Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI • ■ • • NGUYỄN THỊ HÃNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn truyền thụ kinh nghiệm đồng thời người khơi nguồn cảm hứng cho tác giả học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trinh cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Cổ Loa tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học nghiên cứu đồng nghiệp YỚi trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nghiệm khoảng phân li nghiệm 1.1.1 Nghiệm phương trình ẩn 1.1.2 Ý nghĩa hình học nghiệm 1.1.3 Sự tồn nghiệm thực phương trình (1.1) 1.1.4 Khoảng phân li nghiệm .10 1.1.5 Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm phương trình (1.1) 11 1.2 Số xấp sỉ 11 1.3 Sai số 12 1.3.1 Khái niệm 12 1.3.2 Các loại sai số 12 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 14 2.1 Tổng quát hoá tìm nghiệm gần phương trình f(x ) = 14 2.2 Phương pháp chia đôi 14 2.3 Phương pháp lặp đơn 16 2.4 Phương pháp dây cung 18 2.5 Phương pháp Newton 24 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG 29 3.1 Tìm nghiệm gần phương trình f ( x ) = với sai số cho trước 29 3.2 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần phương trình 38 3.2.1 Áp dụng phương pháp lặp 38 3.2.2 Phương pháp ( dùng đạo hàm kết hợp YỚi phép lặp - phương pháp Newton ) 62 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 -5 MỞ ĐẦU Lí chon đề tài Ngày ngành khoa học nói chung ngành toán học nói riêng phát triển đến mức độ cao Rất nhiều toán thực tế ( Thiên văn, đo đạc ruộng đất, vật lí, ) dẫn đến việc cần giải phương trình biến dạng f ( x ) = Nhìn chung phương trình dạng f ( x ) = thường khó giải phương pháp đại số, toán giải có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức nghiệm gặp nhiều khó khăn Bởi việc tìm nghiệm gần đánh giá mức độ sai số nghiệm gần giải xấp xỉ phương trình ẩn dạng / (jt) = cần thiết Các nhà Toán học nghiên cứu đưa số phương pháp giải gần phương trình ẩn dạng / (x) = Kết hợp YỚi hỗ trợ đắc lực máy tính điện tử đại nên việc tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến ẩn dạng / (x) = trở nên đơn giản nhiều Tuy nhiên trước toán phi tuyến dạng / (x) = việc lựa chọn phương pháp tìm nghiệm gần để kết nghiệm tìm xác hơn, sai số nhỏ tính toán nhanh phương pháp giải xem tối ưu Không có phương pháp xem tối ưu tuyệt đối, phương pháp có nét đặc trưng riêng Việc dùng phương pháp để giải toán cho phù họp tùy thuộc vào yếu tố khách quan toán mức độ yêu càu công việc Với lí nêu mong muốn tìm hiểu sâu, trang bị cho thân kĩ đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần tối ưu cho số phương trình đại số phương trình siêu việt dạng / (x) = ( với / (x) hàm phi tuyến ) điều kiện thời gian, lực thân hạn chế nên chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao học là: " Giải gần số phương trình đại số phương trình siêu việt -62 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng / (jt) = Đưa ví dụ số minh họa cho kết lí thuyết Góp phần nâng cao lực nghiên cứu thân, phục vụ hiệu cho công tác nghiên cứu khoa học đào tạo sau đại học chuyên ngành toán giải tích trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu Viết luận văn Đổi tượng nghiên cứu phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng / ( Jt) = như: Phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung Các toán phương trình đại số phương trình siêu việt dạng f ( x ) = Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng / (x) = Phương pháp nghiên cứu Trang bị cho thân kiến thức toán học cao cấp, giải tích số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi Sưu tầm giải gằn số toán đại số siêu việt Đóng góp luận văn Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học số phương pháp