khụng a phng trng hp a=1 31 1.3 Chnh húa phng trỡnh parabolic ngc thi gian bng bi toỏn giỏ tr biờn khụng a phng trng hp a>1 41 1.4 Vớ d s 63 1.5 Kt lun chng 68 Chng Phng trỡnh parabolic ngc thi gian vi h s ph thuc thi gian 69 2.1 Cỏc kt qu n nh 69 2.2 Hiu chnh bi toỏn 77 2.3 Cỏc vớ d 91 2.4 Kt lun chng 96 Chng Cỏc kt qu n nh cho phng trỡnh truyn nhit ngc thi gian 97 3.1 Cỏc kt qu b tr 98 3.2 Phng phỏp nhuyn v kt qu n nh 100 3.3 S sai phõn tin n nh 110 3.4 Vớ d s 113 3.5 Kt lun chng 115 Kt lun chung v kin ngh 119 Danh mc cụng trỡnh ca NCS cú liờn quan n lun ỏn 121 Ti liu tham kho 122 MT S Kí HIU DNG TRONG LUN N R: ng thng thc Rn : khụng gian Euclid n-chiu C: mt phng phc : phn thc ca mt s phc : ca khụng gian Rn : biờn ca ã, ã : tớch vụ hng khụng gian Hilbert H ã : chun khụng gian Hilbert H C([a, b], H): tt c cỏc hm liờn tc trờn [a, b] v nhn giỏ tr trờn khụng gian Hilbert H C ((a, b), H): tt c cỏc hm kh vi liờn tc trờn (a, b) v nhn giỏ tr trờn khụng gian Hilbert H ut : o hm ca hm u C ((a, b), H) Lp () = {u : R| u o c Lebesgue, u ã p: Lp () < +} chun Lp (R) F [f ](): bin i Fourier ca hm f c nh ngha bi F [f ]() = f () = M,p (R) (1 p + f (x)eix dx ) l hp cỏc hm nguyờn dng m gii hn trờn trc thc thuc Lp (R) E,p (f ): xp x tt nht ca f bi cỏc phn t ca M,p , tc l E,p (f ) = inf gM,p f g Lp (R) M U Lý chn ti 1.1 Bi toỏn ngc cho phng trỡnh o hm riờng thng xuyờn xut hin nhiu lnh vc khỏc ca cụng ngh, a vt lý, thy ng hc, y hc, x lý nh, ú l nhng bi toỏn cỏc d kin ca quỏ trỡnh vt lý khụng o c c trc tip m ta phi xỏc nh chỳng t nhng d kin o c giỏn tip Trong lun ỏn ny, chỳng tụi cp ti phng trỡnh parabolic ngc thi gian ú l bi toỏn cho phng trỡnh parabolic iu kin ban u khụng c bit m ta phi xỏc nh nú bit iu kin cui cựng (ú l lý ti bi toỏn ny c gi l ngc thi gian) 1.2 Phng trỡnh parabolic ngc thi gian thng xuyờn xut hin lý thuyt truyn nhit, ta cn xỏc nh nhit ti mt thi im no ú quỏ kh qua nhit o c c ti thi im hin ti ([31], [56], [67]), bi toỏn ny cng thng xuyờn xut hin a vt lý ([67]) Trong bi toỏn v nc ngm, xỏc nh vic truyn ti ca cht gõy ụ nhim ti mt vựng nc ngm ngi ta dựng phng trỡnh khuch tỏn - i lu (phng trỡnh parabolic) ngc thi gian vi o c thi im hin ti ([15]) Phng trỡnh parabolic ngc thi gian cng thng xuyờn xut hin khoa hc vt liu ([90]), thy ng hc ([15]), x lý nh ([21], [60], [87]) Cỏc bi toỏn ny ó c nghiờn cu khỏ nhiu, nhiờn cng ch cho mt lp phng trỡnh c bit; hn th na vic xut cỏc phng phỏp s hu hiu gii gn ỳng cỏc bi toỏn ny luụn l nhng thi s 1.3 Mt cỏch hỡnh thc cỏc bi toỏn trờn cú th mụ t nh sau: gi s Lu(x, t) l mt toỏn t (cú th phi tuyn) elliptic u õy, x l bin khụng gian, cũn t l bin thi gian Gi s Qt = s[0,t] (s), (s) l