Một số phương pháp giải phương trình vi - tích phân Volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ĐÀO THỊ TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN VOLTERRA Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐÀO THỊ TRANG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI - TÍCH PHÂN VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.T.S KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ chỉ bảotận tình của các thầy cô giáo, tôi đã học hỏi và tiếp thu được nhiều trithức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làmquen với công việc nghiên cứu khoa học

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán,các thầy cô trong tổ Giải tích đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt chúngtôi trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo KHUẤT VĂNNINH, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiếnquý báu cho tôi trong thời gian thực hiện khóa luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thâncòn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để khóaluận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016

Sinh viên

ĐÀO THỊ TRANG

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóa luận này

là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sự hướngdẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy KHUẤT VĂNNINH Những nội dung này không trùng với kết quả nghiên cứu của cáctác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

ĐÀO THỊ TRANG

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản của giải tích 1

1.1.1 Tích phân xác định 1

1.2 Phép nội suy 2

1.2.1 Đa thức nội suy Lagrange 2

1.2.2 Sai phân và các tính chất 4

1.3 Biến đổi Laplace 5

1.3.1 Biến đổi Laplace 5

1.3.2 Tính chất của biến đổi Laplace 6

1.3.3 Bảng một số biến đổi Laplace đơn giản 10

2 Phương pháp giải tích giải phương trình vi - tích phân Volterra 11 2.1 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2 11

2.1.1 Phương pháp phân tích Adomian 11

2.1.2 Phương pháp biến đổi Laplace 142.1.3 Phương pháp chuỗi lũy thừa 182.1.4 Chuyển phương trình vi - tích phân Volterra thành

bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân 212.1.5 Chuyển phương trình vi - tích phân thành phương

trình tích phân Volterra 242.2 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 1 262.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 262.3 Bài tập áp dụng 28

3 Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân Volterra 303.1 Các phương pháp áp dụng giải phương trình vi - tích phân

Volterra 303.1.1 Tính gần đúng tích phân 303.1.2 Phương pháp Euler 323.2 Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân tuyến

tính Volterra 333.2.1 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra

loại 2 333.2.2 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra

loại 1 473.3 Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân phi tuyến

Volterra 533.3.1 Phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra loại 2 533.3.2 Phương trình vi - tích phân phi tuyến Volterra loại 1 64

3.4 Bài tập áp dụng 76

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học chiếm một vị trí hết sức quantrọng Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thànhhai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Nói đến toánhọc ứng dụng không thể không nói đến giải tích số Đó là một môn khoahọc nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp

xỉ hàm, các bài toán tối ưu Nhiều bài toán trong cuộc sống, trong kinh

tế, khoa học kỹ thuật có thể dẫn tới việc nghiên cứu phương trình dạngsau: Ax = y (A: toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y ) Phươngtrình có dạng trên được gọi là phương trình toán tử Trong lớp các bàitoán phương trình toán tử, phương trình vi - tích phân Volterra giữ vịtrí quan trọng

Được sự hướng dẫn tận tình của PGS.T.S Khất Văn Ninh, tôi đãchọn đề tài:

"Một số phương pháp giải phương trình vi - tích phân Volterra"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình vi - tích phân Volterra và cơ sở lý thuyếtcủa các phương pháp giải gần đúng phương trình đó Sau đó áp dụng vàophương trình vi - tích phân Volterra Cuối cùng là các ví dụ cụ thể ápdụng các phương pháp để giải các phương trình vi - tích phân Volterra

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp đểgiải bài tập phương trình vi - tích phân Volterra

+ Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện và thời gian, tôi chỉ nghiên cứumột số bài tập cơ bản về phương trình vi - tích phân Volterra

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quanđến nội dung nghiên cứu

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóaluận gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương pháp giải tích giải phương trình vi - tích phânVolterra

Chương 3: Phương pháp số giải phương trình vi - tích phân Volterra

Hà Nội, ngày 27/08/2016Tác giả khóa luận

ĐÀO THỊ TRANG

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tích phân xác định,

đa thức nội suy, sai phân và các tính chất, biến đổi Laplace

Khi đó, nói rằng hàm f (x) khả tích trong [a, b], [a, b] là khoảng lấy tíchphân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấy tíchphân, f (x) là hàm số lấy tích phân và f (x)dx là biểu thức dưới dấutích phân.

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f (x), chỉ biết giá trị yi tạicác điểm xi ∈ [a, b] (i = 0, 1, , n) Cũng có trường hợp biểu thức giảitích f (x) đã cho nhưng quá cồng kềnh Khi đó dùng phép nội suy ta cóthể dễ dàng tính được f tại bất kỳ x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kémbao nhiêu

Mục tiêu của phép nội suy khá nhiều, nhưng chủ yếu tìm thuật toánđơn giản tính giá trị f (x) cho những x không nằm trong bảng xi, yi(i = 0, n) Một bộ số liệu xi, yi (i = 0, n) và một chương trình ngắn gọn

có thể thay một bảng rất dài các giá trị xi, f (xi) Ngoài ra sử dụng kếtquả của phép nội suy, có thể tìm đạo hàm f0(x) hoặc tích phân của f (x)trên đoạn [a, b]

1.2.1 Đa thức nội suy Lagrange

Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy Lagrange màkhông cần giải hệ

Dễ thấy

Pi(x) = Ai(x − x0) (x − xi−1)(x − xi+1) (x − xn)

Vì

1 = Pi(xi) = Ai(xi − x0) (xi− xi−1)(xi − xi+1) (xi − xn)nên

Pi(x) = (x − x0) (x − xi−1)(x − xi+1) (x − xn)

(xi − x0) (xi − xi−1)(xi − xi+1) (xi − xn).Đặt

Như vậy, P (x) là đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm

Nếu các mốc nội suy cách đều, tức là

xi+1 − xi = h (i = 0, n − 1)thì đặt t := x − x0

số f (x), mốc nội suy và bước h Do đó chúng được tính sẵn, lập bảng để

sử dụng nhiều lần

1.2.2 Sai phân và các tính chất

Giả sử f: R → R là một hàm số cho trước và h = const 6= 0 Ta gọi

40f (x) = f (x) là sai phân cấp 0 của hàm số y = f (x)

41f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x).Quy nạp: 4nf (x) = 4[4n−1f (x)](∀n ∈ N∗) là sai phân cấp n của hàm

số y = f (x)

Các tính chất của sai phân

Tính chất 1 Sai phân 4 là toán tử tuyến tính xác định trên khônggian χ các hàm số xác định trên R Nghĩa là với ∀α, β ∈ R, ∀f, g thì

1.3.1 Biến đổi Laplace

Định nghĩa Cho f là hàm gốc với chỉ số tăng α0 Hàm phức biến phức

F định bởi

F (p) =

Z ∞ 0

e−ptdt = 1

p , với Rep > 0.

Ví dụ 2: Biến đổi Laplace của hàm f (t) = eαt như sau

F (p) =

Z ∞ 0

e−pteαtdt = 1

α − p với Re(p − α) > 0.

1.3.2 Tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất 1 Cho các hàm gốc fk có các chỉ số tăng là αk, biến đổiLaplace là Fk, k = 1, 2, 3, , n Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợptuyến tính f của các hàm fk

với miền xác định Rep > maxαk

Chứng minh: Suy ra từ định nghĩa và tính chất tuyến tính của tíchphân

Z ∞ 0

e−ptf (ct)dt = 1

c

Z ∞ 0

e−puc f (u)du = 1

cF (

p

c).Tính chất 3 Cho £[f (t)] = F (p), Rep > α0 Đặt

£(fτ) = p 7→ e−pτF (p), Rep > α0.

Chứng minh: £[fτ](p) =

Z ∞ 0

e−ptfτ(t)dt

=

Z ∞ τ

e−ptf (t − τ )dt =

Z ∞ 0

Chứng minh: Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta dễ dàngkiểm chứng được biểu thức đúng với n = 1 Giả sử qui nạp rằng biểuthức trên đúng với n = 1, 2, , N , khi đó

Tính chất 6 Cho £(f ) = F , f có chỉ số tăng α0 Ta có

£[(−t)nf (t)] = F(n)(p), n ∈ N, Rep > α

Chứng minh: Dễ thấy rằng hàm t 7→ (−t)nf (t) có cùng chỉ số tăng với

f Ta có

F0(p) =

Z ∞ 0

e−pt(−t)f (t)dt,

do đó

£[(−t)f (t)] = F0(p), Rep > α0.Bằng phép qui nạp, ta suy ra điều cần phải chứng minh

Tính chất 7 Cho £(f ) = F và f liên tục Khi đó, ánh xạ t 7→ R0tf (τ )dτcũng là hàm gốc (nếu f liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm của f )và

£

Z t 0

f (τ )dτ , thì g liên tục, suy ra đo được Gọi

α0 là chỉ số tăng của f , thì với mọi 0 < ε < 1, ta có

|g(t)| ≤

Z t 0

|f (τ )| dτ ≤ M

Z t 0

eτ (α0 +ε)dτ < M1et(α0 +ε).Vậy g là hàm gốc Đặt G = £(g), thì F = £(f ) = £(g0) = pG(p)

suy ra điều cần phải chứng minh

Tính chất 8 Giả sử R(f ) = F , và t 7→ f (t)t là hàm gốc Khi đó

£ f (t)t



=

Z ∞ p

G0(p) = £[(−t)g(t)] = −£(f ) = −F Vậy G là một nguyên hàm của −F Ngoài ra, g là hàm gốc, (giả sử chỉ

số tăng của nó là β) nên

|G(z)| ≤

Z ∞ 0

Z ∞ 0

Rez − β − 1,trong đó, Rez − β − 1 > 0 Suy ra

(−F (u))du,

tức là ta suy ra được điều cần phải chứng minh

Tính chất 9 Giả sử £(f ) = F, £(g) = G, f và g lần lượt là các hàmgốc có các chỉ số tăng là α0 và β0, liên tục từng khúc trên mọi khoảnghữu hạn của R+ Nếu ta xem f và g xác định trên R, triệt tiêu trênkhoảng (−∞, 0) thì tích chặp f ∗ g cũng là hàm gốc có chỉ số tăng

Z t 0

f (τ )g(t − τ )dτ

≤

Z t 0

|f (τ )g(t − τ )| dτ

≤ M

Z t 0

e(α0 +ε)τe(β0 +ε)(t−τ )dτ = M e(β0 +ε)t

Z t 0

bất đẳng thức sau cùng có được bằng cách tính trực tiếp tích phân Vậy

f ∗ g là hàm gốc có chỉ số tăng γ0 ≤ max{α0, β0} Tiếp theo ta có

£ [(f ∗ g)(t)] =

Z ∞ 0

e−pt

Z t 0

f (τ )g(t − τ )dτ dt

=

Z ∞ 0

f (τ )dτ

Z ∞ τ

e−ptg(t − τ )dτ

= G(p)

Z ∞ 0

Chú thích: M = const

K(x, t)u(t)dt,u(0) = a0, , u(n−1)(0) = an−1,

trong đó: K(x, t) là các hạch,

u(0), , u(n−1)(0) là các điều kiện ban đầu đã được cho trước

2.1.1 Phương pháp phân tích Adomian

Sau đây ta có phương pháp phân tích Adomian để giải cho phương trìnhcấp 2

Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2 có dạng

u00(x) = f (x) +

Z x 0

K(x, t)u(t)dt, u(0) = a0, u0(0) = a1 (2.1)Lấy tích phân cả hai vế của phương trình (2.1) trên từ 0 đến x hai lầncó

u(x) = a0 + a1x + L−1(f (x)) + L−1

Z x 0

u0(x) + u1(x) + u2(x) + u3(x) + = a0 + a1x + L−1(f (x))

+ L−1

Z x 0

K(x, t)u0(t)dt

+ L−1

Z x 0

K(x, t)u1(t)dt

+

Trong đó có:

u0(x) = a0 + a1x + L−1(f (x)),

uk+1(x) = L−1

Z x 0

Lấy tích phân cả hai vế của phương trình trên từ 0 đến x và sử dụngđiều kiện ban đầu có

u(x) = x − L−1

Z x 0

u(t)dt



(x − t)u(t)dt,u(0) = 1, u0(0) = 1

Bài làm

Đặt L−1(.) =

Z x 0

Z x 0

(x − t)u(t)dt



u1(x) = L−1

Z x 0

x66! +

x77!,

và tiếp tục như vậy Khi đó chuỗi nghiệm có dạng

u(x) = 1 + x + x

2

2! +

x44! +

x66! +

x88! +

x1010! +

Vậy nghiệm chính xác được cho bởi

u(x) = ex

2.1.2 Phương pháp biến đổi Laplace

Phương trình vi - tích phân Volterra có dạng:

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

K(x, t)u(t)dt, u(0) = a0, , u(n−1)(0) = an−1

Nếu nhân K(x, t) của phương trình tích phân trên phụ thuộc hiệu số(x − t), khi đó được gọi là hạch sai phân

Xét phương trình vi - tích phân có dạng

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

f1(x − t)f2(t)dt hoặc

(f2 ∗ f1)(x) =

Z x 0

và tương tự đối với đạo hàm cấp cao.

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình

vi - tích phân Volterra sau

u0(x) = 1 + x +

Z x 0

sử dụng công thức (2.4), dùng điều kiện ban đầu đã cho và tìm được

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình

vi - tích phân Volterra sau

u00(x) = −x +

Z x 0

2.1.3 Phương pháp chuỗi lũy thừa

Hàm thực u(x) được gọi là hàm giải tích nếu nó có đạo hàm của tất cảcác cấp sao cho chuỗi Taylor tại điểm b bất kì nào thuộc tập xác định

(a0 + a1x + )(n) = T (f (x)) + λ

Z x 0

(x − t)

n+2

Khi đó phương trình đã cho tìm được nghiệm chính xác

u(x) = ex

2.1.4 Chuyển phương trình vi - tích phân Volterra thành bài

toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân

Phương trình vi - tích phân Volterra có dạng

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

K(x, t)u(t)dt,

u(k)(0) = k!ak, 0 ≤ k ≤ (n − 1)

Các điều kiện ban đầu được xác định bằng cách lấy vi phân đủ số lầnsao cho phương trình vi - tích phân Volterra được đưa về phương trình

vi phân với điều kiện ban đầu

Ví dụ 1: Giải phương trình vi - tích phân Volterra sau

u0(x) = 1 +

Z x 0

do đó nghiệm của phương trình (2.14) có dạng

u(x) = Aex+ Be−x; A,B: const,

trong đó hằng số A, B được xác định bằng cách sử dụng các điều kiệnban đầu, ta tìm được: A = 1

2; B =

−1

2 .Vậy nghiệm chính xác tìm được của phương trình vi - tích phân Volterralà

Ví dụ 2: Giải phương trình vi - tích phân Volterra sau

u00(x) = 1 +

Z x 0

u(x) = Aex+ Be−x + Ccosx + Dsinx; A, B, C, D: const,hằng số A, B, C, D được xác định bằng cách sử dụng các điều kiện banđầu, ta tìm được: A = 1

2.1.5 Chuyển phương trình vi - tích phân thành phương trình

tích phân Volterra

Phương trình vi - tích phân Volterra có dạng

u(n)(x) = f (x) + λ

Z x 0

K(x, t)u(t)dt, u(0) = a0, , u(n−1)(0) = an−1

I Tích phân của đạo hàm: Từ các phép tính ta có

Z x 0

u0(t)dt = u(x) − u(0),

Z x 0

Z x10

u00(t)dtdx1 = u(x) − xu0(0) − u(0),

Z x 0

Z x10

Z x20

u(3)(t)dtdx2dx1 = u(x) − 1

2!x

2u00(0) − xu0(0) − u(0),

và tiếp tục cho các đạo hàm khác

II Đưa từ tích phân bội về tích phân đơn

Z x 0

Z x 1

0

u(t)dtdx1 =

Z x 0

(x − t)u(t)dt,

Z x 0

(x − t)2u(t)dt,

Z x 0

Z x10

(x − t)2u(t)dtdx1 = 1

3

Z x 0

(x − t)3u(t)dt,

Z x 0

(x − t)4u(t)dt

Như vậy ta có dạng tổng quát sau

Z x 0

(x − t)nu(t)dt (2.18)

