tóm tắt luận án phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯƠNG HÀ HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số : 62.46.30.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học 1. GS.TS Đặng Quang Á 2. TS. Vũ Vinh Quang HÀ NỘI - 2013 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình đạo hàm riêng. Vấn đề giải số hiệu qua phương trình đạo hàm riêng vẫn luôn là một trong những vấn đề được quan tâm nhất trong toán học tính toán, đặc biệt khi hệ số không trơn (gián đoạn trên một mặt phân cách nào đó) hoặc điều kiện biên hỗn hợp mạnh (cả hai điều kiện biên dạng Dirichlet và Neumann đều xuất hiện và chuyển đổi tại một hay nhiều điểm trên biên). Mặc dù đã có rất nhiều công trình nghiên cứu lời giải gần đúng cho các bài toán hệ số gián đoạn và điều kiện biên hỗn hợp mạnh bằng các phương pháp khác nhau, đây vẫn là một vấn đề được các nhà khoa học quan tâm. Các lược đồ sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn, các phương pháp xấp xỉ biên, đều trở nên phức tạp hơn khi phải chú ý đến mặt gián đoạn hay sự chuyển đổi của các điều kiện biên. Mặt khác các cấu trúc của hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ không còn đẹp đẽ như các trường hợp hệ số liên tục hay điều kiện biên đơn giản. Khi đó độ phức tạp của thuật toán tăng đáng kể. Trong khoảng 3 thập kỷ gần đây, một hướng tiếp cận mới được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm và có thể giải quyết tốt vấn đề giải số lớp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay hệ số gián đoạn. Đó là phương pháp chia miền với ý tưởng chính là đưa bài toán phức tạp trên miền lớn về các bài toán đơn giản hơn trên các miền con và kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh để sau đó giải các bài toán con này bằng các phần mềm có sẵn. Đây chính là hướng nghiên cứu được lựa chọn để giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic. 2. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận án: Nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic và phương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phương pháp trong giải tích số cho phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp chia miền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai, kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân. Các phương pháp trên sẽ được kết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mới phù hợp với từng bài toán cụ thể. Để nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toán tử biên thích hợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương hoặc dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng. Việc hiện thực hóa các bước lặp này chính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp hai trong các miền hình học đơn giản. 3. Những đóng góp mới của luận án - Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn. - Đề xuất phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz. - Đề xuất phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. - Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong. 4. Bố cục của luận án 2 Luận án được bố cục thành 3 chương với nội dung tóm tắt như sau: Chương 1 : Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các nội dung trong luận án và các kết quả xây dựng thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số trong miền chữ nhật. Chương 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu về phát triển phương pháp chia miền kết hợp kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn, phương pháp lặp song song giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh cho phép giải bài toán cỡ lớn trên các hệ thống tính toán song song. Chương 3: Trình bày các kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Giải gần đúng bài toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong. Trong luận án, các kết quả lý thuyết được kiểm tra, thử nghiệm bằng các chương trình cài đặt trong môi trường Matlab 8.0. Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Phần này giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ sở được tham khảo từ các cuốn sách của các tác giả Aubin, Adams, Cioranescu, Quarteroni và Rectorys: • Không gian Sobolev: Các khái niệm và định nghĩa về miền Lipschitz, không gian Sobolev, định lý vết, bất đẳng thức Poincare, công thức Green. • Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa: Phát biểu các bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất và các công thức yếu tương ứng. Trình bày về toán tử song điều hòa, phương trình song điều hòa và các loại điều kiện biên. • Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp: Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử, định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp. 1.2 Kết quả bổ trợ Với mục đích đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về các bài toán biên hỗn hợp yếu nên nhiệm vụ đầu tiên của luận án là: Xây dựng một thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số. Trên cơ sở của phương pháp thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev, trong phần này giới thiệu tóm tắt về các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009. Đây là một công cụ quan trọng để thực hiện việc cài đặt các thuật toán được đề xuất trong chương 2 và chương 3. Các kết quả xây dựng thư viện chương trình đã được công bố trong công trình [6]. Kết luận. Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, các khái niệm và công thức yếu cho các bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất, phương trình song điều hòa và các điều kiện biên thường gặp trong các ứng dụng, lý thuyết về các sơ đồ lặp của Samarskii-Nikolaev và sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Đặc biệt, luận án đã đưa ra các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009 giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic cấp hai với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các loại điều kiện biên khác nhau. Đây là một công cụ quan trọng để cài đặt thử nghiệm tất cả các thuật toán được đề xuất để giải các bài toán được xét đến trong các chương sau. Các kết quả đã đưa ra trong 3 chương 1 là nền tảng quan trọng cho việc trình bày các nội dung nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm trong các chương tiếp theo của luận án. Chương 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách, giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn là mô hình toán học của bài toán mặt phân cách và phương pháp lặp song song giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các kết quả này đã được công bố trong các công trình [1] và [4]. 2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) là bài toán biên elliptic, trong đó các hệ số của phương trình hoặc hàm vế phải bị gián đoạn qua một hoặc vài mặt phân cách giữa các vật liệu xuất phát từ tính chất vật lý của bài toán. Bài toán này thường dẫn tới phương trình elliptic dạng: Lu := −∇(k(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω, (2.1.1) với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trong đó, x = (x 1 , x 2 ), Ω là miền giới nội trong R 2 với biên ∂Ω, hệ số k(x) = (k 1 (x), k 2 (x)) là hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu u ∈ H 1 0 của bài toán Dirichlet (2.1.1) đã được đưa ra trong sách của Gilbarg và Trudinger. 