Bài toán biên hỗn hợp thứ nhất đối với phương trình vi phân

Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————————– NGUYỄN THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Footer Page of 133 Đà Nẵng - Năm 2011 Header Page of 133 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Toán học họp Đà Nẵng ngày 23 tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 133 Header Page of 133 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng kĩ thuật, vật lý, kinh tế số ngành khác Có nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện (ban đầu biên) số phương pháp sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải mà năm 1972 công trình nhà toán học nữ người Ba lan Danuta Przeworska-Rolewicz sau phát triển nhiều nhà toán học khác Mục đích nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu lý thuyết chất cách giải toán biên hỗn hợp thứ lý thuyết toán tử khả nghịch phải thông qua toán nội suy Newton Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu phương trình vi phân với điều kiện biên hỗn hợp thứ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu toán nội suy Newton toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân trừu tượng Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài chuyên đề tốt vấn đề nội suy toán biên phương trình vi phân trừu tượng Đề tài mang tính chất túy toán học Nó quan tâm đến việc tìm điều kiện tồn nghiệm toán biên hỗn hợp thứ cách áp dụng toán tử, đưa công thức nghiệm trường hợp nghiệm tồn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương kiến thức Đại số đại cương Đại số tuyến tính Trong chương trình bày kết toán tử tuyến tính không gian tuyến tính Nội dung Footer Page 3phần of 133.này viết chủ yếu theo Nguyễn Hữu Việt Hưng [1], Nguyễn Header Page of 133 Duy Thuận [4], có tham khảo thêm D Przeworska-Rolewicz [8], [7] Chương hai chương luận văn Phần đầu chương trình bày tính chất toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu Sau phần dành riêng cho công thức TaylorGontcharov trường hợp riêng công thức Taylor Nội dung chương viết theo D Przeworska-Rolewicz [6] Chương áp dụng công thức Taylor-Gontcharov vào việc giải toán: Tìm điều kiện tồn nghiệm toán biên hỗn hợp thứ Nội dung phần viết theo Nguyễn Văn Mậu [5] Footer Page of 133 Header Page of 133 Chương TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1.1 Nhóm vành Giả sử G tập hợp Mỗi ánh xạ ◦ : G × G → G gọi luật hợp thành (hay phép toán hai ngôi) G Ảnh cặp phần tử (x, y) ∈ G × G ánh xạ ◦ kí hiệu x ◦ y gọi tích hay hợp thành x y Định nghĩa 1.1 ([1]) Một nhóm cặp (G, ◦), G tập hợp không rỗng ◦ luật hợp thành G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (G1) Luật hợp thành kết hợp; (G2) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, có tính chất x ◦ e = e ◦ x = x, với x ∈ G; (G3)Với x ∈ G, có phần tử x′ ∈ G, gọi nghịch đảo x, cho x ◦ x′ = x′ ◦ x = e Định nghĩa 1.2 ([1]) Ta gọi vành tập hợp R ̸= ∅ với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng + : R × R → R xác định (x, y) → x + y, phép nhân · : R × R → R xác định (x, y) → x · y, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (R1) R nhóm abel phép cộng, tức x + y = y + x, ∀x, y ∈ R; (R2) Phép nhân có tính kết hợp; (R3) Phép nhân phân phối hai phía phép cộng Định nghĩa 1.3 ([1]) Vành R gọi giao hoán phép nhân giao hoán Vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử ∈ R cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R Định nghĩa 1.4 ([6], [1]) Vành giao hoán R có đơn vị ̸= gọi trường, phần tử khác không R khả nghịch 1.2 Không gian tuyến tính Định nghĩa 1.5 ([7], [4]) Không gian tuyến tính trường F vô Footer Page 5hướng of 133 nhóm cộng giao hoán X cho phép nhân phần tử Header Page of 133 X vô hướng F xác định thỏa mãn điều kiện sau: t(x + y) = tx + ty; (t + s)x = tx + sx; (ts)x = t(sx); · x = x, với x, y ∈ X t, s ∈ F Phần tử x ∈ X gọi vectơ X Định nghĩa 1.6 ([7]) Nếu không gian tuyến tính X vành (với cách định nghĩa phép cộng) X gọi vành tuyến tính 1.3 Toán tử tuyến tính Không gian riêng Toán tử Volterra Định nghĩa 1.7 ([6], [4]) Giả sử X Y hai không gian tuyến tính trường vô hướng F Một ánh xạ A từ tập tuyến tính domA X vào Y gọi toán tử tuyến tính A(x + y) = Ax + Ay, A(tx) = tAx, với x, y ∈ domA, t ∈ F Cho X Y hai không gian tuyến tính trường vô hướng F Tập tất toán tử tuyến tính có miền xác định chứa X miền giá trị chứa Y ký hiệu L(X → Y ) Định nghĩa 1.8 ([4], [6]) Tổng hai toán tử A, B ∈ L(X → Y ) tích toán tử A ∈ L(X → Y ) với vô hướng F xác định sau: dom(A + B) = domA ∩ domB { (A + B)x = Ax + Bx với x ∈ domA ∩ domB, (1.1) (tA)x = t(Ax) với x ∈ domA, t ∈ F Định nghĩa 1.9 ([6], tr.23) Giả sử X, Y, Z không gian tuyến tính trường vô hướng, A ∈ L(X → Y ), B ∈ L(Y → Z) BdomB ⊂ domA ⊂ Y Sự chồng chất (tích) AB hai toán tử A B xác định (AB)x = A(Bx) với x ∈ domB Định nghĩa 1.10 ([6], tr.23) Hai toán tử A B gọi giao hoán hai chồng chất AB, BA tồn AB = BA domA∩ domB Đặt L0 (X → Y ) := {A ∈ L(X → Y ) : domA = X}, L(X) := L(X → X), L0 (X) := L0 (X → X) Khi L0 (X → Y ) không gian tuyến tính trường F, L0 (X) vành tuyến tính có đơn vị không giao hoán Định nghĩa 1.11 ([6]) Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) tương ứng 1-1 toán tử nghịch đảo A−1 định nghĩa theo cách: Với y ∈ AdomA A−1 y = x, x ∈ domA y = Ax Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) có toán tử nghịch đảo ta nói A khả nghịch Giả sử X không gian tuyến tính trường đóng đại số F, tức Footer Page 6mỗi of 133 đa thức bậc n với hệ số F có n nghiệm A ∈ L0 (X) Header Page of 133 Vô hướng λ ∈ F gọi giá trị quy A toán tử A − λI khả nghịch Tập tất vô hướng λ mà giá trị quy A gọi phổ A ký hiệu spectrA Định nghĩa 1.12 ([8]) Nếu λ ∈ spectrA tồn x ∈ X cho x ̸= (A − λI)x = λ gọi trị riêng A x vectơ riêng ứng với trị riêng λ Tập tất tổ hợp tuyến tính tất vectơ riêng A ứng với trị riêng λ gọi không gian riêng toán tử A ứng với trị riêng λ Định nghĩa 1.13 ([8]) Toán tử A ∈ L0 (X) gọi toán tử Volterra toán tử I − λA khả nghịch với vô hướng λ ∈ F Tập tất toán tử Volterra thuộc L0 (X) ký hiệu V (X) Nếu A ∈ V (X) phương trình (I − λA)x = có nghiệm không với vô hướng λ Footer Page of 133 Header Page of 133 Chương PHÉP TÍNH TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI 2.1 Toán tử khả nghịch phải Cho X không gian tuyến tính trường vô hướng F Ký hiệu R(X) tập tất toán tử khả nghịch phải thuộc L(X) RD tập tất nghịch đảo phải toán tử D ∈ R(X), tức là: RD = {R ∈ L0 (X) : DR = I} Cho x ∈ X Tập hợp RD x = {Rγ x}γ∈Γ gọi tích phân bất định x Mỗi phần tử Rγ x với γ ∈ Γ gọi nguyên phân x Theo định nghĩa, y nguyên phân x Dy = x Hạt nhân toán tử D ∈ R(X) gọi không gian số D kí hiệu ker D Mỗi phần tử z ∈ ker D gọi số Theo định nghĩa, z ∈ X số D Dz = Các tính chất toán tử khả nghịch phải ([6], tr 50-52) Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD Dk Rk = I với k = 1, 2, Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD tích phân bất định phần tử x ∈ X có dạng RD x = {Rx + z : z ∈ ker D} = Rx + ker D Nếu D ∈ R(X) với R ∈ RD ta có domD = RX ⊕ ker D Giả sử D ∈ R(X) R1 ∈ RD Khi nghịch đảo phải D có dạng R = A + R1 (I − DA) = R1 + (I − R1 D)A, A ∈ L0 (X), AX ⊂ domD Nhận thấy D ∈ R(X), R ∈ RD x ∈ X từ Rx = ta suy x = Ví dụ 2.1 ([6]) Trong không gian X = C[a, b] ta đặt D = d/dt ∫t (Rx)(t) = x(s)ds với x ∈ C[a, b] Khi D toán tử khả nghịch phải t0 với nghịch đảo phải R D không khả nghịch Trong trường hợp ker D = {x ∈ C [a, b] : x′ (t) = với a t b} không gian tất Footer Page 8hàm of 133 [a, b] nên ta có dimker D = Header Page of 133 Tích phân bất định hàm số x ∈ C[a, b] kí hiệu Như vậy, theo định nghĩa với t0 ∈ [a, b] cố định tùy ý ∫ } { ∫t x(s)ds + c : c ∈ R x(t) = ∫ x(t)dt t0 Nghịch đảo phải (Rx)(t) = ∫t x(s)ds D với x ∈ C[a, b] toán tử t0 Volterra, tức toán tử I − λR khả nghịch với vô hướng λ ∈ C ∫t (2.1) [(I − λR)−1 x](t) = x(t) + λ eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b] t0 Ví dụ 2.2 ([6]) Trong không gian X = (s) tất dãy {xn }, xn ∈ R, n ∈ N ta đặt Dx = {xn+1 − xn }, x = {xn } ∈ (s), với n ∑ Rx = y = {yn }, y1 = 0, yn+1 = xk với n Khi D k=1 toán tử khả nghịch phải với nghịch đảo phải R { D không khả nghịch Không gian số D có dạng ker D = z = {zn } : zn = C, n ∈ } N, C ∈ R Do tích phân bất định phần tử x ∈ X có dạng { RD x = y = {yn } : y1 = C, yn+1 = n ∑ } xk + C với n ∈ N, C ∈ R k=1 Nghịch đảo phải Rx = y = {yn } ∈ (s) D, x = {xn } ∈ n ∑ (s), y1 = 0, yn+1 = xk với n 1, toán tử Volterra k=1  (I − λR)−1 y = u, y = {yn }, u = {un } ∈ (s), λ ∈ C n ∑ (2.2) u1 = y1 , un+1 = yn+1 + λ (λ + 1)k−1 yn+1−k (n = 1, 2, ) k=1 2.2 Một số lưu ý toán tử khả nghịch trái Định nghĩa 2.1 ([6]) Toán tử ∆ ∈ L0 (X) gọi khả nghịch trái tồn toán tử L ∈ L(X) cho L∆ = I Toán tử L gọi nghịch đảo trái ∆ 2.3 Toán tử ban đầu Ký hiệu FD tập tất