Ví dụ 1: Giải phương trình vi - tích phân Volterra sau

u0(x) = 1 +

Z x 0

Z x 0

u0(x) = x, u1(x) = x

3

3!, u2(x) =

x55!,

khi đó nghiệm được cho bởi

u(x) = x + x

3

3! +

x55! +

Vậy phương trình đã cho tìm được nghiệm chính xác

u(x) = sinhx

2.2 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra

loại 1

Định nghĩa 2.2 Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại

1 có dạng

Z x 0

K1(x, t)u(t)dt +

Z x 0

K2(x, t)u(n)(t)dt = f (x), K2(x, t) 6= 0,u(0) = a0, , u(n−1)(0) = an−1

trong đó: u(0), , u(n−1)(0) là các điều kiện ban đầu đã được cho trước

2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace

Phương trình vi - tích phân Volterra loại 1 có dạng

Z x 0

K1(x, t)u(t)dt +

Z x 0

K2(x, t)u(n)(t)dt = f (x), K2(x, t) 6= 0,u(0) = a0, , u(n−1)(0) = an−1

Thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình trên có

với K1(s) + snK2(s) 6= 0.

Bằng cách biến đổi Laplace ngược cả hai vế của (2.21) ta có đượcnghiệm chính xác

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình

vi - tích phân Volterra sau

Z x 0

(x − t)u(t)dt +

Z x 0

(x − t)2u0(t)dt = 3x − 3sinx, u(0) = 0Bài làm

Chú ý rằng hạch K(x, t) = 1 Lấy biến đổi laplace cả hai vế của phươngtrình trên có

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình

vi - tích phân Volterra sau

Z x 0

(x − t + 1)u00(t)dt = 2xex+ ex− x − 1, u(0) = 0; u0(0) = 1

Bài làm

Chú ý rằng hạch K1(x, t) = 0, K2(x, t) = (x − t + 1) Lấy biến đổi laplace

cả hai vế của phương trình trên có

 1

s2 + 1s

(s2U (s) − su(0) − u0(0)) = 2

(x − t)(1 − u2(t))dt, u(0) = 1

4

Z x 0

(x − t)u0(t)dt +

Z x 0

cos(x − t)u2(t)dt, u(0) = 0, u0(0) = 17

Z x 0

(x − t)u00(t)dt +

Z x 0

cos(x − t)u2(t)dt = −1

2 e

x

+ 3,u(0) = 0, u0(0) = 18.u00(x) = ex+

Z x

ex−t(u − u2(t))dt, u(0) = u0(0) = 0

9.u000(x) = −x + tanx +

Z x 0

(x − t)(1 − u2(t))dt,u(0) = 0, u0(0) = 1, u00(0) = 1

11.u000(x) = 1 − x4 +

Z x 0

u(t)dt, u(0) = 1, u0(0) = 2, u00(0) = 312.u(4)(x) = 3 +

Z x 0

(x − t)u(t)dt, u(0) = u0(0) = 1, u00(0) = u000(0) = −1

thì phải thực hiện rất nhiều tính toán.

Trong trường hợp này ta tính gần đúng tích phân xác định thông qua

đa thức nội suy P (x) của nó, tức là

... cho trước

2.1.1 Phương pháp phân tích Adomian

Sau ta có phương pháp phân tích Adomian để giải cho phương trìnhcấp

Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra loại có dạng... ex

2.1.4 Chuyển phương trình vi - tích phân Volterra thành

tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân

Phương trình vi - tích phân Volterra có dạng

u(n)(x)... class="page_container" data-page="34">

2.1.5 Chuyển phương trình vi - tích phân thành phương trình< /p>

tích phân Volterra

Phương trình vi - tích phân Volterra có dạng

u(n)(x)