Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội (TT)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …… ….***………… TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 Công trình hoàn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS TS Đặng Quang Á Phản biện 1: PGS TS Hà Tiến Ngoạn Phản biện 2: PGS TS Hoàng Văn Lai Phản biện 3: TS Nguyễn Công Điều Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … …, ngày … tháng … năm 201… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Nhiều toán vật lý, học, môi trường, đặt miền không giới nội (hay gọi miền vô hạn), chẳng hạn, toán truyền nhiệt dài vô hạn nửa vô hạn, toán lan truyền khí thải khí quyển, toán thăm dò địa chất điện trường, toán lan truyền sóng lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học, điện từ, Để giải toán này, người ta thường hạn chế xét toán miền giới nội sử dụng nhiều phương pháp có để tìm nghiệm xác nghiệm gần miền hữu hạn Khi loạt vấn đề đặt xét miền rộng đủ đặt điều kiện biên ảo để thu nghiệm gần xấp xỉ tốt nghiệm toán miền không giới nội Cách làm đơn giản chuyển nguyên điều kiện biên vô vào biên ảo Cách làm thô thiển tất nhiên dẫn đến sai khác lớn nghiệm toán gốc Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cách đặt điều kiện biên thích hợp biên ảo Những điều kiện biên gọi điều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) số "năng lượng" bị hấp thụ biên Hiện nay, hầu hết kỹ thuật áp dụng để thiết lập ABC chia thành hai cách thực hiện: Cách thứ (ABC toàn cục), ABC thường cho dạng biểu thức tích phân biên ảo ABC toàn cục thường đạt độ xác cao thuật toán số tin cậy lại phức tạp khó thực tính toán Cách thứ hai (ABC địa phương), ABC thường cho dạng phương trình biên ảo ABC địa phương có thuật toán đơn giản, dễ dàng thực giải số nhiên chúng lại có độ xác không cao Tsynkov thực so sánh số toán đánh giá khác biệt hai cách thực Nếu nghiệm xấp xỉ hạn chế miền giới nội trùng với nghiệm xác miền không giới nội ABC gọi ABC xác hay điều kiện biên suốt (transparent boundary condition) Trong toán phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa chấn, ), ABC thường đề cập đến điều kiện biên không phản xạ (NRBC) (non-reflecting boundary condition) Chúng xây dựng với mục đích xấp xỉ nghiệm xác toán miền không giới nội giới hạn miền giới nội Sử dụng NRBC, miền không giới nội chia thành hai phần, miền hữu hạn tính toán miền vô hạn lại Điều kiện biên đặc biệt thiết lập ABC đảm bảo nghiệm miền hữu hạn (hoặc ít) phản xạ sóng ảo xảy từ ABC Đây hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học, học, vật lý quan tâm Các ABC xác nghiên cứu cho phương trình truyền nhiệt, phương trình khuếch tán-truyền tải, phương trình Schrodinger, Trong toán miền không giới nội sử dụng ABC, có nhận xét giả thiết toán gốc, hàm vế phải điều kiện biên ban đầu thông thường giả thiết có giá compact không gian Đây điều kiện quan trọng việc chia miền không giới nội thành hai miền tính toán giới nội không giới nội phương pháp sử dụng ABC Gần số nhà toán học Nga đề xuất cách xử lý toán miền vô hạn, sử dụng lưới tính toán tựa Phương pháp dựa việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới miền giới nội Một lưới miền bị chặn ánh xạ tới lưới không gọi lưới tựa miền vô hạn Theo lưới tựa đều, điều kiện biên vô xử lý cách dễ dàng Ý tưởng phương pháp xuất từ năm bảy mươi kỷ trước việc sử dụng để giải toán miền không giới nội cách thập kỷ Khác với cách làm trên, tiếp cận tới toán biên tuyến tính miền không giới nội hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Nói xác xây dựng lược đồ sai phân toán toàn miền không giới nội giải hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính thu thông qua việc chặt cụt hệ phương trình vô hạn, thu nghiệm toán sai phân với sai số cho trước Một số kết toán ô nhiễm khí dừng số toán không dừng chiều không gian công bố Gần đây, phát triển thành công phương pháp cho toán elliptic nửa dải Cụ thể là, sau rời rạc hóa toán phương pháp sai phân, sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng đưa hệ vô hạn phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình sai phân vô hướng ba điểm thu nhận nghiệm gần toán với sai số cho