Một số phương pháp giải phương trình vi - tích phân Volterra

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐÀO THỊ TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN VOLTERRA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐÀO THỊ TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN VOLTERRA Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.T.S KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trong thời gian học trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy cô giáo, học hỏi tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tốt, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Giải tích trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt trưởng thành ngày hôm Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo KHUẤT VĂN NINH, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho thời gian thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên ĐÀO THỊ TRANG i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung mà trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt thầy KHUẤT VĂN NINH Những nội dung không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên ĐÀO THỊ TRANG ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu iv Danh mục kí hiệu chữ viết tắt vi Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Một số khái niệm giải tích 1.1.1 Tích phân xác định Phép nội suy 1.2.1 Đa thức nội suy Lagrange 1.2.2 Sai phân tính chất Biến đổi Laplace 1.3.1 Biến đổi Laplace 1.3.2 Tính chất biến đổi Laplace 1.3.3 Bảng số biến đổi Laplace đơn giản 10 Phương pháp giải tích giải phương trình vi - tích phân Volterra 11 2.1 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 11 2.1.1 11 Phương pháp phân tích Adomian i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang 2.1.2 Phương pháp biến đổi Laplace 14 2.1.3 Phương pháp chuỗi lũy thừa 18 2.1.4 Chuyển phương trình vi - tích phân Volterra thành toán giá trị ban đầu phương trình vi phân 2.1.5 2.2 2.3 21 Chuyển phương trình vi - tích phân thành phương trình tích phân Volterra 24 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 26 2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 26 Bài tập áp dụng 28 Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân Volterra 30 3.1 3.2 Các phương pháp áp dụng giải phương trình vi - tích phân Volterra 30 3.1.1 Tính gần tích phân 30 3.1.2 Phương pháp Euler 32 Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra 3.2.1 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 3.2.2 33 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 3.3 33 47 Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra 53 3.3.1 Phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra loại 53 3.3.2 Phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra loại 64 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 đào thị trang Bài tập áp dụng Kết luận 77 Tài liệu tham khảo Footer Page of 161 76 77 iii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học chiếm vị trí quan