cỏc gii ni Rn , t [0, T ] Ta xột bi toỏn biờn sau õy: ut = Lu(x, t) + F (x, t, u), (x, t) QT , u t=0 = u0 (x), x , Bu = g(, t), (, t) s[0,T ] (s) vi B l toỏn t iu kin biờn no ú õy l Bi toỏn thun thi gian Trong thc t, nhiu giỏ tr ca u(x, t) ti thi im t = khụng c bit, m ta li bit giỏ tr ca nú ti t = T v ta phi xỏc nh li gii ca bi toỏn t [0, T ), c bit l giỏ tr ca u(x, t) ti t = 0, tc giỏ tr ban u õy l Bi toỏn ngc thi gian v l ch nghiờn cu ca lun ỏn ny 1.4 Cỏc bi toỏn ngc k trờn thng t khụng chnh theo ngha Hadamard ([67], [99]) Mt bi toỏn c gi l t chnh nu nú tha ba iu kin a) nú cú nghim, b) nghim nht, c) nghim ph thuc liờn tc (theo mt tụpụ no ú) theo d kin ca bi toỏn Nu nh ớt nht mt ba iu kin ny khụng tha món, thỡ ta núi rng Bi toỏn t khụng chnh Hadamard cho rng cỏc bi toỏn t khụng chnh khụng cú ý ngha vt lý Tuy nhiờn, nh ó núi trờn, nhiu bi toỏn thc tin ca khoa hc v cụng ngh ó dn n cỏc bi toỏn t khụng chnh Chớnh vỡ nhng lý ny m t u thp niờn 50 ca th k trc, nhiu cụng trỡnh nghiờn cu ó cp ti bi toỏn t khụng chnh Cỏc nh toỏn hc A N Tikhonov, M M Lavrentev, F John, C Pucci, V K Ivanov l nhng ngi i tiờn phong lnh vc ny K t nm 1963, sau Tikhonov ([99]) a phng phỏp chnh húa cỏc bi toỏn t khụng chnh ni ting ca ụng, bi toỏn t khụng chnh v bi toỏn ngc ó tr thnh mt ngnh riờng ca vt lý toỏn v khoa hc tớnh toỏn Phng trỡnh parabolic ngc thi gian va c k trờn khụng nm ngoi tro lu ny Vi cỏc lý nờu trờn, chỳng tụi chn ti nghiờn cu cho lun ỏn ca mỡnh l:"Phng trỡnh parabolic ngc thi gian" Mc ớch nghiờn cu 2.1 Mt nhng c bn nghiờn cu cỏc bi toỏn t khụng chnh l vic tỡm cỏc ỏnh giỏ n nh Cỏc ỏnh giỏ ny cho ta bit bi toỏn "xu" n mc no, t ú cú th a cỏc phng phỏp s hu hiu Ngoi ra, cỏc ỏnh giỏ n nh cng rt quan trng vic chng minh s hi t v cỏc ỏnh giỏ sai s ca cỏc phng phỏp chnh gii bi toỏn t khụng chnh Cho n nay, cỏc ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh parabolic ngc thi gian nhn c ch yu cho phng trỡnh tuyn tớnh vi h s khụng ph thuc thi gian v iu kin biờn thun nht ([8]) Cỏc ỏnh giỏ thng ch nhn c cho chun L2 , rt ớt kt qu nhn c cho cỏc chun khỏc Mt nhng mc ớch ca lun ỏn l tỡm cỏc ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh parabolic ngc thi gian vi h s khụng ph thuc thi gian chun Lp (p > 1) v cho phng trỡnh parabolic ngc thi gian vi h s bin thiờn theo thi gian chun L2 2.2 Mc ớch th hai ca lun ỏn l chnh húa phng trỡnh parabolic ngc thi gian bng bi toỏn giỏ tr biờn khụng a phng xp x mt cỏch n nh nghim ca bi toỏn t khụng chnh, ta phi dựng cỏc phng phỏp chnh húa Cỏc thut toỏn chnh Tikhonov, lp, hoc phng phỏp bi toỏn liờn hp ([18], [31], [41], [56], [74], [75]), ó t khỏ hu hiu cho phng trỡnh truyn nhit