Ánh xạ Lỉpschitz đều trong không gian CAT(O) và không gian mêtric siêu lồ
2.2.1.Không gian metric siêu lồ
Định nghĩa 2.2.1. Không gian metric (x,d) được gọi là một không gian metric
thì ta đều có n ^ 0.
Ví dụ 2.2.2. Không gian £°° là không gian mêtrỉc siêu lồi. Không gian Hilbert không phải là không gian siêu lồi.
Mệnh đề 2.2.3. Mọi không gian mêtrỉc siêu l ồ i đều là không gian m ê t r i c
đầy.
CHỨNG MINH. Giả sử (X , D ) là không gian mêtric siêu lồi. Bởi nguyên lý Cantor, để chứng minh X đầy đủ ta chỉ cần chứng minh mọi dãy hình cầu đóng thắt dần trong X
đều có giao khác rỗng. Thật vậy, giả sử |i?(a;n,rn)| là một dãy hình cầu đóng thắt dần trong X. Khi đó với M > N ta có B(X M ,Rm) c B(X N ,RN ) nên
d{xm,xn) <rn<rn + rm.
Từ đó, do X là không gian siêu lồi ta nhận được n B(X N ,R n) 7^ 0. □
n> 1
Định nghĩa 2.2.4. Cho (x,d) là một không gian mêtric siêu lồi.
- Một tập con Ả của X được gọi là tập chấp nhận được nếu A là giao của
một họ nào đó các hình cầu đóng t r o n g X .
- Bao chấp nhận được của một tập B c X kí hiệu là ad(B), là giao của họ tất
cả các tập chấp nhận được của X chứa B.
Định nghĩa 2.2.5. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian mêtric siêu lồi (X,
d) được xác định như sau:
A là tập con chấp nhận được của X, d(A) > 0
X mà có tính
Mệnh đề 2.2.6. Nếu (X, d) là không gian mêtric siêu lồi thì N(X) =
2
CHỨNG MINH. Giả sử A là một tập chấp nhận được trong X có đường kính D(Á) = D >
0 và bán kính R(Á) = R > 0. Với 0 < £ < R , nếu họ
hình cầu đóng Ị B(X,R — E)\ có giao khác rỗng thì với c thuộc vào
^ JxẽA
giao của họ hình cầu đó ta có
d ( x , c ) < r — £ \ / x G A , hay rc( A ) < r — £ < r = r ( A ) .
Điều này không thể xảy ra nên họ hình cầu đóng Ị^B(X, R—£ ) I phải có giao bằng rỗng. Do X là không gian siêu lồi nên phải tồn tại hai hình cầu trong họ hình cầu đó có khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính, nghĩa là tồn tại hai điểm X , Y € A để D ( X , Y) > R — £ + R — £ = 2r — 2e. Từ đây suy ra D(A ) > 2R(A) — 2E. Do £ > 0 có thể nhỏ tùy ý nên ta nhận được D(A ) > 2R(A). Mặt khác do bất đẳng thức tam giác D(A ) < 2R(A).
Vậy d(A) = 2r(A). Do đó N(X) = -. □
Ẩi
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});