trọng Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Nói đến toán học ứng dụng không nói đến giải tích số Đó môn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm, toán tối ưu Nhiều toán sống, kinh tế, khoa học kỹ thuật dẫn tới việc nghiên cứu phương trình dạng sau: Ax = y (A: toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y ) Phương trình có dạng gọi phương trình toán tử Trong lớp toán phương trình toán tử, phương trình vi - tích phân Volterra giữ vị trí quan trọng Được hướng dẫn tận tình PGS.T.S Khất Văn Ninh, chọn đề tài: "Một số phương pháp giải phương trình vi - tích phân Volterra" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình vi - tích phân Volterra sở lý thuyết phương pháp giải gần phương trình Sau áp dụng vào phương trình vi - tích phân Volterra Cuối ví dụ cụ thể áp dụng phương pháp để giải phương trình vi - tích phân Volterra Footer Page of 161 iv Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết phương pháp để giải tập phương trình vi - tích phân Volterra + Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện thời gian, nghiên cứu số tập phương trình vi - tích phân Volterra Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương pháp giải tích giải phương trình vi - tích phân Volterra Chương 3: Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân Volterra Hà Nội, ngày 27/08/2016 Tác giả khóa luận ĐÀO THỊ TRANG Footer Page of 161 v Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclid n chiều ∅ tập rỗng x∈M x thuộc tập M x∈ /M x không thuộc tập M ∀ x ∈ M với x thuộc tập M ∃x x |x| tồn x chuẩn x giá trị tuyệt đối x Footer Page 10 of 161 vi Header Page 74 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Ta có bảng (3.6) sau để đánh giá độ xác lời giải i xi ui u(xi ) 0 0 0,1 0,1 1, 745.10−3 0,0983 0,2 0,2 3, 49.10−3 0,1965 0,3 0,2999 5, 23.10−3 0,2947 0,4 0,3998 6, 98.10−3 0,3928 0,5 0,4997 8, 73.10−3 0,4909 0,6 0,5999 0,0105 0,5894 0,7 0,7044 0,0122 0,6922 0,8 0,8095 0,0140 0,7955 0,9 0,9157 0,0157 0,9 0,0175 1,006 10 1,0235 u(xi ) Bảng 3.6: đó: u(xi ) giá trị xác nghiệm điểm x = xi , ui giá trị xấp xỉ nghiệm điểm x = xi , u(xi ) = |u(xi ) − ui | 3.3.2 Phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra loại I Định nghĩa Phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra loại có dạng x x K2 (x, t)u(n) (t)dt = f (x), K1 (x, t).F (u(t))dt + 0 (n−1) u(0) = a0 , , u (0) = an−1 Trong đó: K1 (x, t), K2 (x, t) hạch, điều kiện ban đầu cho trước Footer Page 74 of 161 64 Header Page 75 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang II Các ví dụ giải phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra loại Ví dụ 1: Giải phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra x x 1 (x−t)u2 (t)dt+ (x−t).u (t)dt = + x2 −cosx+ cos(2x), u(0) = 8 0 Bài làm Cho x ∈ [0, 1], h = 0, Chia đoạn [0, 1] thành 10 phần x0 = 0; x1 = 0, 1; x2 = 0, 2; x3 = 0, 3; x4 = 0, 4; x5 = 0, 5; x6 = 0, 6; x7 = 0, 7; x8 = 0, 8; x9 = 0, 9; x10 = Thay x xi vào phương trình ban đầu ta xi xi (xi − t)u (t)dt + (xi − t).u (t)dt = 0 + xi − cosxi + cos(2xi ), 8 đặt Gi (xi , ui ) = (xi − t)u (t)dt, gi (t) = (xi − t)u2 (t) xi gi (xi−1 ) + gi (xi ) Áp dụng công thức hình thang: h gi (t)dt = xi−1 • Từ điều kiện ban đầu: u0 = u(0) = • Cho i = ta có x1 x1 (x1 −t)u (t)dt+ 0 1 (x1 −t).u (t)dt = + x21 −cosx1 + cos(2x1 ) 8 Tính x1 0,1 g1 (0) + g1 (0, 1) 0, = 0 x1 0,1 G1 (0) + G1 (0, 1) I2 = (x1 − t)u (t)dt = G1 (t)dt = 0, 0 0, 1.u (0) u1 − u0 0, = 0, = 0, 12 = u1 2 Khi I1 = (x1 − t)u (t)dt = Footer Page 75 of 161 g1 (t)dt = 65 Header Page 76 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang 0, 1 u1 = + 0, 12 − cos0, + cos(2.0, 1) 8 Suy : u1 = 0, 00500 • Cho i = ta có x2 x2 (x2 −t)u2 (t)dt+ 0 1 (x2 −t).u (t)dt = + x22 −cosx2 + cos(2x2 ) 8 Tính x2 0,2 (x2 − t)u (t)dt = I1 = = 0,1 g2 (t)dt = 0,2 g2 (t)dt + g2 (t)dt 0,1 g2 (0, 1) + g2 (0, 2) g2 (0) + g2 (0, 1) 0, + 0, = 2, 5020.10−5 2 x2 0,2 (x2 − t)u (t)dt = I2 = G2 (t)dt G2 (0, 1) + G2 (0, 2) G2 (0) + G2 (0, 1) 0, + 0, = 0, 1u2 − 0, 1u1 , 2 u1 − u0 u2 − u1 đó: u (0) = , u (0, 1) = 0, 0, Khi 1 2, 50.10−5 + 0, 1u2 − 0, 1u1 = + 0, 22 − cos0, + cos(2.0, 2) = 8 0, 010 = Suy ra: u2 = 0, 09978 • Cho i = ta có x3 x3 1 (x3 −t).u (t)dt = + x23 −cosx3 + cos(2x3 ) 8 0 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta (x3 −t)u (t)dt+ tính I1 = 1, 496.10−4 I2 = −0, 05u1 + 0, 1u2 + 0, 1u3 Khi 1 1, 49.10−4 −0, 05u1 +0, 1u2 +0, 1u3 = + 0, 32 −cos0, 3+ cos(2.0, 3) = 8 0, 022 Footer Page 76 of 161 66 Header Page 77 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Suy ra: u3 = 0, 14873 • Cho i = ta có x4 x4 1 (x4 −t).u (t)dt = + x24 −cosx4 + cos(2x4 ) 8 0 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta (x4 −t)u (t)dt+ tính I1 = 4, 9539.10−4 I2 = 0, 0198 + 0, 1u4 Khi 4, 95.10−4 + 0, 0198 + 0, 1u4 = 1 + 0, 42 − cos0, + cos(2.0, 4) = 8 0, 0400 Suy ra: u4 = 0, 19717 • Cho i = ta có x5 x5 (x5 −t).u (t)dt = + x25 −cosx5 + cos(2x5 ) 8 0 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta (x5 −t)u (t)dt+ tính I1 = 1, 2299.10−3 I2 = 0, 03706 + 0, 1u5 Khi ta có 1 1, 22.10−3 + 0, 03706 + 0, 1u5 = + 0, 52 − cos0, + cos(2.0, 5) = 8 0, 0625 Suy ra: u5 = 0, 24229 • Cho i = ta có x6 x6 (x6 −t).u (t)dt = + x26 −cosx6 + cos(2x6 ) 8 0 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta (x6 −t)u (t)dt+ tính Footer Page 77 of 161 67 Header Page 78 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang I1 = 2, 5515.10−3 I2 = 0, 0687 + 0, 1u6 Khi 1 + 0, 62 − cos0, + cos(2.0, 6) = 8 2, 55.10−3 + 0, 0687 + 0, 1u6 = 0, 09003 Suy ra: u6 = 0, 18778 • Cho i = ta có x7 x7 (x7 −t).u (t)dt = + x27 −cosx7 + cos(2x7 ) 8 0 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta (x7 −t)u (t)dt+ tính I1 = 4, 2257.10−3 I2 = 0, 07507 + 0, 1u7 Khi 4, 22.10−3 + 0, 07507 + 0, 1u7 = 1 + 0, 72 − cos0, + cos(2.0, 7) = 8 0, 12254 Suy ra: u7 = 0, 43246 • Cho i = ta có x8 x8 (x8 −t).u (t)dt = + x28 −cosx8 + cos(2x8 ) 8 0 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta (x8 −t)u (t)dt+ tính I1 = 7, 7698.10−3 I2 = 0, 11581 + 0, 