Metric kobayashi trên không gian phức (LV01871)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ DIỄM LỆ METRIC KOBAYASHI TRÊN KHÔNG GIAN PHỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ TÀI THU HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Lê Tài Thu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Vũ Thị Diễm Lệ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Lê Tài Thu, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Metric Kobayashi không gian phức” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Vũ Thị Diễm Lệ Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian topo 1.2.1 Một số khái niệm 1.2.2 Tập bị chặn tập compact 1.3 Hàm chỉnh hình 1.3.1 Hàm biến 1.3.2 Hàm nhiều biến 1.3.3 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi 1.4.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1.4.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi 1.5 Không gian phức hyperbolic 1.5.1 Không gian phức hyperbolic 1.5.2 Một số tính chất không gian phức hyperbolic Chương Metric Kobayashi không gian phức 11 11 15 22 25 25 26 27 27 27 29 2.1 Đánh giá H¨older khoảng cách Kobayashi 30 2.2 Không gian mật tiếp J k (X, p) 35 k 2.3 Metric Kobayashi KX 40 k 2.4 Tích phân metric Kobayashi KX 43 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết không gian phức hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỷ XX, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Một số kết sâu sắc đẹp đẽ lý thuyết chứng minh Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly, Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hình thành nên chuyên ngành giải tích toán học, giải tích phức hyperbolic Trong năm gần đây, lý thuyết tìm thấy mối liên hệ bất ngờ sâu sắc với lĩnh vực khác toán học, đặc biệt toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức toán tính hữu hạn tập tất ánh xạ phân hình hai lớp không gian phức Theo quan điểm A Weil, S Lang P Vojta, toán sau có liên quan mật thiết với hình học đại số hình học số học Có thể nói giải tích phức hyperbolic lĩnh vực nghiên cứu nằm chỗ giao nhiều môn lớn toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số Lý thuyết số Như biết, với đa tạp phức M với phân thớ tiếp xúc T M , giả khoảng cách Kobayashi M δM : M × M → [0, +∞) giả metric Kobayashi - Royden M KM : T M → [0, +∞) Royden chứng minh M miền Cn , δM dạng tích phân KM , điều có nghĩa với cặp điểm p q M , δM (p, q) giá trị bị chặn lớn tích phân FM (γ(t), γ(t))dt ˙ γ : [a, b] → M đường cong trơn khúc nối hai điểm p q Sau cách chứng minh Royden mở rộng cho trường hợp M miền không gian phức chuẩn tắc, đa tạp phức vô hạn chiều Tuy nhiên việc mở rộng kết Royden sang trường hợp không gian phức đòi hỏi cách tiếp cận hoàn toàn khác Với mong muốn tìm hiểu cách xây dựng metric Kobayashi không gian phức, hướng dẫn TS Lê Tài Thu, lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Metric Kobayashi không gian phức" Luận văn gồm chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị • Chương Metric Kobayashi không gian phức Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu việc xây dựng metric Kobayashi không gian phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Hệ thống số kiến thức không gian metric, không gian topo hàm chỉnh hình - Nghiên cứu việc xây dựng metric Kobayashi không gian phức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn vấn sau: Đánh giá H¨older khoảng cách Kobayashi Không gian J k (X, p) Metric Kobayashi Tích phân metric Kobayashi Phạm vi nghiên cứu luận văn không gian phức Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp hệ thống lại kiến thức có liên quan Đóng góp luận văn Trình bày cách tổng quan việc xây dựng metric Kobayashi không gian phức Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức không gian metric, không gian topo, hàm chỉnh hình, giả khoảng cách Kobayashi không gian phức hyperbolic nhằm phục vụ cho chương sau luận văn Nội dung trình bày chương chủ yếu dựa vào tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Một metric X ánh xạ d:X ×X →R tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn điều kiện sau 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d (x, y) = ⇔ x = y; 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X; 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Tập hợp X với d không gian metric, ánh xạ d hàm khoảng cách (hay metric) X Các phần tử không gian metric gọi điểm không gian ấy, số d (x, y) gọi khoảng cách điểm x y Ví dụ C [a, b] không gian metric với khoảng cách d (x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm (xn ) , n = 1, 2, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a ∈ X lim d (xn , a) = Khi n→∞ đó, ta ký hiệu lim xn = a xn → a, n → ∞ n→∞ Nếu dãy {xn } hội tụ tới x dãy {xnk } hội tụ tới x, đồng thời ta có tính chất sau: Nếu xn → x xn → x x = x , nghĩa giới hạn dãy điểm có nhất; Nếu xn → x yn → y ρ(xn , yn ) → ρ(x, y) nghĩa khoảng cách ρ(x, y) hàm số liên tục x y Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm (xn ) , n = 1, gọi dãy (hay dãy Cauchy) không gian metric X với ε > cho trước, tồn số n0 cho với n ≥ n0 m ≥ n0 ta có d (xn , xm ) < ε Dễ thấy dãy điểm hội tụ không gian metric dãy Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X