Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân và phương trình vi tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ NGÔ QUỐC TUẤN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ NGÔ QUỐC TUẤN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội - Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Ngô Quốc Tuấn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong thực đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phương trình vi tích phân” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Ngô Quốc Tuấn Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 1.2 Số gần 1.3 Sai số 1.4 Tổ hợp lồi 1.5 Khái niệm phương trình vi phân 1.5.1 Khái niệm phương trình vi phân thường 1.5.2 Bài toán Cauchy phương trình vi phân cấp n PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI 11 2.1 Khái niệm phương pháp nhiễu đồng luân 11 2.2 Phương pháp giải 14 2.3 Ví dụ 15 2.4 Bài tập áp dụng 23 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LOẠI 24 3.1 Giới thiệu phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra 24 3.2 Phương pháp giải 25 3.3 Ví dụ 27 3.4 Bài tập áp dụng 44 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết phương trình lĩnh vực rộng lớn toán học nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân đóng vai trò quan trọng Các kết lĩnh vực tìm nhiều ứng dụng vật lí, hóa học, sinh học ngành nghiên cứu mô hình kinh tế, quân sự, tình báo số ngành khác Chúng ta biết rằng, có số phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân tìm nghiệm xác, phần lớn phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân nảy sinh từ toán thực tiễn không tìm nghiệm xác Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà toán học tìm nhiều phương pháp để giải gần chúng Chính lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu : “Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trinh vi phân phương trình vi – tích phân” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức ứng dụng giải toán đại học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu khái quát kiến thức bản, nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trinh vi phân, phương trình vi – tích Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán phân Phương pháp nghiên cứu +Phương pháp nghiên cứu lí luận +Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Nội dung Luận văn gồm ba chương Chương " Kiến thức chuẩn bị." Chương nhắc lại số kiến thức chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, số gần đúng, sai số, tổ hợp lồi, khái niệm phương trình vi phân Chương "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai." Mục đích chương giới thiệu phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai, số ví dụ áp dụng Chương "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2." Mục đích chương giới thiệu phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2, số ví dụ áp dụng Khóa luận trình bày sở tài liệu tham khảo liệt kê phần Tài liệu tham khảo Đóng góp em thể chỗ, áp dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình, tìm ví dụ minh họa cho phương trình Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, số gần đúng, sai số, tổ hợp lồi, khái niệm phương trình vi phân 1.1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa Định nghĩa Chuỗi hàm Cho dãy hàm {un } xác định tập U ⊂ R Chuỗi hàm tổng hình thức ∞ u1 (x) + u2 (x) + + un (x) + = un (x) (1.1) n=1 ∞ Nếu x0 ∈ U chuỗi số un (x0 ) hội tụ ta nói x0 điểm hội tụ n=1 ∞ un (x0 ) phân kì ta nói chuỗi hàm (1.1) chuỗi hàm (1.1), n=1 phân kì x0 Tập hợp tất điểm hội tụ chuỗi hàm gọi miền hội tụ chuỗi hàm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Giả sử A miền hội tụ chuỗi hàm (1.1), với x ∈ A ∞ un (x) có tổng S(x) Như chuỗi n=1 ∞ un (x), ∀x ∈ A S(x) = (1.2) n=1 Định nghĩa Chuỗi Taylor Cho tập hợp mở U ⊂ R Giả sử hàm f : U → R khả vi đến cấp n lân cận x0 ∈ U f (n) (x) liên tục x0 Khi với x lân cận nói x0 ta có f (x) = f (x0 ) + f (n) (x0 ) f (x0 ) (x − x0 ) + + (x − x0 )n + o((x − x0 )n ) 1! n! Công thức gọi công thức Taylor hàm f (x) điểm x0 Nếu x0 = chuỗi f (0) f (n) (0) n f (0) = f (0) + x + + x + 1! n! gọi chuỗi khai triển Mac – Laurin hàm f (x) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Giải (3.30) ta thu được:  a=1 b=0 Vì vậy, nghiệm gần Ví dụ dễ dàng thu u(x) = g(x) = + x + x 4! 