Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền với biên không trơn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -***** - VŨ THU HÀ TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM SUY RỘNG CỦA BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2010 DANH MỤC KÝ HIỆU  R n không gian Euclide n - chiều ( n  )  Kí hiệu  miền , tức tập mở liên thông, với biên       Nếu    cho    ta viết    Giả sử  T   Kí hiệu QT     0, T     x, t  : x  , t   0, T   trụ Rn+1 Mặt xung quanh ST     0, T     x, t  : x , t   0, T   , x   x1 , x2 , , xn   , t   0, T  , u  x, t    u1  x, t  , u2  x, t  , , us  x, t   vectơ hàm phức, dx  dx1 dxn    1 , , n  đa số  i số nguyên không âm,       n Đạo hàm suy rộng cấp  kí hiệu  s    1 n , D u  D ui D  Dx  1   / x1 xn  n x1 xn i 1   Trường hợp x, t   QT , để đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết   k u1 k  k us  k k ,   /  t  u  , ,  k k  tk t k  t  t   s ut j   i 1  j ui t j Giả sử   1 , ,  n  R n Khi    11  n n  Giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác không kí hiệu supp Kí hiệu C k    tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k miền  ,  k  , C     C    0 C k     C     C k    , C    tập hợp tất hàm liên tục  có giá compact thuộc   C     - không gian vectơ hàm phức s chiều u(x) khả vi vô hạn có giá compact   L p    ,  p  , không gian Banach bao gồm tất hàm u(x) p khả tổng cấp p theo Lebesgue  với chuẩn u  L2,1  QT  không gian với chuẩn u  Lp     p    u dx    L2 ,1  QT  T         u dx  dt          H m    - Không gian vectơ hàm phức u  x  có đạo hàm suy rộng D ui  x   L2    với,   m,  j  s với chuẩn: u H m         D u dx    0     m  H m    - bao đóng C    không gian H m     H m,k  QT  - không gian vectơ hàm phức u  x, t  có đạo hàm suy rộng theo D ui  x   L2    , u t j  L2  0, T  ,   m ,  i  s ,  j  k thỏa mãn 1/ u H m , k ( QT ) k  m       D u dxdt    ut j dxdt    0 Q  j 1 QT T   Nói riêng m u H m ,0 ( QT )     QT D u dxdt  H m,k  QT  - bao đóng không gian H m,k  QT  tập hàm vectơ hàm phức u  x, t  thuộc C   QT  triệt tiêu gần mặt xung quanh ST MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên miền không trơn lĩnh vực quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại, nghiên cứu phát triển cách hệ thống từ năm 60 kỉ XX Lý thuyết toán biên tổng quát miền với biên trơn đến hoàn thiện [3, 4, 5] Các toán biên ban đầu phương trình hệ phương trình không dừng hình trụ với đáy miền với biên không trơn xét không nhiều Các toán biên ban đầu hệ parabolic nghiên cứu [2, 8] Các toán biên ban đầu hệ schodinger xét công trình [ 7, 9] Trong công trình nhận kết tồn nghiệm suy rộng kết tính trơn biểu diễn tiệm cận nghiệm Bài toán biên ban đầu thứ thứ hai hệ phương trình hyperbolic nghiên cứu công trình [10, 11], nhận kết tồn nghiệm suy rộng, tính trơn nghiệm suy rộng khai triển tiệm cận nghiệm suy rộng lân cận điểm kì dị Bài toán biên hỗn hợp miền trụ với đáy miền với biên không trơn đến xét Do đề tài chọn: “Tính trơn nghiệm suy rộng toán hỗn hợp hệ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền với biên không trơn” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu toán hỗn hợp hệ phương trình parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn, nhận định lí tồn nghiệm suy rộng tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian không gian kiểu Sobolev Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách đặt toán hỗn hợp hệ parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn Nghiên cứu tồn nghiệm suy rộng toán không gian Sobolev Nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Minh họa toán biên hỗn hợp hệ parabolic mạnh trụ với đáy miền với biên không trơn trường hợp cụ thể với m=1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn Bài toán biên hỗn hợp hệ parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian kiểu Sobolev; nghiên cứu nghiệm suy rộng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn phương pháp chọn hàm thử Ladyzhenskaya để chứng minh tính nghiệm; phương pháp xấp xỉ Galerkin để chứng minh tồn nghiệm; kết bất đẳng thức nội suy để đánh giá bất đẳng thức; kiến thức giải tích hàm; kết toán elliptic miền không trơn Những đóng góp khoa học, thực tiễn đề tài Các kết luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết cách hệ thống toán biên hệ không dừng miền với biên không trơn Đề tài phát triển tiếp lý thuyết toán biên hệ phương trình Parabolic hình trụ với đáy miền với biên trơn M.I.Vishic M.S.Agranovich nghiên cứu trọn vẹn không đề cập vấn đề đáy miền với biên không trơn Đề tài phát triển phương pháp O.A Ladyzhenskaya xét tồn nghiệm phương trình parabolic trụ hữu hạn với đáy miền với biên không trơn kết nhận tồn nghiệm tính trơn theo biến thời gian với phương trình cấp hai Nội dung Luận văn bao gồm chương: Chương 1: Giới thiệu số kiến thức bổ trợ Chương 2: Trình bày cách đặt toán hỗn hợp hệ phương trình parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, tồn nghiệm suy rộng toán Chương 3: Trình bày kết nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian toán hỗn hợp xét chương NỘI DUNG CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.1 Giả sử  miền không gian R n Một hàm v ( x )  L1    gọi đạo hàm suy rộng cấp  hàm u ( x)  L1       u  x  D   x  dx   1  v  x   x  dx   với   C     ,   1, , n  ,   1    n Đạo hàm suy rộng cấp  kí hiệu là:  D  Dx  1  x1 x2 xn n   hay   / x11 x22 xn n Trường hợp ( x, t )  QT , để đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết:   k u1 k  k us  k k     /  t  u  , , k   t k tk t k  t   Từ sau, không nói đặc biệt, ta hiểu hàm hàm vectơ phức u x, t   u1  x, t , , us x, t , x  x1 , x2 , xn    , t  0, T  Chú ý: Từ công thức Green cổ điển suy hàm u ( x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp  có đạo hàm suy rộng cấp  Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng rút hàm u  x  có không đạo hàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng đạo hàm theo nghĩa cổ điển Ví dụ ta lấy hàm u  x   x , x   1,  , u x  có đạo hàm suy rộng khoảng  1,1 Tuy nhiên, hàm đạo hàm thông thường điểm x  Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp  miền  có đạo hàm suy rộng cấp  miền  '   Thật vậy, giả sử D u  v  ' '  Cố định   C    ,    Khi coi   x   với x   \  ' , ta nhận   C   Ta có hệ thức:    u( x) D  ( x)dx   u ( x) D  ( x)dx '   (1)   v( x) ( x)dx   (1)   v( x) ( x)dx ' Từ ta có D u  v ' Đạo hàm suy rộng miền ' gọi thu hẹp đạo hàm suy rộng  vào ' Ta dễ kiểm tra   D    D D  , aD1  bD2  D a1  b2  a, b số tuỳ ý 10 n Định lý 1.1.1 Giả sử  miền không gian R , ' miền  , cho khoảng cách '  d > Khi đó, < h < d x  , ta có D u  x   D u x    h h Ta xét trường hợp n = mối liên hệ đạo hàm suy rộng, đạo hàm thông thường tính liên tục tuyệt đối hàm khoảng hữu hạn ( a, b) Ta nhắc lại định nghĩa liên tục tuyệt đối: Hàm u : a, b R gọi liên tục tuyệt đối, với   , tồn   cho với tập hữu hạn khoảng rời x , x , x ' 1   , x2' , , xm , xm' x   a, b   m m với  ' j  x j   , ta có j 1  u x   u x  ' j j  j 1 Một hàm liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn (a, b) tồn hàm khả tổng g(x) đoạn cho x f  x    g  t  dt  c , x   a , b  a c số tùy ý Định lí 1.1.2 Giả sử f(x) liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn (a, b) Khi tồn đạo hàm thông thường f x  hầu khắp (a ,b) Hơn nữa, f x  hàm khả tổng (a ,b) x f  x   f a    f t  dt a 35 T T G G  lim  n dt   lim n dt  n  n t t 0 Từ từ (2.15) suy   x, t   Sn  x, t  H m ,1  QT  Suy tồn N đủ lớn cho   x, t   Sn  x, t  Vậy   x, t   Sn  x, t  H m ,1  QT    với n H m ,1 0  QT    n n  N đủ lớn Sn  x, t   M * Tức M * trù mật Hˆ m ,1  QT , ST1  Ta có đẳng thức tích phân với hàm thử thuộc tập trù mật không gian Hˆ m,1  QT , ST1  nên cho hàm thử thuộc Hˆ m ,1  QT , ST1  Do u  x, t  nghiệm suy rộng toán không gian H m,1  QT , ST1  Do u N hội tụ yếu đến u không gian H m ,1  QT , ST1  nên: u H m ,1  QT   lim N  u N  C f L2  QT  36 CHƯƠNG TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM SUY RỘNG THEO BIẾN THỜI GIAN Trong mục ta tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian không phụ thuộc vào tính trơn biên mà phụ thuộc vào tính trơn theo biến thời gian hệ số vế phải hệ phương trình Để nghiên cứu vấn đề ta sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp quy nạp toán học 3.1 Tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Định lí 3.1.1 Giả sử điều kiện định lí 1.2.1 thỏa mãn i   ii  f t k  L2  QT  , k  h, f t k  x,0   0, k  h  1,  k 1a pq  k a ,  , t k 1 t k  iii   p , q  m, k  h,  = const,  x, t   QT Khi nghiệm suy rộng u(x, t) toán hỗn hợp có đạo hàm theo t đến tận cấp h thuộc H m ,1  QT , ST1  có bất đẳng thức ut h H m ,1  QT  h  C  ft k k 0 (3.1) L2  QT  C = const Chứng minh Ta chứng minh tồn nghiệm suy rộng toán hỗn hợp có tính chất kết luận Định lí 3.1.1 Nhờ định lí nghiệm (Định lí 2.1.1), trùng với nghiệm suy rộng H m,1  QT , ST1  đảm bảo Định lí 2.2.2 37  Giả sử k  x k 1 sở H m    , trực chuẩn L2    Ta tìm nghiệm xấp xỉ u N  x, t  dạng N u N  x, t    CkN  t k  x  k 1 Trong CkN  t  thỏa mãn  N   ut l    m   1 m p p , q 1   1 m  au N   a pq D q u N D pl  dx   l dx    f l dx; l  1, , N  (3.2) CkN    (3.3) Ta chứng minh bất đẳng thức ut j H m ,1  QT  h  C  ft k k 0 , jh (3.4) L2  QT  Ở u N nghiệm xấp xỉ chứng minh Định lí 2.2.2, C = const không phụ thuộc vào N f Ta sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp theo h để chứng minh bất đẳng thức Từ bất đẳng thức (2.13) suy bất đẳng thức (3.4) với h = Giả sử (3.4) với h – 1, ta chứng minh với h Thật vậy, đạo hàm hệ thức (3.2) j lần theo t, sau nhân với d j 1clN lấy tổng đẳng thức nhận theo l từ đến N Tiếp