Luận văn nguyên lí biến phân trên không gian metric nón

B GIO DC V O TO TRNG I HC H NI s PHM * NGễ MNH HNG NGUYấN Lí BIẫN PHN TRấN KHễNG GIAN METRIC NểN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS H C VNG H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGễ MNH HNG NGUYấN Lí BIN PHN TRấN KHễNG GIAN METRIC NểN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS H C VNG H NI, 2015 Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS H c Vng S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Tỏc gi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn v to iu kin tỏc gi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2015 Ngụ Mnh Hựng Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun vn: N guyờn lý bin phõn trờn khụng gian m etric nún tụi t lm di s hng dn ca TS H c Vng Trong quỏ trỡnh vit lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n, cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2015 Ngụ Mnh Hựng M c lc B ng kớ h i u M u Chng K in thc chun b 1.1 Khụng gian m e tric 1.2 S hi t khụng gian m etric 1.3 nh lý Caristi v nguyờn lý bin phõn E keland 12 Chng N guyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian m etric nún 19 2.1 Cỏc nh ngha v vớ d 19 2.2 S hi t khụng gian 22 metric n ú n 2.3 Nguyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian metric nún 34 K t lu n 46 Ti liu tham k h o 47 B n g kớ hiu N Tp hp s t nhiờn M Tp hp s thc c Tp hp s phc Tp rng int(p) Phn ca p Quan h th t theo nún p d Metric dp Metric nún Kt thỳc chng minh M u Lý chn ti Nm 1974, I Ekeland ó chng minh nh lý v s tn ti im cc tiu xp x ca hm s na liờn tc di trờn khụng gian metric y Tc l vi khụng gian metric y (X, d), hm : X ằ (oo, + 00] l na liờn tc di v b chn di Khi ú vi mi Ê > tn ti x e Ê X cho \/y G X , y x s ta cú: ip(xÊ) - ed(xÊ, y ) < X tha d ( x , T x ) < )(x) ip(Tx), Vx cú im bt ng Nm 2007, Huang Long Guang v Zhang Xian, l hai nh toỏn hc ngi Trung Quc ó gii thiu khỏi nim metric nún bng cỏch thay s thc nh ngha metric bi mt nún nh hng khụng gian Banach thc Cỏc tỏc gi ó gii thiu khỏi nim v s hi t v tớnh y ca khụng gian ng thi cỏc tỏc gi ó gii thiu kt qu v im bt ng ca ỏnh x co lp khụng gian ny Sau ú, nhiu nh toỏn hc ó quan tõm v kt qu v im bt ng lp khụng gian ny ó ln lt c cụng b Nm 2012, Seong Hoon Cho v Jong Sook Bae ó cụng b kt qu v s m rng ca nguyờn lý bin phõn Ekeland trờn khụng gian metric nún qua bi bỏo Variational Principles on Cone Metric Spaces Nm 2013, cng chớnh tỏc gi Seong Hoon Cho ó cụng b kt qu v s m rng nh lý im bt ng Caristi trờn khụng gian metric nún qua bi bỏo Some Generalizations of Caristis Fixed Point Theorem with Applications Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v Nguyờn lý bin phõn trờn khụng gian metric nún, di s hng dn ca TS H c Vng, tụi chn ti nghiờn cu: N guyờn lý bin phõn trờn khụng gian m etric nún M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu v nguyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian metric nún N h im v nghiờn cu Nghiờn cu v khụng gian metric, khụng gian metric nún, nguyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian metric v nguyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian metric nún 4 i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu v Nguyờn lý bin phõn khụng gian metric nún da trờn bi bỏo: Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mapư pings ca Huang Long Guang v Zhang Xian Variational Principles on Cone Metric Spaces ca Seong Hoon Cho v Jong Sook Bae Some Generalizations of Caristis Fixed Point Theorem with Apư plications ca Seong Hoon Cho Phng phỏp nghiờn cu S dng mt s phng phỏp v cụng c ca gii tớch hm v lý thuyt im bt ng N h ng úng gúp ca lun Lun l bi tng quan v Nguyờn lý bin phõn khụng gian metric nún Lun c trỡnh by vi hai chng ni dung Chng Kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn v khụng gian metric, s hi t khụng gian metric, khụng gian metric y Tip theo chỳng tụi trỡnh by v nh lý Caristi v nguyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian metric Chng Nguyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian metric nún Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn v nún, khụng gian metric nún v cỏc vớ d minh Sau ú l s hi t khụng gian metric nún, dóy Cauchy khụng gian metric nún, khụng gian metric nún y v cui cựng l Nguyờn lý bin phõn Ekeland khụng gian metric nún 33 Vy ta cú p > an x+bn p > cx+d, Mx e [1 1] 34 Khi ú cỏc dóy {an} , {ũn} c M l cỏc dóy s thc gim v b chn di nờn hi t Tc l tn ti lim an = c, lim bn = d n >0C n >0C Vy lim (anx + bn) = cx + d Ta cú p l nún chớnh quy n >00 2.3 N gu yờn lý bin phõn Ekeland khụng gian m etric nún n h n g h a 2.3.1 [8] Cho (x , d p ) l mt khụng