trước Cần nhấn mạnh rằng, phương pháp hàm vế phải điều kiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên phương pháp sử dụng ABC Có thể nói phương pháp mới, áp dụng có hiệu toán miền không giới nội mà phương trình cuối đưa dạng hệ phương trình vô hạn ba điểm Phương pháp sử dụng cách linh hoạt kết hợp với phương pháp khác phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh miền không giới nội Hơn nữa, thuật toán số dễ dàng lập trình tính toán máy tính điện tử Tuy nhiên áp dụng thành công phương pháp cho toán biên tuyến tính miền không giới nội Những đóng góp luận án: - Đề xuất phương pháp hệ vô hạn giải số toán chiều nửa trục - So sánh phương pháp hệ vô hạn lưới cấu trúc phương pháp lưới tựa - Thiết lập ổn định hội tụ phương trình elliptic nửa dải, đề xuất phương pháp đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vô hướng ba điểm - Đề xuất phương pháp lặp giải toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải - Đề xuất phương pháp số giải toán song điều hòa nửa dải Nội dung luận án gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ bao gồm số kiến thức phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng ba điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa giới thiệu thư viện chương trình giải số toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp yếu Các kiến thức kết thu chương đóng vai trò quan trọng, làm tảng cho kết trình bày chương chương Chương đề xuất phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa giải số toán chiều nửa trục mô hình trình vật lý truyền nhiệt dừng, truyền nhiệt không dừng, toán mô tượng sóng, so sánh phương pháp hệ vô hạn lưới đều, lưới không với nút lưới tăng dần phương pháp lưới tựa Chương trình bày kết nghiên cứu giải gần số toán hai chiều miền không giới nội Đầu tiên giải toán elliptic nửa dải, sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vô hướng ba điểm Tiếp theo giải toán biên hỗn hợp mạnh nửa dải, có điểm biên vô hạn phân cách loại điều kiện biên, sử dụng phương pháp chia miền đưa hai toán elliptic miền giới nội miền không giới nội Đồng thời chương trình bày phương pháp số giải toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu nửa dải thông qua việc giải hai toán cấp hai nửa dải Trong luận án, kết lý thuyết kiểm tra thực nghiệm tính toán lập trình môi trường MATLAB 7.0 máy tính Intel Core i7-2670QM CPU 2.2GHz Chương Một số kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ Chương luận án giới thiệu kiến thức phục vụ cho việc trình bày kết nghiên cứu đạt chương sau luận án Cụ thể: 1.1 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng ba điểm: Các khái niệm hệ phương trình vô hướng ba điểm, phương pháp truy đuổi từ phải, từ trái từ hai phía, trình bày tính khả thi ổn định phương pháp 1.2 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính: Trình bày khái niệm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, nghiệm chính, định lý so sánh Định nghĩa hệ quy hoàn toàn quy, trình bày định lý tồn tại, nghiệm chặt cụt hệ vô hạn 1.3 Lưới tựa đều: Trình bày khái niệm lưới tựa đều, số lưới tựa thông dụng tính chất chúng Các xấp xỉ đạo hàm lưới tựa 1.4 Thư viện chương trình giải toán elliptic miền chữ nhật: Giới thiệu thư viện chương trình giải toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp yếu miền chữ nhật Trong mục 1.2 trình bày kết hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Xét hệ phương trình vô hạn ∞ xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ) (1.2.2) k=1 Nghiệm tìm phương pháp xấp xỉ liên tiếp với giá trị ban đầu không gọi nghiệm ∞ (n+1) xi (n) = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ; n = 0, 1, 2, ), k=1 (0) xi = 0, (n) lim xi n→+∞ = x∗ i Định nghĩa 1.2.8 Hệ vô hạn (1.2.2) gọi hệ quy ∞ |ci,k | < (i = 1, 2, ) (1.2.10) |ci,k | ≤ − θ < 1, < θ < (i = 1, 2, ) (1.2.11) k=1 Nếu ∞ k=1 hệ gọi hoàn toàn quy Ta ký hiệu ∞ |ci,k | (i = 1, 2, ) ρi = − (1.2.12) k=1 Hệ quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn quy cho ρi ≥ θ > Giả sử tồn số K thỏa mãn |bi | ≤ Kρi (i = 1, 2, ) (K = const > 0) (1.2.13) Định lý 1.2.9 (Sự tồn nghiệm bị chặn) Nếu hệ số tự hệ vô hạn quy (1.2.2) thỏa mãn điều kiện (1.2.13) có nghiệm bị chặn |xi | ≤ K nghiệm tìm phương pháp xấp xỉ liên tiếp Định lý 1.2.16 (Bondarenko P.S.) Hệ quy có không nghiệm tiến tới 0, nghĩa lim xi = i→∞ Hơn hệ số hệ số tự hệ quy dương nghiệm dương dần tới nghiệm Định lý 1.2.17 (Sự chặt cụt) Nghiệm hệ quy ∞ ci,k xk + bi (i = 1, 2, ) xi = (1.2.16) k=1 với hệ số tự thỏa mãn điều kiện |bi | ≤ Kρi tìm phương pháp "chặt cụt", nghĩa xN nghiệm hệ hữu hạn i N xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, , N ) (1.2.17) k=1 x∗ = lim xN i i N →∞ (1.2.18) Chương Phương pháp hệ vô hạn giải số toán biên tuyến tính chiều nửa trục Trong toán miền không giới nội sử dụng điều kiện biên nhân tạo, cần lưu ý giả thiết toán gốc, hàm vế phải điều kiện biên ban đầu giả thiết có giá compact không gian Còn trường hợp ngược lại, phải tìm cách giải toán phương pháp khác Ở tiếp cận tới toán miền không giới nội hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Nói xác xây dựng lược đồ sai phân toán toàn miền vô hạn hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, xác định tiêu chuẩn chặt cụt hệ để thu nghiệm toán sai phân với sai số cho trước Trong chương này, đề xuất nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính giải số toán biên chiều miền không giới nội: toán truyền nhiệt dừng chiều, toán truyền nhiệt chiều, phương trình dạng phức hợp Các kết chương công bố công trình [1] [3] 2.0 Phương pháp chặt cụt loại phương trình sai phân ba điểm Xét hệ vô hạn phương trình sai phân vô hướng ba điểm −Ai vi−1 + Ci vi − Bi vi+1 = fi , i = 1, 2, (2.0.1) C0 v0 − B0 v1 = f0 , vi → 0, i → ∞, ≤ B0 < C0 , < Ai ≤ K, < Bi ≤ K, < D0 ≤ di = Ci − (Ai + Bi ) ≤ D1 , i = 1, 2, Để giải hệ trên, đặt Ai p0 = 0, pi = , i = 1, 2, Ci Bi fi qi = , ri = , i = 0, 1, 2, Ci Ci (2.0.2) (2.0.3) ta viết hệ (2.0.1) dạng tắc hệ vô hạn phương trình (1.2.2) sau: vi = pi vi−1 + qi vi+1 + ri , i = 0, 1, 2, (2.0.4) vi → 0, i → ∞ Ta có ρ0 = − p − q = − B0 > 0, C0 di < pi , qi < 1; ρi = − pi − qi = > 0, i = 1, 2, Ci (2.0.5) Do hệ (2.0.4) quy Hơn nữa, hoàn toàn quy dễ thấy ρi ≥ θ, i = 1, 2, với θ= (2.0.6) D0 D1 + 2K fi ri ri = Khi đó, từ lim fi = suy → Vì i→∞ ρi di ρi thế, tồn số K ∗ thỏa mãn |ri | ≤ K ∗ ρi với i Khi theo Định lý 1.2.17, nghiệm hệ vô hạn (2.0.4) xác định phương pháp chặt cụt Một câu hỏi đặt xác định cỡ hệ chặt cụt nhằm đảm bảo nghiệm xấp xỉ với sai số cho trước Dưới ta đưa phương pháp xác định cỡ hệ chặt cụt Theo phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo, ta tìm nghiệm (2.0.4) dạng vi = αi+1 vi+1 + βi+1 , i = 0, 1, , (2.0.7) Từ (2.0.3) (2.0.5) ta có hệ số xác định công thức α1 = q0 , β1 = r0 , ri + pi βi qi , βi+1 = , i = 1, 2, αi+1 = − p i αi − pi αi (2.0.8) Bổ đề 2.0.1 Nếu hệ số hệ (2.0.1) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) có nghiệm hệ số αi βi thỏa mãn đánh giá sau: (i) < αi < (i = 2, 3, ) βi → i → ∞ (ii) |βi | → i → ∞ − αi Định lý 2.0.2 Trong điều kiện Bổ đề 2.0.1, ta gọi {vi }∞ nghiệm i=0 hệ vô hạn (2.0.1) {¯i }∞ nghiệm hệ chặt cụt v i=0 vi = pi vi−1 + qi vi+1 + ri , i = 0, 1, , N, ¯ ¯ ¯ vi = 0, ∀i ≥ N + ¯ (2.0.9) Khi đó, cho trước độ xác ε > số tự nhiên N nói chọn từ điều kiện: |βi | (2.0.10) ≤ ε, ∀i ≥ N + 1 − αi ta có đánh giá sai số: sup |vi − vi | ≤ ε ¯ (2.0.11) i≥0 Nhận xét 2.0.3 Định lý cho phép trình tính hệ số truy đuổi cho hệ (2.0.7) xác định cắt cụt hệ vô hạn (2.0.4) để đảm bảo nghiệm hệ cắt cụt sai khác so với nghiệm hệ vô hạn không ε cho trước Nhận xét 2.0.4 Trong trình thực nghiệm tính toán, ta tiến hành khảo sát βi đồ thị hàm 1−αi dùng đồ thị đối sánh với ε để tìm N thỏa mãn (2.0.10) 2.1 Phương pháp hệ vô hạn giải toán dừng chiều nửa trục 2.1.1 Mô tả phương pháp hệ vô hạn Chúng trình bày chi tiết phương pháp hệ vô hạn mô hình toán truyền nhiệt dừng nửa vô hạn −(ku ) + du = f (x), x > 0, u(0) = µ0 , u(+∞) = (2.1.1) với giả thiết hàm k(x), d(x), f (x) liên tục < K0 ≤ k(x) ≤ K1 , < D0 ≤ d(x) ≤ D1 , f (x) → x → ∞ (2.1.2) Để giải toán (2.1.1)-(2.1.2), ta sử dụng lưới ω h = {xi = ih, i = 0, 1, }, xét lược đồ sai phân xấp xỉ cấp O(h2 ) toán (2.1.1) vi+1 − vi vi − vi−1 ai+1 − h h h v0 = µ0 , vi → 0, i → ∞, − + di vi = fi , i = 1, 2, = k(xi − h/2), di = d(xi ), fi = f (xi ) Viết