tục lấy dt j 1 tích phân theo t từ đến t, từ ta suy 38 j  m  m p  q N p N u dxdt   a D u D u     j   dxdt pq j Q Q  p t  t , q   T T  j m   1  j  au N utNj 1 dxdt    ft j utNj 1 dxdt t QT QT N t j 1 (3.5) Cộng đẳng thức (3.5) với liên hợp phức ta nhận m    1 Re j a D q u N  D p utNj 1 j  pq t m p p , q 1 QT 2 Re  1 m m   p , q  QT j au N  utNj 1 dxdt j  t 2  utNj 1 dxdt  2 Re  f t j utNj 1 dxdt QT QT (3.6) Ta có m Re   1 m p p , q 1 m  2Re   1 j q N p N Q t j  a pq D u  D ut j 1 dxdt T m p p , q 1 m 2Re   1 p , q 1 a pq D qutNj D putNj 1 dxdt QT m p s  j   a pq q N p N D ut j  s D ut j 1 dxdt  s   s  t s 1   QT j (3.7)  j j! Ở     s  s !( j  s )! Mặt khác lại có 39 a  a pq D qutNj D putNj  pq D qutNj D putNj t t    a pq D qutNj 1 D putNj  a pq D qutNj D putNj 1 Và a pq   1 pq * nên ta suy aqp m Re    1 m p p , q 1 m  Re    1  QT m p p , q 1 m  Re    1 m p p , q 1 m  Re    1 m p    1 m p p , q 1  Re    1 m q    1 m p p , q 1  Re    1 m q    1 m p p , q 1 m    1 p , q 1 pq D q u tNj 1 D p u tNj dxdt a pq D q u tNj D p u tNj 1 dxdt a pq D q u tNj D p u tNj 1 dxdt a T pq D p u tNj D q u tNj 1 dxdt a pq D q u tNj D p u tNj 1 dxdt a qp D p u tNj D q u tNj 1 dxdt QT m  Re a QT p , q 1  Re  dxdt  QT m m   a pq q N p N Q   t D u t j D u t j T QT p , q 1  Re  QT m m  QT p , q 1  Re  a pq D q u tNj D p u tNj dxdt t a pq D q u tNj D p u tNj 1 dxdt a pq D q u tNj D p u tNj 1 dxdt QT m p QT 40 m  Re   1 m p p , q 1 a pq D q utNj D putNj 1 dxdt QT Thay vào (3.7) ta có biểu diễn số hạng đầu (3.6) dạng m 2Re    1 m p p , q 1 QT m   1  Re m p p , q 1 m  Re   1 m p p , q 1 m   1 2Re  q N p N Q t a pq D ut j D ut j dxdt T  m p    a pq q N p N  Q  t D ut j D ut j dxdt T p , q 1 m j a D qu N  D putNj 1 j  pq t s  j   a pq q N p N D ut j  s D ut j 1 dxdt    s s 1  s  QT t j  m    1 B utNj , utNj  t    1 B utNj , utNj m  Re   1 p , q 1 m m p  a pq q N p N  Q  t D ut j D ut j dxdt T j    1 2Re m p p , q 1 s 1 m j    1 2Re m p p , q 1 s 1 m 2Re j    1 p , q 1 s 1  0 m p s  j     a pq q N p N  D ut j  s D ut j 1 dxdt  s    s   t  t   QT   s 1  j   a pq q N p N D ut j  s D ut j dxdt s   s 1  t   QT s  j   a pq q N D ut j  s 1 D putNj dxdt s   s   QT t (3.8)  Nhờ (ii) định lí điều kiện (3.3), ta kiểm tra B utNj , utNj từ (3.8) suy   0  41 m Re    1 j a D qu N  D putNj 1 j  pq t m p p , q 1 QT m m  N tj   t   Re   1 N tj   1 B u , u m p p , q 1 j m 2 Re    1 m p p , q 1 s 1 j m 2 Re    1 m p p , q 1 s 1 j m 2 Re    1 m p p , q 1 s 1  a pq q N p N  Q  t D ut j D ut j dxdt T s  j   a pq q N p N D ut j  s D ut j s  s  t   t t dx s 1  j   a pq q N p N D ut j  s D ut j dxdt s   s 1  t   QT s  j   a pq q N D ut j  s 1 D putNj dxdt s   s   QT t (3.9) Kết hợp (3.6), (3.9) ta có utNj 1 m L2  QT  j m  2Re     1 m p p , q 1 s 1 m  Re   1 m p p , q 1 2 Re    1 m p p , q 1 s 1 m  Re j    1 p , q 1 s 1 2 Re  1 m s  j   a pq q N p N D ut j  s D ut j s  s    t t t dx  a pq q N p N  Q  t D ut j D ut j dxdt T j m    1 B utNj , utNj  t  m p s 1  j   a pq q N p N D ut j  s D ut j dxdt s   s 1  t   QT s  j   a pq q N D ut j  s 1 D putNj dxdt s   s   QT t  j   j  s a0 N N ut s ut j 1 dxdt  2Re  f t j utNj 1 dxdt  s  j s s 1   QT t QT j (3.10) 42 m   Do Bổ đề 2.2.1 ta suy  