Nguyên lí biến phân trên không gian metric nón (LV01804)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ MẠNH HÙNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ MẠNH HÙNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Ngô Mạnh Hùng Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn: “Nguyên lý biến phân không gian metric nón” tự làm hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Trong trình viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 Ngô Mạnh Hùng Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Sự hội tụ không gian metric 1.3 Định lý Caristi nguyên lý biến phân Ekeland 12 Chương Nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón 19 2.1 Các định nghĩa ví dụ 19 2.2 Sự hội tụ không gian metric nón 22 2.3 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón 34 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Bảng kí hiệu N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực C Tập hợp số phức ∅ Tập rỗng int(P ) Phần P ≤P Quan hệ thứ tự theo nón P d Metric dP Metric nón Kết thúc chứng minh Mở đầu Lý chọn đề tài Năm 1974, I Ekeland chứng minh định lý tồn điểm cực tiểu xấp xỉ hàm số nửa liên tục không gian metric đầy đủ Tức với không gian metric đầy đủ (X, d), hàm ϕ : X → (−∞, +∞] nửa liên tục bị chặn Khi với ε > tồn xε ∈ X cho ∀y ∈ X, y = xε ta có: ϕ(xε ) − εd(xε , y) < ϕ(y) Năm 1976, Caristi chứng minh kết tương đương với kết Ekeland Đó định lý điểm bất động Caristi: Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, hàm ϕ : X → (−∞, +∞] nửa liên tục bị chặn Khi ánh xạ T : X → X thỏa mãn d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x có điểm bất động Năm 2007, Huang Long Guang Zhang Xian, hai nhà toán học người Trung Quốc giới thiệu khái niệm metric nón cách thay tập số thực định nghĩa metric nón định hướng không gian Banach thực Các tác giả giới thiệu khái niệm hội tụ tính đầy đủ không gian Đồng thời tác giả giới thiệu kết điểm bất động ánh xạ co lớp không gian Sau đó, nhiều nhà toán học quan tâm kết điểm bất động lớp không gian công bố Năm 2012, Seong Hoon Cho Jong Sook Bae công bố kết mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón qua báo “Variational Principles on Cone Metric Spaces” Năm 2013, tác giả Seong Hoon Cho công bố kết mở rộng định lý điểm bất động Caristi không gian metric nón qua báo “Some Generalizations of Caristi’s Fixed Point Theorem with Applications” Với mong muốn tìm hiểu sâu Nguyên lý biến phân không gian metric nón, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: “Nguyên lý biến phân không gian metric nón” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric, không gian metric nón, nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu Nguyên lý biến phân không gian metric nón dựa báo: “Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings” Huang Long Guang Zhang Xian “Variational Principles on Cone Metric Spaces” Seong Hoon Cho Jong Sook Bae “Some Generalizations of Caristi’s Fixed Point Theorem with Applications” Seong Hoon Cho Phương pháp nghiên cứu Sử dụng số phương pháp công cụ giải tích hàm lý thuyết điểm bất động Những đóng góp luận văn Luận văn tổng quan Nguyên lý biến phân không gian metric nón Luận văn trình bày với hai chương nội dung Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm không gian metric, hội tụ không gian metric, không gian metric đầy đủ Tiếp theo trình bày Định lý Caristi nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric Chương Nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón Trong chương này, trình bày số khái niệm nón, không gian metric nón ví dụ minh họa Sau hội tụ không gian metric nón, dãy Cauchy không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ cuối Nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón 34 Khi dãy {an } , {bn } ⊂ R dãy số thực giảm bị chặn nên hội tụ Tức tồn lim an = c, lim bn = d n→∞ n→∞ Vậy lim (an x + bn ) = cx + d Ta có P nón quy n→∞ 2.3 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric nón Định nghĩa 2.3.1 [8] Cho (X, dp ) không gian metric nón, ánh xạ φ : X → E Ta xây dựng thứ tự ≺ X sau: y ≺ x d(x, y) ≤p φ(x) − φ(y) Như ≺ quan hệ thứ tự phận, y ≺ x φ(x) − φ(y) − dp (x, y) ∈ P Định nghĩa 2.3.2 [8] Một ánh xạ f : X → E gọi nửa liên tục với dãy {xn } ∈ X hội tụ tới điểm x ∈ X thỏa mãn f xn+1 ≤p f xn với n ∈ N, ta có f x ≤p lim f xn n→∞ Định nghĩa 2.3.3 [8] Cho E không gian Banach thực, P nón E Nón P gọi đầy đủ (complete cone) tập A = ∅, A ⊂ E mà bị chặn tồn sup A E Mọi tập B = ∅ E mà bị chặn tồn inf B E 35 Định nghĩa 2.3.4 [8] Cho E không gian Banach thực, P nón đầy đủ E Nón P gọi liên tục (continuous cone) dãy {xα : α ∈ I} dãy bị chặn inf { xα − inf {xα : α ∈ I} : α ∈ I} = 0, sup { xα − sup {xα : α ∈ I} : α ∈ I} = Nhận xét 2.3.1 Trong không gian metric nón (X, dp ) với thứ tự phận ≺ , dãy {xn } ⊂ X gọi dãy giảm xn+1 xn với ∀n ∈ N Tập S(x) = {y ∈ X : y ≺ x} gọi đầy đủ dãy Cauchy giảm S(x) hội tụ Nếu P nón quy, đầy đủ liên tục dãy {xn } ⊂ P, không tăng, bị chặn ta có lim xn = inf xn n→∞ n Mọi dãy {xn } ⊂ P, không giảm bị chặn ta có lim xn = sup xn n→∞ n Định lý 2.3.1 [8] Cho E không gian Banach thực, P nón đầy đủ, liên tục E (X, ≺ ) tập thứ tự Giả sử ánh xạ ψ : X → E thỏa mãn điều kiện sau: 36 x ≺ y x = y suy ψ(x) < ψ(y); Mọi dãy {xn } ⊂ X dãy giảm theo thứ tự ≺ tồn y ∈ X cho y ≺ xn , ∀n ∈ N; ψ bị chặn Khi với x ∈ X , S(x) = {y ∈ X : y ≺ x} có phần tử cực tiểu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử x0 ∈ X, ánh xạ ψ thỏa mãn điều kiện nêu tập S(x0 ) không tồn phần tử cực tiểu Xét {xα : α ∈ I} dãy S(x0 ) Khi ta có {ψ(xα ) : α ∈ I} dãy E Theo giả thiết 3, {ψ(xα )} bị chặn {ψ(xα ) : α ∈ I} dãy bị chặn Chọn α1 ∈ I cố định, P nón đầy đủ nên tồn inf {ψ(xα ) : xα ≺ xα1 } E Ta đặt r = inf {ψ(xα ) : xα ≺ xα1 } Do P nón liên tục nên ta có inf { ψ(xα ) − r : xα ≺ xα1 } = Do ta chọn xα2 ∈ S(xα1 ) cho ψ(xα ) − inf {ψ(xα ) : xα ≺ xα1 } < Ta lại chọn xα ∈ S(xα2 ) cho ψ(xα3 ) − inf {ψ(xα ) : xα ≺ xα2 } < Tiếp tục quy nạp, ta thu dãy {xαn } nằm X cho xαn+1 ∈ S(xαn ) 37 ψ(xαn+1 ) − inf {ψ(xα ) : xα ≺ xαn } < , ∀n ∈ N n+1 (2.1) Khi ta có xαn+1 ≺ xαn , ∀n ∈ N Tức {xαn } dãy giảm X Theo điều kiện 2, giả thiết tồn y ∈ X cho y ≺ xαn , ∀n ∈ N Vậy ta có ψ(y) ≤ ψ(xαn ), ∀n ∈ N (2.2) Theo giả thiết, y phần tử cực tiểu S(x0 ) Vì tồn u ∈ X cho u ≺ y u = y Theo điều kiện 1, giả thiết ta có ψ(u ) ≤ ψ(y) Vì u ≺ xαn với n ∈ N, ta có r = inf {ψ(xα ) : xα ≺ xαn } ≤ ψ(u) Từ (2.1) ta suy lim ψ(xαn ) = r Từ (2.2) (2.3) ta suy n→∞ ψ(y ) ≤ r ≤ ψ(u), điều mâu thuẫn Vậy S(x0 ) tồn phần tử cực tiểu với x0 ∈ X Hay với điều kiện trên, S(x) = {y ∈ X : y ≺ x} có phần tử cực tiểu (2.3) 38 Định lý 2.3.2 [8] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón liên tục đầy đủ không gian Banach thực E (X, ≺ ) tập thứ tự φ : X → E ánh xạ bị chặn Giả sử với x ∈ X, tập S(x) = {y ∈ X : y ≺ x} đầy đủ X Khi đó, với x0 ∈ X, tồn x ∈ X cho a φ(x0 ) − φ(x) − dp (x0 , x) ∈ P, / P, ∀x ∈ X, x = x b φ(x) − φ(x) − dp (x, x) ∈ Chứng minh (X, ≺ ) tập thứ tự, theo Định nghĩa 2.3.1 ta có x ≺ y x = y, [...]