toán tử ban đầu D, tức là: Footer Page of 133 FD = {F ∈ L(X) : F = F, F X = ker D ∃R ∈ RD : F R = 0} Header Page 10 of 133 Các tính chất toán tử ban đầu ([6], tr 69-72) Nếu F toán tử ban đầu D ứng với R ∈ RD F z = z với z ∈ ker D DF = X Điều kiện cần đủ để toán tử F ∈ L(X) toán tử ban đầu D ∈ R(X) ứng với R ∈ RD F = I − RD domD Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch toán tử ban đầu khác A không tồn Họ RD = {Rγ }γ∈Γ tất nghịch đảo phải toán tử D ∈ R(X) cảm sinh họ FD = {Fγ }γ∈Γ toán tử ban đầu D xác định đẳng thức Fγ = I − Rγ D domD với γ ∈ Γ ∀α, β ∈ Γ, ta có Fα Fβ = Fβ Fβ Rα = Rα − Rβ ∀α, β, γ ∈ Γ toán tử Fβ Rγ − Fα Rγ không phụ thuộc vào cách chọn toán tử Rγ ∈ RD Đặt Iαβ = Fβ Rγ − Fα Rγ , ∀α, β, γ ∈ Γ Toán tử Iαβ gọi toán tử tích phân xác định Với x ∈ X phần tử Iαβ x gọi tích phân xác định x Các số α β gọi cận cận tích phân Vậy Iαβ = Fβ Rα , với α, β ∈ Γ ∀x ∈ X, α, β ∈ Γ ta có Iαβ x = z ∈ ker D ∀α, β, δ ∈ Γ ta có Iαβ = −Iβα , Iαδ + Iδβ = Iαβ Nếu x ∈ X, α, β ∈ Γ tùy ý y ∈ X nguyên phân x Iαβ x = Fβ y − Fα y ∫t d (Rx)(t) = x(s)ds, dt t0 a t0 b cố định tùy ý Theo tính chất x ∈ domD = C [a, b] (F x)(t) = x(t0 ) ∫t Xét tập hợp {Rc }c∈[a,b] (Rc x)t = x(s)ds với x ∈ C[a, b] Ví dụ 2.3 ([6]) Giả sử X = C[a, b], D = c Khi theo tính chất họ toán tử ban đầu cảm sinh họ {Rc }c∈[a,b] có dạng {Fc }c∈[a,b] , (Fc x)t = x(c) Nếu y nguyên hàm tùy ý x ∈ C[a, b] c1 , c2 cố định tùy ý [a, b] theo tính chất ∫c2 ta tìm x(s)ds = y(c2 ) − y(c1 ), y ′ = x Do công c1 thức tính tích phân phần có dạng ∫c2 c1 ∫c2 c1 x(s)y ′ (s)ds = [x(s)y(s)]cc21 − x′ (s)y(s)ds, x, y ∈ C [a, b] [u(s)]cc21 = u(c2 ) − u(c1 ), với u ∈ C[a, b], a c1 , c2 b Ví dụ 2.4 ([6]) Giả sử X, D, R xác định ví dụ 2.2 Footer Page 10 of 133 Khi x ∈ X z = F x = (I − RD)x = x − RDx, Header Page 11 of 133 z = {zn }, zn = xn − (xn − x1 ) = x1 với n = 1, 2, Vậy toán tử ban đầu F D ứng với R có dạng F x = {zn }, x = {xn }, zn = x1 (n = 1, 2, ) Bây giả sử m > số nguyên dương cho trước Đặt Rm x = y = {yn }, x = {xn } ∈ X, ∑ y1 = − (m − j)xj , m j=1 m−1 n−1 ∑ ∑ yn = xj − (m − j)xj với n m j=1 j=1 m−1 Khi Rm nghịch đảo phải D toán tử ban đầu Fm D ứng với nghịch đảo phải Rm xác định sau: ∑ Fm x = {zn }, zn = xj m j=1 m 2.4 n = 1, 2, , x = {xn } Công thức Taylor-Gontcharov Công thức Taylor Định lý 2.1 ([6], tr 67) (Công thức Taylor-Gontcharov) Giả sử D ∈ R(X) FD = {Fγ }γ∈Γ họ toán tử ban đầu cảm sinh RD = {Rγ }γ∈Γ Cho {γn } ⊂ Γ dãy tùy ý số Khi đó, với số nguyên dương N domDN ta có đẳng thức sau I = Fγ0 + N −1 ∑ Rγ0 Rγk−1 Fγk Dk + Rγ0 RγN −1 DN (2.3) k=1 Hệ 2.1 ([6]) (Công thức Taylor) Nếu D ∈ R(X) F toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD I= N −1 ∑ Rk F Dk + RN DN domDN (N = 1, 2, ) (2.4) k=0 Hệ 2.2 ([6]) Giả sử tất giả thiết định lý 2.1 thỏa mãn Khi đó, với số nguyên dương N ta có ker D = {z = z0 + N N −1 ∑ Rγ0 Rγk−1 zk : z0 , , zN −1 ∈ ker D} k=1 Hệ 2.3 ([6]) Nếu D ∈ R(X) F toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD ker D = {z = N Footer Page 11 of 133 N −1 ∑ k=0 Rk zk : z0 , , zN −1 ∈ ker D} (N = 1, 2, ) Header Page 12 of 133 10 Ví dụ 2.5 ([6]) Với toán tử D = d/dt nghịch đảo phải tương ứng ∫t (Rx)(t) = x(s)ds, a t0 b cố định tùy ý không gian t0 C[a, b], phương pháp quy nạp ta chứng minh ∫t k (R x)(t) = t0 (t − s)k−1 x(s)ds, với x ∈ C[a, b], (k − 1)! (k = 1, 2, ) (2.5) Từ từ công thức Taylor (2.4) ta suy hàm số x ∈ C N [a, b](N = 1, 2, ) biểu diễn dạng x(t) = N −1 ∑ k=0 (t − t0 )k (k) x (t0 ) + RN (t), k! ∫t (t − s)N −1 (N ) RN (t) = x (s)ds t0 (N − 1)! phần dư tích phân thứ N Bây giả sử (N = 1, 2, ) gọi x ∈ C ∞ [a, b] lim RN (t) = 0, với t ∈ [a, b] (2.6) N →∞ ∞ ∑ (t − t0 )k Chuỗi hội tụ gọi Khi ta có x(t) = x (t0 ) k! k=0 chuỗi Taylor Nếu điều kiện (2.6) thỏa mãn ta nói hàm số x(t) khai triển thành chuỗi Taylor khoảng [a, b] Đặc biệt, t0 = điều kiện (2.6) thỏa mãn ta nói hàm số x(t) khai triển thành chuỗi ∞ ∑ tk (k) Maclaurin dạng x(t) = x (0) k! k=0 (k) Ví dụ 2.6 Cho xi , ∈ R với i = 1, 2, , N Hãy xác định đa thức P (x) có bậc không N − thỏa mãn điều kiện P (x1 ) = a1 , P ′ (x2 ) = a2 , P ′′ (x3 ) = a3 , , P (N −1) (xN ) = aN (2.7) ∫x Giải Trong không gian C[a, b] ta đặt D = d/dx, Ri = với i = xi 1, , N − 1, xi ∈ (a, b) Khi toán trở thành: Hãy xác định đa thức P (x) có bậc không N − thỏa mãn điều kiện Fi Di P = ai+1 , i = 1, , N − 1, (Fi P )(x) = P (xi+1 ) toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải Ri ∈ RD Áp dụng công thức Taylor-Gontcharov ta có Footer Page 12 ofP133 (x) = a1 + a2 R1 (x1 , x) + + aN RN −1 (x1 , x2 , , xN −1 , x) (2.8) Header Page 13 of 133 11 Ri (x1 , x2 , , xi , x) =  ∫x    ds1 x1 ∫x ∫s1    ··· x1 x2 với i = 1, s∫ i−1 dsi ds2 ds1 với i = 2, , N − xi Đa thức P (x) nhận từ (2.8) đa thức thỏa mãn (2.7) có tên gọi đa thức nội suy Newton Ví dụ 2.7 Cho x0 , ∈ R với i = 0, 1, , N − Hãy xác định đa thức T (x) có bậc không N − thỏa mãn điều kiện T (x0 ) = a0 , T ′ (x0 ) = a1 , T ′′ (x0 ) = a2 , , T (N −1) (x0 ) = aN −1 Giải Đặt D = d/dx, R = ∫x (2.9) C[a, b] với x0 ∈ (a, b) Khi toán x0 trở thành: Hãy xác định đa thức T (x) có bậc không N − thỏa mãn điều kiện F Di T = , i = 0, 1, , N − 1, (F T )(x) = T (x0 ) toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải R Theo công thức Taylor công thức (2.5) ta có T (x) = N −1 ∑ k=0 ak (x − x0 )k k! (2.10) Đa thức T (x) nhận từ (2.10) đa thức thỏa mãn (2.9) có tên gọi đa thức nội suy Taylor Footer Page 13 of 133 Header Page 14 of 133 12 Chương BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.1 Kết thức phương trình Giả sử D ∈ R(X), dimkerD ̸= 0, Rj ∈ RD Fj ∈ FD toán tử ban đầu D ứng với Rj (j = 0, 1, , M + N − 1) Bài toán biên hỗn hợp thứ toán tử Q[D] có dạng sau: Tìm tất nghiệm phương trình Q[D]x = M ∑ N ∑ Dm Amn Dn x = y, y ∈ X, (3.1) m=0 n=0 M, N ∈ N, Amn ∈ L0 (X), AM N = I, Amn XM +N −n ⊂ Xm (n = 0, 1, , N ; m = 0, 1, , M ; m + n < M + N ); Xj :=domDj , j = 1, 2, , M + N , thỏa mãn điều kiện biên hỗn hợp Fj Dj x = yj , yj ∈ ker D (j = 0, 1, , M + N − 1) (3.2) Định nghĩa 3.1 ([6]) Bài toán (3.1)-(3.2) gọi thiết lập đắn có nghiệm với y ∈ X, y0 , y1 , , yM +N −1 ∈ ker D Định nghĩa 3.2 ([5]) Toán tử A ∈ L(X) gọi khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) Xk với k ∈ N0 cho trước, Xk ⊂ domA, AXk ⊂ Xk tồn RA ∈ RA (tương ứng LA ∈ LA , MA ∈ RA ∩ LA ) cho RA Xk ⊂ Xk (tương ứng LA Xk ⊂ Xk , MA Xk ⊂ Xk ), tức RA ∈ L0 (Xk ) (tương ứng LA ∈ L0 (Xk ), MA ∈ L0 (Xk )) Theo định nghĩa này, A toán tử khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) Xk (k ∈ N) A toán tử khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) Định nghĩa 3.3 ([5])Đặt ′ T = Footer Page 14 of 133 N M ∑ ∑ m=0 n=0 RN RM +N −m−1 Emn Rn RN −1 (3.3) Header Page 15 of 133 13 Emn = A′mn  ′ A0n m = 0, M ∑ A′mn − FM +N −m Dk−m A′kn k=m { m = M, n = N, = Amn trường hợp khác (m = 0, 1, , M ; trường hợp khác (3.4) (3.5) n = 0, 1, , N ) Khi đó, toán tử I + T ′ gọi toán tử giải toán biên hỗn hợp thứ (3.1)-(3.2) 3.2 Điều kiện tồn nghiệm toán biên hỗn hợp thứ Bổ đề 3.1 ([5]) Giả sử D ∈ R(X), dimkerD ̸= 0, Rj ∈ RD Đặt T = T1 = M ∑ N ∑ m=0 n=0 M ∑ N ∑ R0 RM +N −m−1 Emn Dn , (3.6) RN RM +N −m−1 Emn Dn , (3.7) m=0 n=0 Emn xác định (3.4)-(3.5) Khi toán tử I + T khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) XM +N I + T ′ khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) XM Hơn nữa, RT ∈ RI+T (LT ∈ LI+T ) tồn RT ′ ∈ RI+T ′ (LT ′ ∈ LI+T ′ ) cho RT = I − R0 RN −1 RT ′ T1 , LT = I − R0 RN −1 LT ′ T1 , RT ′ = I − T1 RT R0 RN −1 ; LT ′ = I − T1 LT R0 RN −1 ; (I + T )−1 = I − R0 RN −1 (I + T ′ )−1 T1 , (I + T ′ )−1 = I − T1 (I + T )−1 R0 RN −1 Bổ đề 3.2 ([5]) Cho Q[D] T xác định (3.1) (3.6) tương ứng Khi DM +N (I + T ) = Q[D], Fj Dj (I + T ) = Fj Dj (j = 0, 1, , M + N − 1) (3.8) (3.9) Bổ đề 3.3 ([5]) Nếu T ∈ L0 (X) ImT ⊂ XM với M ∈ N0 I + T khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) XM Footer Page 15 of 133.khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) Header Page 16 of 133 14 Bổ đề 3.4 ([5]) Bài toán (3.1)-(3.2) thiết lập đắn I + T khả nghịch XM +N Định lý 3.1 ([5]) Bài toán (3.1)-(3.2) thiết lập đắn toán tử giải I + T ′ khả nghịch Định lý 3.2 ([5], tr 224) Giả sử D ∈ R(X), dimkerD ̸= 0, Rj ∈ RD Fj ∈ FD toán tử ban đầu D ứng với Rj (j = 0, , M + N − 1) Cho T T ′ xác định (3.6) (3.3) tương ứng Khi I + T ′ khả nghịch toán (3.1)-(3.2) thiết lập đắn nghiệm M∑ +N −1 ( ) x = MT R0 RM +N −1 y + y0 + R0 Rj−1 yj , (3.10) j=1 MT = I − R0 RN −1 (I + T ′ )−1 T1 với T1 xác định (3.7) Ví dụ 3.1 Giải phương trình vi phân x′′ + λx′ = 6t với t ∈ [0, 1], x(0) = x0 , x′ (1) = x1 Đây toán biên hỗn hợp thứ toán tử D = d/dt không gian C[0, 1] với toán tử ban đầu (F0 x)(t) = x(0), (F1 x)(t) = ∫t x(1) ứng với nghịch đảo phải theo thứ tự (R0 x)(t) = x(s)ds, (R1 x)(t) = ∫t x(s)ds, Q(D) = D2 + λD = D2 (I + R0 R1 λD) Vì toán tử I + λR1 khả nghịch với λ ∈ R nên toán cho có nghiệm [ ] x = I − R0 R1 (I + λR1 )−1 λD (R0 R1 y + R0 x1 + x0 ) = R0 R1 y + R0 x1 + x0 − λR0 R1 (I + λR1 )−1 (R1 y + x1 ) Với λ ̸= ta có ( 6eλ 6eλ eλ x1 ) −λt eλ x1 6eλ 6eλ x(t) = x0 + − + + t − 2t + − − e λ λ λ λ λ λ2 λ λ Với λ = x(t) = (R0 R1 y + R0 x1 + x0 )(t) = t3 − 3t + x1 t + x0 Ví dụ 3.2 Xét phương trình sai phân yn+2 − 3yn+1 + 2yn = với y1 + y2 + y3 = 14, y2 − y1 = Với y = {yn } ∈ (s), x = {xn } ∈ (s) ta đặt Dy = {yn+1 − yn }, n−1 ∑ R1 x = z = {zn } z1 = 0, zn = xk (n 2), R3 x = t = {tof t1 = − (2x1 + x2 ), tn = n }, Footer Page 16 133 k=1 n−1 ∑ xk − (2x1 + x2 ) (n k=1 2) Header Page 17 of 133 15 Khi R1 , R3 nghịch đảo phải D toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải theo thứ tự (xem ví dụ 2.2,2.4) F1 x = z = {zn } với zn = y1 , n = 1, 2, , x = {xn } F3 x = t = {tn } với tn = (x1 + x2 + x3 ) n = 1, 2, , x = {xn } Với cách đặt phương trình cho viết lại dạng (D2 − D)y = với F3 y = {14/3}, F1 Dy = {2} Và toán trở thành toán biên hỗn hợp thứ toán tử D không gian (s) Do I − R1 khả nghịch nên [ ]( ) y = I + R3 R1 (I − R1 )−1 D R3 {2} + {14/3} Áp dụng công thức (2.2) ta thu yn = 2n nghiệm 3.3 Bài toán giá trị ban đầu Cho Rj = R, Fj = F, j = 0, 1, , M + N − toán (3.1)(3.2) ta thu toán giá trị ban đầu toán tử Q[D]: Tìm tất nghiệm phương trình Q[D]x = M ∑ N ∑ Dm Amn Dn x = y, y ∈ X (3.11) m=0 n=0 thỏa mãn điều kiện ban đầu F D j x = yj , yj ∈ ker D (j = 0, 1, , M + N − 1) (3.12) Định lý 3.3 ([5], tr 195) Cho D ∈ R(X), dimkerD ̸= 0, R ∈ RD F ∈ FD toán tử ban đầu D ứng với R Giả sử Q Q xác định sau Q= Q= M ∑ N ∑ m=0 n=0 N M ∑ ∑ RM −m Bmn RN −n , (3.13) RM +N −m Bmn Dn (3.14) m=0 n=0 Bmn =  Aˆ0n Aˆmn − M ∑ m = 0, F Dk−m Aˆkn trường hợp khác k=m Footer Page 17 of 133 Aˆmn { = Amn m = M, n = N, trường hợp khác (3.15) Header Page 18 of 133 16 (m = 0, 1, , M ; n = 0, 1, , N ) Khi toán tử giải I + Q khả nghịch toán giá trị ban đầu (3.11)-(3.12) thiết lập đắn nghiệm M∑ +N −1 ( M +N ) x = MQ R y+ R j yj , j=0 MQ = I − RN (I + Q)−1 H với H = M ∑ N ∑ RM −m Bmn Dn m=0 n=0 Ví dụ 3.3 Giải phương trình vi phân x′′ + λx′ = 6t với t ∈ [0, T ] (T > 0), x(0) = x0 , x′ (0) = x1 x0 , x1 ∈ R Đây toán giá trị ban đầu toán tử D = d/dt không gian C[0, T ] với toán tử ban đầu (F x)(t) = x(0) ứng với nghịch đảo ∫t phải (Rx)(t) = x(s)ds Q = D2 + λD = D2 (I + R2 λD) Vì toán tử I + λDR = I + λR khả nghịch với λ ∈ R nên toán cho có nghiệm [ ] x = I − R2 (I + λR)−1 λD (R2 y + Rx1 + x0 ) = R2 y + Rx1 + x0 − λR2 (I + λR)−1 (Ry + x1 ) x1 6 ( x1 ) −λt Với λ ̸= x(t) = x0 + + − 2t + t − + e λ λ λ λ λ λ Với λ = x(t) = (R2 y + Rx1 + x0 )(t) = t3 + x1 t + x0 Ví dụ 3.4 Xét phương trình sai phân yn+1 − 15yn = −14n + với y3 = 228 Với y3 = 225 y1 = Trong không gian (s) với y = {yn } ∈ (s) ta đặt Dy = D{yn } = {yn+1 − yn }, Ry = x = {xn }, n−1 ∑ x1 = 0, xn = xk Khi toán cho trở thành toán giá k=1 trị ban đầu