Phân rã một số bài toán biên của phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dương, compact trên không gian Sobolev

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ QUỐC HUY PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƢƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TỐN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƢƠNG, COMPACT TRÊN KHƠNG GIAN SOBOLEV LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ QUỐC HUY PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƢƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƢƠNG, COMPACT TRÊN KHÔNG GIAN SOBOLEV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS LÊ TÙNG SƠN THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết trình bày luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác, tuân thủ quy định quyền sở hữu trí tuệ Tác giả Vũ Quốc Huy Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đề xuất hướng nghiên cứu, động viên thường xuyên tận tâm bảo nghiêm túc chuyên môn TS Lê Tùng Sơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo tổ Giải tích, thầy giáo trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Hịa Bình, trường THPT Lạc Sơn – Hịa Bình tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, gia đình người thân động viên khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Học viên Vũ Quốc Huy Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii BẢNG KÍ HIỆU iv MỞ ĐẦU Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev 1.2 Tổng quan ngắn tốn biên phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai cấp bốn 11 Chƣơng 2: SỰ PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TOÁN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ 21 2.1 Lược đồ chung 21 2.2 Sự phân rã tốn biên thứ phương trình song điều hịa dãy tốn toán cấp hai 22 2.3 Sự phân rã toán biên thứ hai phương trình song điều hịa dãy toán toán cấp hai 34 KẾT LUẬN CHUNG 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv BẢNG KÍ HIỆU Rn - Không gian Euclide n chiều Ω - Miền giới nội không gian R n - Biên trơn Lipschitz Ck ( ) - Khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục C0 ( ) - Không gian hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact L2 ( ) - Không gian hàm đo bình phương khả tích H s( ) - Khơng gian Sobolev với số s H ( ) - Không gian Sobolev với số - Không gian đối ngẫu với H0 ( ) H 1( ) H ( H01( ) V , V ) - Không gian đối ngẫu với H ( ) - Không gian hàm có vết khơng - Chuẩn xác định khơng gian V - Tích vơ hướng xác định không gian V C( ) - Hằng số vết C( ) - Hằng số Poincare E - Ma trận đơn vị I - Toán tử đơn vị P1 - Toán tử chiếu lên thành phần thứ P2 - Toán tử chiếu lên thành phần thứ hai Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình song điều hịa phương trình kiểu song điều hịa lớp phương trình mơ tả nhiều tốn học, vật lý, kỹ thuật,… Nhiều toán học, chẳng hạn toán độ võng mỏng tác động tỉ trọng (xem [ 24], [25]), toán lý thuyết đàn hồi phẳng (xem [11]), tốn dịng chảy (xem [15], [21])… dẫn đến việc giải phương trình song điều hịa ∆2u = f , (1) ∆ tốn tử Laplace miền với điều kiện biên Các tốn dẫn đến phương trình (1) thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Đã có nhiều hướng tiếp cận khác tới việc giải tốn biên cho phương trình Năm 2003, tổng quan lớn Meleshko (xem [20]) đăng tải “ Applied Mechanics Review” Hội kỹ sư học Mỹ, tác giả hệ thống, tổng kết nhiều phương pháp mà nhà nghiên cứu học sử dụng để giải tốn song điều hịa hai chiều phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức số phương pháp gần giải tích phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov – Galerkin với hàm sở chọn hàm trơn số miền đặc biệt hình chữ nhật, hình ellip,… Trong khoảng thời gian gần ba chục năm trở lại đây, nhiều phương pháp hữu hiệu cho việc giải phương trình (1) nghiên cứu phát triển cơng trình nhiều nhà toán học phương pháp phần tử hữu hạn (xem [5]), phương pháp sai phân (xem [13], [14], [18], [25]) Các phương trình kiểu song điều hịa ∆2u + bu = f , (b>0), ∆2u -a∆u + bu = f , (a>0, b>0), Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN (2) (3) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ mô tả uốn đàn hồi Benzine (1988) (xem [3]), Katsikadelis Kallivokas (1988) giải phương pháp tích phân biên (xem [17]), Bjorstad Bjorn (1997) [4] sau rời rạc hóa (3) với điều kiện u = phương pháp phổ Galerkin dựa đa thức phát n biên u = triển từ Shen, xây dựng thuật toán O(N3) Ý tưởng đưa việc giải toán Dirichlet cho phương trình song điều hịa dãy tốn phương trình Poisson thực Palsev (1966), Meller (1968) Dorodnitsyn (1971) (xem [21], [22], [23]) Trong [16], Glowinski (1979) nghiên cứu việc giải lặp toán biên Dirichlet phương trình song điều hịa ∆2ψ= f, (x,y) g1 , n Ω g2 , miền giới nội Ω R với biên mô tả uốn đàn hồi, = đưa toán dãy toán cấp hai Năm 1994, [8], Đặng Quang Á nghiên cứu toán biên Dirichlet phương trình kiểu song điều hịa Lu u g1, u a u bu u n f ,x , (4) g 2, Ω miền giới nội  n với biên 0, a 0, b 0, a 4b = đủ trơn, đưa toán dãy toán cấp hai phương trình elliptic L2 v v v b , v, x , v0, L1u u f ,x u u u0 , a a 4b , Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Năm 1999, [11], Đặng Quang Á có kết tương tự nghiên cứu tốn biên phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp u u f ,x 0, , u n Ω miền giới nội ¡ m 0, u 0, với biên đủ trơn, Γ1 Γ2 hai phần biên không giao Γ , Γ = Γ1 U Γ2 Gần kết nghiên cứu Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn năm 2006 tốn biên phương trình kiểu song điều hịa với điều kiện biên khơng hỗn hợp u a u bu f , x u u g0 , g1 , n , năm 2007 [12] tốn biên phương trình kiểu song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp u u bu f ,x , u g0 , g1 , u n g2 , vv,… Theo hướng nghiên cứu tốn tơi chọn đề tài ‘‘Phân rã số tốn biên phƣơng trình song điều hịa dãy tốn cấp hai nhờ tốn tử đối xứng, xác định dƣơng, compact khơng gian Sobolev” Nội dung luận văn gồm chương: Chương trình bày hệ thống kiến thức chuẩn bị, kết bổ trợ bao gồm số kiến thức khơng gian Sobolev, định tính tốn biên phương trình elliptic cấp hai, định tính tốn biên phương trình kiểu song điều hòa Khối kiến thức kết Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ chương sử dụng làm sở cho kết nghiên cứu trình bày chương Chương đưa kết nghiên cứu việc phân rã hai toán cụ thể dãy toán cấp hai mà quan hệ nghiệm toán gốc nghiệm tốn phân rã thơng qua phương trình tốn tử Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 n 1,2, Trong a0, an , bn hệ số khai triển hàm F (2.38), hệ số xác định qua hàm vế phải f ( x) tốn gốc phương trình (2.5) Từ (2.21a), theo [26], hàm F có biểu diễn F ( s) R2 n R2 G ( s, x ) f ( x)dxd x ns G ( x, x ) r ( R2 r ) Giả sử f ( x) n r R cosn( n ) f (r, )d dr (2.42) f (r, ) có khai triển f (r , ) c0 (r ) cn (r )cosn dn (r )sin n n Thế vào (2.42), sau tinh toán, rút gọn ta thu F A0 An cosn Bn sin n , (2.43) n R c0 (r )r ( R2 r )dr , 2R đó: A0 n R An r cn (r )r ( R2 r ) dr , 2R (n 1) R Bn r dn (r )r ( R2 r ) dr 2R (n 1) R (2.44) n R So sánh (2.43) (2.38), ta rút a0 R A0 , an RAn , bn RBn (2.45) Thay (2.45) vào (2.41), ta có R 2( 0) A0, R n ( n ) An , R n ( n ) Bn (2.46) Thay (2.46) vào (2.39), ta tìm hàm biên v0 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 v0 A0 R 2( 0) An e0 n ( n) Bn en ( n) gn (2.47) Thay v0 vào (2.8), giải liên tiếp hai tốn (2.8), (2.9), u( x) tính công thức u( x) G( x, x)v( x)d x , v( x) G( x, x) f ( x)d x (2.48) G( x, s) v0 (s)d ns s (2.49) Như với v tính (2.49), u tính (2.48) hàm biên v0 thỏa mãn phương trình tốn tử (2.37), ta suy u nghiệm toán gốc (2.5) (2.7), (q=1, 0) Để kiểm tra độ trơn nghiệm u tính (2.48), xét phương trình tốn tử (2.37) ( I B)v0 F, + Bv0 u , u nghiệm tìm từ tốn (2.15), (2.16) n + F u1 , u1 nghiệm tìm từ toán (2.10), (2.11) n Giả thiết f Với F H s ( ) , chứng minh F H s 1( ), s H s 1( ) phương trình (2.37), ta chứng minh v0 Hs( ) Xét toán tử Laplace – Beltrami - đường tròn tâm 0, bán kính , ([19]), R với hệ tọa độ cực có gốc 0, u u (2.50) Giả sử wi hàm riêng toán tử chuẩn L ( ) ứng với giá trị riêng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN i tạo thành sở trực , tức http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 wi i wi , i (2.51) 1,2 giả sử u hàm xác định u có khai triển wi (2.52) i Theo [19], ta có u H t ( ) t i (2.53) i 1 ; en R Với sở trực chuẩn e0 e0 0e0, en n2en, gn cosn ; gn R sin n , n 1,2 R n2gn, n 1,2, Như vậy, e0 , en , gn , n 1,2, dãy hàm riêng toán tử với giá trị riêng 0, n ứng n2 Với F xác định (2.43) ta có R A0.e0 F Vì F R.An.en R.Bn gn (2.54) n H s 1( ) áp dụng (2.53) cho F tính (2.54), với t s 1, ta có n2( s 1) ( An2 R Bn2 ) (2.55) n Áp dụng kết (2.53) cho v0 xác định (2.47), với t s, ta có v0 H s( ) n2s n Với ( An2 2 n) ( Bn2 ) , 0, ta ln có n2s n ( ( An2 2 n) Bn2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN n2s ( An n n Bn2 ) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 n2( s 2) ( An2 Bn2 ) n n2( s 1) ( An2 Bn2 ) (2.56) n Đối chiếu kết (2.55) (2.56), ta có v0 tốn (2.8), (2.9), suy u H s Hs( ) , từ ( ) 2.3 Sự phân rã toán biên thứ hai phƣơng trình song điều hịa dãy toán cấp hai Năm 2005, Physical Review E 71, 041608 đăng tải kết nghiên cứu tác giả N.V Priezjev, A A Darbuber S M.Troian họ nghiên cứu Bài toán Thủy Động học trượt sương mỏng (xem chi tiết [27]) Một kết đáng ý tác giả xây dựng thành công mô hình tốn cho tốn Vật lý nói trên, tốn biên với phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp (được gọi tắt toán biên thứ hai) miền Ω hình chữ nhật Các kết khác báo thuộc nghiên cứu dáng điệu nghiệm hàm dòng u = u (x, y ) thay đổi kích thước miền Ω thay đổi tham số Bài tốn biên sau íï D 2u = 0, (x, y )ẻ ùù ùù ả u ả D u ùù = = 0, (x, y )ẻ ảx ùù ả x ïï ïï u = U top , ¶ u = U - bD u, (x, y )ẻ ùù ảy ì ïï ¶ u ¶ D u = = 0, (x, y )ẻ ùù ảx ùù ả x ùù ảu ïï u = 0, = bD u, (x, y )Ỵ ảy ùù ùù (x, y )ẻ ùợ u = 0, D u = 0, Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN Ω, Γ1 , Γ2 , (2.57) Γ3 , Γ4 , Γ5 ; http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 Ω hình chữ nhật (0,l1 )´ (0,l2 ) Γ1 , Γ2 , Γ3 , Γ4 , Γ5 phần biên biên Γ = ¶ Ω mơ tả hình 2, D tốn tử Laplace Γ2 y l2 Γ1 Ω Γ5 a Γ3 Γ4 l1 x Hình U top ,U hàm cho trước, b số không âm, < a < l1 ,l2 > Một cách tổng quát, ta xét tốn íï D 2u = f , (x, y )ẻ , ùù ùù ả u ả Du ùù = g1 , = g , (x, y )Ỵ Γ1 , ¶x ïï ¶ x ïï ïï u = g3 , ¶ u + bD u = g , (x, y )ẻ , ùù ảy ỡ ùù ả u ¶ Du = g5 , = g6 , (x, y )ẻ , ùù ảx ùù ả x ùù ¶u ïï u = g , - bD u = g8 , (x, y )ẻ , ảy ùù ùù (x, y )ẻ , ùợ u = g , D u = g9 , (2.58) kiện miền Ω hệ số b tốn (2.57) tốn (2.58) khơng thay đổi f hàm cho miền Ω,gi (i = 1,9) hàm cho phần biên Γj ( j = 1,5) biên Γ Tiến hành tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn (2.58) Trong trường hợp f = g1 = g2 = g4 = g5 = g6 = g7 = g8 = g9 = 0, g3 = U top , g4 = U , ta tìm kết tốn (2.57) Giả sử toán (2.58) giải được, tức nghiệm u (x, y ) tồn đủ trơn 2.2.3.1 Phƣơng trình tốn tử biên tốn gốc Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 Đặt D u = v kí hiệu D u Γ = g,D u Γ = h, g ,h hàm chưa biết phải xác định, tốn (2.58) đưa dãy hai toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp sau D v = f , (x, y )ẻ , ảv = ảx ớù g , (x, y )Ỵ Γ1 , ïì ïï g , (x, y )ẻ , ợ ớù g , (x, y )Ỵ Γ2 , ïï v = ïì h, (x, y )ẻ , ùù ùùợ g9 , (x, y )Ỵ Γ5 , (2.59) D u = v, (x, y )ẻ , ảu = ảx ớù g1 , (x, y )Ỵ Γ1 , ïì ïï g5 , (x, y )Ỵ , ợ (2.60) ớù g , (x, y )ẻ Γ2 , u = ïì ïï g , (x, y )ẻ ẩ ợ T hai toán trên, ta nhận thấy nghiệm v toán (2.59) tương ứng nghiệm u toán (2.60) phụ thuộc vào ẩn hàm biên g h Cũng toán xét trước, ta thiết lập phương trình tốn tử cho việc xác định g h Các hàm g , h xác định từ điều kiện biên cịn lại (2.58) sau ïíï ¶ u ïï ¶ y + bD u = g , (x, y )ẻ , ùỡ ùù ả u - bD u = g8 , (x, y )Ỵ Γ4 ùù ùợ ả y (2.61) T (2.61), ta cú hệ phương trình với ẩn g , h Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 íï ¶ u (g,h) ïï + bg = g , (x, y )ẻ , ùù ản ỡ ïï ¶ u (g,h) ïï + bh = - g8 , (x, y )ẻ ùợ ả n (2.62) n vectơ pháp tuyến ngồi Γ Hệ (2.62) viết gọn thành ¶ u (v0 ) ¶n v0 + bv0 = φ, (x, y )Ỵ Γ2 È Γ4 , vết v Γ2 È Γ4 , (2.63) nghĩa íï g , (x, y )Ỵ Γ2 , v0 = ïì ïï h, (x, y )ẻ , ợ (2.64) ớù g , (x, y )Ỵ Γ2 , φ = ïì ùù - g8 , (x, y )ẻ ợ (2.65) Đẳng thức (2.63) viết dạng phương trình tốn tử Thật vậy, trước hết, ta đưa vào toán tử S tác động vào ẩn hàm v0 xác định biên Γ công thức Sv0 = v0 ¶u , (x, y )ẻ ẩ , ản (2.66) c xỏc nh (2.64), u hàm tìm từ tốn íï D v = , (x, y )Ỵ Ω, ïï ïï ¶ v ïï = 0, (x , y )ẻ , ùù ả n ùỡ v = v , (x, y )Ỵ Γ È Γ , ïï ïï ¶ v = 0, (x , y )ẻ , ùù ùù ả n ùù v = , (x, y )ẻ , ợ (2.67) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 íï D u = v, (x, y )Ỵ Ω, ïï ïï ¶ u ïï = 0, (x , y )ẻ , ù ản ỡ ùù u = 0, (x, y )Ỵ Γ2 È Γ4 È Γ5 , ùù ùù ả u (x , y )ẻ ùù ả n = 0, ợ (2.68) Gi v l nghiệm toán (2.59), u nghiệm toán (2.60), đặt v = v1 + v2 , u = u1 + u2 , v1 ,u1 nghiệm toán (2.67), (2.68), cịn v2 nghiệm tốn íï D v2 = f , (x, y )ẻ , ùù ùù ả v2 ïï = g2 , (x , y )Ỵ Γ1 , ïï ¶ x ïì