Chào các bạn, với mong muốn chia sẻ cho tất cả mọi người những tài liệu mình biên soạn cũng như sưu tầm nay tôi chia sẻ lên đây (có phí và không phí) hi vọng giúp ích được phần nào cho công việc cũng như học tập của tất cả mọi người. Chúc thành công
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH − − − − − − − − − ĐỖ VĂN LỢI BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN NHỊ DIỆN CÓ BỜ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62 46 01 01 Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng 2. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng NGHỆ AN - 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành bởi chính tác giả dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng và PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và nội dung của luận án không trùng lặp và chưa được công bố trong bất cứ công trình nào của ai trước đó. Tác giả Đỗ Văn Lợi LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng và PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, các Thầy còn là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng đối với các Thầy. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô giáo và các thành viên của seminar phương trình đạo hàm riêng (ĐHSPHN), đặc biệt là TS. Phạm Triều Dương. Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như môi trường nghiên cứu sôi nổi và thân thiện. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa đào tạo sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán, các Thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự nhiên cùng tất cả các thành viên của seminar toán giải tích của Trường Đại học Hồng Đức đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tác giả chuyên tâm học tập, nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận án này. Tác giả gửi lời cám ơn đến TS. Vũ Trọng Lưỡng – Trường Đại học Tây bắc, người đồng nghiệp cùng hướng nghiên cứu với mình. Trong quá trình viết và chỉnh sửa bản thảo luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của PGS.TS. Trần Văn Ân, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS. Phạm Ngọc Bội, TS. Nguyễn Văn Đức, TS. Trần Đình Kế, cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn về sự giúp đỡ quý báu này. Tác giả 5 MỤC LỤC Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 1. TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN 17 1.1 Thiết lập bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Tính giải được duy nhất của bài toán . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm suy rộng vào các dữ kiện đã cho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 2. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 41 2.1 Bài toán biên elliptic trong miền đa diện . . . . . . . . . . . 41 2.2 Tính trơn của nghiệm theo biến thời gian . . . . . . . . . . . 42 2.3 Tính chính qui toàn cục của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 54 Chương 3. TIỆM CẬN NGHIỆM TRONG LÂN CẬN CỦA BỜ 68 3.1 Bài toán biên elliptic trong miền có bờ . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Tính chính qui của nghiệm suy rộng trong miền nhị diện có bờ 72 3.3 Tiệm cận nghiệm suy rộng trong lân cận của bờ . . . . . . . 80 KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . . . . . . . . . . . . 89 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6 MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG LUẬN ÁN N - tập các số tự nhiên, R - tập các số thực, C - tập các số phức. Với số phức z ∈ C, kí hiệu Rez, Imz lần lượt là phần thực và phần ảo của z, z là số phức liên hợp của z, x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n và đa chỉ số p = (p 1 , . . . , p n ) ∈ N n , Giả sử Ω ⊂ R n là miền bị chặn, với biên ∂Ω, kí hiệu Q T = Ω × (0, T ), S T = ∂Ω × (0, T) với T ∈ (0, ∞) x p = x p 1 1 . . . x p n n , |p| = p 1 + p 2 + . . . + p n , p! = p 1 !p 2 ! . . . p n !, ∂ p x = ∂ p 1 x 1 . . . ∂ p n x n , p q = p! q!(p − q)! . Nếu không có gì đặc biệt ta dùng kí hiệu u (thay cho u(x, t), với (x, t) ∈ Q T hay u(x), với x ∈ Ω) là hàm véc tơ nhận giá trị phức, u = (u 1 , . . . , u s ), u t k = ∂ k u 1 ∂t k , . . . , ∂ k u s ∂t k , (k ∈ N) là đạo hàm riêng cấp k của u(x, t) theo biến t, D p u = (∂ p x u 1 , . . . , ∂ p x u s ) là đạo hàm (suy rộng) của u(x, t) theo biến x cấp |p|, ∇ = ( ∂ ∂x 1 , ∂ ∂x 2 , , ∂ ∂x n ). Trong luận án này chúng tôi dùng chữ cái C để kí hiệu chung cho các hằng số (và ngay cả khi với các hằng số khác nhau, thay vì phải dùng các kí hiệu C 1 , C 2 ta vẫn kí hiệu là C). Luận án này sử dụng các không gian hàm sau C k (Ω): không gian các hàm khả vi liên tục cấp k (k ∈ N) trên Ω. C(Ω) = C 0 (Ω): không gian các hàm liên tục trên Ω. C ∞ (Ω): không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω. C ∞ 0 (Ω): không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong 7 Ω,(giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó khác không). C ∞ s (Q T ): không gian các hàm thuộc C ∞ (Q T ) và triệt tiêu trong một lân cận của S T . C ∞ 0 (Q T ): không gian các hàm thuộc C ∞ (Q T ) có giá compact trong Q T . L 2 (Ω): không gian các hàm bình phương khả tích trên Ω. H m (Ω): không gian Sobolev các hàm véc tơ phức s chiều u(x) có các đạo hàm suy rộng D p u i , 1 ≤ i ≤ s, |p| ≤ m thuộc L 2 (Ω) với chuẩn u H m (Ω) = |p|≤m Ω |D p u(x)| 2 dx 1/2 < +∞. ˚ H m (Ω): bao đóng của C ∞ 0 (Ω) với chuẩn của H m (Ω). H m (Q T ): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên Q T có các đạo hàm suy rộng D p u, |p| ≤ m thuộc L 2 (Q T ) với chuẩn u H m (Q T ) = Q T m |p|=0 |D p u| 2 dx dt 1/2 < +∞. H m (Q T , γ): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên Q T có các đạo hàm suy rộng D p u, |p| ≤ m thuộc L 2 (Q T ) với chuẩn u H m (Q T ,γ) = Q T m |p|=0 |D p u| 2 e −γt dx dt 1/2 < +∞, trong đó γ là số thực dương cho trước. H m,k (Q T ): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên 8 Q T có các đạo hàm suy rộng D p u, u t j , |p| ≤ m, 1 ≤ j ≤ k thuộc L 2 (Q T ) với chuẩn u 2 H m,k (Q T ) = Q T m |p|=0 |D p u| 2 + k j=1 |u t j | 2 dx dt < +∞. ˚ H m,k (Q T ): bao đóng của tập C ∞ s (Q T ) với chuẩn của H m,k (Q T ). H m,k (Q T , γ): không gian bao gồm tất cả những hàm u(x, t) xác định trên Q T , có các đạo hàm riêng suy rộng theo x đến cấp m và theo t đến cấp k, sao cho u 2 H m,k (Q T ,γ) = Q T m |p|=0 |D p u| 2 + k j=1 |u t j | 2 e −γt dxdt < +∞, trong đó γ là số thực dương cho trước. H m,0 (Q T ): đôi khi được kí hiệu thay cho H m (Q T ). H m,0 (Q T , γ) đôi khi được kí hiệu thay cho H m (Q T , γ). L 2 (Q T , γ): không gian bao gồm các hàm u(x, t) xác định trên Q T với chuẩn u L 2 (Q T ,γ) = Q T |u| 2 e −γt dxdt 1/2 < +∞, trong đó γ là số thực dương cho trước. 9 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Các bài toán biên đối với phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ các ngành khoa học kĩ thuật, đặc biệt nó là mô hình giải tích của nhiều hiện tượng vật lí. Bởi tính thực tiễn đó, khi nghiên cứu các bài toán này người ta quan tâm đến tính đặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ liệu đã cho). Những năm đầu thế kỉ XX, nghiệm của bài toán phương trình đạo hàm riêng được hiểu là nghiệm cổ điển, nghiệm đòi hỏi khả vi theo nghĩa thông thường đến cấp của phương trình. Trên thực tế, những phương trình đạo hàm riêng có nghiệm cổ điển, đặc biệt những nghiệm tồn tại trong toàn miền xác định (nghiệm toàn cục) là rất ít. Nhưng rõ ràng là cần phải tìm "nghiệm" của các phương trình không có nghiệm cổ điển để lí giải các hiện tượng thực tế mà nó mô tả. Chính vì vậy, khái niệm nghiệm suy rộng được đưa ra, nghiệm này thường được xây dựng bởi giới hạn của một quá trình xấp xỉ. Các đánh giá trong quá trình xấp xỉ có thể không đủ mạnh để đảm bảo rằng giới hạn đó là nghiệm cổ điển, nhưng ở một khía cạnh khác vẫn có thể xảy ra khả năng giới hạn đó có chung một số tính chất với nghiệm cổ điển, bởi mối liên hệ này xuất phát từ việc nhân phương trình hay hệ phương trình đó với một hàm thử đủ trơn, sau đó sử dụng tích phân từng phần. 10 Khái niệm nghiệm suy rộng là một bước ngoặt về mặt phương pháp trong nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng, nó tách việc nghiên cứu các bài toán biên đối với phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng làm ba bước: (i) Tính đặt đúng của bài toán; (ii) Tính chính qui của nghiệm; (iii) Tiệm cận nghiệm suy rộng. Các bài toán biên tuyến tính đối với phương trình đạo hàm riêng trong miền với biên trơn được nghiên cứu khá hoàn thiện vào nửa đầu thế kỷ XX. Khi đó, người ta nghiên cứu các bài toán biên loại dừng trong các miền biên trơn nhờ phép phân hoạch đơn vị đưa về bài toán trong toàn không gian hoặc nửa không gian ([7], [12], [15]). Trong trường hợp này, bài toán có duy nhất nghiệm ([12]). Các bài toán biên không dừng trong các hình trụ với đáy là miền có biên trơn được nghiên cứu nhờ phép biến đổi Laplace hoặc phép biến đổi Fourier để đưa về bài toán dừng với tham biến trong miền trơn ([12], [38], [39], [40], [41], [55]). Một trong những kết quả quan trọng là: Nếu hệ số của phương trình hay hệ phương trình, hàm vế phải và biên của miền đủ trơn, thì nghiệm là hàm trơn. Bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic trong miền với biên không trơn đã được nghiên cứu từ giữa thế kỷ XX. Trong công trình nổi tiếng, mang ý nghĩa đặt nền móng của nhà toán học người Nga V. A. Kondratiev, tác giả đã công bố những kết quả quan trọng về tính đặt đúng của bài toán cũng như tính trơn và tiệm cận của nghiệm trong miền có các điểm nón trên biên ([19], [...]