8! (3.31) ∞ Trong thực tế, tất số hạng dãy g(x) = (x) n=0 xác định nghiệm xấp xỉ tổng riêng chuỗi có dạng m−1 ϕm (x) = vm (x) n=0 Với g(x) = lim ϕm (x), m→∞ (3.32) Kết so sánh nghiệm xác nghiệm phương pháp nhiễu đồng luân thể bảng hình 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Bảng 2: Kết Ví dụ x Nghiệm xác PP nhiễu đồng luân Sai số 1 0.04 1.000800107 1.000000107 0.000800000 0.08 1.003201707 1.000001707 0.003200000 0.12 1.007208644 1.00000864 0.007200004 0.16 1.01282733 1.000027307 0.012800023 0.2 1.020066756 1.000066667 0.020000089 0.24 1.028938506 1.00013824 0.028800266 0.28 1.039456777 1.000256108 0.039200669 0.32 1.051638401 1.000436909 0.051201492 0.36 1.06550287 1.000699847 0.064803023 Hình 2: Các kết u(x) phương trình (3.20) với phương pháp nhiễu đồng luân với nghiệm xác 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Ví dụ Xét phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp với nghiệm xác u(x) = + ex x u (x) = + x − 2x2 + (x − t)u(t)dt, (3.33) u(0) = 5; u (0) = 1, u (0) = (3.34) Đặt F (u) = u (x) − f (x), với f (x) = −1 − x + 2x2 Để giải (3.33) phương pháp nhiễu đồng luân xác định đồng luân lồi sau cần điều kiện ban đầu v0 (x) = a + bx + cx2 Do đó, chọn đồng luân lồi có dạng H(u, p) = (1 − p)[u (x) − − x + 2x2 ] x + p[u (x) − − x + 2x2 − (x − t)u(t)dt] = (3.35) Thay (3.5) vào (3.35) ta thu được: (1 − p)[v0 + pv1 + p2 v2 + − − x + 2x2 ] +p[v0 + pv1 + p2 v2 + − − x + 2x2 ] x (x − t)(v0 (t) + pv1 (t) + p2 v2 (t) + )dt] = −p ⇔ v0 + pv1 + p2 v2 − − x + 2x2 x (x − t)(v0 (t) + pv1 (t) + p2 v2 (t))dt = −p 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Cân hệ số lũy thừa bậc p ta có: p0 : v0 (x) = + x − 2x2 (3.36) x p1 : v1 (x) = (x − t)v0 (t)dt (3.37) (x − t)v1 (t)dt (3.38) x p2 : v2 (x) = Nghiệm phương trình (3.36) – (3.38) viết sau: v0 (x) = a + bx + cx2 , b c a x + x + x, 120 720 2520 a b v2 (x) = x8 + x9 , 40320 362880 v1 (x) = (3.39) (3.40) (3.41) Nghiệm phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra , p → g (x) = v0 (x) + v1 (x) + v2 (x) ⇒ g(x) = a + bx + cx2 + + a b c x + x + x 120 720 2520 a b c x10 + x11 + x12 3628800 39916800 239500800 36 (3.42) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Thay điều kiện biên phương trình (3.33) vào g (x) , ta có:    g(0) = a =   (3.43) g (0) = b =     g (0) = 2c = Giải (3.43) ta thu được:   a=5    b=1    c=1 Vì vậy, nghiệm gần Ví dụ dễ dàng thu 1 1 10 x u(x) = g(x) = + x + x2 + x5 + x6 + x7 + 6! 7! 10! 11 12 + x + x 11! 12! (3.44) ∞ Trong thực tế, tất số hạng dãy g(x) = (x) n=0 xác định nghiệm xấp xỉ tổng riêng chuỗi có dạng m−1 ϕm (x) = vm (x) n=0 Với g(x) = lim ϕm (x), m→∞ (3.45) Kết so sánh nghiệm xác nghiệm phương pháp nhiễu đồng luân thể bảng hình 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Bảng 3: Kết Ví dụ x Nghiệm xác PP nhiễu đồng luân Sai số 5 0.04 5.040810774 5.040800026 0.000010749 0.08 5.083287068 5.08320082 0.000086248 0.12 5.127496852 5.127206225 0.000290627 0.16 5.173510871 5.172826238 0.000684633 0.2 5.221402758 5.220080091 0.001322667 0.24 5.27124915 5.26899934 0.002249810 0.28 5.323129812 5.319630955 0.003498857 0.32 5.377127764 5.37204042 0.005087344 0.36 5.433329415 5.426314833 0.007014581 Hình 3: Các kết u(x) phương trình (3.33) với phương pháp nhiễu đồng luân với nghiệm xác 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Ví dụ Xét phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp với nghiệm xác u(x) = + x + ex x 1 u(4) (x) = + x − x2 − x3 + 2! 3! (x − t)u(t)dt, (3.46) u(0) = u (0) = 2, u (0) = u (0) = (3.47) x − x 2! 3! Để giải (3.46) phương pháp nhiễu đồng luân xác định đồng Đặt F (u) = u(4) (x) − f (x) , với f (x) = + x − luân lồi sau cần điều kiện ban đầu v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 Do đó, chọn đồng luân lồi có dạng H(u, p) = (1 − p)[u(4) (x) − − x + x + x] 2! 3! x 1 + p[u(4) (x) − − x + x2 + x3 − 2! 3! (x − t)u(t)dt] = 0 (3.48) Thay (3.5) vào (3.48) ta thu được: (4) x + x] 2! 3! 1 (4) (4) (4) + p[v0 + pv1 + p2 v2 + − − x + x2 + x3 ] 2! 3! (4) (4) (1 − p)[v0 +pv1 + p2 v2 + − − x + x (x − t)(v0 (t) + pv1 (t) + p2 v2 (t) + )dt] = −p 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học (4) (4) Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán (4) ⇔ v0 + pv1 + p2 v2 − − x + x + x 2! 3! x (x − t)(v0 (t) + pv1 (t) + p2 v2 (t))dt = −p Cân hệ số lũy thừa bậc p ta có: (4) p0 : v0 (x) = + x − x − x 2! 