1u8 Khi 7, 76.10−3 + 0, 11581 + 0, 1u8 = 1 + 0, 82 − cos0, + cos(2.0, 8) = 8 0, 160049 Suy ra: u8 = 0, 36469 Footer Page 78 of 161 68 Header Page 79 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang • Cho i = ta có x9 x9 1 (x9 −t).u (t)dt = + x29 −cosx9 + cos(2x9 ) 8 0 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta (x9 −t)u (t)dt+ tính I1 = 0, 01264 I2 = 0, 14978 + 0, 1u9 Khi 0, 01264 + 0, 14978 + 0, 1u9 = + 0, 92 − cos0, + cos(2.0, 9) = 8 0, 20256 Suy ra: u9 = 0, 40142 • Cho i = 10 ta có x10 x10 (x10 − t)u (t)dt + (x10 − t).u (t)dt = + x − cosx10 + 10 cos(2x10 ) Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 0192 I2 = 0, 18742 + 0, 1u10 Khi 1 0, 0192 + 0, 18742 + 0, 1u10 = + 12 − cos1 + cos(2.1) = 0, 25007 8 Suy ra: u10 = 0, 43456 Áp dụng phương pháp giải tích ta tìm phương trình vi - tích phân Volterra loại có nghiệm xác u(x) = sinx Ta có bảng (3.7) sau để đánh giá độ xác lời giải Footer Page 79 of 161 69 Header Page 80 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang i xi ui u(xi ) 0 0 0,1 0,05002 u(xi ) −3 1, 745.10 −3 0,04828 0,2 0,09978 3, 49.10 0,09629 0,3 0,14873 5, 23.10−3 0,14349 −3 0,4 0,19717 6, 98.10 0,19019 0,5 0,24229 8, 73.10−3 0,23365 0,6 0,187785 0,0105 0,17731 0,7 0,43242 0,0122 0,42025 0,8 0,36469 0,0140 0,35073 0,9 0,40142 0,0157 0,38571 10 0,43456 0,0175 0,41711 Bảng 3.7: đó: u(xi ) giá trị xác nghiệm điểm x = xi , ui giá trị xấp xỉ nghiệm điểm x = xi , u(xi ) = |u(xi ) − ui | Ví dụ 2: Giải phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra sau x x −15 2 + x + cos2x − cos2 x, (x − t)u (t)dt + (x − t)u (t)dt = 16 16 0 u(0) = 1, u (0) = Bài làm Cho x ∈ [0, 1], h = 0, Chia đoạn [0,1] thành 10 phần x0 = 0; x1 = 0, 1; x2 = 0, 2; x3 = 0, 3; x4 = 0, 4; x5 = 0, 5; x6 = 0, 6; x7 = 0, 7; x8 = 0, 8; x9 = 0, 9; x10 = Thay x xi vào phương trình ban đầu ta xi xi −15 2 (xi − t)u (t)dt + (xi − t).u (t)dt = + xi + cos2xi − cos2 xi 16 16 0 Footer Page 80 of 161 70 Header Page 81 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Đặt Gi (xi , ui ) = (xi − t)u (t)dt, gi (t) = (xi − t)u2 (t) xi gi (t)dt = Áp dụng công thức hình thang: xi−1 gi (xi−1 ) + gi (xi ) h • Từ điều kiện ban đầu: u0 = u(0) = u1 − u0 u (0) = , suy u1 = h • Cho i = ta có x1 x1 (x1 − t)u (t)dt + (x1 − t).u (t)dt = cos2 x1 16 Tính x1 0,1 g1 (t)dt = 5.10−3 (x1 − t)u (t)dt = I1 = 0 0,1 x1 (x1 − t)u (t)dt = I2 = −15 + x1 + cos2x1 − 16 G1 (t)dt = 0 0, 1.u (0) u2 − 0, = , 2 u2 − 2u1 + u0 đó: u (0) = h2 Khi u2 − −15 5.10−3 + = + x1 + cos2x1 − cos2 x1 = 2, 4947.10−3 16 16 Suy ra: u2 = 0, 99499 • Cho i = ta có x2 x2 (x2 − t)u (t)dt + 0 cos2 x2 16 Tính x2 (x2 − t).u (t)dt = 0,2 (x2 − t)u (t)dt = I1 = g2 (t)dt = 0, 02 0,2 x2 (x2 − t)u (t)dt = I2 = −15 + x2 + cos2x2 − 16 u (i) = Footer Page 81 of 161 ui+2 − 2ui+1 h2 G2 (t)dt = −0, 99499 + u3 , + ui 71 Header Page 82 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Khi 0, 02−0, 99499+u3 = −15 + x2 +cos2x2 − cos2 x2 = 9, 9787.10−3 16 16 Suy ra: u3 = 0, 98497 • Cho i = ta có x3 x3 (x3 − t)u (t)dt + (x3 − t).u (t)dt = −15 + x3 + cos2x3 − 16 cos2 x3 16 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 0249 I2 = −0, 9925 + u4 , đó: u (i) = ui+2 − 2ui+1 + ui h2 Khi 0, 02491 − 0, 9925 + u4 = −15 + x3 + cos2x3 − cos2 x3 = 0, 02245 16 16 Suy ra: u4 = 0, 99004 • Cho i = ta có x4 x4 (x4 − t)u (t)dt + (x4 − t).u (t)dt = −15 + x4 + cos2x4 − 16 cos2 x4 16 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 07950 I2 = −0, 98998 + u5 , đó: u (i) = ui+2 − 2ui+1 + ui h2 Khi 0, 07950 − 0, 98998 + u5 = −15 + x4 + cos2x4 − cos2 x4 = 0, 0399 16 16 Suy ra: u5 = 0, 95037 Footer Page 82 of 161 72 Header Page 83 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang • Cho i = ta có x5 x5 (x5 − t)u (t)dt + (x5 − t).u (t)dt = −15 + x5 + cos2x5 − 16 cos2 x5 16 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 12391 I2 = −0, 98748 + u6 , đó: u (i) = ui+2 − 2ui+1 + ui h2 Khi 0, 12391 − 0, 98748 + u6 = −15 + x5 + cos2x5 − cos2 x5 = 0, 0623 16 16 Suy ra: u6 = 0, 93337 • Cho i = ta có x6 x6 (x6 − t)u (t)dt + (x6 − t).u (t)dt = −15 + x6 + cos2x6 − 16 cos2 x6 16 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 17407 I2 = −0, 98497 + u7 , đó: u (i) = ui+2 − 2ui+1 + ui h2 Khi 0, 17407 − 0, 98497 + u7 = −15 + x6 + cos2x6 − cos2 x6 = 0, 0898 16 16 Suy ra: u7 = 0, 9007 • Cho i = ta có x7 x7 (x7 − t)u (t)dt + cos2 x7 16 Footer Page 83 of 161 (x7 − t).u (t)dt = 73 −15 + x7 + cos2x7 − 16 Header Page 84 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 23951 I2 = −0, 9825 + u8 , đó: u (i) = ui+2 − 2ui+1 + ui h2 Khi −15 + x7 + cos2x7 − cos2 x7 = 0, 12224 16 16 0, 23951 − 0, 9825 + u8 = Suy ra: u8 = 0, 86523 • Cho i = ta có x8 x8 (x8 − t)u (t)dt + (x8 − t).u (t)dt = −15 + x8 + cos2x8 − 16 cos2 x8 16 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 30449 I2 = −0, 97996 + u9 , đó: u (i) = ui+2 − 2ui+1 + ui h2 Khi 0, 30449−0, 97996+u9 = −15 + x8 +cos2x8 − cos2 x8 = 0, 15966 16 16 Suy ra: u9 = 0, 83513 • Cho i = ta có x9 x9 (x9 − t)u (t)dt + (x9 − t)u (t)dt = −15 + x9 + cos2x9 − 16 cos2 x9 16 Áp dụng công thức hình thang thực tương tự ta tính I1 = 0, 3875 Footer Page 84 of 161 74 Header Page 85 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học đào thị trang I2 = −0, 977455 + u10 , đó: u (i) = ui+2 − 2ui+1 + ui h2 Khi 0, 3875−0, 977455+u10 = −15 + x9 +cos2x9 − cos2 x9 = 0, 20207 16 16 Suy : u10 = 0, 79202 Áp dụng phương pháp giải tích ta tìm phương trình vi - tích phân Volterra loại có nghiệm xác u(x) = cos2x Ta có bảng (3.8) sau để đánh giá độ xác lời giải i xi ui u(xi ) 0 1 0,1 0,99999 7.10−6 0,2 0,99499 0,99997 4, 98.10−3 0,3 0,98497 0,99994 0,015 0,4 0,99004 0,99990 9, 8.10−3 0,5 0,95038 0,99998 0,049 0,6 0,93337 0,99978 0,066 0,7 0,99970 0,099 0,8 0,86523 0,99961 0,134 0,9 0,83513 0,99951 0,164 10 0,9007 0,79202 0,99939 u(xi ) 0,207 Bảng 3.8: đó: u(xi ) giá trị xác nghiệm điểm x = xi , ui giá trị xấp xỉ nghiệm điểm x = xi , u(xi ) = |u(xi ) − ui | Footer Page 85 of 161 75 Header Page 86 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 