... trình parabolic mạnh trong trụ vô hạn với đáy là miền nhị diện chưa được nghiên cứu một cách có hệ thống Với những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền nhị diện có bờ. " 2 Đối tượng nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu bài toán sau: (−1)mL(x, t, D)u + ut = f (x, t) , (x, t) ∈... đã cho (đây chính là tính đặt đúng của bài toán) , trong cả trụ hữu hạn và trụ vô hạn của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền có biên không trơn 1.1 Thiết lập bài toán Giả sử Ω ⊂ Rn là tập bị chặn và 0 < T ≤ ∞ Đặt QT = Ω × (0, T ) Xét toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp 2m m Dp(apq (x, t)Dq ), L(x, t; D) = |p|,|q|=0 ở đây apq là các ma trận cấp... trên miền đa diện của V A Kondratiev ([19], [20]), của B Ammann, A Ionescu và V Nistor ([5]) năm 2006 hay của C Bacuta, V Nistor và L Zikatanov ([6]) 14 năm 2005 P.T.Dương và Đ.V.Lợi có nghiên cứu về hệ phương trình parabolic trong miền nhị diện và thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm ([10]) Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ vô hạn với đáy là miền. .. thời gian Cũng có một số kết quả nghiên cứu về các bài toán không dừng trong các miền không trơn, song chỉ với phương trình cấp hai hoặc phương trình có hệ số không phụ thuộc vào thời 12 gian ([21], [22], [39], [43], [49], [51], [53], [57], [58]) Từ năm 1995 các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình không dừng có hệ số phụ thuộc thời gian trong các miền trụ với đáy có biên không trơn... thế kỉ XX, các bài toán biên tổng quát đối với các phương trình và hệ phương trình không dừng trong các miền không trơn được nghiên cứu trong không nhiều công trình Nguyên do là nếu sử dụng các phương pháp truyền thống (biến đổi Fourier, biến đổi Laplace), thì chỉ dừng lại ở việc giải quyết được các bài toán này trong các miền với biên trơn, hơn nữa các hệ số của phương trình và hệ phương trình buộc phải... cứu bài toán (1.2) - (1.4) về cả ba vấn đề: Tính đặt đúng của bài toán; Tính chính qui của nghiệm; Tiệm cận nghiệm 15 4 Phạm vi nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu bài toán trên trong trụ với đáy là miền nhị diện có bờ 5 Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết bài toán chúng tôi sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp cắt thiết diện, các bất đẳng thức tiên nghiệm và các kết quả của các bài toán. .. khắc phục điểm kì dị "kiểu nón" của bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic Tổng quan các kết quả về bài toán biên elliptic đã được V A Kondratiev và O A Oleinic đưa vào trong công trình [56] Các nhà toán học khác đã dựa trên phương pháp của V A Kondratiev để nghiên cứu các bài toán biên đối với các hệ không dừng trong các miền với các điểm kỳ dị trên biên ([9], [11], [19], [13], [18],... với đáy có biên không trơn đã được nghiên cứu một cách hệ thống GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng đã sử dụng phương pháp cắt thiết diện để đưa bài toán không dừng về xét trên một thiết diện như một bài toán dừng ([26] - [36], [59], [60]) Với phương pháp này GS và các cộng sự đã xét được các bài toán biên đối với các hệ không dừng trong miền trụ với đáy có biên không trơn sau: 1 Hyperbolic (−1)m−1L(x, t, D)u −... đặt ra là khi đáy của hình trụ chứa các điểm kì dị không phải "kiểu nón" thì các bài toán biên được giải quyết như thế nào? Đa diện là một loại miền có biên không trơn, miền này có hai loại điểm kì dị là điểm cạnh và điểm đỉnh Khi nghiên cứu bài toán trên miền đa diện, chúng ta gặp rất nhiều khó khăn do tính kì dị của điểm cạnh, điểm đỉnh cao hơn điểm nón Cho đến nay có một số công trình về bài toán. .. định nghĩa trong phần ký hiệu, trong đó m, k là ký hiệu cấp của các đạo hàm tương ứng theo biến x và biến thời gian t Thêm ˚ vào đó H m,k (QT ) là bao đóng trong H m,k (QT ) của tập các hàm thuộc C ∞(QT ) và triệt tiêu trong một lân cận của mặt xung quanh ST = ∂Ω × (0, T ) Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình parbolic mạnh trong trụ QT sau (và . (đây chính là tính đặt đúng của bài toán) , trong cả trụ hữu hạn và trụ vô hạn của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền có biên không. − − − − − ĐỖ VĂN LỢI BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN NHỊ DIỆN CÓ BỜ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số:. Đ.V.Lợi có nghiên cứu về hệ phương trình parabolic trong miền nhị diện và thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm ([10]). Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình parabolic mạnh