gọi đầy đủ với dãy X hội tụ đến phần tử X Định nghĩa 1.1.5 Cho X Y hai không gian metric tùy ý Ánh xạ A : X → Y gọi liên tục x0 ∈ X với ε > 0, ∃δ > cho với x ∈ X thỏa mãn d (x, x0 ) < δ d (A (x) , A (x0 )) < ε 43 Kλk (pv , ξv ) < r−1 , ∀v ∈ N Bởi định nghĩa Kλk , tồn dãy ánh xạ ϕv ∈ Fλ (rn ) với rn > r, ϕv (0) = p [ϕv ]k = ξv Từ khoảng cách δ thỏa mãn điều kiện (a), dãy {ϕv (0) = pv } δ - bị chặn X , với ε > tồn tập compact Hε ⊂⊂ X cho ϕv (∆(r − ε)) ⊂ Hε , ∀v ∈ N Ngoài ra, họ Fλ (r) cấu trúc đồng liên tục Theo định lý Ascoli – Arzelà tồn ánh xạ ϕ ∈ Fλ (r) dãy dãy { ϕv | ∆(r)} hội tụ đến ϕ tất tập compact ∆(r) Từ ϕ(0) = p [ϕ]k = ξ , Kλk (p, ξ) ≤ r−1 , mâu thuẫn với (2.9) Ta quan sát thấy (2.7) (2.8) k k KX (p, ξ) = inf Km (p, ξ), m∈N ∀p ∈ X, ∀ξ ∈ J k (X, p) (2.10) k KX cận lớn theo điểm dãy hàm nửa liên tục k hàm Borel, từ (2.10) dẫn đến KX hàm Borel J k (X) 2.4 Tích phân metric Kobayashi KXk Kết phần với không gian phức X , giả khoảng k cách Kobayashi xác định từ k - metric KX Giả sử X không gian phức, γ : [a, b] → X, [a, b] ⊂ R, đường cong giải tích thực Với t ∈ [a, b] tồn mầm hàm chỉnh hình ϕ1 ∈ Hol(C, 0; X, γ(t)) cho với ε > đủ nhỏ, s ∈ (−ε, ε), 44 γ(t + s) = ϕ1 (s) Điều cho phép xác định, với k ∈ Z+ , jk γ(t) = [ϕt ]k ∈ J k (X, γ(t)) Rõ ràng ánh xạ t ∈ [a, b] → jk γ(t) ∈ J k (X) liên tục Bổ đề 2.4.1 Giả sử γ : [a, b] → X đường cong giải tích thực Khi tồn số ≤ c < +∞ phụ thuộc vào γ , cho δX (γ(t), γ(t )) ≤ c |t − t | , ∀t, t ∈ [a, b], (2.11) và, với k ∈ Z+ , k KX (γ(t), jk γ(t)) ≤ c, ∀t ∈ [a, b] (2.12) Chứng minh Chọn t0 ∈ [a, b] ϕ0 : ∆(r0 ) → X ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn γ(t0 + s) = ϕ0 (s), ∀s ∈ ( − r0 , r0 ) Nếu t, t ∈ (t0 − r0 , t0 + r0 ) ∩ [a, b] Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.1, δX (γ(t), γ(t )) = δX (ϕ(t − t0 ), ϕ(t − t0 )) ≤ δ∆(r0 ) (t − t0 , t − t0 ), đó, theo (2.1), δX (γ(t), γ(s)) ≤ c0 |t − s| , ∀t, s ∈ (t0 − r0 /2, t0 + r0 /2) ∩ [a, b], (2.13) c0 phụ thuộc r0 Ngoài ra, với t ∈ (t0 −r0 /2, t0 +r0 /2) ∩ [a, b] ánh xạ ϕt : ∆(r0 /2) → X xác định ϕt (s) = ϕ(t + s), ∀s ∈ ∆(r0 /2) 45 thỏa mãn γ(t + s) = ϕt (s), ∀s ∈ (t − r0 /2, t + r0 /2) ∩ [a − t, b − t] Vì vậy, với k ∈ Z+ , k KX (γ(t), jk γ(t)) ≤ r0 (2.14) Do thu đánh giá (2.13), (2.14) tiêu chuẩn compact tương ứng với đánh giá (2.11) (2.12) với số c thích hợp Giả sử đường cong giải tích thực γ : [a, b] → X , với k ∈ Z+ ta định nghĩa b LkX (γ) = a k KX (γ(t), jk γ(t))dt Rõ ràng LkX xác định, từ Mệnh đề 2.3.1, hàm tích phân hàm Borel (không âm) Bổ đề 2.4.1 kéo theo k → LkX (γ) dãy tăng, bị chặn số thực không âm