Điểm bất động của ánh xạ lipschitz đều trong không gian mêtric cat(0) và không gian mêtric siêu lồi

LƯƠNG THỊ THU ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG KHÔNG GIAN METRIC CAT(O) VÀ KHÔNG GIAN METRIC SIÊU Lồi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 LƯƠNG THỊ THU ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(O) VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU Lồi BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN KHIÊM HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Khiêm, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 201Ậ Tác giả Lương Thị Thu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khiêm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Lương Thị Thu Mục lục Lời nói đầu Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) và Chương 1. 1 . 1 . 4 4 6 6 7 9 1.1. 1. 1. 1. 2. 1.2 . Một số khái niệm về hình học của không gian Banach Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz Kiến thức chuẩn bị ✓ v Anh xạ Lipschitz đều Đường kính và bán kính Chebyshev s Anh xạ không giãn Chương 2. 1 3 1 3 1 3 1 4 13 2 0 2 1 2 1 2 2 . 1. 2. 1. 1. 2.2 2.2. 1. ✓ v v Anh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) không gian mêtric siêu lồi Tính chất hình học của không gian CAT(O) Không gian mêtric trắc địa Không gian mêtric siêu lồi Không gian CAT(O) Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Các định lý điểm bất động là một trong những công cụ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, sự tồn tại điểm cân bằng và tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu trong lý thuyết tối ưu Lý thuyết điểm bất động đã ra đời cách đây khoảng một thế kỷ. Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 và Nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922 đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động là: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ dạng co. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co. Hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ vào những năm 60 của thế kỷ 20 và đã thu được những kết quả quan trọng cho lớp ánh xạ không giãn. Các kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach đã được xây dựng khá hoàn chỉnh vào những năm 70 và 80 của thế kỷ 20. Trong những năm gần đây người ta tìm cách mở rộng các kết quả về tồn tại điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach sang lớp không gian metric với cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng, hoặc không gian metric với cấu trúc lồi trắc địa (xem [4], [7], [8]). Bởi tầm quan trọng của các định lý điểm bất động, cùng với mong muốn tìm hiểu về một số kết quả gần đây về điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đều chúng tôi đã chọn đề tài "Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi". 6 Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm hai chương. Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm về hình học của không gian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều và một số kết quả chính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach. Chương 2 của luận văn gồm hai phần. Phần thứ nhất của chương 2 trình bày về lớp không gian CAT(O) cùng với những tính chất hình học của nó. Phần thứ của chương 2 trình bày về không gian mêtric siêu lồi và chứng minh Định lý Casini-Maluta về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi. 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. Áp dụng một số phương pháp Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích lồi, lý thuyết tô pô. 4. Đóng góp của đề tài Trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian metric CAT(0)và không gian metric siêu lồi. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số khái niệm về hình học của không gian Banach 1.1.1. Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach Cho X là một không gian Banach với chuẩn II • II. Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu MI — 1 {V x,y e X) \\y\\ < 1 \X — 2/11 > 0 Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi đều nếu với mọi số £ G (0, 2] đều tồn tại một số ỗ = ỗ(e) > 0 sao cho Ví dụ 1.1.3. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều. Thật vậy, giả sử ||x|| < 1, \\Y\\ < 1 và ||x — Y\\ > £. Từ đẳng thức hình bình hành ta có: x + < x + (V x,y £ X) * < 1 - S(e). INI < 1 IMI < 1 ỊỊz - y\\ > Từ đây suy ra với Ỏ (e) = 1 — > 0- Ví dụ 1.1.4. Các không gian ữ và L p với 1 < p < oo là các không gian lồi đều. Để đo mức độ lồi của hình cầu đơn vị BX = {X £ X : ||x|| < 1} của không gian Banach X người ta đưa ra khái niệm môđun lồi của không gian Banach X. Định nghĩa 1.1.5. Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số ỗỵ ■ [0, x + < 1 - 1 - 1 -ĩ = 1 - <S(e) 2] —» [0,1] xác định bởi <Jjr (e) = inf 11 - ° C -^~ : X, Y E X, \\X\\ < 1, \\Y\\ < 1, \\X-Y\\ > E}. Nhận xét. Từ định nghĩa của môđun lồi ta suy ra: (i) Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi Ỗ(E) > 0 với mọi es(0,2]. (ii)Nếu Ị|x|| < 1, ||y|| < 1 và ỊỊíc — y\\ > £ thì 11 ^ ^ Tương tự, nếu X,Y, A e X và R, £ > 0 sao cho ||x [...]