2.1.2. Một số hướng tiếp cận Để giải bài toán mặt phân cách, một số các phương pháp khá hiệu quả đã được nghiên cứu như: Các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp sử dụng các phép nhúng, Phần này trình bày một phương pháp giải bài toán mặt phân cách trên cơ sở phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm trên các biên phân cách, từ đó đưa bài toán mặt phân cách trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán con trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục. Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh bằng lý thuyết và được thử nghiệm qua nhiều ví dụ. Kết quả này đã được công bố trong công trình [1]. 2.1.3. Phương pháp lặp Phát biểu bài toán Xét bài toán Lu := − ∂ ∂x 1  k 1 (x) ∂u ∂x 1  − ∂ ∂x 2  k 2 (x) ∂u ∂x 2  + a(x)u = f(x), x ∈ Ω, (2.2.1) [u] Γ = ψ 1 ,  ∂u ∂ν L  Γ = ψ 2 , (2.2.2) u = ϕ, x ∈ ∂Ω, (2.2.3) 4 trong đó x = (x 1 , x 2 ), Ω là miền giới nội trong R 2 với biên ∂Ω, các hệ số k 1 (x) và k 2 (x) gián đoạn qua mặt phân cách Γ, kí hiệu [u] Γ là bước nhảy của u qua mặt phân cách, ∂u/∂ν L là đạo hàm theo hướng của u gắn với toán tử L được xác định bởi công thức ∂u ∂ν L = k 1 ∂u ∂x 1 cos(n, x 1 ) + k 2 ∂u ∂x 2 cos(n, x 2 ), n là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của biên. Điều kiện trong (2.2.2) mô tả bước nhảy của nghiệm u và đạo hàm của u qua mặt phân cách Γ. Để giải bài toán mặt phân cách (2.2.1)- (2.2.3) dựa trên ý tưởng của phương pháp chia miền, thay vì giải bài toán lớn phức tạp trên một miền, có thể giải một số các bài toán đơn giản hơn trên các miền con. Chia miền Ω thành hai miền con không giao nhau Ω 1 và Ω 2 với biên phân cách Γ. Ký hiệu Γ 1 = ∂Ω 1 \Γ, Γ 2 = ∂Ω 2 \Γ, u i = u | Ω i , f i = f | Ω i k 1i = k 1 (x), k 2i = k 2 (x), x ∈ Ω i , i = 1, 2 và ký hiệu n i là pháp tuyến ngoài của Γ so với Ω i . Khi đó đạo hàm pháp tuyến của u i trên Γ là ∂u i ∂ν L i = k 1i ∂u i ∂x 1 cos(n i , x 1 ) + k 2i ∂u i ∂x 2 cos(n i , x 2 ). với giả thiết 0 < b 1  k 1 (x), k 2 (x)  b 2 , a(x)  0. Mô tả phương pháp Xét sơ đồ lặp tìm hàm g = ∂u 1 /∂ν L 1 trên biên Γ. (i) Xuất phát từ một giá trị xấp xỉ g (0) trên Γ, ví dụ, g (0) = 0 trên Γ. (ii) Biết g (k) , (k = 0, 1, 2, ) trên Γ, giải lần lượt hai bài toán Lu (k) 1 = f 1 trong Ω 1 , u (k) 1 = ϕ trên Γ 1 , ∂u (k) 1 ∂ν L 1 = g (k) trên Γ, (2.2.6) Lu (k) 2 = f 2 trong Ω 2 , u (k) 2 = ϕ trên Γ 2 , u (k) 2 = u (k) 1 + ψ 1 trên Γ. (2.2.7) (iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới g (k+1) = (1 −τ)g (k) − τ ∂u (k) 2 ∂ν L 2 + τψ 2 , (2.2.8) trong đó τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn. Nghiên cứu sự hội tụ Giả thiết về tính trơn của các dữ kiện như sau: f i ∈ L 2 (Ω i ), (i = 1, 2), ϕ ∈ H 1/2 (∂Ω), ψ 1 ∈ H 1/2 (Γ), ψ 2 ∈ H −1/2 (Γ), trong đó H s (G) là không gian Sobolev. Với các giả thiết này, theo Aubin các bài toán (2.2.6), (2.2.7) có nghiệm duy nhất u k i ∈ H 1 (Ω i , L), trong đó H 1 (Ω i , L) = {v ∈ H 1 (Ω i )|Lu ∈ L 2 (Ω i )} và theo định lý vết, ta có g (k+1) ∈ H −1/2 (Γ). Giả sử bài toán mặt phân cách 5 (2.2.1)-(2.2.3) có nghiệm duy nhất u và u i = u| Ω i ∈ H 1 (Ω i , L). Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp, ta viết lại công thức (2.2.8) dưới dạng g (k+1) − g (k) τ + g (k) + ∂u (k) 2 ∂ν L 2 = ψ 2 . (2.2.9) Đặt e (k) i = u (k) i − u i , (i = 1, 2) và ξ (k) = g (k) − g, ta có ξ (k+1) − ξ (k) τ + ξ (k) + ∂e (k) 2 ∂ν 2 = 0. (2.2.13) Đưa vào toán tử biên S i tác động lên hàm ξ bởi công thức S i ξ = ∂v i /∂ν i , (i = 1, 2) trong đó v i là nghiệm của bài toán Lv i = 0 trong Ω i , v i = 0 trên Γ i , v i = ξ trên Γ. (2.2.15) Các toán tử này là các toán tử Steklov-Poincare, v i là sự mở rộng toán tử L của ξ từ Γ tới Ω i . Ta viết v i = L i ξ, khi đó toán tử nghịch đảo S −1 i của S i được xác định là S −1 i η = w i , trong đó w i là nghiệm của bài toán Lw i = 0 trong Ω i , w i = 0 trên Γ i , ∂w