v = , (x, y )Ỵ Γ È Γ , ïï ïï ¶ v2 = g6 , (x , y )Ỵ Γ3 , ïï ïï ¶ x ïï v2 = g9 , (x, y )ẻ , ợ v u2 (2.69) l nghiệm tốn íï D u2 = v2 , (x, y )ẻ , ùù ùù ả u2 ùù = g1 , (x , y )ẻ , ùù ả x ïì u = b , (x, y )Ỵ Γ2 , ïï ïï ¶ u2 = g5 , (x , y )ẻ , ùù ùù ả x ïï u2 = g , (x, y )Ỵ Γ4 È Γ5 , ỵ (2.70) từ định nghĩa tốn tử S ta có Sv0 = Vì ¶ u1 , (x, y )ẻ ẩ ản (2.71) ¶u ¶u ¶u = + , (x, y )ẻ ẩ , ản ản ản kt hp với (2.71), ta có ¶u ¶ u2 = + Sv0 , (x, y )ẻ ẩ , ản ản Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN (2.72) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 Thay (2.72) vào (2.63), ta thu ¶ u2 + Sv0 + bv0 = φ, (x, y )ẻ ẩ , ản Sv0 + bv0 = φ - hay Đặt ψ = φ- ¶ u2 , (x, y )ẻ ẩ , ản (2.73) ả u2 , (x, y )ẻ ẩ , ản φ xác định (2.65), u2 (2.74) nghiệm tìm từ tốn (2.69), (2.70) (2.75) B = S + bI S tốn tử xác định cơng thức (2.66), I toán tử đơn vị, b hệ số khơng âm cho trước tốn (2.58), thay vào (2.73), ta nhận phương trình tốn tử Bv0 = ψ , (2.76) với vế phải ψ xác định (2.74) cho việc tìm v0 Γ2 È Γ4 , Như vậy, đẳng thức (2.63) đưa viết dạng phương trình tốn tử (2.76), hay tốn (2.58) đưa phương trình tốn tử (2.76) Tiếp theo, ta nghiên cứu tính chất tốn tử B Trước hết ta nghiên cứu tính chất tốn tử S Các tính chất toán tử S thể Bổ đề sau Bổ đề 2.2.3.2 Trong không gian hilbert H = L2 (Γ2 È Γ4 ), với tích vơ hướng (v ,v°)= ị 0 v0 v°0 dΓ , v0 ,v°0 Ỵ L2 (Γ2 È Γ4 ) (2.77) Γ2 È Γ4 chuẩn v0 = (v0 ,v0 ), S xác định (2.66) tốn tử tuyến tính, đối xứng, dương compact, ánh xạ từ không gian H s (Γ2 È Γ4 )vào không gian H s+ (Γ2 È Γ4 ), s ³ Ở H s (Γ2 È Γ4 ) không gian Sobolev Chứng minh S tuyến tính: hiển nhiên Ta có Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 (Sv ,v°)= ò Sv0 v°0 dΓ = ò Γ2 È Γ4 % v,v Γ2 È Γ4 nghiệm toán (2.67), (2.68) với điều kiện biên Vì ¶u ° v dΓ ¶n Γ2 È Γ4 , tương (2.78) %là u,u nghiệm toán ứng v v°0 ¶u = Γ1 È Γ3 (xem (2.68)) v°0 = Γ5 (xem (2.67)) nên ¶n ¶u ° v dΓ ¶n ò J= Γ2 È Γ4 ¶u ° v dΓ + ¶n ò = Γ2 È Γ4 = ò Γ1 È Γ3 ¶u ° v dΓ + ¶n ¶u ị ¶ n v°dΓ (2.79) Γ5 ¶u ị ¶ n v°dΓ Γ Mặt khác u = Γ2 È Γ4 È Γ5 (xem (xem (2.67) với v°0 vết ca % v trờn J= = ổ ả v ỗỗ u d + ỗỗ ũ ỗố2 ẩ ẩ ¶ n ¶u ò ¶ n v°dΓ Γ ¶u ò v° ¶ n dΓ Γ Γ2 È Γ4 , ), òu Γ ¶ v° dΓ = ¶n (2.68)) ¶% v = Γ1 È Γ3 ¶n nên từ (2.79), ta nhận ị Γ1 È Γ3 u ¶ v° ÷ dΓ ÷ ÷ ÷ ¶n ÷ ø ổ ảu ả v ữ ỗỗv ữ u ữ ũ ỗốỗ ả n ả n ữứd (2.80) p dụng công thức Green cho (2.80), ta thu kết J= vD u ò (% uD % v)dx (2.81) Ω Vì D u = D % v = Ω nên từ (2.81), ta có J= % x= (Sv° ,v ) vvdx= ò vvd ò% Ω (2.82) Ω Vì (Sv ,v°) 0 H = (Sv°0 ,v0 ) , H (2.83) tức S đối xứng H Từ (2.82) ta có Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 (Sv0 ,v0 )H = ò v dx ³ (2.84) Ω Giả sử v0 ¹ v0 ¹ Γ2 È Γ4 , tốn (2.67) có nghiệm , đó, từ (2.84), ta có (Sv0 ,v0 )> 0, " v0 ¹ Giả sử (Sv0 ,v0 ) = từ (2.78) suy ra, v 0, vậy, v x, y , v , tức v0 = dễ dàng suy (Sv0 ,v0 ) = Vậy đẳng thức xảy v0 = Do S dương H Ta chứng minh S compact không gian H s (Γ2 È Γ4 ) với s Cũng tương tự chứng minh tính compact toán tử B định lý 2.2.2 Trước hết, ta giả sử v0 Ỵ H s (Γ2 È Γ4 ),s ³ , tốn (2.67) có nghiệm v H s Thay v vào vế phải toán (2.68), tương tự vậy, tốn có nghiệm u H s Với u H s , theo Định lý vt thỡ ảu ẻ H s+ (2 ẩ Γ4 ) Như tốn tử Sánh xạ ¶n v0 ẻ H s (2 ẩ )đ Sv0 = ảu Î H s+ (Γ2 È Γ4 ) ¶n (2.85) Mặt khác, theo định lý nhúng áp dụng cho không gian Sobolev H s+ (Γ2 È Γ4 ) H s (Γ2 È Γ4 ) ta có H s+ (Γ2 È Γ4 ) nhúng compact H s (Γ2 È Γ4 ) Vì vậy, S xác định (2.85) toán tử compact, tức S tốn tử compact khơng gian H s (Γ2 È Γ4 ) với s Bổ đề 2.2.3.2 chứng minh Từ kết Bổ đề 2.2.3.2, tính chất toán tử B thể qua định lý sau Định lý 2.2.3.3 Trên không gian Hilbert H = L2 (Γ2 È Γ4 ) với tích vơ hướng xác định Bổ đề 2.2.3.2, b B cho (2.75) (2.76) tốn tử tuyến tính, đối xứng, giới nội xác định dương Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 Chứng minh Từ tính chất tốn tử S chứng minh bổ đề 2.2.3.2, S tốn tử compact nên S giới nội khơng gian H (Γ2 È Γ4 )= L2 (Γ2 È Γ4 ), I toán tử đơn vị, dễ dàng suy B S bI , b tốn tử tuyến tính, đối xứng, dương giới nội không gian H = L2 (Γ2 È Γ4 ) Cũng từ (2.75) ta có đánh giá B bI , b , B xác định dương H Định lý hoàn toàn chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày kết nghiên cứu phương pháp phân rã tốn biên phương trình song điều hịa theo hướng nghiên cứu A.A.Abramov, V.I.Ulijanova Đặng Quang Á đề xuất: Nếu phân rã toán cấp cao dãy toán cấp hai triệt để dụng kết sẵn có, đặc biệt lớp toán elliptic cấp nghiên cứu kỹ Kết luận văn: Tìm hiểu phương pháp phân rã tốn biên phương trình song điều hịa dãy toán cấp hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dương, compact Áp dụng phương pháp cho hai trường hợp cụ thể: - Sự phân rã tốn biên phương trình song điều hịa dãy tốn cấp hai thứ nhất; - Sự phân rã toán biên phương trình song điều hịa dãy toán cấp hai thứ hai Phương pháp mang tính khả thi cho lớp tốn biên phương trình song điều hịa Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adams R.(1975), Sobolev Spaces, Acad Press, New York-San Francisco-London [2] Aubin J.P (1971), Approximation of elliptic boundary value prob-lem, WileyInterscience [3] Benzine G (1988), A new boundary element method for bending plates of elastic foundation, Int J Solids Structure, 24, 557-565 [4] Bjorstad P E and Bjorn P T (1997), Efficient algorithms for solving a fourth-order equation with the spectral-Galerkin method, SIAM J Sci Comput Vol 18, No 2, 621-632 [5] Ciarlet P (1978), The finile element method for elliptic problems, North-Holland Publ Comp [6] Cioranescu D and Patrizia D (1999), An Introduction to Homoge-nization, Oxford Press [7] Dang Quang A (1988), On an iterative method for solving a boundary value problem for fourth-order equation, Math Phys And Nonlin Mech No 10(54), 54-59 (Russian) [8] Dang Quang A (1994), Boundary operator method for approxi-mate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math Vol 22, No 1-2, 114-120 [9] Dang Quang A (1998), Iterative method for solving the second boundary value problem for biharmonic type equation, Tạp chí tin học Điều khiển học, No 4, 66-72 [10] Dang Quang A (1998), Mixed boundary-domain operator method in approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Jour-nat of Math Vol 26, No 3, 243-252 [11] Dang Quang A (1999), Construction of iterative method for solving a mixed boundary value prolem for biharmonic equation, Procced-ings of the Fifth Mathematical Conference of Vietnam, Sci.and Tech Publ House, Hanoi, 47-55 [12] Dang Quang