KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN HỌC: MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG φCO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SP TOÁN TIN MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG φ-CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Nghành đào tạo: Sư phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học Đồng Tháp, năm 2014 i TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SP TOÁN TIN MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG φ-CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Nghành đào tạo: Sư phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học Sinh viên thực hiện: Nguyễn Chí Tâm Giảng viên hướng dẫn: T.S Nguyễn Văn Dũng Đồng Tháp, năm 2014 ii MỤC LỤC Mở đầu 1 1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Tổng quan về đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 Kế hoạch nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric . . . . . . . . . 7 2 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và ví dụ minh họa 9 2.1 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Kết luận và kiến nghị 20 1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả trình bày trong đề tài là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và đề tài hoàn toàn không trùng lập với bất kì tài liệu nào khác. Đồng Tháp, ngày 24 tháng 4 năm 2014 Nguyễn Chí Tâm 1 MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài Nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ xuất hiện năm 1922 là một kết quả nổi bật trong Giải tích. Kết quả này được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trên nhiều không gian khác nhau [2]. Một hướng mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach là định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric [15]. Ở trong nước, hướng nghiên cứu về định lí điểm bất động trên không gian mêtric và mêtric suy rộng cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 2012, K. P. Chi và các cộng sự đã chứng minh định lí điểm bất động cho các lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện co ´ Ciri´c trong [11]; thiết lập và chứng minh định lí co Meir-Keeler dựa trên các lớp ánh xạ T -co trong [3]. Năm 2013, N. V. Dung [5] đã mở rộng kết quả của M. E. Gordji và các cộng sự trong [8]; N. T. Hieu và các cộng sự [10] đã mở rộng kết quả của E. Karapinar và các cộng sự trong [11]. Gần đây, N. T. Hieu và V. T. L. Hang [9] đã thiết lập và chứng minh được định lí điểm bất động kép cho ánh xạ α-ψ-co trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự. Những kết quả trong [15] đã được chúng tôi nghiên cứu, mở rộng cho không gian kiểu-mêtric, xem [14]. Nhìn chung, với nhiều định lí điểm bất động trên không gian mêtric và mêtric suy rộng, chúng ta thấy rằng điều kiện co thường chứa tối đa năm giá trị là d(x, y), d(T x, x), d(T y, y), d(y, T x), d(x, T y) trong [4], [13]. Gần đây, N. V. Dung và cộng sự [6] đã bổ sung thêm bốn giá trị mới d(T 2 x, x), d(T 2 x, T x), d(T 2 x, y), 2 d(T 2 x, T y) vào điều kiện co và đã chứng minh định lí điểm bất động đối với điều kiện co mới này. Hơn nữa, kĩ thuật này có thể áp dụng cho những định lí điểm bất động khác. Bằng cách tương tự, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng những kết quả trong [15] đối với không gian mêtric bằng việc thêm ba giá trị d(T 2 x, T x), d(T 2 x, y), d(T 2 x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng. Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài “Mở rộng định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2 Tổng quan về đề tài Năm 1997, tác giả Alber và Guerre-Delabriere đã giới thiệu khái niệm φ-co yếu như sau: 2.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và T : X −→ X là một ánh xạ. T được gọi là một ánh xạ φ-co yếu nếu tồn tại φ : [0, +∞) −→ [0, +∞) sao cho φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và d(T x, T y) ≤ d(x, y) − φ  d(x, y)  với mọi x, y ∈ X. Tiếp đến năm 2009, Q. Zhang và Y. Song [15] đã mở rộng ánh xạ co thành dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và đã chứng minh định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng này. Nội dung định lí như sau: 2.2 Định lí ([15], Theorem 2.1). Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T, S : X −→ X là hai ánh xạ sao cho với mọi x, y ∈ X, d(T x, Sy) ≤ M(x, y) − φ  M(x, y)  3 ở đây φ : [0, +∞) −→ [0, +∞) là một hàm số nửa liên tục dưới, φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và M(x, y) = max  d(x, y), d(T x, x), d(Sy, y), 1 2  d(y, T x) + d(x, Sy)   . Khi đó T, S có điểm bất động chung duy nhất. Gần đây, chúng tôi đã mở rộng kết quả chính trong [15] cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric [14]. Trong khóa luận này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động đối với ánh xạ φ-co yếu suy rộng trong [15] bằng việc thêm ba giá trị d(T 2 x, T x), d(T 2 x, y) d(T 2 x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng trên cùng một không gian mêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 3 Mục tiêu nghiên cứu - Thiết lập và chứng minh mở rộng định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric. - Xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Khóa luận nghiên cứu định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric. - Khóa luận thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động trong không gian mêtric. 5 Nội dung nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric. Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong 2 chương: 4 Chương 1: Trình bày những kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm mêtric, các tính chất cơ bản của mêtric, khái niệm ánh xạ co và φ-co yếu. Chương 2: Định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu trong không gian mêtric và áp dụng. Trong chương này, chúng tôi trình bày mở rộng định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu trong không gian mêtric, xây dựng ví dụ minh họa cho những kết quả đạt được. 6 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, bằng cách tương tự những kết quả đã có để đề xuất kết quả mới. Các kết quả này được thảo luận chi tiết với các tác giả cùng lĩnh vực nghiên cứu. Mô tả phương pháp: Sinh viên nghiên cứu tài liệu, nắm vững những kết quả đã có, sau đó trình bày trước nhóm thảo luận. Cùng với sự hướng dẫn của giảng viên, sinh viên đề xuất mở rộng và chứng minh. 7 Kế hoạch nghiên cứu Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian thực hiện Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. - Hệ thống những khái niệm, tính chất cơ bản về dạng φ-co yếu và không gian mêtric. - Tổ chức thảo luận nhóm, kiểm tra kết quả. Từ 12/2013 đến 1/2014 5 Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian thực hiện Chương 2. Định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và ví dụ minh họa. - Đưa ra và chứng minh được mở rộng định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng cho không gian mêtric. - Ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. - Tổ chức thảo luận nhóm, kiểm tra kết quả. Từ 1/2014 đến 3/2014 - Trình bày kết quả trước nhóm nghiên cứu, bộ môn. - Hướng dẫn sinh viên chỉnh sửa các ý kiến đóng góp. Tháng 4/2014 - Hoàn thành khóa luận. - Kiểm tra khóa luận. Tháng 5/2014 6 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mêtric Trong mục này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về không gian mêtric được dùng trong khóa luận. 1.1.1 Định nghĩa ([7], Định nghĩa 1.1). Cho X là một tập khác rỗng và d : X × X −→ R là một hàm thỏa mãn điều kiện sau: (1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y, (2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X, (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X. Khi đó, d được gọi là một mêtric trên X và (X, d) được gọi là một không gian mêtric. 1.1.2 Định nghĩa ([7]). Cho (X, d) là một không gian mêtric và {x n } là một dãy trong X. Khi đó (1) Dãy {x n } được gọi là hội tụ đến x ∈ X, kí hiệu là lim n→∞ x n = x, nếu lim n→∞ d(x n , x) = 0. Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy {x n }. (2) Dãy { x n } được gọi là một dãy Cauchy nếu lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0. [...]