cho toán tử D không gian (s) với toán tử ban đầu F y = {zn } với zn = y1 , n = 1, 2, ứng với nghịch đảo phải R Q = D − 14 = D(I − 14R) Do I − 14R khả [nghịch nên toán]đã cho có nghiệm cho y = (I − 14R)−1 R{−14n + 1} + {2} Theo công thức (2.2) ta thu yn = 15n−1 + n nghiệm toán cho Footer Page 18 of 133 Header Page 19 of 133 17 KẾT LUẬN Kết Trong thời gian vừa qua, cố gắng nổ lực thân, hoàn thành luận văn với vấn đề giải sau: - Tìm hiểu khai thác phép tính toán tử khả nghịch phải làm sở cho việc tự nghiên cứu sau lĩnh vực giải toán biên không gian tuyến tính Qua thấy toán tử đạo hàm, toán tử sai phân, toán tử đạo hàm riêng, giải tích toán tử khả nghịch phải - Ứng dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải công thức TaylorGontcharov việc giải toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân trường hợp riêng toán giá trị ban đầu Hướng phát triển đề tài: Đề tài nghiên cứu cách chi tiết mặt lý thuyết bước đầu thu kết sử dụng tính chất toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor-Gontcharov để tìm điều kiện tồn nghiệm toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân Đề tài có khả ứng dụng nữa, cụ thể tiếp tục hoàn chỉnh để thành chuyên đề chuyên sâu lĩnh vực phương trình vi phân Footer Page 19 of 133 Header Page 20 of 133 18 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXBGD [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các toán nội suy áp dụng, NXBGD [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXBGD [4] Nguyễn Duy Thuận (2003), Đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm Tiếng nước [5] Nguyen Van Mau (2005), Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Spaces, Vietnam National University Publishers, Hanoi [6] Przeworska-Rolewicz D (1988), Algebraic Analysis, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa, D Reidel Publishing Company [7] Przeworska-Rolewicz D (1973), Equations With Transformed Argument An algebraic approach, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa [8] Przeworska-Rolewicz D (1968), Equations in Linear Spaces, PWNPolish Scientific Publishers, Warszawa [9] Fikhtengol’ts G.M (2003), Courses in Differential and Integral Calculus, Tom I, (in Russian), Moscow Footer Page 20 of 133  ... toán tử ban đầu phương trình vi phân với điều kiện biên hỗn hợp thứ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu toán nội suy Newton toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân trừu tượng Phương pháp nghiên cứu:... thức T (x) nhận từ (2.10) đa thức thỏa mãn (2.9) có tên gọi đa thức nội suy Taylor Footer Page 13 of 133 Header Page 14 of 133 12 Chương BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI. .. khả nghịch phải - Ứng dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải công thức TaylorGontcharov vi c giải toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân trường hợp riêng toán giá trị ban đầu Hướng phát triển