KHÂA LUN TÈT NGHIP KHÔNG GIAN SOBOLEV PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN
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X), Ị Ị C([0, T ]; X), Ĩ Đ Ý ØƯĨỊ Ò Ò ËÓ ÓÐ Ú Wp1(0, T ; X)º Ò ề Lp(0, T ; X), ẳ ự Ị ÷Đ Ú Ú Ị Ị ÐÙ Ịº Ị Ơ ¼º¿º½ Å ù Å ù ÐÙ Ị Ð Ð Đ ệ ề ữẹá ỉựề ỉá ề éựáỉệểề ề ề ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ø Ịº Ị Ơ Ø ịĐ Ø Ð ÷Ù Ø Đ Ĩ Ĩ × Ị Ú ịỊ Ú Ø Ø Ị Ị ÝịÙ Ø ù ¸ ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ Đ ề ễ ề ỉệứề ể ẹ ệ ũề ẳắ ặ ữẹ ẻ ẹ ự ỉ ệ ề ữẹ Ú Ị ịỊ Ù ÐÙ Ị Ð ỊịÙ Ư Ú Ị Đ Ị Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù ể ỉ ề ẳ ặ ề ề ề ễề ỉ ỉ ẹ íũề ì ú ễ é Ị ÐÙ Ị Ð Ð Đ Ư Ư Ị ¸ Ø Ị ÷ Ø Ị ØƯ Đ Ị Ơ Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ ÷Ị º Ð Ị ÷Đ ơỊ Ø Đ Ị Ị Ị ú Ĩ Đ íụá ể ẹ ìí ệ ề ề ề ậể ĨÐ Ú Ị Ĩ Ư Ø ØùỊ Ø Ú Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị Ị Ị ậể ểé ữỉ é ề ề ễ ỉ ũẹ Đ Ø Ơ Ị ơỊ Ø Đ Ị Ơ Ị ỉệứề ể ẹ ệ ũề ữề é ề ú Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ø Ị Ú Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ ề ề ẵ ỉì ụề ỉ ẵẵ ề Ð ịỊ ÕÙ Ị Ị Ị Ĩ Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ø º Ị Ị ú ½º½º Ị Ị Ú Ø ØƯịỊ ØƯ Ị Ú Ị × × Ø R Ý × Ơ Cº À Đ ρ Ü Ị ØƯịỊ E Ð Đ Ø Ù Ị ØƯịỊ E Ị ỉ ẹ ề ú ữề ì (x) ≥ Ú º ρ(λx) = |λ| ρ(x) º ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) ∀x ∈ E Ú Ú ρ(x) = ∀λ ∈ K Ú Ú Ø øx=0 ∀x ∈ E ∀x, y ∈ E Ã Ò Ò Ú Ø E Ò Ú Ñ Ø Ù Ò ρ ØƯịỊ Ị Ð ØùỊ Ị Ù Ị Ý Ị Ị Ị Ð Ị Ị Ị Ù Ịº Å÷Ị ó ½º½º Ỉ ρ Ð Đ Ø Ù Ị ØƯịỊ E ỉ ứ ề ỉ ề ề ỉíụề ẵẵà d(x, y) := ρ(x − y), (∀x, y ∈ E) Ü Ị Đ Ø Ĩ Ị ØƯịỊ E Ø Đ Ò d(x + y, y + z) = d(x, y) d(λx, λy) = |λ| d(x, y) Ú ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K Ã Ó Ò dÜ Ù Ò ρ Ò Ò Ø (1.1) Ð Ĩ Ị ×Ị Ị Ị ú ½º¾º à Ị Ị Ị ÙỊ ĐØ Ù ỊÜ Ị ể ề ìề ề ề ỳ ẵ d(x, y) := x − y , Ú Ị Đ ØƯ Ú Ý Ù Ý ØƯĨỊ x, y ∈ E Ý {uk }∞ ⊂ E k=1 Ị Ú Đ ǫ > 0, ∃N > × Ĩ Ĩ uk − ul º Ò Ð < ǫ, Ú k, l ≥ N Ị Đ Ý Ù Ý ØƯĨỊ E óÙ Ø ¸ Ò ú Ð Ú {uk }∞ ⊂ E Ð Ý íá ỉ ề ỉ u E ì ể Ĩ {uk }∞ Ø ơỊ u k=1 k=1 E Ð Ý º à Ị Ị Ị Ị Ị ú ½º º à Ị ´ Ý µ Ị Đ Ý E Ð Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ị Ù Ị Ý º Ị Đ ØƯ E Ð Ù Ý ØƯĨỊ E óÙ Ø º Ị Ị Đ ØƯ Ý Ị Ị ú ½º º à Ị Ị E Ị Đ ØƯ ݺ Ò ØÙÝôÒ ØùÒ Ò Ù Ò E Ð Ù Ò ØƯịỊ E Ð Đ Ø Ị Ị E Ị Ú ẹ ỉệ ì ề ề ề ỳ ẵ Ò Ò Ò Ù ÒE Ð ÐÝ Ò Ò ÒôÙ E Đ Ø Ø Ơ ĨỊ ơĐ ØƯ Đ Ø ØƯĨỊ E Ð Ị Ø Ị Ø Đ Ø Ý {xn}n∈N Ơ Ị Ø E × Ĩ Ĩ Ú Đ E x ∈ E óÙ ùØ Ị Ø Đ Ø Ý ĨỊ {xn }n∈N Ø ơỊ x ∗ k Ị Ị ú ½º º Ì Ị Ư Ị ∗ Ý {uk }∞ ⊂ E k=1 Ø ơỊ u ∈ E Ị lim uk − u = k→∞ Ì ề ụỉá ẵắ ề uk u ề é ệỉ ẵắẵ ề ệẹ ỉ ề Ị ú ½º º Ĩ E Ð Ð Ị Ü k → ∞ ϕ : E × E −→ C Ø Ị Ị Ú Ø ´Ơ µº ĐỊ Ị À ƯĐ Ø ØƯịỊ E Ú Ị × C Ị Ơ Ø Ù ØƯịỊ uº Úø ∂U Ð C º Ý Ø Ü Ø ØƯ Ị Ơ ∂U Ị Ơ Ị Ị x0º à ỊịỊ Ø Ø ơỊ Ị Ð Đ Ơ Ị ∂U Ị x0º Ì Ð Ø Ü Ị Ị Ü Φ ØƯĨỊ C 1¸ Ú Ị Ü Ị Ð Ψ¸ Ø Đ Ị Φ Ð Đ Ơ Ị ∂U Ị x0 Ư Ơ ù ỊĨ º Ì Ú ôØ y = Φ(x), x = Ψ(y), u′(y) := u(Ψ(y))º Ì ơƠ Ø Ĩ Ø Ð Ü Ị øỊ Ñ u′ Ø By+ Ø Ù By = B(y0, r)º Ì Ị Ø Ị ØƯịỊ¸ Ø Đ Ư Ị Đ u′ Ü Ị ØƯịỊ ØĨ Ị By Đ u′ ∈ C 1(By ) Ò Ò Ø Ò Ø Øø u′ Wp (By ) ≤ Cy u′ + Wp (By ) èệểề Cy é ề ì ề ễ Ø Ù Ú Ó u′ º Ó W := Ψ(By )º Ë Ù ÕÙ Ý ØƯ Ð ơỊ x¸ Ø Ø Ù u u ØƯịỊ W Đ u Wp (W ) C u ẹ ỉ ẹẹ ệ ề ẵẵắà Wp (U ) º Ì ∂U Ð ĨĐƠ ظ ỊịỊ Ø Ị Ø Ù Ị ưĐ x0 ∈ ∂U ¸ Wi Ð Ñ ¸ Ú ui Ð i Ñ Ư Ị u ơỊ Wi (i = 1, N)¸ Ị Ị Đ Ị ØƯ Γ ⊂ N Wiº Ä Ý i=1 W0 ⊂⊂ U Ĩ U ⊂ N Wi ¸ Ú Ø {ζi }N Ð Đ Ø Ơ Ị Ĩ ỊÚ i=0 i=1 N Ø Ị Ị Ú Ơ Đ {Wi}N U ¸ Ø Ú u = ζiui¸ ØƯĨỊ u0 = uº i=0 i=0 Ë Ò (1.12) Ø u Wp (Rn ) ≤C u Wp (U ) Ú Ị × C û Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ú Ĩ U, p, n Ị Ị Ị Ơ Ø Ù Ú Ĩ uº À Ị Ị Ø Ø × Ơ Ø Ĩ Ø u Ð Ị Đ ØƯĨỊ V ⊃⊃ U º Ý Ø ÜØ Ị Ü EÑ 1 E : Wp (U ) −→ Wp (Rn) u −→ Eu = u Ø ø E Ð ØĨ Ị Ø ØÙÝơỊ ØùỊ º Ý Ø Ü Ø u ∈ Wp1(U )º Ĩ ØùỊ ØƯ Đ Ø C ∞ (U) ỊịỊ ÐÙ Ị Ø Ị Ø Ý Ù Ý Đ {um}∞ Đ um → u ØƯĨỊ m=1 Ø Ị Ø i Ị Ú ØùỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Eum − Eul = E(um − ul ) E Ø øØ Wp (Rn ) m → ∞ ≤ C um − ul Ơ Ị Wp (U ) Ù Ý Ø Úó u m → ∞¸ Ú E Ð ØĨ Ị Ø ØÙÝơỊ ØùỊ ỊịỊ {Eum}∞ Ị Ð Ý Ù Ý Ø Ø u Ú Ø Ø Eu := u m=1 Ë Đ Ư Ị Ị ÝỊ Ị Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ú ÷ Ị Ý Đ Ü Ơ Üû {um}∞ m=1 Ø Đ Ị ÐÙ Ị Ò Ðùº {um }∞ m=1 Ð Wp (Rn ) Wp (U ) Ý ½º¿º à Ị Ị Đ H 1() ề ề ỳ ẵắắ ề ề ề Ù f ∈ H −1 (Ω) H0 (Ω) Ị f Ð Đ Ø Ơ ơĐ Đ ØÙÝơỊ ØùỊ ù ÷Ù Ð H −1(Ω)º Ị ØƯịỊ H01(Ω)º Ị Ị ú ẵắ ặụ f H 1()á ề ĩ ề f H −1 (Ω) = ×ÙƠ{ f, u |u ∈ H0 (Ω), u Ì Ú < f, v > ự ữ ề é ẵắ ØÖ Ù ØÖ f ∈ H −1(Ω) H0 (Ω) ≤ 1} ØƯịỊ u ∈ H01(Ω) H −1 µ × f ∈ H −1 (Ω) à ÜÙ Ø ÷Ị Ñ f , f 1, , f n ØƯĨỊ L2 (Ω) × Ĩ Ĩ n f, v = f v+ i=1 Ω º À ỊỊ ¸ f H −1 (Ω) = Ò n Ω i=0 f Ø Ì Ú f = f − Ị ĐỊ ẵ ẻ f ivxi dx, (v H0 (Ω)) f i dx | Đ Ị (1) Ú f 0, , f n ∈ L2(Ω) n i i=1 fxi Ĩ¸ Ø u, v ∈ H0 (Ω) (u, v) := Ị Ị ú Øù ØƯĨỊ Du.Dv + uvdx ẵẵà ẻ ẹ f H 1() u H0 () ề éự ấ ìị ỷ ệ ì ỉ ề ỉ ẵ ẹ ẹ ề B[u, v] = f, v Ĩ Ø Ø Đ v H01()á é ẵẵ Du.Dv + uvdx = f, v Ø Ơ Ị Ω Ĩ Đ v ∈ H01(Ω)º Ĩ u ∈ H01(Ω) ×ÙÝ Ư Ú i = 1, , nº Ĩ ỊịỊ Ị Ø Ø u ∈ L2 (Ω) Ú Ø Ò f = u ẵẵ i f = ux , (i = 1, , n) i Ú Ø Ý Ú Ó (1.14) Ø ø Ø uxi ∈ L2 (Ω) n f, v = i=1 ắ í ì L2() ì Ó Ó f ivxi dx f v+ f ∈ H − 1(Ω)¸ ỊịỊ Ø Ĩ (1.13) Ø ø Ø Ị Ø Ñ g0, g1, , gn ∈ n f, v = Ø v = u ØƯĨỊ (1.14) i=1 Ω Ú × Ị (1.16) Ị Ø n Ĩ Ø Ω (1.15) |Du| + |u| dx ≤ Ø Ø Ý f ¿º Ì (1.13) Ω Ø i i=0 | f, v | ≤ 1 f g i dx i=0 Ω n dx ≤ Ω i=0 H () f ẵẵ g i dx n Ị v H (Ω) ≤ 1º Ø v = u u ØƯĨỊ H (Ω) Å 2 n ẵẵ g i vxi dx g v+ i 2 dx i=1 (1.14)¸ = supp f, v |v ∈ H1 (Ω), u H1 (Ω) ≤1 ´½º½ µ ỊịỊ Ø (1.17), (1.18) Ø f, ⇔ u u = H0 (Ω) u Du.D u u Ω f, v = H0 (Ω) u Ω H0 (Ω) + u H0 (Ω) u u dx H0 (Ω) |Du|2 + |u|2 dx ÀÝ n f H −1 (Ω) f i dx = Ω Ã ề ề ìí ệ ỉ (1.16) (1.19) ề Ðù Ị Đ Ị º i=1 ´½º½ µ Ị ¾ à Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ ỉ ề ểXé ắẵ ề ề ề ỉ ÚĨ Ị Ø Ú Ù Ị º Ị Lp(0, T ; X) ề ề ỳ ắẵ ề ề Lp(0, T ; X) Đ Ø Ø Đ Ĩ u : [0, T ] → X Ú T u L (0,T ;X) := ( u(t) pdt) º p u ắắ ề L (0,T ;X) := ìì ×ÙÔ 0≤t≤T p