... VÍ DỤ MINH HỌA 2.1 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric Trong mục này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động đối với ánh xạ φ-co yếu suy rộng trên không gian mêtric trong [15] bằng việc thêm ba giá trị d(T 2 x, T x), d(T 2 x, y), d(T 2 x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric 2.1.1 Định lí Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T... chứng minh mở rộng định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và xây dựng ví dụ minh hoạ Định lí 2.1.1, Hệ quả 2.1.2, Ví dụ 2.2.2 2 Kiến nghị Khóa luận có thể được phát triển theo những hướng sau: - Xét tính cốt yếu của giả thiết không giảm” và của những giá trị trong điều kiện co trong Định lí 2.1.1 - Thay thế không gian mêtric trong Định lí 2.1.1 bởi một không gian khác... 1.2 Dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric Trong mục này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([7], trang 70) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và T : X −→ X là một ánh xạ T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X 1.2.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, d) là một không. .. tồn tại tập mở U ∈ τ sao cho x0 ∈ U ⊂ φ−1 (r; +∞) Ánh xạ φ được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu như φ nửa liên tục dưới tại mọi điểm x0 ∈ X 1.2.5 Bổ đề ([12], Proposition 7.1.1) Cho (X, d) là một không gian mêtric Hàm φ : X −→ R là nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ X nếu và chỉ nếu φ(x0 ) ≤ lim inf φ(x) x→x0 9 CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI DẠNG φ-CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ... còn lại trong Định lí 2.1.1 đều thỏa mãn Do đó Định lí 2.1.1 áp dụng được cho T trên (X, d) Mặc khác, ta thấy [15, Theorem 2.1] không đúng khi (x, y) ∈ {(3, 4), (4, 3)} Do đó [15, Theorem 2.1] không áp dụng được cho T trên (X, d) 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận Khóa luận đã đạt được những kết quả sau: - Hệ thống những khái niệm, tính chất cơ bản về dạng φ-co yếu suy rộng và không gian mêtric -... ra T có điểm bất động Cuối cùng, ta chứng minh điểm bất động của T là duy nhất Giả sử tồn tại v sao cho v = T v Ta có d(u, v) = d(T u, T v) ( ) ≤ M (u, v) − φ M (u, v) ( ) = d(u, v) − φ d(u, v) Suy ra d(u, v) = 0 Vậy u = v Từ Định lí 2.1.1 bằng cách chọn φ(t) = (1 − k)t, t ≥ 0, k ∈ (0, 1) ta có hệ quả sau 2.1.2 Hệ quả Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T : X −→ X là một ánh xạ sao cho với... Convex functional analysis, Springer, 205 – 206 [13] B E Rhoades (2001), Some theorems on weakly contractive maps, Nonlinear Anal 47, 2683 – 2693 [14] N C Tâm (2014), Về định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian kiểu -mêtric, Đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp [15] Q Zhang and Y Song (2009), Fixed point theory for generalized φ-weak contractions, Appl...7 (3) Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong (X, d) là một dãy hội tụ 1.1.3 Mệnh đề ([7], Tính chất 1.5.2) Cho (X, d) là một không gian mêtric Nếu dãy {xn } hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất Chứng minh Giả sử dãy {xn } hội tụ về x và y trong X Khi đó với mọi n ta có d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) Cho n → ∞ ta được d(x, y) = 0 hay x = y Vậy điểm giới hạn của... − φ (c) 2 với mọi m, n ≥ N + 1 Từ đó suy ra cN +1 (c) < cN − φ 2 Từ (2.4), (2.5) và (2.8) ta có c − ε < c + ε − φ (2.8) (c) 2 Cho ε → 0+ ta suy ra ( c) c≤c−φ Điều này là vô lí vì c > 0 2 Vậy c = 0, nghĩa là {xn } là một dãy Cauchy Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy {xn } hội tụ về điểm bất động của T 13 Vì X là một không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho lim xn = u n→∞ Tiếp theo, ta chứng... 2 2 d(T x, T x), d(T x, y), d(T x, T y) M (x, y) = max d(x, y), d(T x, x), d(T y, y), Khi đó T có điểm bất động duy nhất 2.2 Ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho Định lí 2.1.1 Chứng tỏ Định lí 2.1.1 mạnh hơn [15, Theorem 2.1] 2.2.1 Ví dụ Xét X = {0, 1, 2, 3, 4} và d xác định bởi   0 nếu x = y      3   { }   nếu (x, y) ∈ (0, 3), (0, 4), (3, 0), (4, 0) 2 d(x,