Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn 90

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————— NGUYỄN BÌNH BÀI TỐN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————— NGUYỄN BÌNH BÀI TỐN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHƠNG TRƠN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng HÀ NỘI, 2009 i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy, giáo giảng dạy giúp đỡ trình học tập, thực đề tài, hoàn thành luận văn tốt nghiệp kết thúc tốt đẹp chương trình cao học Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn PGS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học sư phạm Hà Nội - trực tiếp hướng dẫn tận tình suốt trình nghiên cứu hồn chỉnh đề tài Tác giả xin cảm ơn bạn học viên lớp giúp đỡ có đóng góp q báu cho luận văn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp PGS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trong nghiên cứu Luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Mục lục Danh mục kí hiệu iv Mở đầu 1 Khơng gian Sobolev 1.1 Trung bình hóa 1.2 1.3 Đạo hàm suy rộng o Không gian W m (Ω), W m (Ω) 1.4 Không gian H p m,k p (QT ), Hm,k(QT , S1) 17 Bài toán hỗn hợp hệ phương trình Schrodinger trụ vớ 2.1 Đặt tốn 19 2.2 Tính giải tốn 21 2.2.1 Tính nghiệm suy rộng 23 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 28 2.2.3 Ví dụ 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Danh mục kí hiệu • Rn khơng gian Euclid n−chiều • Ω miền Rn, tức tập mở liên thông, với biên ∂Ω Ω = Ω ∪ ∂Ω Nếu Ωt ⊂ Ω cho Ωt ⊂ Ω, ta viết Ωt ⊂⊂ Ω Giả sử < T < ∞, kí hiệu QT = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} trụ Rn+1 Mặt xung quanh ST = ∂Ω×(0, T ) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T )} • x = (x1, , xn) ∈ Ω, u(x, t) = (u1(x, t), , us(x, t)) vectơ hàm phức; α = (α1, , αn) (αi ∈ N, i = 1, , n) đa số; |α| = α1 + · · · + αn Đạo hàm (suy rộng) cấp α kí hiệu α| Dα = Dα = ∂ | x ∂x α1 Đặc biệt ∂|α|/∂x ∂x αn ≡ α1 ∂xαn n n s |Dα u|2 = ui| |Dα i=1 Trường hợp (x, t) ∈ QT , để đạo hàm (suy rộng) cấp l theo biến t ta viết l l l ∂ u ∂t u ∂ u s utl ≡ l l ∂t ∂t , ∂tl ≡ , • Giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác khơng kí hiệu supp Kí hiệu Cl(Ω) tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp l miền Ω, ≤ l ≤ ∞, C0(Ω) = C(Ω) o o l o l C (Ω) = C (Ω) ∩ C (Ω), C(Ω) tập hợp tất hàm liên tục Ω có giá compact thuộc Ω • Lp(Ω), ≤ p < ∞ không gian bao gồm tất hàm u(x) khả tổng cấp p theo Lesbegue Ω với chuẩn ¸ |u|p 1/p "u"Lp(Ω) = dx Ω • Wpm(Ω), ≤ p < ∞ không gian bao gồm hàm u(x) ∈ Lp(Ω), cho đạo hàm suy rộng Dαu ∈ Lp(Ω), |α| ≤ m, với chuẩn "u"W m = |D u| dx p ¸ 1/p (Ω) α |α|≤m Ω Nói riêng, p = ta dùng kí hiệu Hm(Ω) thay cho W2m (Ω) 1/2 |D u| dx "u"Hm() = ||m o mo W p (Ω) bao đóng m (Ω) khơng gian Wp (Ω) C • H (QT ) không gian bao gồm tất hàm u(x, t) ∈ L2(QT ), m,k cho đạo hàm suy rộng Dαu ∈ L2(QT ), |α| ≤ m utl ∈ L2(QT ), ≤ l ≤ k với chuẩn ¸ ¸ "u"Hm,k(QT ) = Nói riêng α k 2 l=1 |D u| dxdt |α|≤mQ + T QT α "u"Hm,0(QT ) = ¸ u 1/2 l |ut| dxdt |D | dxdt 1/2 |α|≤mQ T • Giả sử ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2; Γ1 ∩ Γ2 = ∅, S1 = Γ1 × (0, T ) Kí hiệu C∞(Ω, Γ1) tập hợp hàm liên tục Ω, triệt tiêu gần mặt Γ1 Hm(Ω, Γ1) không gian Hm(Ω) cho C∞(Ω, Γ1) trù mật Hm(Ω, Γ 1) theo chuẩn Hm,k (QT ) • Hm,k(QT , S1) khơng gian Hm,k(QT ) có tập hợp trù mật hàm thuộc C∞(QT ), triệt tiêu gần mặt S1 Gh(t) = "ws(x, t) − Sh(x, t)"Hm(Ω) 30 Khi Sh(x, t) ∈ M ∗ |Gh(t)|2 = "w (x, t) − S (x, t)"m2 s h H (Ω ) h ≤ "ws(x, t)"Hm(Ω + |ck2(t)| ) ≤ 4"ws(x, t)"2 k=1 Hm(Ω ) Do ws(x, t) ∈ C∞(QT ), nên "ws(x, t)"m2 khả tích (0, T ) Do H (Ω chặn )bởi hàm ∞ {Gh(t)} h= hội tụ đến bị khả tích "g(x,Ht)" m (Ω Từ áp dụng định lí Lebesgue hội tụ bị chặn ta nhận) ¸ lim ¸ h→∞ Gh(t)dt = (2.17) T T lim Gh(t)dt = dãy h→∞ 0 Mặt khác, ws(x, t) ∈ C∞(QT ), nên dck (t) ∂ws(x, t) = ,ψ k dt t)∂ws(x, ∂Sh ∂t h Hm(Ω) ∂w (x, t) h ∂w (x, t) ∂t − s = ∂t ∂t Hm(Ω) Do đó, ¸ lim h→∞ h ∂t dt = s ∂t k=1 − ∂G T , ψk ψ →∞ −→ k Hm(Ω) ¸ lim T ∂G h h→∞ dt = ∂t Từ từ (2.17) ta nhận với h đủ lớn: s "ws(x, t) − Sh(x, t)"Hm,1(QT ) < 31 Kết hợp bất đẳng thức với (2.16) ta có "v(x, t) − Sh(x, t)"Hm,1(QT ) < s, với h đủ lớn, Sh (x, t) ∈ M ∗ trù mật không gian Hˆ m,1 (QT , S1) Do M trù mật Hˆ m,1(QT , S1) Bổ đề chứng minh Định lí 2.2.2 Giả sử i) Với số dương ∂ap | ≤ µ, với ≤ |p|, |q| ≤ m q ∂t µ, | (x, t) ∈ QT ; ii) f, ft ∈ L2(QT ) Khi tốn hỗn hợp hệ phương trình (2.3) có nghiệm suy rộng u(x, t) ∈ Hm,0(QT , S1) có bất đẳng thức f L2(QT , "u Hm,0(QT ) ≤ C + L (Q ) T " ) " "ft" " C = const > 0, không phụ thuộc vào u, f Chứng minh Giả sử {ϕk(x)}∞ k= hệ hàm không gian Hm(Ω, Γ1), cho bao đóng bao tuyến tính Hm(Ω, Γ1) trực chuẩn L2(Ω) Ta tìm nghiệm xấp xỉ uN (x, t) dạng N N u (x, t) = k C N (t)ϕk(x), k=1 đóN {C (t)} N k (−1) i m− nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: k=1 m (−1) q N p ¸ apq D u D ϕldx ¸ |p| − |p|,|q|=0 Ω C N k ¸ utN ϕldx = Ω (0) = 0, k = 1, , N fϕl dx, Ω (2.18) (2.19) Vì hệ số (2.18) tích phân hàm liên tục miền đóng bị chặn QT , nên hệ số hàm bị chặn Mặt khác, hàm f (x, t) ∈ L2(QT ) ϕl ∈ Hm(Ω, ∂Ω1) nên số hạng tự thuộc L(0, T ) Theo định lí Caratheodory ta ln giải hàm C N (t) Hơn tồn đạo hàm C N (t) đến cấp hai thuộc l l N L(0, T ) Như vậy, hàm u (t) xác định Ta chứng minh ước lượng uN không phụ thuộc vào N N Nhân hai vế (2.18) với dC (t)/dt, sau lấy tổng theo l từ l ¸ tới N , ta ¸ m (−1) m ¸ q N |p| apqD u −i (−1) |p|,|q|=0 D pu N uN uN dx =i dx t Ω fuN dx t t t Ω Ω (2.20) Cộng (2.20) với liên hợp phức nó, ta m (−1) m ¸ ap | (−1) q p| |p|,|q|=0 ∂ q N (D u Dp uN )dx = Im ∂t ¸ fuNt dx − Ω Ω Lấy tích phân theo t từ tới T , sau tích phân phần, ta nhận m (−1)mB(uN , uN )(t) = (−1)m ¸ ∂apq | (−1) ∂t DquN DpuN dxdt+ p| |p|,|q|=0 Q T ¸ ¸ + Im f (x, t)uN (x, t)dx − ftuN dxdt Ω