i ∂ν i = η trên Γ. (2.2.17) Với cách định nghĩa toán tử như trên ta thu được e (k) 1 = S −1 1 ξ (k) , S 2 e (k) 1 = ∂e (k) 2 /∂ν L 2 . Do đó, có thể viết công thức (2.2.13) dưới dạng (ξ (k+1) − ξ (k) )/τ + ξ (k) + S 2 e (k) 1 = 0. Tác động S −1 1 lên hai vế của đẳng thức trên, ta có e (k+1) 1 − e (k) 1 τ + e (k) 1 + S −1 1 S 2 e (k) 1 = 0. Do đó e (k+1) 1 = (I − τB) e (k) 1 , (2.2.20) trong đó B = I+S −1 1 S 2 . Để thiết lập sự hội tụ của quá trình lặp (2.2.6)-(2.2.8), hoặc sơ đồ lặp tương đương (2.2.20) ta xét toán tử B trong một không gian hàm thích hợp. Toán tử S i , (i = 1, 2) tác động giữa không gian H = H 1/2 00 (Γ) = {v | Γ : v ∈ H 1 0 (Ω)} và không gian đối ngẫu H  = H −1/2 00 (Γ). Từ công thức nghiệm yếu (2.2.15), ta có định nghĩa tương đương của các toán tử S i S i ξ, η H,H  =  Ω i  k 1i ∂(L i ξ) ∂x 1 ∂(L i η) ∂x 1 + k 2i ∂(L i ξ) ∂x 2 ∂(L i η) ∂x 2  dx, ∀ξ, η ∈ H. (2.2.22) Trong trường hợp, nếu S i ξ ∈ L 2 (Γ) ta có S i ξ, η H  ,H = (S i ξ, η) L 2 (Γ) . Do đó, S i là đối xứng và xác định dương (trong 2.2.3). Vì vậy, S 1 ξ, η H,H  xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ H và 6 chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là tương đương với chuẩn của H 1/2 (Γ). Ký hiệu tích vô hướng này và chuẩn tương ứng bởi (., .) S 1 và . S 1 . Với (ξ, η) S 1 = S 1 ξ, η H  ,H , ta có (Bξ, η) S 1 =  S 1 (I + S −1 1 S 2 )ξ, η  H  ,H = S 1 ξ, η H  ,H + S 2 ξ, η H  ,H . Vì S 1 và S 2 là đối xứng, toán tử B là đối xứng. Hơn nữa, giả sử khi chia Ω thành hai miền con Ω 1 và Ω 2 , tồn tại các hằng số 0 < m  M sao cho m  S 2 ξ, ξ H  ,H S 1 ξ, ξ H  ,H  M, ∀ξ ∈ H. (2.2.26) Khi đó (1 + m)I  B  (1 + M)I trong không gian năng lượng của S 1 . Theo lý thuyết tổng quát của lược đồ lặp hai lớp, nếu 0 < τ < 2 1 + M (2.2.27) thì I − τ B S 1 < 1. Do đó, quá trình lặp (2.2.20) hội tụ và ta có u (k) i → u i trong H 1 (Ω i ) khi k → ∞. (2.2.30) Như vậy, giới hạn của nghiệm xấp xỉ được tính bởi quá trình lặp (2.2.6)-(2.2.8) chính là nghiệm của bài toán (2.2.1)-(2.2.3). Theo Samarskii giá trị tối ưu τ trong quá trình lặp(2.2.20) là τ opt = 2 2 + m + M (2.2.32) Giá trị này của τ thỏa mãn đánh giá    e (k) 1    Γ    S 1 ≤ ρ (k)    e (0) 1    Γ    S 1 , trong đó ρ = M −m 2 + m + M . (2.2.34) Theo các chuẩn tương đương ||.|| S 1 và ||.|| H 1/2 (Γ) , từ (2.2.28) ta thu được    e (k) i    H 1 (Ω i ) ≤ Cρ k    e (0) 1    Γ    H 1/2 (Γ) , (2.2.35) Định lý 2.2.1. Theo giả thiết (2.2.26) về các miền con Ω 1 và Ω 2 , phương pháp lặp (2.2.6)-(2.2.8) giải bài toán (2.2.1)-(2.2.3) hội tụ nếu tham số lặp τ thỏa mãn điều kiện (2.2.27). Và với giá trị tối ưu τ opt cho bởi (2.2.32) ta có ước lượng (2.2.35) cho các sai số, trong đó e (k) i = u (k) i −u i và ρ được tính bởi (2.2.34). 2.1.4. Một trường hợp riêng Xét trường hợp khi Ω là miền chữ nhật [0, 1] × [0, b] được chia thành hai miền con Ω 1 và Ω 2 bởi biên phân cách Γ = {x 1 = r, 0  x 2  b}, 0 < r < 1. Các hệ số a(x) = 0 và k 1 (x), k 2 (x) được cho như sau k 1 (x) =    k 11 , x ∈ Ω 1 k 12 , x ∈ Ω 2 , k 2 (x) = 1, x ∈ Ω trong đó k 11 , k 12 là các hằng số dương. Bằng phương pháp tách biến ta tìm được nghiệm của bài toán và thiết lập được công thức cho tham số lặp tối ưu τ opt = 2 2 +  k 11 k 12     1 + tanh  πr b √ k 11  tanh  π (1 −r) b √ k 12      . 7 2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm Ví dụ 2.1.3. Xét bài toán trong miền Ω = [0, 1] × [0, 1] biết nghiệm đúng là u (x 1 , x 2 ) =  (x 2 1 + 1) e x 2 trong Ω 1 = [0, r] × [0, 1] , (x 2 1 + x 1 + 0.5) e x 2 trong Ω 2 = [r, 1] × [0, 1] . với điều kiện biên Dirichlet và các hệ số là các hằng số k 1 (x) =  2, x ∈ Ω 1 1, x ∈ Ω 2 , k 2 (x) = 1 trong Ω. Sự hội tụ của quá trình lặp tương ứng với các trường hợp r = 0.5 và một trường hợp r = 0.3 được cho trong các Bảng 2.1 và Bảng 2.2 cùng với các đồ thị nghiệm tương ứng được cho trong các Hình 2.2 và Hình 2.3 (trong mục 2.2.5 của luận án). Hình 2.3: Đồ thị nghiệm tương ứng với r = 0.3. Ví dụ 2.1.4. Thử nghiệm phương pháp lặp với bài toán trên trong miền hình học phức tạp nhận được kết quả về sự hội tụ với tham số lặp tốt nhất là 0.6 như ví dụ trên. Hình 2.5. Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong miền dạng L. Ví dụ 2.1.5. Áp dụng phương pháp lặp cho mô hình bài toán truyền nhiệt trong môi trường 3 lớp không đồng nhất với lớp cách nhiệt có độ dày hữu hạn (Hình 2.6) thu được nghiệm xấp xỉ sau 7 bước lặp với sai số so với nghiệm đúng là 10 −4 . Đồ thị nghiệm xấp xỉ được cho trong Hình 2.7. Kết quả này tương tự như kết quả mà các tác giả Seyidmamedov và Ozbilge đã tìm được bằng phương pháp sai phân trên lưới không đều. Các kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp lặp được đề xuất để giải bài toán mặt phân cách với mục đích đưa bài toán mặt phân cách về một dãy các bài toán trên các miền con đã chứng tỏ được một số ưu điểm: Có thể tận dụng được những thuật toán với độ chính xác cao có sẵn để giải các bài toán con này, sự hội tụ nhanh của phương pháp cũng đã được chứng minh và kiểm tra qua các ví dụ thử nghiệm. Hơn nữa, phương pháp lặp này còn đặc biệt hiệu quả khi miền tính toán bao gồm các hình chữ nhật, khi đó miền tính toán sẽ được chia thành nhiều miền con và mỗi bài toán 8 Hình 2.6. Miền Ω với lớp cách nhiệt Ω δ . Hình 2.7. Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán trong môi trường 3 lớp không đồng nhất. bậc hai trong các miền con sẽ được giải bằng các phần mềm hiệu quả có sẵn. 2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trình elliptic Phần này trình bày một phương pháp lặp song song mới đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về một dãy các bài toán hỗn hợp yếu, dễ giải. Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh và các thử nghiệm tính toán cũng được thực hiện để kiểm tra hiệu quả của phương pháp. Kết quả đã được công bố trong công trình [4]. 2.2.1. Mô tả phương pháp Trong miền chữ nhật Ω = {(x 1 , x 2 ) | 0 < x 1 < l 1 , 0 < x 2 < l 2 } với biên ∂Ω được cấu thành từ hai phần biên Γ N = {(x 1 , 0) | a < x 1 < l 1 } và Γ D = ∂Ω\Γ N , xét bài toán biên hỗn hợp mạnh có dạng: Lu = f(x), x ∈ Ω, u = g(x), x ∈ Γ D , ∂u ∂ν = ϕ(x), x ∈ Γ N . (2.3.1) trong đó L là toán tử elliptic Lu ≡ − ∂ ∂x 1  a 1 (x) ∂u ∂x 1  − ∂ ∂x 2  a 2 (x) ∂u ∂x 2  , a i (x)  c i > 0, (i = 1, 2). Chia miền Ω thành hai miền con Ω 1 và Ω 2 bởi đường thẳng x 1 = a và biên phân cách các miền con là Γ. Ký hiệu biên của miền Ω i bởi ∂Ω i , (i = 1, 2) và Γ D 1 = ∂Ω 1 ∩Γ D , Γ D 2 = ∂Ω 2 ∩ Γ D , u = (u 1 , u 2 ), với u i là nghiệm trong miền Ω i , ν i là pháp tuyến ngoài của ∂Ω i , (i = 1, 2). Bài toán (2.3.1) giải được nếu tìm được ∂u 1 /∂ν 1 trên Γ. Đặt ∂u 1 /∂ν 1 = ψ trên Γ, khi đó sơ đồ lặp song song tìm ψ như sau: (i) Cho trước ψ (0) ∈ L 2 (Γ), chẳng hạn ψ (0) = 0, x ∈ Γ. (ii) Với mỗi giá trị ψ (k) , k = (0, 1, 2, ) trên Γ tiến hành giải song song các bài toán hỗn hợp yếu Lu (k) 1 = f trong Ω 1 , u (k) 1 = g trên Γ D 1 , ∂u (k) 1 ∂ν 1 = ψ (k) trên Γ, (2.3.3) 9 [...]