đào thị trang Bài tập áp dụng Giải phương trình vi - tích phân Volterra sau x (x − t)u(t)dt, u(0) = 1.u (x) = + 4x + x 2.u (x) = (1 − x ) − sinx + (x − t)(1 − u2 (t))dt, u(0) = x −1 (1 − 2x + x ) − cosx + (x − t)(1 − u2 (t))dt, u(0) = 3.u (x) = x x −1 x (x − t)u (t)dt + cos(x − t)u2 (t)dt = e − sin2x, u(0) = 0 x 5.u (x) = − 2xsinx − (x − t)u(t)dt, u(0) = 0, u (0) = −1 x 6.u (x) = e − 5sin2x + x x cos(x − t)u2 (t)dt, u(0) = 0, u (0) = cos(x − t)u2 (t)dt = (x − t)u (t)dt + x 0 −1 x e + tanx, u(0) = 0, u (0) = x 8.u (x) = e −3x ex−t (u − u2 (t))dt, u(0) = u (0) = + x (1 − u2 (t))dt, 9.u (x) = −x + tanx(6sinx + 1) + u(0) = 0, u (0) = 1, u (0) = 10.u (x) = (1 − x2 ) − sinx + u(0) = 0, u (0) = 1, u (0) = x (x − t)(1 − u2 (t))dt, x 11.u (x) = + x − x4 + x 12.u(4) (x) = + x + u(t)dt, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = (x − t)u(t)dt, u(0) = u (0) = 1, u (0) = u (0) = −1 Footer Page 86 of 161 76 Header Page 87 of 161 Kết luận Luận văn đề cập đến vấn đề sau: • Luận văn trình bày số kiến thức tích phân xác định, sai phân, biến đổi Laplace, phương pháp số phương pháp giải tích giải phương trình vi - tích phân Volterra, ví dụ áp dụng để giải phương trình vi - tích phân Volterra Đối với vấn đề lựa chọn cho luận văn, hi vọng vấn đề giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác giải tích thuận lợi • Buổi đầu làm quen với nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian, khả luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong thầy cô, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn hoàn thiện thực trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên • Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo KHUẤT VĂN NINH, người hướng dẫn bảo tận tình cho nghiên cứu đề tài Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ giải tích đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Footer Page 87 of 161 77 Header Page 88 of 161 Tài liệu tham khảo [1] phạm kỳ anh, Giải Tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2002 [2] đặng đình áng, trần lưu cường, huỳnh bá lân, nguyễn văn nhân, Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 2001 [3] nguyễn văn hùng, khuất văn ninh, Giáo trình Giải tích số, Nhà xuất Đại học Cần Thơ, 2013 [4] abdul - majid wazwaz, Linear and Nonlinear Integro Equation, Springer, 2011 Footer Page 88 of 161 78 ... 161 Chương Phương pháp giải tích giải phương trình vi - tích phân Volterra 2.1 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại Định nghĩa 2.1 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra. .. chọn đề tài: "Một số phương pháp giải phương trình vi - tích phân Volterra" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình vi - tích phân Volterra sở lý thuyết phương pháp giải gần phương trình Sau... Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương pháp giải tích giải phương trình vi - tích phân Volterra Chương 3: Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân Volterra Hà Nội, ngày 27/08/2016 Tác