Qt Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (2.12), ta nhận t "uN (x, t)"H2m(Ω ≤ C1 ) N ¸ "u (x, τ )" Hm(Ω dτ +C2 "f (x, t)"2 ) L2(Ω ) Ci = const, không phụ thuộc vào N, i = 1, Đặt t ¸ J (t) = Hm(Ω ) "uN (x, τ )"2 + "ft" + L2(Qt) , "ft" (2.21) dτ, c(t) = C2["f (x, t)"2 L2(Ω ) Từ (2.21) suy L2(Qt)] dJ (t) dt ≤ C1J (t) + c(t) Sử dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta ¸t J (t) ≤ etC1 c(τ )dτ, hay viết rõ ¸t t ¸ (x, t)" + L2(Ω L2(Qt) dt, ) "ft" C = const > khơng phụ thuộc vào N Từ suy ≤C " f +L2(QT ) L2 (QT ) N "u Hm,0(QT ) " "ft" , (2.22) " N "u (x, τ )" Hm(Ω ) dτ ≤ C "f C = const > khơng phụ thuộc vào N Vì dãy {uN } bị chặn Hm,0(QT , S1) nên trích dãy hội tụ yếu Hm,0(QT , S1) tới phần tử u(x, t) ∈ Hm,0(QT , S1) Ta chứng minh u(x, t) nghiệm suy rộng toán Do ∞ N [ M = { dl(t)ϕl(x), dl(t) ∈ H1(0, T ), dl(T ) = 0, ∀l = 1, 2, , N } N =1 l=1 trù mật không gian hàm thử Hˆ m,1 (QT , S1 ) = {η(x, t) ∈ H m,1(QT ), η(x, T ) = 0}, (xem Bổ đề 2.2.3), nên cần chứng minh u(x, t) thỏa mãn (2.5) với η(x, t) ∈ M Lấy η(x, t) ∈ M tùy ý, tồn N0 cho η viết dạng N η(x, t) = dl(t)ϕl(x), dl(t) ∈ H1(0, T ), dl(T ) = 0, ∀l = 1, , N0 l=1 Nhân (2.18) (N ≥ N0) với dl(t), lấy tổng theo l từ tới N , sau lấy tích phân theo t từ tới T , ta nhận ¸ m m−1 (−1) i (−1)|p| apqDquN ¸ Dpηdxdt − |p|,|q|=0 QT ¸ uN ηdxdt = f η¯dxdt t QT QT Do ¸ ¸ uN t=T η¯t= )dx − u η¯dxdt = (u t QT ¸ ¸ N QT N N Ω nên ta có QT m ¸ (−1)m− i | (−1) p| ηtdxdt, ηtdxdt = − u ¸ apqDquN Dpηdxdt ¸ f + uN ηtdxdt = η¯dxdt |p|,|q|=0 QT QT QT Chuyển qua giới hạn đẳng thức theo dãy hội tụ yếu, ta (−1)m− i ¸ m ¸ q (−1)|p| |p|,|q|=0 ¸ uηtdxdt = apqD uDpηdxdt + QT f η¯dxdt QT QT Đẳng thức tích phân với hàm thử thuộc tập trù mật Hˆ m,1 (QT , S1) nên cho hàm thử thuộc Hˆ m,1 (QT , S1) Do u(x, t) nghiệm suy rộng khơng gian Hm,1(QT , S1) toán hỗn hợp hệ (2.3) Hơn nữa, từ tính chất hội tụ yếu dãy {uN (x, t)} (2.22) suy nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức "u " Hm,0(QT ) ≤ lim inf "uN H2m,0(QT ) N →∞ " ≤ C "f L22(QT + L2 (QT ) , " "ft" ) C = const > không phụ thuộc vào u, f Định lí chứng minh 2.2.3 Ví dụ Trong mục ta xét tốn (2.6)-(2.8) Định lí 2.2.3 Giả sử hệ số phương trình thỏa mãn điều kiện (2.9) pq ∂a ≤ µ , p, q = 1, , n, µ1 = const > (2.23) ∂t Khi tốn (2.6)-(2.8) có khơng q nghiệm suy rộng khơng gian H1,0(QT , S1) Định lí 2.2.4 Giả sử hệ số phương trình thỏa mãn điều kiện (2.9), (2.23) f, ft ∈ L2(QT ) Khi tốn (2.6)-(2.8) có nghiệm suy rộng u(x, t) khơng gian H1,0(QT , S1) có bất đẳng thức "u H1.0(QT ) 2 ≤ C["f L2(QT L2(QT )], + ) " " "ft" C = const > khơng phụ thuộc vào u, f Chứng minh Định lí 2.2.3 Định lí 2.2.4 trường hợp riêng Định lí 2.2.1 Định lí 2.2.2 m = Kết luận Đề tài: "Bài toán hỗn hợp hệ phương trình Schrodinger trụ với đáy miền với biên khơng trơn" đưa định lí tồn nghiệm toán hỗn hợp lý thyết tổng quát toán biên hệ không dừng miền với biên không trơn Trong luận văn tác giả đặt toán biên hỗn hợp: ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2, Γ1 ∩ Γ2 = ∅, S1 = Γ1 × (0, T ), S2 = Γ2 × (0, T ) Sau tác giả định nghĩa khơng gian Hm,k(QT , S1) kết hợp với phương pháp chọn hàm thử Ladyzhenskya phương pháp xấp xỉ Galerkin để chứng minh tồn nghiệm suy rộng toán hỗn hợp Tác giả mong muốn tiếp tục nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng tốn hỗn hợp, sau phát triển trụ vơ hạn Tuy nhiên thời gian trình độ hạn chế, tác giả dừng lại kết ban đầu Tác giả mong muốn q thầy bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng (phần 2), NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng, Cung Thế Anh (2005), Bài toán biên ban đầu thứ hệ Schrodinger mạnh miền không trơn, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [3] R A Adams (1975), Sobolev space, Academic Press, New York- San Francisco-London [4] M S Agranovich and M I Vishik (1964), Elliptic problems with a parameter and parabolic problems of general type, Usp Mat Nauk, 19, No3, 53-161 [5] G Fichera (1972), Existense theorems in elasticity, Springer, New York-Berlin [6] S A Nazrov and B A Plamenevsky (1990), Elliptic problems in domains with piecewise-smooth boundary, Nauka, Moscow (tiếng Nga) [7] N M Hung (1999), Asymptotic behaviour of solutions of the first boundary-value problem for strongly hyperbolic systems near a con- ical point at the boundary of the domain, Math Sbornik, 19, 103-126 [8] N M Hung and C T Anh (2005), Asymptotic expansions of so- lutions of the first initial boundary value problem for Schrodinger systems in domains with conical points I Math VietNam 30:3, 141-160 [9] N M Hung and P T Duong (2004), On the smoothness of the generalized solutions of a parabolic system in domains with conic points on the boundary, Ukrainian Math J, vol 56, No 6, 857- 864 [10] N M Hung and N T K Son (2008), Existence and smoothness of solution to second initial boundary value problems for Schrodinger systems in cylinders with non-smooth bases, EJDE, Vol 2008, No 35, pp 111 [11] A Kokatov and B A Plamenevsky (2005), On the asymptotic on solutions to the Neumann problem for hyperbolic systems in domain with conical point, English transl., St Peterburg Math J, 16, No 3, 477-506 ... kỳ dị Bài toán biên hỗn hợp miền trụ với đáy miền với biên không trơn đến xét Lý đề tài chọn: Bài toán hỗn hợp hệ phương trình Schrodinger trụ với đáy miền với biên khơng trơn 2 Mục đích nghiên... hỗn hợp hệ phương trình Schrodinger hình trụ với đáy miền với biên không trơn, nhận định lý tồn nghiệm suy rộng không gian kiểu Sobolev Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán biên hỗn hợp hệ Schrodinger. .. tài Lý thuyết toán biên tổng quát miền với biên trơn đến hoàn thiện [4, 5, 6] Các toán biên ban đầu phương trình hệ phương trình khơng dừng hình trụ với đáy miền với biên khơng trơn xét khơng