Ta đặt LX (γ) = sup LkX (γ) = lim LkX (γ) k→∞ k>1 Tất định nghĩa mở rộng đến đường cong liên tục giải tích thực khúc Cho p q điểm tùy ý X Sự liên thông X Mệnh đề 2.1.3 kéo theo tồn đường cong liên tục giải tích thực khúc γ : [a, b] → X nối p q , thỏa mãn γ(a) = p γ(b) = q Do ta xác định δX (p, q) giá trị bị chặn nhỏ tích phân LX (γ), γ : [a, b] → X miền, đường cong liên tục giải tích thực khúc nối p q 46 Dễ dàng hàm δX : X × X → X xác định hàm giả khoảng cách X Sau kết luận văn (xem [7,trang 37]) Định lý 2.4.1 Mỗi không gian phức X thỏa mãn δX = δX Việc chứng minh đòi hỏi Bổ đề sau Bổ đề 2.4.2 Giả sử cho hai không gian phức X Y , ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(X, Y ) đường cong liên tục giải tích thực khúc γ : [a, b] → X , với k ∈ Z+ Lkγ (f ◦ γ) ≤ LkX (γ), Lγ (f ◦ γ) ≤ LX (γ) Chứng minh Điều suy từ tính chất (M4) phần 2.3 Bổ đề 2.4.3 Nếu γ : [a, b] → ∆ đĩa với metric Kobayashi – Poincaré tham số hóa với độ dài arc, L1∆ (γ) = L2∆ (γ) = = L∆ (γ) = δ∆ (γ(a), γ(b)) = b − a Chứng minh Thật vậy, với t0 ∈ [a, b] tồn tự đẳng cấu chỉnh hình µ : ∆ → ∆ cho µ(0) = γ(t0 ) µ (0) = γ(t ˙ ) Điều kéo theo với k ∈ Z+ k K∆ (γ(t), jk γ(t)) = 1, ∀t ∈ [a, b] Bổ đề chứng minh Mệnh đề 2.4.1 Với không gian phức X ta có δX ≤ δX 47 Chứng minh Điều đủ để chứng minh giả khoảng cách δX thỏa mãn giả thuyết (K2) phần 2.1 Giả sử ϕ ∈ Hol(∆, X) z, w ∈ ∆ Đặt p = ω(z, w) cho γ : [0, ρ] → ∆ đường cong với metric Poincaré nối z w (được tham số hóa với độ dài arc) Theo Bổ đề 2.4.2 2.4.3 δX (ϕ(z), ϕ(w)) ≤ LX (ϕ ◦ γ) ≤ L∆ (γ) = ρ = ω(z, w) Mệnh đề chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức ngược ta giới thiệu hai hàm bổ trợ MXk , NXk : J k (X) → [0, +∞] xác định bởi: với p ∈ X ξ ∈ J k (X, p), δX (p, ϕ(s)) ϕ ∈ Hol(∆(r), X), ϕ(0) = p, [ϕ]k = ξ , ϕ s s→0+ δX (p, ϕ(s)) ϕ ∈ Hol(∆(r), X), ϕ(0) = p, [ϕ]k = ξ NXk (p, ξ) = sup lim sup s ϕ s→0+ MXk (p, ξ) = inf lim sup Rõ ràng MXk (p, ξ) ≤ NXk (p, ξ) theo Bổ đề 2.4.1, MXk (p, ξ) < +∞ Mệnh đề 2.4.2 Với k ∈ Z+ k (p, ξ), MXk (p, ξ) ≤ KX ∀p ∈ X, ∀ξ ∈ J k (X, p) Chứng minh Giả sử p ∈ X ξ ∈ J k (X, p) cho trước Cho ϕ : ∆(r) → X ánh xạ chỉnh hình tùy ý thỏa mãn ϕ(0) = p [ϕ]k = ξ Theo (1.1) ta thu δ∆(r) (0, s) δX (p, ϕ(s)) ≤ lim sup s s s→0+ s→0+ 1 = lim+ arctanh(r−1 s) = s→0 s r MXk (p, ξ) ≤ lim sup Từ ánh xạ ϕ tùy ý, khẳng định chứng minh 48 Mệnh đề 2.4.3 Giả sử X không gian phức Với tập mở compact tương đối X ⊂ X , tồn k ∈ Z+ cho với p ∈ X ξ ∈ J k (X, p) ta có MXk (p, ξ) = NXk (p, ξ) Chứng minh Bằng lập luận tính compact chứng minh với p0 ∈ X tồn lân cận V ⊂ X thỏa mãn: MXk (p, ξ) = NXk (p, ξ), ∀p ∈ V, ∀ξ ∈ J k (X, p) (2.15) với k ∈ Z+ Cho p0 ∈ X , theo định nghĩa không gian phức, tồn lân cận mở U ⊂ X p0 phép nhúng chỉnh hình F : U → Cn với n Theo Định lý 2.1.1 tồn lân cận mở V ⊂ U p0 , hai số < α ≤ ≤ c1 < +∞ thỏa mãn δX (p, q) ≤ c1 |F (p) − F (q)|α , ∀p, q ∈ V Chọn k ∈ Z+ thỏa mãn k > α−1 − Để (2.15) đúng, cố định p ∈ V ξ ∈ J k (X, p), cho ϕ1 : ∆(r1 ) → U ϕ2 : ∆(r2 ) → U hai ánh xạ chỉnh hình tùy ý thỏa mãn ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = p [ϕ1 ]k = [ϕ2 ]k = ξ Rõ ràng điều đủ để chứng minh lim sup s→0+ δX (p, ϕ1 (s)) δX (p, ϕ2 (s)) = lim sup + s s s→0 Trước hết, từ ϕ1 ≡k ϕ2 , F ◦ ϕ1 ≡k F ◦ ϕ2 , với số ≤ c2 < +∞ s đủ nhỏ, |F (ϕ1 (s)) − F (ϕ2 (s))| ≤ c2 |s|k+1 Kết hợp với bất đẳng thức α(k + 1) − > ta có 49 δX (ϕ1 (s), ϕ2 (s)) |F (ϕ1 (s)) − F (ϕ2 (s))|α lim ≤ c1 lim+ s→0+ s→0 s s ≤ c1 c2 α lim sα(k+1)−1 = Bất đẳng thức tam giác mang lại lim sup s→0+ δ(p, ϕ1 (s)) δ(p, ϕ2 (s)) + δ(ϕ1 (s), ϕ2 (s)) ≤ lim sup s s s→0+ δ(ϕ1 (s), ϕ2 (s)) δ(p, ϕ2 (s)) + lim+ = lim sup s→0 s s s→0+ δ(p, ϕ2 (s)) = lim sup s s→0+ Hoán đổi ϕ1 ϕ2 ta thu bất đẳng thức nghịch đảo Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.4.4 Giả sử γ : [a, b] → X đường cong liên tục giải tích thực khúc Nếu với k ∈ Z+ , ta có MXk (γ(t), jk γ(t)) = NXk (γ(t), jk γ(t)) (2.16) với t hầu khắp nơi [a, b] (với độ đo Lebesgue [a, b]), δX (γ(a), γ(b)) ≤ LkX (γ) Chứng minh Với t ∈ [a, b], đặt ρ(t) = δX (γ(a), γ(t)) Theo bất đẳng thức tam giác ta có |ρ(t) − ρ(t )| ≤ δX (γ(t), γ(t )), ∀t, t ∈ [a, b] Phát biểu Bổ đề 2.4.1 dẫn đến ρ(t) hàm Lipschitz [a, b] khả vi hầu khắp nơi hoàn toàn liên tục [a, b] Hơn 50 b δX (γ(a), γ(b)) = ρ(b) − ρ(a) = ρ (t)dt a Nếu ρ(t) khả vi t0 ∈ [a, b] ρ(t0 + h) − ρ(t0 ) h→0 h δX (γ(t), γ(t + h)) ≤ NXk (γ(t), jk γ(t)) ≤ lim sup h h→0+ |ρ (t0 )| = lim Theo (2.16) Mệnh đề 2.4.2, với t hầu khắp nơi [a, b] ta có k |ρ (t)| ≤ NXk (γ(t), jk γ(t)) = MXk (γ(t), jk γ(t)) ≤ KX (γ(t), jk γ(t)) Do b b ρ (t)dt ≤ δX (γ(a), γ(b)) = a b k KX (γ(t), jk γ(t)dt = LkX (γ) |ρ (t)| dt ≤ a a Sau ta chứng minh Định lý 2.4.1 Giả sử p q hai điểm tùy ý X Từ Mệnh đề 2.4.1 ta có δX (p, q) ≤ δX (p, q), tức là, đường cong liên tục giải tích thực khúc γ : [a, b] → X nối p q thỏa mãn bất đẳng thức δX (p, q) ≤ LX (γ) (2.17) Giả sử γ : [a, b] → X đường cong liên tục giải tích thực khúc Bởi tính compact đoạn [a, b] đường cong γ liên tục nên tồn miền mở compact tương đối X ⊂⊂ X chứa ảnh γ Từ Mệnh đề 2.4.3 2.4.4 ta có δX (p, q) ≤ LkX (γ), ∀k ∈ Z+ 51 Kết hợp với bất đẳng thức LkX (γ) ≤ LX (γ), thu bất đẳng thức (2.17) Vậy Định lý 2.4.1 chứng minh Ta kết luận phần với ý hàm độ dài LkX k Với