lại lược đồ sai phân dạng phương trình sai phân vô hướng ba điểm −Ai vi−1 + Ci vi − Bi vi+1 = fi , i = 1, 2, v0 = µ0 , vi → 0, i → ∞, (2.1.13) ai+1 , Bi = , Ci = Ai + Bi + di (2.1.14) h2 h Hệ (2.1.13) có dạng (2.0.1) với C0 = 1, B0 = Dễ thấy điều kiện (2.0.2) thỏa mãn: Ai = 0< K0 K1 ≤ Ai ≤ , h2 h 0< K0 K1 ≤ Bi ≤ , h2 h , 2(xi+1/2 − xi−1/2 )(xi−1/4 − xi−3/4 ) ai+1 Bi = 2(xi+1/2 − xi−1/2 )(xi+3/4 − xi+1/4 ) Ai = (2.1.19) Các công thức (2.1.18) chứa vNq = v∞ = không chứa xNq = ∞ Như thay giải hệ vô hạn phương trình ba điểm, sử dụng lưới tựa ta đưa toán (2.1.1)-(2.1.2) việc giải hệ hữu hạn phương trình ba điểm (2.1.18) với Nq − ẩn vi 2.1.3 Kết thử nghiệm so sánh hai phương pháp hệ vô hạn lưới tựa Dưới trình bày thực nghiệm tính toán để chứng tỏ tính hữu hiệu phương pháp đề xuất số ví dụ, toán (2.1.1) có nghiệm cho trước Các hàm vế phải tương ứng dần tới vô Các thực nghiệm tính toán thực lưới (UG) với bước lưới h; lưới không với bước lưới tăng dần hi+1 = rhi , i = 1, 2, , mà dễ tham chiếu ta ký hiệu lưới Lr Tham số điều khiển r > lựa chọn cách thích hợp thực nghiệm để đạt nghiệm xấp xỉ với độ xác cao giảm số điểm chặt cụt hệ vô hạn Trong ví dụ này, ta chọn tham số điều khiển r = 1.1 lưới tựa đều, chọn tham số điều khiển c = 1, thực lưới tựa LG, TG, HG Trong bảng kết thu N cỡ hệ chặt cụt với độ xác ε theo Định lý 2.0.2, error = max |vi − u(xi )| biểu 0≤i≤N diễn sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác Để so sánh hiệu phương pháp hệ vô hạn lưới không Lr phương pháp lưới tựa đều, ta chọn Nq số N chặt cụt hệ vô hạn trường hợp lưới Lr Ví dụ 2.1.1 Xét toán (2.1.1) với k(x) = + 1 , d(x) = + sin2 x, u = , h = 0.1, h1 = 0.01 1+x x +1 Kết hội tụ phương pháp trình bày Bảng 2.1 Từ bảng thấy sử dụng lưới không Lr cho sai số bé điểm phải chặt cụt hệ vô hạn nhỏ nhiều so với sử dụng lưới Trong trường hợp lưới đều, error = 0.0012 > ε = 0.001 error biểu diễn sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác sup|vi − vi | ≤ ε đánh giá nghiệm chặt cụt ¯ i≥0 nghiệm hệ sai phân Dễ thấy u(x) hàm giảm nhanh lưới TG HG cho ta nghiệm xấp xỉ tốt lưới LG xi >> lưới tựa cho kết với sai số tương đương với sai số lưới Lr Ví dụ 2.1.2 Chọn u = sin x , k(x) = 1, d(x) = + sin2 x, h = 0.1, h1 = 0.001 x+1 Kết hội tụ phương pháp trình bày Bảng 2.2 Từ bảng thấy trường hợp hàm u(x) dao động giảm dần, phương pháp 10 ε Bảng 2.1: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.1.1 UG Lr LG TG HG ε N , error N , error error error error 0.01 108, 0.0085 49, 6.5294e-004 0.0335 2.2832e-004 2.6571e-004 0.001 325, 0.0012 61, 6.5291e-004 0.0302 1.4723e-004 1.7151e-004 Bảng 2.2: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.1.2 ε UG Lr LG TG HG ε N , error N , error error error error 0.1 118, 0.0395 72, 0.0167 0.0898 0.0209 0.0236 0.01 911, 0.0084 88, 0.0077 0.09 0.0215 0.0173 hệ vô hạn lưới Lr cho nghiệm xấp xỉ tốt chút so với phương pháp sử dụng lưới tựa 2.2 Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình parabolic nửa vô hạn Xét toán truyền nhiệt với hệ số k > ∂u ∂ 2u − k = f (x, t), < x < +∞, t > 0, ∂t ∂x u(x, 0) = ϕ(x), u(0, t) = ψ(t), u(x, t) → 0, f (x, t) → 0, x → ∞ (2.2.2) Sử dụng lưới ω h,τ lược đồ sai phân ẩn túy với xấp xỉ cấp O(h2 +τ ) ta thu phương trình sai phân vô hướng ba điểm lớp thời gian j toán (2.2.2) j j j −Ai vi−1 + Ci vi − Bi vi+1 = Fij , i = 1, 2, , j = 1, 2, j j v0 = ψ(tj ), vi → 0, i → ∞, (2.2.3) hệ số xác định: k , i = 1, 2, (2.2.4) h2 Trong trường hợp lưới không ω h,τ theo biến x, hệ số (2.2.3) xác định: k k Ai = , Bi = , i = 1, 2, (2.2.5) i hi i hi+1 Trong trường hợp lưới tựa theo biến x ta có lược đồ sai phân vô hướng ba điểm hữu hạn (2.2.2): Ai = Bi = j j j −Ai vi−1 + Ci vi − Bi vi+1 = Fij , i = 1, 2, , Nq − 1, j = 1, 2, j v0 = ψ(tj ), vNq = 0, 11 (2.2.6) hệ số tính công thức k , 2(xi+1/2 − xi−1/2 )(xi−1/4 − xi−3/4 ) k Bi = , 2(xi+1/2 − xi−1/2 )(xi+3/4 − xi+1/4 ) i = 1, 2, , Nq − Ai = (2.2.7) Trong phương trình (2.2.3) (2.2.6) ta có j−1 vi j j−1 , j = 1, 2, Ci = Ai + Bi + , Fi = fi + τ τ Hệ phương trình sai phân (2.2.3) có dạng (2.0.1) với C0 = 1, B0 = Trong trường hợp lưới Ai , Bi số, trường hợp lưới không ta có k k k k ≤ Ai ≤ ¯ , < ≤ Bi ≤ ¯ , i = 1, 2, 0< h h h2 h2 hai trường hợp di = Ci − (Ai + Bi ) = 1/τ số (i = 1, 2, ) Do điều kiện (2.0.2) thỏa mãn Như ta chặt cụt hệ phương trình sai phân (2.2.3) theo Định lý 2.0.2 để thu nghiệm xấp xỉ với sai số ε cho trước 2.3 Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình dạng phức hợp Xét toán mô sóng âm i ôn chất lỏng phân tầng không nén được: ∂ 2u ∂ ∂ 2u − u + = 0, x > 0, t > 0, ∂t2 ∂x2 ∂x ∂u u(0, t) = f (t), u(+∞, t) = 0, u(x, 0) = f1 (x), (x, 0) = ∂t (2.3.1) Ở hàm f1 (x) giả thiết có đạo hàm cấp hai Đặt φ = ∂ u − u, toán (2.3.1) phân rã thành hai toán cấp ∂x2 hai liên tiếp ∂ 2φ + φ + u = 0, ∂t2 (2.3.2) ∂φ (x, 0) = φ(x, 0) = f1 (x) − f1 (x), ∂t ∂ 2u − u = φ(x, t), (2.3.3) ∂x2 u(0, t) = f (t), u(+∞, t) = Sử dụng lưới với bước lưới h, τ , thay toán vi phân lược đồ sai phân φj+1 − 2φj + φj−1 j i i i + φj + vi = 0, i = 0, 1, , j = 1, 2, i τ2 φi = f1 (xi ) − f1 (xi ), φ1 = φ0 i i 12 (2.3.4) j+1 j+1 j+1 vi−1 − 2vi + vi+1 j+1 − + vi = −φj+1 , i = 1, 2, , j = 0, 1, i h j+1 j+1 v0 = f j+1 , vi → 0, i → ∞ (2.3.5) Từ lược đồ sai phân (2.3.4) dễ dàng tính φj+1 Sau sử dụng kỹ thuật i j+1 hệ vô hạn lược đồ (2.3.5) để tính vi Ví dụ 2.3.2 Cho điều kiện biên trái f (t) = 0, điều kiện biên ban đầu u(x, 0) = x3 e−x Thực tính toán với τ = 2, t = 4, 6, 8, 10, 12 lưới h = 0.1, ε = 0.01 cho ta N = 258, time = 0.1404, lưới Lr , h1 = 0.01, ε = 0.01 cho ta N = 59, time = 0.1248 lưới tựa HG với Nq = 100 cho ta time = 0.1248 Kết luận chương Trong chương đề xuất nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính giải số toán chiều không gian phụ thuộc không phụ thuộc thời gian, cốt lõi cách xác định cắt cụt hệ vô hạn để đảm bảo thu nghiệm gần với sai số cho trước Phương pháp thể ưu so với phương pháp lưới tựa nhà toán học Nga đề xuất số toán phụ thuộc thời gian, đặc biệt toán truyền sóng 13 Chương Phương pháp gần giải số toán biên tuyến tính hai chiều nửa dải Trong chương tiếp tục áp dụng phương pháp hệ vô hạn đề xuất chương trước cho số toán hai chiều toán elliptic nửa dải, sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vô hướng ba điểm Tiếp theo tiến hành giải toán biên hỗn hợp nửa dải có điểm biên vô hạn phân cách loại điều kiện biên, sử dụng phương pháp chia miền dẫn tới việc giải toán miền giới nội miền không giới nội Đối với toán song điều hòa nửa dải, đưa giải toán elliptic cấp hai nửa dải Các kết chương công bố công trình [2], [4], [5], [6] 3.1 Phương pháp hệ vô hạn giải toán elliptic nửa dải Xét toán elliptic nửa dải: ∂ 2u ∂u ∂ 2u − b(x)u = f (x, y), Lu = γ + γ + a(x) ∂x ∂y ∂x x > 0, < y < 1, u(x, 0) = ϕ1 (x), u(x, 1) = ϕ2 (x), u(0, y) = ψ(y), u → 0, x → +∞, (3.1.1) với giả thiết thông thường, hàm (3.1.1) liên tục γ > 0, |a(x)| ≤ r, ≤ b(x) ≤ B, f (x, y) → 0, ϕi (x) → 0, x → +∞ 3.1.1 Xây dựng lược đồ sai phân Xét lưới ω h = {(xi , yj ), xi = ih1 , yj = jh2 , i = 0, 1, , j = 0, 1, , M } Ký hiệu tập điểm biên ω h Γh , tập điểm ωh Khi ta có lược đồ sai phân toán vi phân (3.1.1): Lh v ≡ γvyy + κ γvxx + a+ vx + a− vx − bv = fij , (x, y) ∈ ωh , vi,0 = ϕ1 (xi ), vi,M = ϕ2 (xi ), v0,j = ψ(yj ), vi,j → 0, i → +∞ 14 (3.1.2) 1 κ = 1+R , R = h1 |a(x)| , a = a+ + a− , a+ = (a + |a|) ≥ 0, a− = γ (a − |a|) ≤ 3.1.2 Sự ổn định hội tụ Viết lại (3.1.2) dạng Lh v = F, (x, y) ∈ ωh , v = Φ, (x, y) ∈ Γh , (3.1.3) với Lh v = −Lh v, F = −f, (x, y) ∈ ωh , v = Φ, (x, y) ∈ Γh Nguyên lý cực đại Giả sử hàm lưới v = const Khi đó: (i) Nếu Lh v 0, ∀(x, y) ∈ ωh v không đạt cực tiểu âm nút (x, y) ∈ ωh (ii) Nếu Lh v 0, ∀(x, y) ∈ ωh v không đạt cực đại dương nút (x, y) ∈ ωh Định lý 3.1.5 (Sự ổn định) Bài toán (3.1.3) có nghiệm với F, Φ với h2 ≤ 0.1 max|vi,j | ωh (0.05) ( sin0.052 γ + b) cos max|Fi,j | + max|Φi,j | ωh Γh Định lý 3.1.6 (Sự hội tụ) Lược đồ sai phân (3.1.3) hội tụ với cấp xác O(h2 + h2 ) 3.1.3 Phương pháp giải Bước 1: Đưa hệ phương trình sai phân (3.1.2) dãy hệ phương trình sai phân ba điểm Đặt κi a− κi a+ i Ai = γ − ≥ 0, Bi = γ + i ≥ 0, h1 h1 h1 h1 (3.1.5) ký hiệu   γ  fi,1 − h2 vi,0 vi,1 ψ(y1 )   fi,2  vi,2   ψ(y2 )     , F i =  V0 =   , Vi =       vi,M −2 fi,M −2 ψ(yM −1 ) γ vi,M −1 fi,M −1 − h2 vi,M    Khi ta viết lại phương trình (3.1.2) dạng hệ phương trình véc tơ ba điểm: γ γ Ai Vi−1 + T Vi + Bi Vi+1 − (Ai + Bi + bi + 2 )Vi = F i , i = 1, 2, (3.1.6) h2 h2 15 với V0 xác định trên, Vi  1 0  T =    0 0 → i → +∞ T ma trận cấp M −  0 0 0 0 0 0   (3.1.7)   0 1 0 Tiếp theo sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm (3.1.6) hệ phương trình vô hướng ba điểm Ký hiệu S = (sij )M −1 , sij = Λ = [λ1 , λ2 , , λM −1 ], ijπ sin , i, j = 1, 2, , M − 1, M M jπ λj = cos , j = 1, 2, , M − M (3.1.8) Khi ta có S T = S, S = I T = S −1 ΛS Nhân hai vế (3.1.6) với ma trận S ta Ai SVi−1 + γ γ ΛSVi +Bi SVi+1 −(Ai +Bi +bi +2 h2 )SVi = SF i , i = 1, 2, (3.1.9) h2 Đặt Wi = (wi,j ) = SVi , Gi = (gi,j ) = SF i , i = 0, 1, 2, , j = 1, 2, , M − Khi phương trình (3.1.9) trở thành Ai Wi−1 + γ γ ΛWi + Bi Wi+1 − (Ai + Bi + bi + 2 )Wi = Gi , h2 h2 i = 1, 2, Cố định tọa độ j ta 4γ jπ sin2 )wi,j + Bi wi+1,j = gi,j , i = 1, 2, h2 2M w0,j = µ0 , wi,j → 0, i → ∞, (3.1.10) M −1 µ0 = l=1 sj,l v0,l Dễ thấy (3.1.10) có dạng phương trình sai phân ba điểm Ai wi−1,j − (Ai + Bi + bi + Ai wi−1,j − Ci,j wi,j + Bi wi+1,j = −Fi,j , i = 1, 2, w0,j = µ0 , wi,j → 0, i → ∞, Ai , Bi xác định (3.1.5), Fi,j = −gi,j Ci,j = Ai + Bi + bi + 16 4γ jπ sin2 > h2 2M (3.1.11) Bước 2: Giải hệ phương trình sai phân ba điểm Hệ phương trình sai phân (3.1.11) có dạng (2.0.1) với C0 = 1, B0 = Ta có < Ai ≤ 0< r γ + , h2 h1 < Bi ≤ γ r + , h2 h1 4γ π 4γ (M − 1)π sin2 ≤ di,j = Ci,j − (Ai + Bi ) ≤ B + sin2 , h2 2M h2 2M i = 1, 2, , j = 1, 2, , M − Do điều kiện (2.0.2) thỏa mãn Như giả thiết Bổ đề 2.0.1 thỏa mãn ta chặt cụt hệ (3.1.11) theo Định lý 2.0.2 Đặt p0,j = q0,j = 0, r0,j = µ0 , Ai Bi Fi,j (3.1.12) pi,j = , qi,j = , ri,j = , i = 1, 2, Ci,j Ci,j Ci,j viết lại hệ (3.1.11) dạng chuẩn hệ vô hạn phương trình tuyến tính wi,j = pi,j wi−1,j + qi,j wi+1,j + ri,j , i = 0, 1, 2, wi,j → 0, i → ∞ (3.1.13) Theo phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo, ta tìm nghiệm (3.1.13) dạng wi,j = αi+1,j wi+1,j + βi+1,j , i = 0, 1, , (3.1.14) hệ số tính theo công thức α1,j = 0, β1,j = µ0 , ri,j + pi,j βi,j qi,j , βi+1,j = , i = 1, 2, αi+1,j = − pi,j αi,j − pi,j αi,j (3.1.15) Hệ 3.1.7 Cho trước độ xác ε > 0, tồn số tự nhiên N cho nghiệm hệ chặt cụt wi,j = pi,j wi−1,j + qi,j wi+1,j + ri,j , i = 0, 1, 2, , N, j = 1, 2, , M − 1, ¯ ¯ ¯ wi,j = 0, i ≥ N + 1, j = 1, 2, , M − ¯ so sánh với nghiệm wi,j hệ vô hạn (3.1.13) có đánh giá sau sup |wi,j − wi,j | ≤ ε ¯ (3.1.16) i,j ¯ ¯ ¯ Ký hiệu Vi = (¯i,j )M −1 , Wi = (wi,j )M −1 , i = 0, 1, đặt Vi = S Wi v j=1 ¯ ¯ j=1 Định lý 3.1.8 Với giả thiết Hệ 3.1.7 ta có đánh giá √ sup |vi,j − vi,j | < M − ε ¯ i,j 17 (3.1.17) Hình 3.1: Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.1.1 Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.1.1 3.1.4 Ví dụ số Ví dụ 3.1.1 Chọn √ √ exp(−y/ γ) + exp((y − 1)/ γ) + x , u= γ = 1, a(x) = −1, b(x) = 1+ (x + 1)2 x2 + Kết trình hội tụ trình bày Bảng 3.1 Đồ thị hàm với giá trị j khác cho Hình 3.1, đồ thị nghiệm xấp xỉ βi,j 1−αi,j cho Hình 3.2 Năm 2008 hai tác giả Zadorin Chekanov xét toán (3.1.1) dải (−∞ < x < +∞, ≤ y ≤ 1) Bài toán rời rạc hóa chặt cụt hệ phương trình véc tơ ba điểm Thực nghiệm số cho ví dụ đưa sai số nghiệm hệ chặt cụt cỡ lớn phương trình so với nghiệm hệ vô hạn không sai số so với nghiệm xác Bảng 3.1: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.1 h1 h2 ε N t error 0.1 0.1 29 0.2652 0.011 0.1 0.1 0.1 286 0.3276 0.0095 0.1 0.1 0.01 2828 1.7472 0.0048 0.1 0.01 0.01 9006 24.9758 8.0182e-004 18 3.1.5 So sánh phương pháp hệ vô hạn lưới không phương pháp lưới tựa Xét toán (3.1.1) với giả thiết hàm a(x) = ∂ 2u ∂ 2u + γ2 − b(x)u(x, y) = f (x, y), x > 0, < y < 1, ∂x2 ∂y u(x, 0) = ϕ1 (x), u(x, 1) = ϕ2 (x), u(0, y) = ψ(y), u(x, y) → 0, x → +∞ ≤ b(x) < B, f (x, y) → 0, x → +∞ (3.1.19) Thực tính toán lưới không lưới tựa theo x lưới theo y ta rút nhận xét sau: Nhận xét 3.1.13 Phương pháp hệ vô hạn lưới không Lr đạt sai số xấp xỉ phương pháp lưới tựa trường hợp toán dạng giao động tốt chút hàm giao động tắt dần Ngoài sử dụng lưới không với bước lưới tăng dần nên số điểm chặt cụt hệ vô hạn nhỏ, thời gian chạy chương trình nhanh, tất trình tính toán không giây 3.2 Phương pháp số giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải Xét toán Lu = γ1 ∂ 2u ∂ 2u Lu = γ1 + γ2 − bu(x, y) = f (x, y), x > 0, < y < 1, ∂x ∂y ∂u u(0, y) = ϕ1 (y), ≤ y ≤ 1, (x, 0) = ψ(x), ≤ x ≤ L, ∂y u(x, 0) = ϕ2 (x), x ≥ L, u(x, 1) = ϕ3 (x), x ≥ 0, u(x, y) → 0, x → +∞, (3.2.1) với giả thiết thông thường hàm (3.2.1) liên tục γ1 , γ2 > 0, b ≥ 0, f (x, y) → 0, ϕi (x) → 0, x → +∞, (i = 2, 3) Để giải toán (3.2.1), ta chia Ω thành hai miền Ω1 , Ω2 biên trơn Γ Ω1 = {(x, y)|0 ≤ x ≤ L, ≤ y ≤ 1}, Ω2 = {(x, y)|x ≥ L, ≤ y ≤ 1}, Γ = {(L, y)|0 ≤ y ≤ 1} Ký hiệu ui nghiệm miền Ωi (i = 1, 2) Xét phương pháp lặp sau để tìm nghiệm u1 u2 miền dựa việc cập nhật g = ∂u1 biên Γ: ∂x 1) Cho trước g (0) ∈ L2 (Γ), ví dụ g (0) = 0, ≤ y ≤ 19 Hình 3.3: Các điều kiện biên hỗn hợp miền 2) Biết g (k) Γ (k = 0, 1, 2, ) giải hai toán liên tiếp sau (k) (k) Lu1 (k) ∂ u1 ∂ u1 (k) ≡ γ1 + γ2 − bu1 (x, y) = f (x, y), < x < L, < y < 1, 2 ∂x ∂y (k) (k) u1 (0, y) ∂u1 = ϕ1 (y), ≤ y ≤ 1, (x, 0) = ψ(x), ≤ x ≤ L, ∂y (k) u1 (x, 1) ∂u1 (L, y) = g (k) (y), ≤ y ≤ = ϕ3 (x), ≤ x ≤ L, ∂x (k) (k) Lu2 ≡ (k) ∂ u2 γ1 ∂x2 + (k) ∂ u2 γ2 ∂y (3.2.2) (k) − bu2 (x, y) = f (x, y), x > L, < y < 1, (k) (k) u2 (x, 0) = ϕ2 (x), x ≥ L, u2 (x, 1) = ϕ3 (x), x ≥ L, (k) (k) u2 (L, y) = u1 (L, y), ≤ y ≤ 1, u(x, y) → 0, x → +∞ (3.2.3) 3) Tính toán lại xấp xỉ g (k+1) (k) g (k+1) = (1 − τ )g (k) ∂u + τ (L, y), ≤ y ≤ 1, ∂x (3.2.4) < τ < tham số lặp lựa chọn sau Để giải toán biên hỗn hợp yếu (3.2.2) lưới ω ta sử dụng hàm h tiêu chuẩn gói chương trình RC2009 xây dựng tác giả Vũ Vinh Quang, phương pháp thu gọn hoàn toàn sử dụng giải phương trình lưới Sử dụng phương pháp hệ vô hạn lưới không đều, toán biên miền không giới nội (3.2.3) giải tương tự toán (3.1.19) e−y Ví dụ 3.2.1 Chọn γ1 = 1, γ2 = 3, b = 2, u = x+1 + ye−x Kết hội tụ N = 24 = 16, h1 = h2 = 1/N = 0.0625, ε = 0.01, thời gian chạy chương trình t với giá trị khác tham số lặp τ k cho Bảng 3.2 Từ bảng ta thấy nghiệm xấp xỉ tốt đạt τ từ 0.5 tới 0.8 20 τ Bảng 3.2: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.2.1 k N (k) error1 error2 t 0.1 57 36 1.3203e-004 6.8097e-005 2.6988 0.2 27 36 1.3886e-004 7.7453e-005 0.9516 0.3 18 36 1.2707e-004 5.1793e-005 0.6396 0.4 13 36 1.2827e-004 4.5731e-005 0.468 0.5 10 36 1.2990e-004 3.8282e-005 0.3744 0.6 36 1.3218e-004 3.8770e-005 0.234 0.7 36 1.3563e-004 4.0356e-005 0.2184 0.8 36 1.2935e-004 4.0628e-005 0.2496 0.9 13 36 1.1963e-004 3.9063e-005 0.4836 3.3 Phương pháp số giải toán cho phương trình song điều hòa nửa dải Xét toán ∆2 u − b(x)∆u = f (x, y), x > 0, < y < 1, u(x, 0) = ϕ01 (x), u(x, 1) = ϕ02 (x), ux (0, y) = ψ0 (y), (3.3.1) u(x, y) → 0, x → +∞, ∆u(x, 0) = ϕ11 (x), ∆u(x, 1) = ϕ12 (x), ∆u(0, y) = ψ1 (y) giả thiết hàm (3.3.1) liên tục ≤ b(x) ≤ B, f (x, y) → 0, ϕ0i (x) → 0, i = 1, 2, x → +∞ Đặt ∆u = v, x > 0, < y < Khi toán (3.3.1) dẫn toán cấp hai sau ∆v − bv = f, x > 0, < y < 1, v(x, 0) = ϕ11 (x), v(x, 1) = ϕ12 (x), (3.3.2) v(0, y) = ψ1 (y), v(x, y) → 0, x → +∞ ∆u = v, x > 0, < y < 1, u(x, 0) = ϕ01 (x), u(x, 1) = ϕ02 (x), ux (0, y) = ψ0 (y), u(x, y) → 0, x → +∞ (3.3.3) Ta có lược đồ sai phân toán vi phân (3.3.2) (3.3.3) lưới không ω h theo hướng x: vxx + vyy − bv = fij , (x, y) ∈ ωh , vi,0 = ϕ11 (xi ), vi,M = ϕ12 (xi ), v0,j = ψ1 (yj ), vi,j → 0, i → ∞ (3.3.4) uxx + uyy = vij , (x, y) ∈ ωh , ui,0 = ϕ01 (xi ), ui,M = ϕ02 (xi ), ui,j → 0, i → ∞, u0,j+1 − 2u0,j + u0,j−1 (u1,j − u0,j ) = v0j − + ψ0 (yj ) h2 h2 h1 (3.3.5) 21 Giải lược đồ sai phân (3.3.4) ta thu √ nghiệm hệ chặt cụt N ¯ v i,j với đánh giá supi,j |vi,j − vi,j | < M − ε theo Định lý 3.1.8 Tiếp theo, ta giải lược đồ (3.3.5) Xấp xỉ vij vi,j , với vi,j = 0, i > N thay ¯ ¯ lược đồ (3.3.5) hệ uxx + uyy = vij , i = 1, 2, , j = 1, 2, , M − 1, ¯ ui,0 = ϕ01 (xi ), ui,M = ϕ02 (xi ), (3.3.6) 2 u0,j+1 − 2u0,j + u0,j−1 + ψ0 (yj ) (u1,j − u0,j ) = ψ1 (yj ) − h2 h1 h1 √ Ta chọn M − ε = O(h2 + h2 ), với h = max{hi } i≥1 √ Định lý 3.3.1 Với cách chọn M − ε = O(h2 + h2 ), ta có đánh giá sau nghiệm xấp xỉ ui,j ¯ sup 0≤i, 0≤j≤M |ui,j − ui,j | = O(h2 + h2 ), ¯ (3.3.13) uij nghiệm xác toán ban đầu (3.3.1) Kết luận chương Trong chương 3, thực giải số số toán hai chiều nửa dải như: xây dựng lược đồ sai phân, xác định