1 B utNj , utNj  t   C utNj  x, t  H m  nhờ bất đẳng thức Cauchy nên từ (3.11) suy utNj 1  x, t  L2     utNj  x, t  t N  C   ut j  x,  0 H m  j 1 H m  d   utNs  x, t  s 0 H m   ft j   L2  QT   (3.11) C = const không phụ thuộc vào N Đặt t J (t )   utNj  x,  H m   j 1 c(t )  C   utNs  x, t   s 0  utNj 1  x,  H m   ft j L2    d t L2  QT    utNj 1  x,   d  L2     Từ (3.11) ta có dJ (t )  C  J (t )  c (t )  dt (3.12) Theo bất đẳng thức Gronwall – Bellman dạng vi phân suy t J (t )  etC  c(t )dt Từ ta tìm thấy  j 1 N u  x, t  m ,1  C   ut s  x, t  H  QT   s 0 N tj 2 H m ,1  QT   ft j  L2  QT    Khi j = h ta có bất đẳng thức  h1 N u  x, t  m ,1  C  ut s  x, t  H  QT   s 0 N th 2 H m ,1 QT   fth  (3.13) L2  QT    43 Nhờ giả thiết quy nạp, từ (3.13) ta có utNh h H m ,1  QT   C  ft k k 0 L2  QT  C = const không phụ thuộc vào N   Từ bất đẳng thức suy dãy utNh bị chặn không gian H m,1  QT  ,  dãy hội tụ yếu đến hàm u h  x, t  thuộc không gian H m,1  QT  Hơn từ tính chất hội tụ yếu ta có u h (h) H m ,1  QT   C  ft k k 0 (3.14) L2  QT  Ta chứng minh u  h đạo hàm suy rộng cấp h theo biến t hàm u N th u Thật vdxdt   1 QT h vậy, u N với v  x, t   C   QT  ta có vt h dxdt QT   Chuyển qua giới hạn theo dãy hội tụ yếu dãy utNh ta h    u  x, t  v  x, t dt   1  u  x, t  v  x, t dxdt h th QT QT Vậy u ( x, t ) có đạo hàm suy rộng cấp h theo t ut h  u ( h )   Nhờ Định lí 2.2.2 ta kết luận có dãy dãy utNh hội tụ yếu H m,1  QT , ST1  với đạo hàm theo t đến cấp h tới nghiệm suy rộng cần tìm toán hỗn hợp có tính chất Định lí 3.1.1 Từ (3.14) suy bất đẳng thức (3.1) Định lí chứng minh Nhận xét Từ Định lí 3.1.1 suy tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian phụ thuộc vào tính trơn theo t vế phải hệ số mà không phụ thuộc vào cấu trúc miền  44 3.2 Ví dụ minh hoạ Giả sử  miền bị chặn R n ,   1   , 1    Ø, ST1  1   0, T  , ST2     0, T  Ta xét toán: n  i , j 1   u  aij  x, t  xi  x j    ut  f  x, t   (3.15) u t 0  (3.16) (3.17) u S1  T u N n ST2   aij  x, t  i , j 1 u cos  , xi  x j ST2  vectơ pháp tuyến với mặt ST2 , 0 (3.18) aij  x, t   a ji  x, t  phương trình thoả mãn điều kiện parabolic miền QT : n  a  x, t    ij i j  ,   const  i , j 1 (3.19) Khi hàm u  x, t  nghiệm suy rộng toán (3.15) - (3.18) không gian H 1,1  QT , ST1  u  x, t   H 1,1  QT , ST1  thoả mãn đồng thức tích phân  QT n   u     aij  u  dxdt   f  dxdt ,  t  x  x i , j  j i QT   với   H 1,1  QT , ST1  ,   x, T   (3.20) 45 Nghiệm u  x, t  thỏa mãn hệ (3.15), điều kiện ban đầu (3.16), điều kiện biên (3.17), (3.18) nghĩa đồng thức tích phân (3.20) điều u  H 1,1  QT , ST1  Thật u  x, t  nghiệm hệ thì: Từ (3.16) ta có     aij Q i x j , j 1 xi  T n  dxdt   utdxdt   f dxdt QT QT  Áp dụng công thức tích phân phần thành phần thứ vế trái ta T n n u  u    aij dxdt    aij  cos  , x j ds   utdtdx   f dxdt  x  x  x j i j QT i , j 1 ST i , j 1 0 QT n n u  u u     aij dxdt    aij cos  , x j  ds    ds  x  x  x  N i , j  i , j  j i j QT S S T T  T T     u   ut dt  dx   f dxdt  QT  Từ ta thấy điều kiện (3.16), (3.17), (3.18) điều kiện   H 1,1  QT , ST1  ,   x, T   nên ta dễ dàng suy đồng thức tích phân (3.20) Áp dụng kết nghiên cứu ta có kết luận sau: Giả sử hệ số phương trình thoả mãn điều