... -y//V(X) -1 thì T có điểm bất động trong с Chương 2 Ánh xạ Lỉpschitz đều trong không gian CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi 2 1 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) 2.1.1 Không gian mêtric trắc địa Cho (X,D) là một không gian mêtric và X,Y là hai điểm thuộc X, D(X , Y ) = L Một cung trắc địa nối hai điểm X, Y trong X là một ánh xạ c : [0, 1] —> X sao cho c(0) = X , c ( l ) = y và d { c ( t ),... Vậy T không có điểm bất động trong B Từ ví dụ của s Kakutani ta cần phải đặt thêm điều kiện lên các ánh xạ Lipschitz để đảm bảo cho nó có điểm bất động K Goebel và w A Kirk đã đề xuất một lớp ánh xạ mới là lớp trung gian giữa lớp ánh xạ không giãn và lớp ánh xạ Lipschitz, gọi là lớp ánh xạ Lipschitz đều Định nghĩa 1.3.2 Cho (X,d) là một không gian metric, c là tập con khác rỗng của X Một ánh xạ T :... rỗng của X Một ánh xạT : c —> X được gọi là một ánh xạ không giãn nếu d ( T x , Ty ) < d ( x , y ) Va;,y G c Lớp ánh xạ không giãn là sự mở rộng tự nhiên của lớp ánh xạ co Tuy nhiên khác với ánh xạ co, ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất động, hoặc điểm bất động có thể không duy nhất Ví dụ 1.2.2 Kí hiệu c ữ là không gian của các dãy số hội tụ đến 0 với chuẩn sup và B ỉà hình cầu đơn vị đóng trong. .. tại điểm bất động của các ánh xạ không giãn Các điều kiện bao gồm: tính compact yếu, tính lồi và cấu trúc chuẩn tắc Định lí 1.2.3 (Browder-Gohde-Kirk, 1965) Cho c là một tập con lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc của không gian Danach X Khi đó mọi ánh xạ không giãn t ừ c vào c đều c ó điểm b ấ t động 1.3 Ánh xạ Lipschitz đều Sau khi thu được kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ không. .. c được gọi là một ánh xạ Lipschitz đều (hay k - Lipschitz đều) nếu tồn tại một số k > 1 sao cho d(T n x, T n y) < kd{x, y) Vz, y e c, Mn e N Nhận xét Ánh xạ T là ánh xạ fc -Lipschitz đều nếu và chỉ nếu tất cả các ánh xạ T N (N = 0,1, 2, ) đều là ánh xạ Lipschitz với cùng một hằng số Lipschitz K Rõ ràng mọi ánh xạ không giãn từ C vào C cũng là ánh xạ Lipschitz đều với K = 1 K.Goebel và w A Kirk là những... Lifschitz của không gian metric để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian metric Kết quả của Lifschitz khi quy về trường hợp không gian Hilbert mạnh hơn hẳn kết quả trên đây của Goebel và Kirk Định lí 1.3.4 (Lifschitz JIDJ) Giả sử (x,d) là không gian metric đầy đủ, bị chặn và có đặc trưng Lifschitz k(X) > 1 Khi đó, nếu T : X —> X là ánh xạ k -Lipschitz đều với k... quả của Goebel - Kirk ở trên Năm 1985, E Casini và E Maluta cũng thu được một kết quả quan trọng nữa về tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc đều Định lí 1.3.6 (Casini-Maluta ỊỊẸI) Cho X là một không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc đều N(X) < 1 và с là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong X Khi đó, nếu T : с —> с là một ánh xạ k -Lipschitz đều. .. tiên chứng minh được sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ Lipschitz đều Định lí 1.3.3 (Goebel - Kirk [6]) CHO C LÀ MỘT TẬP CON LỒI, ĐÓNG, BỊ chặn, khác rỗng của không gian Banach X có đặc trưng lồi £o{X) < 1 Giả sử T : c —> c là một ánh xạ k -Lipschitz đều với k £ (l,7o), trong đó 7o là nghiệm duy nhất của phương trình 7(1 — ỗx {—)) = 1 Khi đó T 7 cớ điểm bất động trong c Năm 1975, E A Lifschitz... có điểm b ấ t động trong X Áp dụng kết quả của Lifschitz cho không gian Banach ta thu được hệ quả sau Hệ quả 1.3.5 Cho c là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X với hệ số Lifschitz K ữ (X) > 1 Giả sử T : c —> c là một ánh xạ kLipschitz đều với к < K 0(x) Khi đó T có điểm bất động trong c л/5 Trong trường hợp không gian Hilbert H ta biết rằng 7o(#) = —— < V2 — K 0 (H) nên kết quả của. .. T : B —> B là ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động Thật vậy, giả sử tồn tại X * = ( X Ị , X % , £3 , ) € B sao cho X * = T X * Khi đó ( X Ị , X 2 ,Xg, ) = (1, X \ , X *2, ) nên X * = 1 với mọi i Do đó X * không thuộc c0 Vậy T không có điểm bất động Để đảm bảo cho lớp ánh xạ không giãn có điểm bất động ta cần thêm những điều kiện chặt chẽ hơn về cấu trúc hình học của không gian Năm 1965, . lồi Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) không gian mêtric siêu lồi Tính chất hình học của. hình học của không gian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều và một số kết quả chính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach. Chương 2 của luận. THU ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG KHÔNG GIAN METRIC CAT(O) VÀ KHÔNG GIAN METRIC SIÊU Lồi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 LƯƠNG THỊ THU ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG