Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền với biên không trơn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ***** VŨ THU HÀ TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM SUY RỘNG CỦA BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2010 2 DANH MỤC KÝ HIỆU  n R là không gian Euclide n - chiều ( 2n  )  Kí hiệu  là một miền trong , tức là một tập mở liên thông, với biên  .     . Nếu     sao cho     thì ta viết     . Giả sử 0 T   . Kí hiệu         0, , : , 0, T Q T x t x t T      là trụ trong R n+1 . Mặt xung quanh của nó là         0, , : , 0, T S T x t x t T      ,   1 2 , , , , n x x x x     0,t T ,           1 2 , , , , , , , s u x t u x t u x t u x t  là vectơ hàm phức, 1 n dx dx dx .    1 , , n     là đa chỉ số trong đó i  là các số nguyên không âm, n   1 . Đạo hàm suy rộng cấp  được kí hiệu là 1 1 1 1 / n n x n n D D x x x x                 , 1 s i i D u D u      Trường hợp   T Qtx  , , để chỉ đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết 1 / , , k k k k k k s k k k t u u t u t t t                  , 2 1 j j s i j t i u u t      Giả sử   1 , , n n R      . Khi đó 1 1 n n        .  Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu   k C  là tập hợp tất cả các hàm có các đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền  ,     0 0 ,k C C       và       0 0 k k C C C      , ở đó   0 C  là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong  và có giá compact thuộc  . 3    0 C   - không gian các vectơ hàm phức s chiều u(x) khả vi vô hạn có giá compact trong  .    , 1 , p L p     là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u(x) khả tổng cấp p theo Lebesgue trong  với chuẩn   1 p p p L u u dx           .    2,1 T L Q là không gian với chuẩn   2,1 1 2 2 0 T T L Q u u dx dt                     .    m H  - Không gian các vectơ hàm phức   u x có các đạo hàm suy rộng     2i D u x L    với, , 1 m j s     với chuẩn:   1 2 2 0 m m H u D u dx                 .    0 m H  - bao đóng của     0 C trong không gian   m H  .    ,m k T H Q - không gian các vectơ hàm phức   ,u x t có các đạo hàm suy rộng theo     2i D u x L    ,     2 0, j t u L T  , , 1 , 1 m i s j k       thỏa mãn , 1/ 2 2 2 ( ) 0 1 m k j T T T m k H Q t j Q Q u D u dxdt u dxdt                   Nói riêng ,0 2 ( ) 0 m T T m H Q Q u D u dxdt       4    0 ,m k T H Q - bao đóng trong không gian   ,m k T H Q của tập các hàm vectơ hàm phức   ,u x t thuộc   T C Q  và triệt tiêu gần mặt xung quanh T S . 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết các bài toán biên trong miền không trơn là một trong những lĩnh vực quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại, mới được nghiên cứu và phát triển một cách hệ thống từ những năm 60 của thế kỉ XX. Lý thuyết các bài toán biên tổng quát trong các miền với biên trơn đến nay đã khá hoàn thiện [3, 4, 5]. Các bài toán biên ban đầu đối với phương trình và hệ phương trình không dừng trong các hình trụ với đáy là miền với biên không trơn được xét không nhiều. Các bài toán biên ban đầu đối với hệ parabolic cũng đã được nghiên cứu [2, 8]. Các bài toán biên ban đầu đối với hệ schodinger đã được xét trong công trình [ 7, 9]. Trong các công trình này đã nhận được các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng và các kết quả về tính trơn cũng như biểu diễn tiệm cận của nghiệm. Bài toán biên ban đầu thứ nhất và thứ hai đối với hệ phương trình hyperbolic đã được nghiên cứu trong các công trình [10, 11], ở đó đã nhận được các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng, tính trơn của nghiệm suy rộng cũng như khai triển tiệm cận nghiệm suy rộng trong các lân cận của điểm kì dị. Bài toán biên hỗn hợp trong các miền trụ với đáy là miền với biên không trơn đến nay còn được xét rất ít. Do vậy đề tài được chọn: “Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền với biên không trơn”. 6 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn, nhận được các định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng và tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian trong không gian kiểu Sobolev. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách đặt bài toán hỗn hợp đối với hệ parabolic mạnh trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán trong không gian Sobolev. Nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian. Minh họa bài toán biên hỗn hợp đối với hệ parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền với biên không trơn trong trường hợp cụ thể với m=1. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là Bài toán biên hỗn hợp đối với hệ parabolic mạnh trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian kiểu Sobolev; nghiên cứu nghiệm suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp chọn hàm thử của Ladyzhenskaya để chứng minh tính duy nhất của nghiệm; phương pháp xấp xỉ Galerkin để chứng minh sự tồn tại nghiệm; các kết quả về bất đẳng thức nội suy để đánh giá bất đẳng thức; các kiến thức của giải tích hàm; các kết quả của bài toán elliptic trong miền không trơn. 7 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Các kết quả của luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết một cách hệ thống các bài toán biên đối với hệ không dừng trong miền với biên không trơn. Đề tài phát triển tiếp lý thuyết các bài toán biên đối với hệ phương trình Parabolic trong hình trụ với đáy là miền với biên trơn đã được M.I.Vishic và M.S.Agranovich nghiên cứu khá trọn vẹn nhưng ở đây không đề cập được vấn đề đáy là miền với biên không trơn. Đề tài đã phát triển phương pháp của O.A. Ladyzhenskaya đã xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình parabolic đều trong trụ hữu hạn với đáy là miền với biên không trơn nhưng kết quả nhận được chỉ là sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính trơn theo biến thời gian với phương trình cấp hai. 7. Nội dung Luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ. Chương 2: Trình bày cách đặt bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán. Chương 3: Trình bày kết quả nghiên cứu về tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian của bài toán hỗn hợp đã xét ở chương 2. 8 NỘI DUNG CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.1 Giả sử  là một miền trong không gian n R . Một hàm   1 ( )v x L   được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  của hàm   1 ( )u x L   nếu           1 u x D x dx v x x dx           với mọi   0 C     , ở đó   1 1 , , , n n           . Đạo hàm suy rộng cấp  được kí hiệu là: 1 2 1 2 n x n D D x x x             hay 1 2 1 2 / n n x x x         Trường hợp ( , ) , T x t Q để chỉ đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết:                k s k k k t kk k k t u t u ut t k , ,/ 1 . Từ nay về sau, nếu không nói gì đặc biệt, ta hiểu hàm là hàm vectơ phức            Ttxxxxtxutxutxu ns ,0,, ,,,, ,,, 211  . Chú ý: 1. Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm ( )u x có đạo hàm thông thường liên tục cấp  thì nó có đạo hàm suy rộng cấp  . Từ định 9 nghĩa đạo hàm suy rộng rút ra hàm   xu có không quá một đạo hàm suy rộng. 2. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa cổ điển. Ví dụ ta lấy hàm     1,1,  xxxu , thì   xu có đạo hàm suy rộng trong khoảng   1,1 . Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm 0  x . 3. Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp  trong miền  thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp  trong miền '    . Thật vậy, giả sử D u v   trong  . Cố định   0 ' ' ,C        . Khi coi   0 x   với ' \ x   , ta nhận được   0 C     Ta có hệ thức: ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) u x D x dx u x D x dx v x x dx v x x dx                      Từ đó ta có D u v   trong '  . Đạo hàm suy rộng trong miền '  được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong  vào '  . 4. Ta dễ kiểm tra được rằng     2121 ,   baDbDaDDDD   ở đó a, b là các hằng số tuỳ ý. 10 Định lý 1.1.1 Giả sử  là một miền trong không gian n R , '  là miền con của  , sao cho khoảng cách giữa '  và  bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và x    , ta có       xuDxuD h h   . Ta xét trường hợp n = 1 và các mối liên hệ giữa đạo hàm suy rộng, đạo hàm thông thường và tính liên tục tuyệt đối của một hàm trên một khoảng hữu hạn ( , )a b . Ta nhắc lại định nghĩa liên tục tuyệt đối: Hàm   Rbau  ,: được gọi là liên tục tuyệt đối, nếu với mọi 0   , tồn tại 0   sao cho với mọi tập hữu hạn các khoảng rời nhau           baxxxxxx mm ,,,, ,,, '' 22 ' 11  với     m j jj xx 1 ' , ta có         m j jj xuxu 1 ' . Một hàm liên tục tuyệt đối trên một khoảng hữu hạn (a, b) nếu tồn tại một hàm khả tổng g(x) trên đoạn này sao cho       , , x a f x g t dt c x a b     c là hằng số tùy ý. Định lí 1.1.2. Giả sử f(x) liên tục tuyệt đối trên khoảng hữu hạn (a, b). Khi đó tồn tại đạo hàm thông thường   xf  hầu khắp trong (a ,b). Hơn nữa,   xf  là hàm khả tổng trên (a ,b) và       dttfafxf x a    . [...]... t  là nghiệm suy rộng của bài 1 toán trong không gian H m,1  QT , ST  1 Do u N hội tụ yếu đến u trong không gian H m ,1  QT , ST  nên: u H m ,1  QT   lim N  u N  C f L2  QT  36 CHƯƠNG 3 TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM SUY RỘNG THEO BIẾN THỜI GIAN Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian không phụ thuộc vào tính trơn của biên mà chỉ phụ thuộc vào tính trơn. .. đó nghiệm suy rộng u(x, t) của bài toán hỗn hợp có đạo hàm theo t đến tận cấp h thuộc 1 H m ,1  QT , ST  và có bất đẳng thức ut h 2 H m ,1  QT  h  C  ft k k 0 2 (3.1) L2  QT  ở đó C = const Chứng minh Ta sẽ chứng minh tồn tại một nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp có các tính chất trong kết luận của Định lí 3.1.1 Nhờ định lí duy 1 nhất nghiệm (Định lí 2.1.1), nó trùng với nghiệm suy rộng trong. .. , trong đó v là trường vec tơ pháp tuyến đơn vị ngoài trên ST Trong hình trụ QT ta xét bài toán hỗn hợp: m 1  1 L  x, t , D  u  ut  f  x, t  u  x,0   0  ju  j N ju  0, j  0, , m  1 (2.2) 1 ST 2 ST  0, j  0, , m  1 1 ở đó  là véctơ pháp tuyến đơn vị ngoài đến ST Trước tiên ta đưa vào định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp (2.2) Hàm u  x, t  gọi là nghiệm suy rộng của. .. Khi đó bài toán hỗn hợp có nghiệm suy rộng u  x, t  trong không gian 1 H m,1  QT , ST  Ngoài ra ta có bất đẳng thức: u H m ,1  QT  C f L2  QT  ở đó C = const không phụ thuộc vào u và f , 28 Chứng minh Ta sử dụng phương pháp Galerkin để chứng minh sự tồn tại của    x  nghiệm suy rộng Giả sử k k 1 là một hệ hàm trong không gian H m  , 1  sao cho bao đóng của bao tuyến tính của nó...  là một miền trong R n và m  0, 1  p   Khi đó H m    là một không gian Banach Định lí 1.2.2 Giả sử  là một miền thuộc R n và ' là miền con của  sao cho '   Nếu u  H m    thì lim uh  u h 0 H m     0 12 Định nghĩa 1.2.3 Một miền  thuộc R n được gọi là miền sao đối với điểm x0, nếu với mỗi điểm x , đoạn thẳng nối x0 với x cũng thuộc miền  Trong trường hợp đặc biệt, miền. .. u 2 H m   , với mọi u  H m ,1  QT , S1  , hầu khắp t   0, T  2 L2      0   x, t  2 H m   22 Định lí 2.2.1 Giả sử với p  q  m ; a pq là các hàm liên tục trong QT và a pq   ,   const , 1  p , q  m t Khi đó bài toán có không nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong không gian   1 H m ,1 QT , ST Chứng minh Giả sử bài toán có hai nghiệm suy rộng u1 ,u2 trong không gian  ... hai của bổ đề Bổ đề được chứng minh Nhận xét: Nếu   C  const trên t0 , T  thì ta có t u  t   C  L  u  s  ds  u  t   Ce L  t t0  , t  t0 , T  t0 Đặc biệt nếu   t   0 trên t0 , T  thì ta có t u  t   L  u  s  ds  u  t   0, t  t0 , T  t0 17 CHƯƠNG 2 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH 2.1 Đặt bài toán ơ Giả sử  là miền. .. đặc biệt, miền lồi là miền sao đối với mọi điểm thuộc miền đó   Định lí 1.2.3 Nếu  là miền sao trong R n , thì không gian C   trù mật trong H m    n Định nghĩa 1.2.4 Một miền  thuộc R gọi là có tính chất đoạn, nếu với mỗi x   , tồn tại tập mở U x và vectơ y x  0 sao cho x U x và nếu z    U x thì z  t y x   với 0 < t < 1 Định lí 1.2.4 Nếu  là miền thuộc R n có tính chất đoạn thì... thuộc vào tính trơn của biên mà chỉ phụ thuộc vào tính trơn theo biến thời gian của các hệ số và của vế phải của hệ phương trình Để nghiên cứu được vấn đề này ở đây ta sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp quy nạp toán học 3.1 Tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian Định lí 3.1.1 Giả sử các điều kiện của định lí 1.2.1 được thỏa mãn và i   ii  f t k  L2  QT  , k  h, f t... T   Định nghĩa 1.3.3 C   ,  1  là không gian các vectơ hàm phức s chiều u  x, t  khả vi vô hạn trong  và bằng 0 gần   1 m Định nghĩa 1.3.4 H , 1  là không gian con của H m   sao cho C  , 1  trù mật trong H m  , 1  theo chuẩn của không gian H m   1 Định nghĩa 1.3.5 H m,k  QT , ST  là không gian con của H m,k  QT  sao cho không gian bao gồm các vectơ hàm phức u . TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM SUY RỘNG CỦA BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC . Trình bày cách đặt bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng. biên không trơn đến nay còn được xét rất ít. Do vậy đề tài được chọn: Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền với biên