... và nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương 19 Chương 2 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về metric nón, không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ, sự hội tụ trong không gian metric. .. theo nguyên lý giới hạn kẹp ta có n→∞ n lim d(xn , xm ) = 0 n,m→∞ Do đó {xn } là dãy Cauchy trong (C[0,1] , d) Định nghĩa 1.2.3 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X 10 Ví dụ 1.2.2 Không gian Euclide Rk2 là không gian metric đầy đủ Ví dụ 1.2.3 Không gian C[a,b] với metric d(x, y) = max |x(t) − y(t)| là a≤t≤b không gian metric. ..6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric, không gian metric đầy đủ và cuối cùng là Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d : X × X → R , thỏa mãn các điều kiện sau: 1) d(x, y)... niệm dãy Cauchy trong không gian metric nón Định nghĩa 2.2.2 [4] Cho (X, dp ) là một không gian metric nón Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ E thỏa mãn 0 p c, tồn tại số tự nhiên N sao cho dp (xm , xn ) p c, với mọi m, n ≥ N Định nghĩa 2.2.3 [4] Cho (X, dp ) là một không gian metric nón Nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X, thì X được gọi là không gian metric nón đầy đủ Ví dụ 2.2.1... (z, y), ∀x, y, z ∈ X Hay dp (x, y) ≤ dp (x, z) + dp (z, y), ∀x, y, z ∈ X Vậy dp là một metric nón và ta có (X, dp ) là không gian metric nón 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 [4].Cho (X, dp ) là một không gian metric nón, {xn } là một dãy trong X và x ∈ X Dãy {xn } được gọi là hội tụ (hội tụ nón) tới x nếu với mọi c ∈ E thỏa mãn 0 dp (xn , x) p p c, tồn tại số tự nhiên N sao... (C[a,b] , d) là một không gian metric Ví dụ 1.1.3 Cho C[a,b] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt b |x(t) − y(t)| dt, d(x, y) = a với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] Khi đó (C[a,b] , d) là một không gian metric Nhận xét 1.1.1 Trên cùng một tập hợp X, ta có thể trang bị các metric khác nhau và nhận được các không gian metric khác nhau 1.2 Sự hội tụ trong không gian metric Định nghĩa... metric nón, không gian metric nón đầy đủ, sự hội tụ trong không gian metric nón và các khái niệm về nón chính quy, nón đầy đủ và nón liện tục Cuối cùng là nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón 2.1 Các định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1 [4] Cho E là không gian Banach thực, tập con P của E được gọi là một nón khi và chỉ khi: 1 P là đóng, khác rỗng và P = {0} ; 2 a, b ∈ R, a, b ≥ 0... trong (X, d) mà không hội tụ đến phần tử trong (X, d) Do đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ 1.3 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland Định nghĩa 1.3.1 [3] Với hai không gian tôpô X và Y , ánh xạ T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở G chứa T x0 đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho T (U ) ⊂ G Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi... Định nghĩa 2.1.2 [4] Cho E là không gian Banach thực, P là một nón trong E Khi đó trên E ta xây dựng quan hệ thứ tự “ ≤p ” xác định 20 bởi nón P như sau: x ≤p y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P, x