Ánh xạ Lỉpschitz đều trong không gian CAT(O) và không gian mêtric siêu lồ
2.2.2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồ
Trong mục này ta sẽ chứng minh không gian mêtric siêu lồi có tính chất điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều. Trước tiên cần thêm một vài khái niệm và bổ đề kĩ thuật.
Định nghĩa 2.2.7 (Lim-Xu fn]). Không gian mêtric siêu lồi (X,d) được gọi là có
tính chất (p) nếu vói bất kì hai dãy bị chặn {xn} và {zn} trong X luôn tồn tại
một điểm z G n ad(Ạzj : j > sao cho
lim sup d ( z , xn) < lim sup lim sup d ( z j , xn) .
n j 71
• ^({^n}) = limSĩip{d(xi : Xj) : ỉ:j > n} là đường kính tiệm cận của dãy {a;n}.
• R A (Z, {^n}) = limsupc/(:z;n, Z) là bán kính tiệm cận của dãy {;cn} đối với điểm Z.
• ra({:rn}) = inf Ị RA (Z, {a^n}) : Z € ad({xn}) > là bán kính tiệm cận của dãy {a;n}.
Bổ đề 2.2.8. Cho (X,d) là một không gian metric siêu lồi có tính chất (p) và
{:cn} là một dãy bị chặn trong X. Khi đó tồn tại một điểm z E ad({a;n}) sao
cho:
(ỉ) d(y,z) < ra(y,{xn}) với mọi y € X;
(ii) ra(z,{xn}) < ìưa({xn}).
CHỨNG MINH, (ii) Với mỗi N > 1 đặt A N = AD({XỴ : K > n}) thì {A N } là một dãy giảm các tập chấp nhận được trong X. Do tính chất siêu lồi của X, với mỗi J tồn tại một điểm Zj ẽ A j sao cho
ra{z, {Xn}^ < limsup lim sup d(zj, xn).
n Mặt khác ta có limsupd(zj,xn) < rz.({xn : n > j}) = r(Ạj). n rZ j({xn : n > j}) =inf{rz{{xn : n > j}) : z e Aj}. hay
Như trong chứng minh Mệnh đề 2.2.6 ta có
r(Aj) = \d{Aj) = ịsup{d{xm,xn) : 171, n > j}.
Kết hợp các đánh giá trên ta nhận được
R
A (Z, {zn}) < ìlimsupsup {D(X M ,Xn) : M,N> J} = ìrfa({xn}).
(i) Với mọi Y € X và mọi £ > 0, theo định nghĩa của limsup ta chọn được số tự nhiên N Ữ sao cho
d{y,xk) < ra(y,{xn}) + E VA; > n0.
Từ đây suy ra R Y (A N O ) < R A (Y, {a^n}) +£. Do2Ễ A N O nên
d { y, z ) < ry( A
n0) — T * a ( y, -í^n}) + £ .
Cho £ —> 0 ta nhận được D(Y, Z) < R A (Y, {X N }) với mọi Y e X. □
Định lí 2.2.9. Cho (X,d) là một không gian metric siêu lồi có tính chất (p) và
c là một tập chấp nhận được của X. Giả sửT : c —> c là một ánh xạ k-
Lipschitz đều với k < y/2. Khỉ đó T có điểm bất đ ộ n g t r o n g c.
C H Ứ N G M I N H . Lấy bất kì X Q G C và xét dãy { TNX0} . Theo Bổ đề 2.2.8 tồn tại một điểm X I G A D ( { TNX0}) sao cho
T.(X U {T"X „}) < ỉd„({T“x0}). (2.1) Ta có
da({Tnx0}) = lim sup{d(Tia:o,T^x0) : i > j > n}
n—¥ 00
< sup{d(T*a:o, Tjx0) : ỉ > j > 0}
< k s u p ị d ự r ^ i xữ, X Q ) : ỉ > j > 0} = k. sup{d(xQ, TnxQ) : n > 0}.
Kết hợp với (2.1) ta có
ra(xu{TnxữỴ) < ^sup{d(xữ,Tnxữ) : n > 0}. (2.2)
Với mỗi số tự nhiên M ta có
ra( TmX i , { Tnx0} ) = lim sup d ( TmX i , Tnxữ) n—>oo < A:limsupd(xi,Tn_mx0) (2-3) n—ïoc = kra(xu{Tnx о}). Từ (2.2) và (2.3) ta nhận được ra { TmX i , { Tnx0} ) < Ys up { d ( x0, Tnx0) : n > 0}.
Áp dụng (i) của Bổ đề 2.2.8 cho У = T M X 1 ta có
dixuT'x^Kr^T'x ,,{r“zo}) К
2 __
< — sup{d(Æo, TNXỮ) : N > 0} Vm > 0. z
Lấy sup theo 777, ta nhận được
___ £2
sup d(xi, Tmxi) < — sup d(xữ,Tnx0). M>0 2 n>0
Bằng quy nạp ta xây dựng được dãy {Xj} с с sao cho
k2 sup d ( x j+ í ì TmX j+i ) < — sup d ( x j , TnX j ) M>0 2 n>0 vã ra( xj + u{ TnX j } ) < ^supd ( xj, Tnxj) А п>0 k2 _ Đặt D j = supn>0 d ( x j , TnX j) và a = — € (о, 1). Ta có Với mỗi J > 0 ta có
d ( x j , x j+1) < d ( x j , TnX j) + d ( x j+i , TnX j ) < D j + d ( x j+i , TnX j ) .
Lấy lim sup khi N —>■ oo ta nhận được
d ( x j , xj +1) < D j + ra( xj +1, { TnX j } ) _ к < D j 4- — supd ( x j , TnX j ) 2 n>0 = D j + 2^j = (! + 2^J < (1 + £)lW.
Do а € (0,1) nên bất đẳng thức trên suy ra dãy {^j} là dãy Cauchy. Do X đầy đủ nên dãy { X J } hội tụ tới một điểm И e С . Ta có
d ( u , Tu ) < d ( u , X j ) + d ( x j , T x j ) + d ( T x j , Tu )
< d ( x j , u) + D j + k d ( x j , u)
= (1 + K)D(XJ : U ) + DJ Vj > 1. Cho j oo ta nhận được D(U,TU ) = 0 , hay TU = И.
Kết luận
Đề tài của luận văn nghiên cứu về sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) và trong không gian mêtric siêu lồi.
Luận văn đã:
(i) Chứng minh được một số tính chất hình học của không gian CAT(O). (ii) Đánh giá được đặc trưng Lifschitz của không gian CAT(O) lớn hơn hoặc
bằng \/2. Từ đó thu được Định lý Lifschitz cho không gian CAT(O). (iii)Chứng minh Định lý Casini-Maluta trong không gian mêtric siêu lồi.
Luận văn đã đạt được những yêu cầu đặt ra trong đề cương nghiên cứu của luận văn.
Do thời gian và nhận thức của tác giả có hạn, bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót mà chúng tôi không mong muốn. Chúng tôi chân thành cảm ơn và rất mong nhận được những ý kiến góp ý của các thầy cô và bạn đọc để bản luận văn được hoàn thiện hơn.