ổn định hội tụ phương pháp giải lưới đều, không đều, tựa cho toán elliptic với điều kiện biên Dirichlet Đối với toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, phương pháp chia miền tỏ hữu hiệu giải toán Đối với toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu, toán đưa giải hai toán elliptic cấp hai Trong phương pháp giải toán này, có điểm chung sử dụng ý tưởng Polozhii để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vô hướng ba điểm, từ áp dụng phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Trong chương trình tính toán, thực lưới không Lr với bước lưới tăng dần theo hướng x (vô hạn), qua giảm cỡ N hệ đại số tuyến tính chặt cụt 22 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề xuất nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính giải số toán biên tuyến tính cho phương trình vi phân cấp hai cấp bốn miền không giới nội Các kết luận án bao gồm: Phương pháp hệ vô hạn giải số toán chiều không gian phụ thuộc không phụ thuộc thời gian: toán truyền nhiệt, phương trình dạng phức hợp, cốt lõi cách xác định cắt cụt hệ vô hạn để đảm bảo thu nghiệm gần với sai số cho trước Sử dụng lưới cấu trúc phương pháp hệ vô hạn phương pháp lưới tựa giải toán miền không giới nội Thực nghiệm ví dụ số để so sánh phương pháp hệ vô hạn lưới đều, lưới không với nút lưới tăng dần phương pháp lưới tựa Thiết lập ổn định hội tụ lược đồ sai phân cho phương trình elliptic nửa dải Sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vô hướng ba điểm, áp dụng phương pháp hệ vô hạn giải toán thu nghiệm xấp xỉ với sai số cho trước Phương pháp lặp giải toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải có điểm biên vô hạn phân cách loại điều kiện biên Sử dụng phương pháp chia miền đưa toán việc giải hai toán miền giới nội không giới nội Giải gần toán song điều hòa nửa dải thông qua việc phân tích toán gốc thành hai toán elliptic cấp hai nửa dải Hướng phát triển Nghiên cứu giải toán truyền nhiệt hai chiều có phụ thuộc thời gian nửa dải Nghiên cứu áp dụng phương pháp trường hợp toán xét dải Phát triển phương pháp hệ vô hạn giải toán biên với điều kiện biên hỗn hợp, phức tạp khác miền không giới nội Ứng dụng phương pháp số mô hình toán học vật lý miền không giới nội 23 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1 ] Q A Dang and D.H Tran, Method of infinite system of equations for problems in unbounded domains, Journal of Applied Mathematics, Volume 2012, Article ID 584704, 17 pages, doi: 10.1155/2012/584704 [2 ] Q A Dang and D H Tran, Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip, Applied Numerical Mathematics, 87 (2015) 114 - 124 (SCI) [3 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Comparison of the efficiency of some methods for solving problems in unbounded domains, Vietnam Journal of Mathematical Applications, Vol 13, N 1, 2015, 57-72 [4 ] Đặng Quang Á, Trần Đình Hùng, Phương pháp số giải toán biên cho phương trình elliptic nửa dải, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VI, FAIR, NXB KHTN CN, 438-447, 2013 [5 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Numerical solution of a boundary value problem for biharmonic equation in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị quốc tế ứng dụng toán học, VIAMC, NXB thông tin truyền thông, 50-61, 2013 [6 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Domain decompositon method for solving a strongly mixed elliptic boundary value problem in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VII, FAIR, NXB KHTN CN, 119-126, 2014 Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VI "Nghiên cứu ứng dụng CNTT", tháng 6, 2013-Huế Vietnam International Applied Mathematics Conference, December 19 to 20, 2013-Ho Chi Minh City, Vietnam Hội thảo Tối ưu Tính toán Khoa học lần thứ 12, 23-25/4/2014-Ba Vì Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VII "Nghiên cứu ứng dụng CNTT", tháng 6, 2014-Thái Nguyên 6th International Conference on High Performance Scientific Computing, March 16-20, 2015-Hanoi, Vietnam Các buổi Seminar khoa học phòng Các phương pháp toán học CNTT, Viện CNTT-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam 24