3! (3.49) x (4) p1 : v1 (x) = (x − t)v0 (t)dt (3.50) (x − t)v1 (t)dt (3.51) x (4) p2 : v2 (x) = Nghiệm phương trình (3.49) – (3.51) viết sau: v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 , v1 (x) = v2 (x) = a b c d x + x + x8 + x9 , 720 5040 20160 60480 b c a x12 + x13 + x14 479001600 6227020800 43589145600 d + x15 , 217945728000 (3.52) (3.53) (3.54) Nghiệm phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra , p → 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán g (x) = v0 (x) + v1 (x) + v2 (x) ⇒ g(x) = a + bx + cx2 + dx3 + a x 720 b c d a x + x8 + x9 + x12 5040 20160 60480 479001600 b c d + x13 + x14 + x15 6227020800 43589145600 217945728000 (3.55) + Thay điều kiện biên phương trình (3.46) vào g (x) , ta có:    g(0) = a =      g (0) = b =   g (0) = 2c =      g (0) = 6d = (3.56) Giải (3.56) ta thu được:   a=2      b=2  c = 0.5      d=1 Vì vậy, nghiệm gần Ví dụ dễ dàng thu u(x) = g(x) = + 2x + x + x + x + x + x + x 2! 3! 6! 7! 8! 9! 12 13 14 15 + x + x + x + x 12! 13! 14! 15! (3.57) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán ∞ Trong thực tế, tất số hạng dãy g(x) = (x) n=0 xác định nghiệm xấp xỉ tổng riêng chuỗi có dạng m−1 ϕm (x) = vm (x) n=0 Với g(x) = lim ϕm (x), (3.58) m→∞ Kết so sánh nghiệm xác nghiệm phương pháp nhiễu đồng luân thể bảng hình Bảng 4: Kết Ví dụ x Nghiệm xác PP nhiễu đồng luân Sai số 2 0.04 2.080810774 2.080810667 0.000000107 0.08 2.163287068 2.163285334 0.000001734 0.12 2.247496852 2.247488008 0.000008844 0.16 2.333510871 2.333482714 0.000028157 0.2 2.421402758 2.421333516 0.000069242 0.24 2.51124915 2.511104549 0.000144601 0.28 2.603129812 2.60286006 0.000269752 0.32 2.697127764 2.696664455 0.000463309 0.36 2.793329415 2.792582365 0.00074705 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Hình 4: Các kết u(x) phương trình (3.46) với phương pháp nhiễu đồng luân với nghiệm xác 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Bài tập áp dụng Giải phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp với nghiệm xác u(x) = ex + x x u (x) = 2+x + x + 3! (x − t)u(t)dt, u(0) = Giải phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp với nghiệm ex − e−x xác u(x) = x (x − t)u(t)dt, u (x) = x + u(0) = 0, u (0) = Giải phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp với nghiệm ex + e−x xác u(x) = x (x − t)u(t)dt, u (x) = x + u(0) = 1, u (0) = 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán Giải phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp với nghiệm xác u(x) = ex − x x u (x) = + x + x3 + 3! (x − t)u(t)dt, u(0) = 1; u (0) = 0; u (0) = Giải phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cấp với nghiệm xác u(x) = xex x e2(x−t) u(t)dt, u(4) (x) = 3ex + e2x − u(0) = 1; u (0) = 1; u (0) = 2, u (0) = Kết luận Chương Nội dung Chương nêu số kiến thức Giới thiệu phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2 Phương pháp giải Ví dụ Bài tập áp dụng 45 Kết luận Dựa tài liệu tham khảo luận văn trình bày số vấn đề sau Một số kiến thức chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, số gần đúng, sai số, tổ hợp lồi, khái niệm phương trình vi phân thường Phương pháp nhiễu đồng luân, phương trình vi phân phi tuyến cấp hai, số ví dụ áp dụng Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2, ví dụ áp dụng Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phương trình vi - tích phân nhiều điều mẻ nhiều câu hỏi mở chưa trình bày khóa luận Cuối cùng, có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Em mong góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! 46 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2005), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2006), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] G.A Afrouzi, D D Ganji, H Hosseinzadeh, R.A.Talarposhti (2011), Fourth order Volterra integro-differential equations using modified homotopy-perturbation method, Mazandaran University, Babolsar, Iran [5] Ji-Huan He (2006), New interpretation of homotopy perturbation Method, Donghua University, China 47 ... khái niệm phương trình vi phân Chương "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai." Mục đích chương giới thiệu phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phi... lồi Khái niệm phương trình vi phân 10 Chương PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI Chương trình bày phương pháp nhiễu đồng luân, phương trình vi phân phi tuyến... áp dụng Chương "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2." Mục đích chương giới thiệu phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân