Giải gần đúng một số phương trình trên máy tính điện tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH

TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS Nguyễn Văn Hùng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ để tôi có thể hoàn

thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Lê Thị Thu Thuỷ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng luận văn thạc sỹ chuyên ngành toán giải tích với đề tài: “Giải gần đúng một số phương trình trên máy tính điện tử”

, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Lê Thị Thu Thuỷ

MỤC LỤC

1

1MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài 2

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Các khái niệm cơ bản về số gần đúng và sai số 1

1.1.1 Khái niệm về số gần đúng 1

1.1.2 Sai số tính toán 4

1.1.3 Sai số ngẫu nhiên 7

ình vi phân 8

8

9

9

Chương 2 GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT TRÊN MÁY TÍNH CASIO FX- 570ES 11 2.1 Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt 11

2.1.1 Phương pháp chia đôi 12

2.1.2 Phương pháp lặp 14

2.1.3 Phương pháp dây cung 17

2.1.4 Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton-Raphson) 21

2.2 Tìm nghiệm gần đúng một số phương trình trên máy tính Casio fx- 570 ES 24

Chương 3 GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TRÊN MÁY TÍNH

CASIO FX 570- ES VÀ TRÊN MÁY VI TÍNH 39

3.1 Một số phương pháp 39

3.1.1 Phương pháp Euler 39

3.1.2 Phương pháp Euler cải tiến 43

3.1.3 Phương pháp Runge- Kutta 44

3.2 Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trên máy tính Casio fx- 570ES và trên máy vi tính 50

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

và phương trình vi phân thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức cũng vẫn gặp nhiều khó khăn.Vì vậy, ngay từ thời Archimedes, các phương pháp giải gần đúng đã được xây dựng, nhiều phương pháp (phương pháp Newton-Raphson giải gần đúng phương trình phi tuyến, phương pháp Euler và phương pháp Runge- Kutta giải phương trình vi phân) đã trở thành kinh điển và được sử dụng rộng dãi trong thực tế

Với sự phát triển của tin học, các phương pháp giải gần đúng lại càng

có ý nghĩa thực tế hơn Để giải một phương trình bằng tay trên giấy, có khi phải mất hàng ngày với những sai sót dễ sảy ra, thì với máy tính điện tử, thậm chí với máy tính điện tử bỏ túi, chỉ cần vài phút là giải được với độ chính xác cao Tuy nhiên, việc thực hiện các tính toán toán học trên máy một cách dễ dàng càng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết toán học Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (sự hội tụ, tốc độ hội tụ, độ chính xác,

độ phức tạp tính toán,…) sẽ được soi sáng hơn trong thực hành tính toán cụ thể Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán là cần thiết cho mọi học sinh, sinh viên Công cụ tính toán sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu các kiến thức lý thuyết, giảng dạy lý thuyết gắn với thực hành tính toán, sẽ giúp học sinh, sinh viên không chỉ tiếp thu tốt hơn các kiến thức khoa học, mà còn tiếp cận tốt hơn với các phương pháp và công cụ tính toán hiện đại

2 Với mục đích minh họa khả năng sử dụng máy tính điện tử trong giảng

dạy và học môn Giải tích số, tôi chọn đề tài: “Giải gần đúng một số phương

trình trên máy tính điện tử”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu vấn đề về việc sử dụng của máy tính Casio fx- 570 ES và máy vi tính để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và phương trình vi phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu vấn đề về việc sử dụng của máy tính Casio fx- 570 ES và máy vi tính để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và phương trình vi phân

m vi nghiên cứu

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và vi phân thường trên máy tính Casio fx- 570 ES và máy vi tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải gần đúng của giải tích số

Phương pháp giải phương trình vi phân và phương trình phi tuyến

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Hệ thống một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và phương trình vi phân trên máy tính Casio fx-

570 ES và máy vi tính

3

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các khái niệm cơ bản về số gần đúng và sai số

1.1.1 Khái niệm về số gần đúng

1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng Ta nói a là số gần đúng của a*, nếu a không sai khác a *

nhiều đại lượng *

: a a gọi là sai số thực sự của a Do không biết a *

nên ta cũng không biết Tuy nhiên, ta có thể tìm được a 0, gọi là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện:

*

a a a (1.1)

Hay a a a* a Đương nhiên, a thỏa mãn điều kiện (1.1)

càng nhỏ càng tốt Sai số tương đối của a là

| |

a a

Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù a b

Như vậy, độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối

1.1.1.2 Sai số thu gọn

Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau:

1 1

( p10p p 10p p s10p s)

a

Trong đó 0 i 9(i p 1,p s); p 0 là những số nguyên 0

p s thì a là số nguyên; p s m m( 0) thì a có phần lẻ gồm m chữ

5 ,

iii Sai số các số liệu

i

y x

y x , vì vậy khi làm phép cộng đại số, nên quy tròn các x đến mức i

giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k

Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là | |y 1 thì

1

1

| |

n i i

x y

y , do đó kết quả không chính xác Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức có hiệu của hai số gần nhau Nếu không tránh được thì cần lấy các số có nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc

1.1.2.2 Sai số của các phép tính nhân chia

7 Nếu 1 (phép lũy thừa) thì y x, do đó độ chính xác giảm

Nếu 0 1 ta có phép khai căn, khi đó , hay độ chính xác tăng

Nếu 1 ta có phép nghịch đảo, y x nghĩa là độ chính xác không đổi

1.1.3 Sai số ngẫu nhiên

Sai số ngẫu nhiên trong các kết quả là không thể tránh khỏi trong mọi quá trình thực nghiệm Do đó xuất hiện sai số tự nhiên Trong từng trường hợp cụ thể, sai số ngẫu nhiên có thể đánh giá được khi biết phân phối xác suất của nó

Giả sử đại lượng a được đo n lần với các giá trị a1 a trong đó chứa n

các sai số ngẫu nhiên tương ứng k a k a

Nếu sai số quan trắc k có phân bố chuẩn thì xác suất xuất hiện sai số

đó có dạng

2 2

1

22

k k

(1.2)

Giá trị chân thực của a thường không biết, ta chỉ có thể xác định giá trị gần đúng a xấp xỉ tốt nhất a theo nghĩa bình thường tối thiểu:

2 1

n

i i

a suy ra 1

1 n k k

n Từ (1.2) ta thấy là tham số của công thức cơ bản của lí thuyết sai số ngẫu nhiên Tham số này liên quan chặt chẽ đến sai số trung phương:

k k

2

n k k

m n

m

n ;

2 1/2 1

1

( 1)

n i i

M

ng quan về phương trình vi phân

9

Như vậy phươn

( )( , , , , n ) 0

với mọi x thuộc khoảng ( , ) a b Đường cong y y x x( ), ( , )a b gọi là đường

cong tích phân của phương trình (1.5)

Nếu từ phương trình (1.5)

( )n

, tức là phương trình (1.5) có dạng ( )n ( , , , , (n 1))

cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định n liên tục trong đoạn

0

trong đó

1 1min , max , , , n

11

Chương 2 GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ

PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT TRÊN MÁY TÍNH CASIO FX- 570ES

2.1 Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số

và phương trình siêu việt

Phương trình đại số và phương trình siêu việt thường gặp rất nhiều trong thực tế Tuy nhiên, ngoài một số lớp phương trình đơn giản như phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn là các phương trình có công thức nghiệm biểu diễn qua các hệ số Một vài lớp phương trình được giải nhờ các kĩ thuật đại số (phân tích ra thừa số, đặt

ẩn phụ,…) để đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, hầu hết các phương trình phi tuyến là không giải được chính xác (không có công thức nghiệm biểu diễn qua các hệ số của phương trình) Và ngay cả khi biết công thức nghiệm, do tính phức tạp của công thức nên giá trị sử dụng của công thức nhiều khi cũng không cao Vì thế nhiều khi chúng ta chỉ có thể tìm được nghiệm gần đúng của phương trình

Máy tính điện tử là một trong những công cụ được sử dụng khá phổ biến đối với chúng ta Bởi vì một trong những thế mạnh của máy tính điện tử

là khả năng lặp lại một công việc với tốc độ cao, mà giải gần đúng một phương trình thực chất là thực hiện một dãy các bước lặp, nên nhờ máy tính việc giải gần đúng phương trình trở nên đơn giản, nhanh chóng và thuận tiện Không những thế, máy tính còn cho phép, thông qua lập trình, mô phỏng quá trình thực hiện bước lặp giải phương trình, bởi vậy nó là công cụ tốt trợ giúp học sinh và sinh viên tiếp thu các kiến thức toán học nói chung, các phương pháp giải gần đúng phương trình nói riêng Do đó trong chương này tôi trình bày một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của một số phương trình đại số

và phương trình siêu việt bằng máy tính

12

2.1.1 Phương pháp chia đôi

Nội dung của phương pháp chia đôi rất đơn giản: giả sử f x là môt ( )hàm liên tục trên đoạn ,a b và ( ) ( ) f a f b 0 Khi ấy theo Định lí Bolzano-cauchy, phương trình ( ) 0f x có ít nhất một nghiệm trong khoảng a b ,

Chia đôi đoạn ,a b và tính ( )

Gọi khoảng mới (khoảng nhỏ) chứa nghiệm là ( , )a b 1 1

Lại chia đôi khoảng ( , )a b và tính giá trị tại điểm giữa 1 1 1 1

2

Tiếp tục mãi quá trình này ta đi đến:

Hoặc tại bước thứ n nào đó ta có ( ) 0

2.1.1.1 Sự hội tụ của phương pháp chia đôi

Dãy { }a là dãy đơn điệu tăng, bị chặn trên bởi n b , dãy { } b là dãy đơn n

điệu giảm và bị chặn dưới bởi a nên cả hai dãy đều có giới hạn

Do đó với mỗi 0 cho trước (độ chính xác 0 cho trước) ta có

|x x| với mọi n log (2 b a)

Nếu tại mỗi bước n ta đều chọn

14

Do đó khi tính toán(trên máy tính bỏ túi với màn hình hiển thị được 10 chữ số chẳng hạn), ta có thể dừng tính toán khi x n 1 x n x n 1 đúng đến số thập phân cần thiết(thí dụ, ta có thể dừng tính toán khi được nghiệm chính xác đến

Bước 1: Đưa phương trình ( ) 0 f x về phương trình x g x ( )

Bước 2: Chọn x0 ( , )a b làm nghiệm gần đúng đầu tiên

Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phương trình x g x (điểm bất động ánh ( )

xạ g ) hay x là nghiệm đúng của phương trình ( ) 0 f x

2.1.2.1 Tính hội tụ

Có nhiều phương trình dạng x g x tương đương với phương trình ( )( ) 0

f x Phải chọn hàm số ( )g x sao cho dãy { } x xây dựng theo phương n

pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm ta có tiêu chuẩn sau

15

Định lí 1 Giả sử x là nghiệm của phương trình ( ) 0 f x và phương trình

( )

x g x tương đương với phương trình ( ) f x 0 trên đoạn a b Nếu ( ), g x

và g x là những hàm liên tục trên '( ) a b sao cho , |g x'( ) | q 1 x a b ,

thì mọi vị trí ban đầu x0 ( , )a b dãy { } x xây dựng theo phương pháp lặp n

Để đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x (nhận được bằng phương n

pháp lặp) và nghiệm chính xác x của phương trình ( ) 0 f x tại bước thứ n

ta xét hiệu |x n x |

Từ chứng minh trên ta có:

Công thức trên cho thấy phương pháp lặp hội tụ càng nhanh nếu q càng bé

Từ công thức trên ta cũng suy ra rằng, để đạt được độ sấp xỉ (nghiệm gần đúng sai khác nghiệm đúng không quá , |x n x| ), t phải làm N( )bước, trong đó

1 0

(1 )lg

17

Từ công thức 1

||x n x n | q n |x x ta có kết luận: nếu dãy { }| x hội tụ thì n

khi n đủ lớn hai nghiệm gần đúng x và n x n 1 xấp xỉ bằng nhau Vì vậy khi sử dụng máy tính ta thường dùng quá trình lặp khi các kết quả liên tiếp x n 1, x , n

1

n

x ,… đạt độ xấp xỉ yêu cầu(trùng nhau tới số chữ số thập phân sau dấu phẩy cần thiết)

Nhận xét: Vì ta đã coi ( , )a b là khoảng cách li nghiệm (chứa nghiệm x ) của

phương trình ( ) 0f x nên trong Định lí 4 ta đã giả thiết sự tồn tại nghiệm x

Hơn nữa, ta đã đòi hỏi ( )g x phải là một hàm khả vi Dưới đây là một phiên

bản của Định lí 4 (không đòi hỏi trước tồn tại nghiệm của phương trình ( ) 0

f x và chỉ đòi hỏi ( )g x là một hàm liên tục Lipschitz)

Định lí 2: Giả sử ( ) g x là hàm số xác định trên khoảng a b sao cho: ;

,

i | ( ) g x g y( ) | q x| y| x y, a b ( ( ); g x là Lipschitz trên a b ) ;

,

ii Tồn tại một số a b sao cho | ( ); g | (1 q b)( a )

Khi ấy với mỗi x0 a b , dãy { }; x xây dựng theo phương pháp lặp n

2.1.3 Phương pháp dây cung

Giả sử ( , )a b là khoảng cách li nghiệm Ta thay cung của đường cong

Hoành độ giao điểm x của đường thẳng AB với trục hoành chính là nghiệm 1

của phương trình trên khi cho y 0

Nghiệm x bây giờ nằm trong khoảng ( , )x b 1

Thay khoảng ( , )a b bằng khoảng ( , )x b , ta đi đến nghiệm 1

Hoành độ giao điểm x của đường thẳng AB với trục hoành chính là nghiệm 1

của phương trình trên khi cho y 0

Suy ra : ( ) 1

( ) ( )

Nghiệm x bây giờ nằm trong khoảng ( , )a x 1

Thay ( , )a b bằng khoảng ( , )a x , ta đi đến nghiệm xấp xỉ 1

1 1

1

( )( )( ) ( )

20 Suy ra f x( ) 0 hay x là nghiệm của phương trình f x( ) 0 trong khoảng ( , )a b

Ngoài ra, nếu biết hai giá trị gần đúng kiên tiếp, ta có thể đánh sai số như sau

Từ trên (chứng minh sự hội tụ của phương pháp dây cung) ta có:

2.1.4 Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton-Raphson)

Giả sử ( , )a b là khoảng cách li nghiệm Ta thay cung của đường cong ( )

y f x trên đoạn a b bằng tiếp tuyến tại điểm , A a f a hoặc ( , ( ))( , ( ))

B b f b và coi giao điểm của tiếp tuyền với trục hoành là nghiệm xấp xỉ

của phương trình ( ) 0f x

Hoành độ giao điểm x của tiếp tuyến với trục hoành chính là nghiệm của 1

phương trình trên khi cho y 0

Nghiệm x bây giờ nằm trong khoảng ( , )1

Thay khoảng ( , )a b bằng khoảng ( , )a x , ta đi đến nghiệm xấp xỉ 1

1

( )( )

'

( ) ( )( )