... tụ của phương pháp và kiểm tra sự hội tụ bằng nhiều ví dụ thử nghiệm Áp dụng giải hai mô hình bài toán trong cơ học, đó là bài toán về vết nứt và bài toán về độ võng của bản có một hoặc hai giá đỡ bên trong Qua các kết quả nghiên cứu cả về lý thuyết và thử nghiệm, so sánh với một số phương pháp như: Phương pháp SFBIM giải bài toán vết nứt, phương pháp phương trình chuỗi cặp giải bài toán bản với một. .. mạnh, chứng minh sự hội tụ của phương pháp, tìm khoảng tham số lặp tối ưu cho một trường hợp riêng và áp dụng giải bài toán Motz Phương pháp này cho phép giải bài toán biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song (3) Đề xuất một phương pháp kết hợp giữa chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Các kết... nhiều ví dụ và so sánh với các phương pháp khác (Phương pháp SFBIM, phương pháp phương trình chuỗi cặp, ) chứng tỏ tính hiệu quả của các phương pháp đã được đề xuất (4) Xây dựng một thư viện chương trình giải số bài toán biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các điều kiện biên khác nhau dựa trên thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nikolaev... cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm, luận án đã đề xuất các phương pháp hiệu quả giải một số bài toán đối với phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp phức tạp nảy sinh từ cơ học và vật lý Các kết quả chính của luận án bao gồm: (1) Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn,... kết hợp với các phương pháp khác cho bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được trình bày trong chương 3 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH Chương này trình bày kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp các ý tưởng: hạ cấp phương trình, chia miền và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều... Tuy nhiên phương pháp lặp song song có ưu điểm: cho phép giải các bài toán hỗn hợp mạnh cỡ lớn trên các hệ thống xử lý song song 2.2.5 Áp dụng giải bài toán Motz Phương pháp lặp song song được áp dụng giải bài toán Motz, một bài toán biên hỗn hợp mạnh thường được sử dụng để thử nghiệm các phương pháp giải số Kết quả khảo sát dáng điệu đạo hàm khi có sự thay đổi đột ngột các loại điều kiện biên qua điểm... các điều kiện biên hỗn hợp mạnh, từ đó đưa ra lời giải của hai bài toán: Bài toán vết nứt (Crack Problem) và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong (Problems for Plates with Partial Internal Supports) Các kết quả đã được công bố trong các công trình [2] và [3] 11 3.2 Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 3.2.1 Phát biểu bài toán Xét bài toán song điều... chất của các bài toán cơ học trong thực tế Kết luận chương 2 Chương 2 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm, dựa vào tính chất gián đoạn của hệ số qua mặt phân cách đưa bài toán biên với hệ số gián đoạn về các bài toán đơn giản hơn trong các miền con có tính chất liên tục Với bài toán biên của phương. .. Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản Hình 3.8 và Hình 3.9 về một dãy các bài toán biên với phương trình Poisson với mục đích sử dụng các phương pháp hiệu quả và các phần mềm có sẵn cho các phương trình cuối Phương pháp này không chỉ áp dụng cho bài toán một LPIS mà còn sử dụng rất hiệu quả cho bài toán hai LPIS trong khi với trường hợp bản có hai LPIS thì phương pháp. .. 0.7455 Đánh giá trên của B và Định lý 2.3.4 bảo đảm rằng, nếu 0 < τ < 2.6826 thì quá trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) hội tụ 10 2.2.4 Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp Ngoài phương pháp lặp song song đã trình bày, để dẫn bài toán biên hỗn hợp mạnh về một dãy các bài toán hỗn hợp yếu có thể áp dụng các phương pháp chia miền khác, trong đó trên mỗi bước lặp cần giải liên tiếp hai bài toán hỗn . trình [1] và [4]. 2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) là bài toán biên elliptic, . TIN TRƯƠNG HÀ HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số : 62.46.30.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể. cứu Mục đích của luận án: Nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic và phương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Phương pháp nghiên