giải gần phương trình đại số phương trình siêu việt -7CHƯƠNGI: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nghiêm khoảng phân lỉ nghiệm 1.1.1 Nghiêm phương trình ẩn Xét phương trinh ẩn: f ( x ) = (1.1) đó: / hàm số cho trước đối số X Giá trị xữ gọi nghiệm phương trình (1.1) f ( x ữ) = Nghiệm phương trình (1.1) số thực số phức, ta khảo sát nghiệm thực 1.1.2 Ý nghĩa hình học nghỉệm Các nghiệm phương trình (1.1) hoàáh độ giao điểm đồ thị hàm số y = / (x) với trục hoành Có thể biến đổi phương trình (1.1) dạng = h{x), đỏ nghiệm phương trình (1.1) hoành độ giao điểm hai đồ thị (Q ): y = g-(x) ( c 2) : y = h(x) -8- 1.1.3 Sự tồn nghiệm thực phương trình (1.1) Trước tìm cách tính gần nghiệm thực phương trình (1.1) ta phải kiểm tra xem nghiệm thực có tồn hay không Khi đỏ ta sử dụng đồ thị sử dụng định lí sau Định lí 1.1.3.1 ( Bolzano - Cauchy ) Nếu hàm sổ f { x ) liên tục đoạn [a,b] thỏa mãn điều kỉện f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có ỉt nghiệm khoảng (a,b) Chứng minh: Không tính tổng quát giả sử f { à) < 0, f ( b ) > 0, ta chia đôi đoạn [a9b] Ả a +b điêm chia —-— 9TH1: / 'a+ъ О ta có định lí chứng minh к у TH2: / а + ьл Ф0 Đặt с = a + ^ , ta xét đoạn [ữj ,ỉ\ ] Với ax =a, bỉ = a +b / a +b í a + b' Với а, = - , h - b / >0 độ dài đoạn n - a „n b-a ” Dãy đoạn ta lập thỏa mãn điêu kiện bô đê vê dãy đoạn lồng nhau, theo lim (bn - a ) = lim n -> + 00 'b-a' \ £9 n -> + 00 " = J Vì hai dãy ị a }, ịb } dàn tới giới hạn chung lim a = lim b =c n -> + 00 n -> + 00 Mà rõ ràng с e [a,b] Ta chứng minh điểm с thỏa mãn yêu càu định lí - 10Thật tính liên tục hàm số x = c, ta có / (c) = lim f ( a ) < n —>+00 Và /( c ) = lim f ( b n) > n -ỳ + 00 Vậy f ( c ) = Ta có định lí chứng minh 1.1.4 Khoảng phân li nghiệm Định nghĩa Đoạn \a,b\ ( khoảng (ữ,z?) ) gọi khoảng phân li nghiệm phương trình f ( x ) = chứa nghiệm phương trình đỏ Định 1.1.4.1 Nếu hàm sổ y = f { x ) liên tục, đơn điệu [a,b] f ( a ) f ( b ) < \a,b\ khoảng phân li nghiệm phương trình f (jt) = Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình f ( x ) = nghiệm [a,b] Giả sử cx, c2 hai nghiệm phân biệt phương trình f ( x ) = Ta có f (Cj) = / ( c2) = Vì hàm số y = f { x ) liên tục, đơn điệu [a,b] nên Cj = c2 ( trái giả thiết) Do phương trình f ( x ) = có nghiệm [a,b] Vì theo định nghĩa [a,b] khoảng phân li nghiệm phương trình /( x ) = Nếu / (*) có đạo hàm thị điều kiện đơn điệu thay điều kiện không đổi dấu đạo hàm ta có định lí sau Đinh lí 1.1.4.2 Nếu hàm sổ y = / ( * ) liên tục, đạo hàm f ' { x ) không đổi dấu [a,b] f ( a ) f ( b ) /729 + 9Ans1 - Ans4 Bước 3: Bấm liên tiếp dấu Ị _= ^ hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm phương trình 729 + 9y = y + y (*") ỉà y =3 đ ỏ y =9 - Thay X = 10 vào phương trình (*) ta phương trình: 1000 + / = / + / (*"’) Ta có: 1000 + / = / + / y = 1000 + / - / y = ^/1000 + / - / Để tìm nghiệm y phương trình 1000 +10y = y + y (*"'), máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 2: Nhập giá trị ban đàu cho y (chẳng hạn y = 3) (Bấm 0 ) Bước 3: ghi vào hình biểu thức: yj1000 +10Ans2 - Ans4 Bước 4: Bấm liên tiếp dấu ( ^ ^ —0 —) hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình 1000 +10y = y + y (*"') y «3,16227766 53 - Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + B để lưu nghiệm y3 vào biến nhớ B sau: (Bấm phím SHIFT RCL tính để tính yị (Bấm phím ALPHA ^ X ) Tiếp tục dùng máy ) ta yị = B2 =10 - Thay * = 11 vào phương trình (*) ta phương trình 1331 + 1 / = / + / (*"") Ta có: 1331 + 1 / = / + / (*"") o y 6=ỉ33ỉ + l ỉ y 2- y o y = -ỰĨ331+ 11/ - / Để tìm nghiệm y phương trình 1331 +1 l y = y + y (*""), máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đàu cho y (chẳng hạn y = ) (Bấm i 0) Bước 2: ghi vào hình biểu thức: yJỉ33l + ỈỈAns2 - A n s Bước 3: Bấm liên tiếp dấu Ị ^ —0 —) hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gàn phương trình 1331 + 11y = y + y (*"") y «3,31662479 Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + c để lưu nghiệm y vào biến nhớ c sau: (Bấm phím SHIFT RCL hyp) Tiếp tục dùng máy tính để tính y\ (Bấm phím ALPHA hyp x_) ta yị = c z =\ ì Lập bảng để quan sát mối quan hệ X y thỏa mãn phương trình (*)ta có bảng sau: X 10 11 y 2,828427125 3,16227766 3,31662479 y2 10 11 => Quy luật: x = y 54 - Từ ta thấy phương trình (*) có nhân tử - y 2) Suy cách giải phương trình (*) sau: x?+xy2 = y 6+ / « / ( * - / ) + (*! - ( / ) 3) = y2(* - y2) + (* - y2)(*2+ xý* +y4) = < ^ { x - y 2)(jc2 + xy2 + y + J 2) = X - y =0 X2 +xy2 + y + y =0 x =y x = y = Với X = y = thay vào phương trình 3^7 + 2x2 + ^ - y = 10 ta được: 3y/ĩ + y/3 =10 ( vô l í ) = (0;0) không nghiệm hệ phương trình (3.2.1.9) Với X = y thay vào phương trình 3\jl + 2x2 + ^3 - 2y4 = 10 ta được: 55 - 3V7 + Ĩr + V 3^2xr = 10 j l + 2x2.yj3-2x2 = 34 - Ỉ6x2 r34-16jc2 >0 36(21 - Sx2 - 4x4) = ( - I6x2)2 ^ ^ 944;t4 -544;t2- 400 = x2=l 25 X = -^ 59 *2 =1 JC= x = —ỉ ( l o a i ) d o X = y > Với ;t = l = > j = l = > j = ±l (thỏam ãnĐKXĐ) Vậy hệ phương trình (3.2.1.9) có tập nghiệm là: s = Ị(l;l),(l;-l)j Bài 10: ( Đề thi đại học khối A năm học 2013 - 2014 ) Giải hệ phương trình x Ạ - y + y l y ( n - x 2) = ỉ (3.2.1.10) JC3 - 8jc-1 = 2-sjy-2 Lời giải: ĐKXĐ: 0< y < ỉ -2yỊ Ĩ[...]... tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn - 14CHƯƠNGII: MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 2.1 Tồng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x) = 0 Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt ta tiến hành qua hai bước: - Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương trình (1.1) có nghiệm hay không,... sau: - Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán - Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính... ) Vẽ đồ thị của y = h[x) và y = g (x) suy ra khoảng phân li nghiệm 1.2 Số xấp sỉ Khi tìm nghiệm của phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng / 0 0 = 0(1.1), ta thường thiết lập cả một dãy x0,x1, ,xn, sao cho X„ — khi H—» 00 , trong đó a là nghiệm đúng của phương trình (1.1) Do giả thiết Điều này có nghĩa là khi thể xem / ( X ) « 0 hay X X khá gần a thì f { x ) khá gần / ( a ) v à có thực... sai số để từ đó chọn ra phương pháp tối ưu nhất 1.3.1 Khái niệm Giả sử X là số gần đúng của X* (jc* là số đúng) , khi đó A = x - x * gọi là sai số thực sự của X Vì không xác định được A nên ta xét đến hai loại số sau: - Sai số tuyệt đối: Giả sử 3Ax >0 đủ bé sao cho x - x * 00 e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi - Cho phương trình / (x) = 0 - Ấn định sai số £ cho phép - Xác định khoảng phân li nghiệm [ữ,z?] - Giải thuật của phương pháp chia đôi í) Ưu nhược điểm của phương pháp - Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình - Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm 2.3 Phương pháp ỉặp đơn a) Nội dung của phương pháp Biến đổi phương trình f ( x ) =... nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình ( 3 1 2 ) với sai số không vượt quá 0,02 Bài 3: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5jc3 - 20x + 3 = 0 (3.1.3) trên [0;l] với sai số không vượt quá 0,01 bằng phương pháp lặp Lời giải: Đặt / (jt) = 5jc3 - 20x + 3 => f \ x ) = Ỉ5x2 - 20 < 0, Vx e [0;1] ■ Mà /( 0 ) = 3, /(1) = -12 =s>/( 0 ) /( l) < 0, V* € [0;l] Nên (0;1) là khoảng phân li nghiệm của phương trình. .. của phương pháp Newton : Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình / ( x) = 0 trên (a,b) Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là: - Dãy giảm và bị chặn dưới bởi a (trường hợp 1) a < a < x