gian metric nún, v ỏnh x : X ằE Ta xõy dng th t ^ trờn X nh sau: y ^ X nu v ch nu d ( x , y ) 0 Do ú ta c ú x ^ x n, VnG N Theo nh lý 2.3.1 thỡ (S^Xo) cú phn t cc tiu X E S ( x 0) Do ú ta cú X ^ Xo, suy dp(x, x ) oo ta cú dp{xnỡx) E l na liờn tc di v b chn di Khi ú cỏc mnh sau l tng ng: Nguyờn lý bin phn Ekeland: Vi mi x Ê X , x G X cho la) ( x0) - (x) - dp(x0, x ) G p, l b ) ( x ) ( x ) dp(x, X ) p , Vx - nh lý im bt ng Carist: Nu ỏnh x f : X > X tha {x) ( f x ) dp( x , f x ) G P,Vx G X l 42 thỡ f cú im bt ng trờn X nh lý cc tiu Takahashi: Nu vi mi X* G X vi inf {z) {x *)ỡ ZX 3x Ê X cho X x * v dp(x*,x) = ^ = ^ = ^ Trc tiờn ta chng minh => 2, ngha l nguyờn lý bin phõn Ekeland suy nh lý Caristi Ta chng minh bng phn chng Gi s / khụng cú im bt ng X Tc l x e X , X f Vy theo gi thit lb) ta cú ( x ) ~ ( f x ) - dp (x, f x ) p 43 Vỡ X f x , khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s f x ^ X, theo nh ngha 2.3.1 ta cú (x) - x ) - dp(x, f x ) e p Ta suy mõu thun Vy / cú im bt ng X Bõy gi ta chng minh Ta xỏc nh ỏnh x / : X ằX bi f x = y cho dp{x,y) < p {x) - {y) Do ú ta cú (x) (y) dp(x, y ) G p Vy theo mnh thỡ / cú im bt ng Tc l X G X m X = / X Mt khỏc, mi X* X vi inf (z) 4>{x *) thỡ a: G X cho X x * ZX v d p ( x * , x ) < p { x * ) ( x ) Theo nh ngha ca ỏnh x / ta cú f x * = X Vỡ X* f x * nờn ta cú inf ( z ) { x *)zex Do ú ta cú X = f x , suy ( x ) = inf ( z ) zX Tip theo ta chng minh Ly x c nh, x G X t (x) = F ( x 0, x ), Vx e X Vỡ F ( x 0,.) b chn di v p l nún y nờn tn ti inf (z) zex E Bõy gi ta chng minh bng phn chng Gi s kt lun 4b) khụng tha Tc l \/x G x , y G X vi X y cho F ( x , y ) + dp( x, y) G P Vỡ vy ta cú X y v F ( x , y ) + dp(x, y ) [...]... và nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương □ 19 Chương 2 N gu yên lý biến phân Ekeland trong không gian m etric nón Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về metric nón, không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ, sự hội tụ trong không gian metric. ..6 Chương 1 K iến thứ c chuẩn bị * Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric, không gian metric đầy đủ và cuối cùng là Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland 1.1 K hông gian m etric Đ ịnh nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp 1 ^ 0 cùng với một ánh xạ d : thỏa mãn các điều kiện sau: 1) d ( x , y ) > 0, d... niệm dãy Cauchy trong không gian metric nón Đ ịnh nghĩa 2.2.2 [4] Cho (X, dp) là một không gian metric nón Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c £ E thỏa mãn 0 0 0 Do đó {xn} là dãy Cauchy trong (ơ[oi],d) □ Đ ịnh nghĩa 1.2.3 [1] Không gian metric (X , d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X 10 V í dụ 1.2.2 Không gian Euclide R* là không gian metric đầy đủ V í dụ 1.2.3 Không gian Cịab] với metric d ( x , y ) = max... metric nón, không gian metric nón đầy đủ, sự hội tụ trong không gian metric nón và các khái niệm về nón chính quy, nón đầy đủ và nón liên tục Cuối cùng là nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón 2.1 Các định nghĩa và v í dụ Đ ịnh nghĩa 2.1.1 [4] Cho E là không gian Banach thực, tập con p của E được gọi là một nón khi và chỉ khi: 1 p là đóng, khác rỗng và p Ỷ {0} 5 2 a, b G M, a, b >... y), Vx, y , z € X Hay dp{x, y ) < dp(x, z) + dp{z, y ), Va;, y , z e X Vậy dp là một metric nón và ta có (X , dp) là không gian metric nón 2.2 Sự hội tụ trong không gian m etric nón Đ ịn h n g h ĩa 2.2.1 [4].Cho (x , d p ) là một không gian metric nón, {£„} là một dãy trong X và X € X Dãy {xn} được gọi là hội tụ (hộitụ nón) tới X nếu với mọi c £ E thỏa mãn 0 «cp c, tồn tại số tự nhiên N sao cho dp(xn,... (Cịab],d) là một không gian metric V í dụ 1.1.3 Cho C[a 6] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, 6], ta đặt 6 d{ x, y ) = J Ix(t) - y{t)\dt, a với mọi X = x(t), y = y(t) e C[ajb] Khi đó (Cịab],d) là một không gian metric N hận x ét 1.1.1 Trên cùng một tập hợp X , ta có thể trang bị các metric khác nhau và nhận được các không gian metric khác nhau 1.2 Sự hội tụ trong không gian m etric Đ ịn... , d) mà không hội tụ đến phần tử trong (X, d) Do đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ □ 1.3 Đ ịnh lý C aristi và nguyên lý biến phân Ekeland Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 [3] Với hai không gian tôpô X và Y , ánh xạ T : X —> Y được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) tại x ữ e X nếu với mọi tập mở G chứa T x ữ đều tồn tại lân cận u của x ữ sao cho T(U) c G Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại... nghĩa 2.1.2 [4] Cho E là không gian Banach thực, p là một nón trong E Khi đó trên E ta xây dựng quan hệ thứ tự “ < p ” xác định 20 bởi nón p như sau: X