ngc thi gian Tuy nhiờn, cỏc phng phỏp ny cũn ớt c ỏp dng cho phng trỡnh parabolic ngc thi gian tng quỏt Trong lun ỏn ny chỳng tụi phỏt trin lun cao hc ca mỡnh ([1], [2]) v vic s dng phng phỏp chnh húa bng bi toỏn biờn khụng a phng cho phng trỡnh parabolic í tng chnh húa phng trỡnh parabolic ngc thi gian bng bi toỏn biờn khụng a phng cho phng trỡnh parabolic c Vabishchevich ([103]) xut vo nm 1981, sau ú vo nm 1985 Showalter ([93]) cng a phng phỏp tng t; Clark v Oppenheimer ([23]) ó cú mt s ci tin cho phng phỏp ny vo nm 1994 Trong lun cao hc ca mỡnh, tỏc gi ó a mt s ỏnh giỏ tt hn cho phng phỏp ca cỏc tỏc gi k trờn ([10], [23]) v chng minh rng phng phỏp trờn thc s l mt phng phỏp hiu chnh Mc ớch tip theo l m rng phng phỏp cho cỏc phng trỡnh phc hn, c bit l phng trỡnh parabolic ngc thi gian vi h s ph thuc thi gian 2.3 Mc ớch th ba ca lun ỏn l nghiờn cu v s sai phõn tin n nh cho phng trỡnh parabolic ngc thi gian Trong cỏc bi bỏo ([29], [30], [37]), da trờn phng phỏp lm trn ca mỡnh, inh Nho Ho ó xut cỏc s sai phõn tin n nh (trong chun Lp ) cho mt s bi toỏn t khụng chnh p dng phng phỏp ny cho phng trỡnh parabolic ngc thi gian l mt iu kh thi v thỳ v Tớnh toỏn trờn mỏy tớnh da theo s sai phõn tin rt cú hiu qu, nờn vic nghiờn cu chỳng cho cỏc bi toỏn t khụng chnh l cn thit i tng nghiờn cu Lun ỏn trung nghiờn cu v cỏc ỏnh giỏ n nh v chnh húa phng trỡnh parabolic ngc thi gian Phm vi nghiờn cu Lun ỏn nghiờn cu phng trỡnh parabolic ngc thi gian vi h s khụng ph thuc thi gian v c h s ph thuc thi gian Lun ỏn nghiờn cu phng trỡnh parabolic ngc thi gian khụng gian Hilbert (L2 ) v khụng gian Banach (Lp , p > 1) Phng phỏp nghiờn cu Chỳng tụi s dng phng phỏp li logarithm, phng phỏp bi toỏn giỏ tr biờn khụng a phng v phng phỏp lm nhuyn inh Nho Ho xng í ngha khoa hc v thc tin í ngha khoa hc: Lm phong phỳ thờm cỏc kt qu nghiờn cu v phng trỡnh parabolic ngc thi gian í ngha thc tin: ng dng vo cỏc bi toỏn truyn nhit, ng húa s liu, x lý nh, Tng quan v cu trỳc ca lun ỏn 7.1 Bi toỏn t khụng chnh tin li cho cỏc tho lun v sau, mc ny chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim v ỏnh giỏ n nh v chnh húa bi toỏn t khụng chnh (xem [3]) Gi s ta cn gii phng trỡnh Au = f vi A l toỏn t (tuyn tớnh hoc phi tuyn) t khụng gian hm X vo khụng gian hm Y no ú, cũn f l d kin ó cho thuc khụng gian Y Khi bi toỏn t khụng chnh, thỡ khụng phi vi d kin f no bi toỏn cng cú nghim v thng l nghim ca bi toỏn tn ti (theo mt ngha no ú), thỡ li gii ny khụng ph thuc liờn tc (theo mt metric no ú) vo d kin f Do tớnh khụng n nh ny ca bi toỏn nờn vic gii s nú gp khú khn Lý l mt sai s nh d kin ca bi toỏn cú th dn n mt sai s ln bt k li gii Mc ớch ca lý thuyt bi toỏn t khụng chnh l a cỏc phng phỏp s hu hiu gii cỏc bi toỏn ny mt cỏch n nh t c mc ớch ú trc ht phi nghiờn cu v tớnh n nh cú iu kin ca bi toỏn, ngha l ch mt lp M no ú ca khụng gian X li gii ca bi toỏn thuc lp ny ph thuc liờn tc vo d kin ca bi toỏn Cỏc ỏnh giỏ ny khụng ch núi lờn tớnh cht nh tớnh ca bi toỏn m cũn giỳp ta vic phỏt trin cỏc phng phỏp s gii bi toỏn v ỏnh giỏ sai s ca phng phỏp n gin, ta gi thit rng X v Y l cỏc khụng gian nh chun vi chun tng ng l ã X v ã Y Gi s rng, nu ta chn c mt hp M v bit c nu u M thỡ nú s ph thuc liờn tc vo f , ngha l, tn ti mt hm mt bin thc, liờn tc, vi (0) = 0, cho u X ( f Y ) ỏnh giỏ ny c gi l ỏnh giỏ n nh ([14]) v trng hp ny, bi toỏn c gi l n nh cú iu kin hay n nh theo ngha Tikhonov ([56]) (Tikhonov l ngi u tiờn a nhn xột ny vo nm 1943 ([98])) Tp M thng l nhng m ú li gii ca bi toỏn cú ý ngha vt lý, chng hn nh ú l m ú li gii b chn (nhit hoc tc ca mt quỏ trỡnh vt lý thỡ gii ni, ), hoc ú l mt li, cỏc hm khụng õm, cỏc hm n iu, Nu (t) = ct vi > no ú, thỡ ta cú ỏnh giỏ n nh kiu Hă older v ta cú mt "bi toỏn tt" Nu l mt hm dng logarithm thỡ ta cú ỏnh giỏ n nh kiu logarithm - õy l "bi toỏn xu" Cũn nu ta khụng cú mt ỏnh giỏ no v tc tin ti ca (t) t thỡ ta cú mt "bi toỏn rt xu" Gi s vi toỏn t A v cỏc khụng gian nh chun (X, ã X) v va cp trờn, bi toỏn gii phng trỡnh Au = f l mt bi toỏn t khụng chnh Ngoi ra, gi s rng, vi v phi chớnh xỏc f, tn ti mt nghim nht; ngha l tn ti nht u cho A u = f (Y, ã Y) Trờn thc t f khụng c bit, m ta ch bit phn t f v s dng cho f f Y Yờu cu t l xõy dng nghim xp x ca phng trỡnh phn t u cho u u Vỡ bi toỏn t khụng chnh, chỳng ta khụng th s dng toỏn t ngc A1 , ngha l, khụng th chn u = A1 f Bi vỡ toỏn t ngc ny cú th khụng xỏc nh ti f v cng cú th khụng liờn tc trờn Y Do ú mun xõy dng nghim xp x u , ta cn xut cỏc phng phỏp chnh húa Sau õy, chỳng tụi nhc li khỏi nim chnh húa bi toỏn t khụng chnh (xem [27], [41], [67]) Toỏn t R(f, ), ph thuc tham s , b chn vi mi > 0, tỏc ng t Y vo X c gi l chnh húa cho phng trỡnh Au = f (i vi phn t f), nu cỏc iu kin sau õy tha 1) Tn ti hai s dng v cho toỏn t R(f, ) xỏc nh vi mi (0, ) v vi mi f Y : f f Y , (0, ); 2) Tn ti mt s ph thuc = (f, ) cho vi mi > 0, tn ti () tha món: vi mi f Y , f f Y kộo theo bt ng data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian chuẩn Lp (p > 1) cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời gian chuẩn L2... chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian hệ số phụ thuộc thời gian Luận... tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó toán cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lý toán gọi ngược thời gian) 1.2 Phương trình parabolic