kiện ( 3.19) aij t  1, i, j  1, , n;   x, t   QT , 1  const  f  L2,1  QT  46 Khi toán (3.15) – (3.18) có nghiệm suy rộng không gian H 1,1  QT , ST1  Hơn u H 1,1  QT  C f L2,1  QT  , C số không phụ thuộc vào u, f Giả sử hệ số phương trình thoả mãn điều kiện ( 3.19) i   ii  f t k  L2  QT  , k  h, f t k  x,0   0, k  h  1,  k 1aij  iii  t k 1  i , j  n,  2 ,   const , k  h,  x, t   QT , f  L2,1  QT  Khi nghiệm suy rộng u(x, t) toán hỗn hợp (3.15) – (3.18) có đạo hàm theo t đến tận cấp h thuộc H 1,1  QT , ST1  có bất đẳng thức ut h H 1,1  QT  h  C  ft k k 0 L2,1  QT  C = const không phụ thuộc vào u, f KẾT LUẬN 47 Nội dung luận văn trình bày kết tồn nghiệm suy rộng, tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian toán hỗn hợp hệ parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn Tính giải tính trơn tiệm cận nghiệm suy rộng toán biên ban đầu thứ toán biên ban đầu thứ hai giải Trong luận văn này, tác giả đặt toán biên hỗn hợp: Điều kiện Dirichlet biên ST1 điều kiện Neumann biên ST2 ,   1   , 1    Ø, ST1  1  0, T , ST2    0, T  Việc định nghĩa không gian H m ,k  QT , ST1  kết hợp với phương pháp chọn hàm thử Ladyzhenskaya, phương pháp xấp xỉ Galerkin để chứng minh tồn nghiệm, sở nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Tác giả mong muốn tiếp tục nghiên cứu tính trơn nghiệm theo biến không gian biểu diễn tiệm cận nghiệm lân cận điểm conic toán hỗn hợp, sau phát triển tiếp toán trụ vô hạn, nhiên thời gian hạn chế, tác giả dừng lại kết ban đầu Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp giúp luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội 48 [2] Nguyễn Mạnh Hùng, Phạm Triều Dương (2006), Bài toán biên thứ hệ parabolic hình trụ với biên không trơn, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Hệ phương trình Hyperbolic trụ không trơn, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh [4] R A Adams (1975), Sobolev space, Academic Press, New York- San Francisco- London [5] M S Agranovich and M I Vishik (1964), Elliptic problems with a parameter and parabolic problems of general type, Usp Mat Nauk,19, No3, 53-161 [6] G Fichera (1972), Existense theorems in elasticity, Springer, New York-Berlin [7] N M Hung and C T Anh (2005), Asymptotic expansions of solutions of the first initial boundary value problem for schroringer systems in domains with conical points I, Math VietNam 30:3, 141-160 [8] N M Hung and P T Duong (2004), On the smoothness of the generalized solutions of a parabolic system in domains with conic points on the boundary, Ukrainian Math J, vol 56, No 6, 857- 864 [9] N M Hung and N T K Son (2008), Existence and smoothness ò solution to second initial boundary value problems for Schrodinger systems in cylinders with non- smooth bases, EJDE, Vol 2008, No 35, pp 1-11 [10] N M Hung (1999), Asymptotic behaviour of solutions of the first buondary-value problem for strongly hyperbolic systems near a conical point at the boundary of the domain, Math Sbornik, 19, 103-126 49 [11] A Kokatov and B A Plamenevssky (2005), On the asymptotic on solutions to the Neumann problem for hyperbolic systems in domain with conical point, English transl, St.Peterburg Math J, 16, No 3, 477506