A, Le Tung Son (2007), Iterative method for solving a mixed boundary value problem for biharmonic equation, In book: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis, Eds N M Chuong et al World Scientific Publishing Co, 103-113 [13] Ehrlich L.W (1971), Solving the biharmonic equation as coupled finite difference equation, SIAM J Numer Anal 8, 278-287 [14] Ehrlich L.W and Gupta M M (1975), Some difference schemes for the biharmonic equation, SIAM J Numer Anal 12, 773-790 [15] Elliotis M and Georgiou G and Xenophotos C (2005), Solution of the stick-slip problem with the singular function boundary inter-gral method, 5th GRACM Internationnal Congress on Comtutationnal Mechanics, Limassol, 29 June-1 July [16] Glowinski R and Pironneau O (1979), Numerical methods for the first bihamrmonic equation and for the two – dimensional Stokes problem, SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol 21, No 2, 167 – 212 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 45 [17] Katsikadelis J T and Kallivokas L F (1986), Clamped plates on Pastermak – Type Elastic foundation by the boundary element method, J Appl Mech AME 53, 909 – 917 [18] Langer U (1987), Zur numerischen Losung ds biharmonicschen Randwerproblems, Numerische Mathematik, Vol 50, 291 – 310 [19] Lions J L and Magenes E (1968), Problemes aux limites non honogenes et applications, Vol 1, Dunod, Paris [20] Meleshko V V (2003), Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem, Appl Mech Rev Vol 56, No 1, 33-85 [21] Meller N A and Dorodnitsyn A A (1968), Approaches to the solution of stationary Navier-Stokes equations, USSR Comp Math And Math Phys 8, No 2, 205-217 [22] Meller N A and Dorodnitsyn A A (1971), Application of the small parameter method to Navier-Stokes equations, Fluid Dynamics Trans 5, No 2, 67-82 [23] Palsev P V (1966), On the expansion of the Dirichlet problem and a mixed problem for biharmonic equation into series of decomposed problem, J of Comp Math Phys 6, No 1, 43-51 (Russian) [24] Priezjev N V and Darhuber A A and Troian S M (2005), Slip behavior in liquid fimls on surfaces of patterned wettability: Com-parision between continuum and molecular dynamics simulations, Physical Review E 71, 041608 [25] Szilard R (1974), Theory and Analysis of Plates, Prentice-Hall [26] Tikhonov N A and Samarski A A (1972), Mathematical Physical Equations, “Nauka”, Moscow (Russian) [27] Timoshenko S P and Woinowsky-Krieger S (1970), Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, New York Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... HUY PHÂN RÃ MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƢƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TỐN CẤP HAI NHỜ TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƢƠNG, COMPACT TRÊN KHƠNG GIAN SOBOLEV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: ... dãy toán cấp hai nhờ toán tử đối xứng, xác định dương, compact Áp dụng phương pháp cho hai trường hợp cụ thể: - Sự phân rã tốn biên phương trình song điều hịa dãy tốn cấp hai thứ nhất; - Sự phân. .. TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỀ DÃY CÁC BÀI TỐN CẤP HAI NHỜ TỐN TỬ 21 2.1 Lược đồ chung 21 2.2 Sự phân rã toán biên thứ phương trình song điều hịa dãy toán