Hoành độ giao điểm x của tiếp tuyến với trục hoành chính là nghiệm của 1

phương trình trên khi cho y 0

23 Suy ra : 0 f a( ) f a x'( )( a )

Nghiệm x bây giờ nằm trong khoảng ( , )x b 1

Thay khoảng ( , )a b bằng khoảng ( , )x b , ta đi đến nghiệm 1 1

1

( )( )

x x x Dễ thấy rằng x là nghiệm của phương trình ( ) 0 f x Thật vậy, chuyển qua giới hạn trong biểu thức 1 '( )

Như vậy, tốc độ hội tụ của phương pháp tiếp tuyến là bậc hai

2.2 Tìm nghiệm gần đúng một số phương trình trên máy tính Casio fx-

25 Trong phần này, chúng tôi trình bày cách sử dụng các loại máy tính điện tử casio fx 500MS , casio fx 570MS , Sharp 506 WM, casio

500

fx ES , casio fx 570ES để giải một số bài toán được trình bày ở mục

trên một cách khá đơn giản và thuận tiện Thực hành giải gần đúng phương trình trên máy tính điện tử khoa học cho phép cảm nhận rõ hơn các vấn đề của giải tích số(sự hội tụ, tốc độ hội tụ,…) của từng phương pháp

Để tiện trình bày, chúng tôi chọn máy tính điện tử khoa học casio

570

fx ES, là loại máy tính có nhiều ưu điểm trong các tính năng giải toán

và được sử dụng tương đối phổ biến hiện nay trong các trường phổ thông và đại học

Máy tính điện tử khoa học casio fx 570ES có một số phím rất tiện dùng trong tính toán Nó được lập trình để có thể tính toán đại số(tính toán theo công thức) kết hợp với những ô nhớ(9 ô nhớ) Lập trình này đặc biệt thích hợp cho thực hiện dãy lặp, do đó đặc biệt thích hợp cho việc giải gần đúng phương trình

Ví dụ 1 Giải phương trình đại số bậc cao 7

2 8 0

Đây là một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của nó khá cao nên khó

có thể giải được bằng các kĩ thuật của đại số(đặt ẩn phụ, nhóm số hạng,…) để đưa về phương trình bậc thấp hơn

26

Phương pháp chia đôi khoảng chứa nghiệm

Đưa giá trị x 1 vào ô nhớ A :1SHIFT STO A

Đưa giá trị x 2 và ô nhớ B : 2 SHIFT STO B

Chú ý: Từ nay về sau, để cho tiện, các phím số được viết như là các số, còn

các phím chữ trên màn hình được để trong các ô vuông Thí dụ, phím số 2 ta vẫn viết là số 2, còn phím ô A ta viết là A

ALPHA A ALPHA B 2 SHIFT STO C

Khai báo công thức 7

Chú ý: Từ nay về sau, để tiện trong trình bày, ta ghi ngay đáp số của kết quả

tính toán hiển thị trên màn hình sau phím và để ở trong ngoặc thí dụ, sau khi khai báo công thức (2.1) và bấm phím CALC , máy hỏi ? X , ta khai báo

ALPHA C (tức là giá trị của đối số x cần tìm giá trị của hàm số

7

máy tính hiện ngay trên màn hình đáp số 1547

(giá trị cũ x 2 trong ô nhớ B không cần dùng nữa)

Chú ý: Vì tại mỗi bước i ta chỉ cần nhớ ba giá trị a , i b hoặc i

2

i i i

B (vừa được giải phóng)

Sử dụng phím để di chuyển về dòng công thức (2.1) và dùng phím

CALC để tính giá trị của hàm số tại c1 1,25:

Bấm phím CALC (Calculate-tính): CALC

4 2

Ô nhớ A được giải phóng (giá trị cũ a 1 trong ô nhớ A không cần dùng nữa)

28 Lại chia đôi khoảng

5 3( , ) ( , ) ( ; )

Sử dụng phím để đi về dòng công thức (2.1) và dùng phím CALC để