k ∈ Z+ cho δX hàm giả khoảng cách X thu từ thay định nghĩa giả khoảng cách δX hàm LX hàm LkX Rõ ràng ta có δX ≤ δX ≤ ≤ δX = δX Nếu X không gian compact phức, theo Mệnh đề 2.4.3, tồn k ∈ Z+ cho MXk = NXk , Mệnh đề 2.4.4 dễ dàng thu k = δX δX Nếu X đa tạp phức MX1 = NX1 thu đẳng thức Royden = δX (xem [6]) δX Nên lưu ý Mệnh đề 2.4.3 điểm p ∈ X có k lân cận khoảng cách δX δX trùng nhau, cho trước hai điểm p q , không quan trọng chúng gần nào, với dãy γv : [a, b] → X đường nối p q cho dãy LX (γv ) hội tụ đến δX (p, q) điều dẫn đến ảnh γv ([a, b]) không chứa tập compact cố định X Tất nhiên điều xảy X không hyperbolic, điều có nghĩa khoảng cách δ không cảm sinh topo X Bây giờ, ta chứng minh đẳng thức δX = δX vài giả thuyết bổ sung điểm kì dị X Giả sử p ∈ X , ta kí hiệu (X, p) mầm không gian phức X p (xem [5]); ta nhớ lại mầm (X, p) quy, tương đương X quy p, tồn lân cận mở U ⊂ X p đa tạp phức Mệnh đề 2.4.5 Cho X không gian phức Giả sử tồn không gian phức không-chiều X0 ⊂ X cho với p ∈ X\X0 52 phần tử bất khả quy mầm (X, p) quy p Khi δX = δX Để chứng minh, ta xét bổ đề sau Bổ đề 2.4.4 Dưới giả thuyết tương tự Mệnh đề 2.4.5, đường cong giải tích thực γ : [a, b] → X thỏa mãn δ(γ(a), γ(b)) ≤ L1X (γ) Chứng minh Nếu γ(a) = γ(b) khẳng định hiển nhiên Do đó, giả sử γ(a) = γ(b) Đặt pt = γ(t), cho A tập tất t ∈ [a, b] có đủ tính chất sau đây: (i) pt ∈ / X0 ; (ii) Nếu (X, pt ) = (X1 , pt ) ∪ ∪ (Xvt , pt ) phân hoạch mầm (X, pt ) vào thành phần tử bất khả quy, với ε > 0, ps ∈ X1 ∩ ∩ Xvt , ∀s ∈ (t − ε, t + ε) ∩ [a, b] Ta chứng minh (1) Tập [a, b]\A chứa điểm bị cô lập (2) Với t ∈ A MX1 (γ(t), j1 γ(t)) = NX1 (γ(t), j1 γ(t)) Bổ đề 2.4.4 kéo theo từ Mệnh đề 2.4.4 Để chứng minh (1), trước tiên ta nhận xét rằng, từ giả thiết X0 không gian phức không – chiều từ γ số, tập γ −1 (X0 ) ⊂ [a, b] 53 hữu hạn Như chứng minh t ∈ [a, b]\A cho pt ∈ / X0 điểm bị cô lập [a, b]\A Cho trước t ∈ [a, b] Chọn phân hoạch (X, pt ) = (X1 , pt ) ∪ ∪ (Xv , pt ) mầm (X, pt ) vào thành phần bất khả quy ánh xạ chỉnh hình ϕ : ∆(r) → X thỏa mãn điều kiện sau : (a) Mỗi Xi , i = 1, , v , đa tạp phức; (b) ϕ(s) = pt+s , (c) ϕ(s) ∈ / X0 , ∀s ∈ (−r, r) ∩ [a + t, b + t]; ∀s ∈ (−r, r); (d) tồn v¯, với ≤ v¯ < v cho ∆(r) ≤ i ≤ v¯ {0} v¯ < i ≤ v ϕ−1 (Xi ) = Cho I = (t − r, t + r) ∩ [a, b], ta chứng minh I\{t} ⊂ A Thật vậy, từ (c) dẫn đến với t ∈ I\{t} (X1 , pt ) ∪ ∪ (Xv¯, pt ) phân hoạch mầm (X, pt ) vào thành phần bất khả quy Điều đúng, với (c) mang lại I\{t} ⊂ A Từ đó, khẳng định (2) Cho t ∈ A, tập ξ = j1 pt đặt a = lim sup s→0+ δ(pt , pt+s ) s Rõ ràng điều chứng minh ánh xạ chỉnh hình ϕ : ∆(r) → X thỏa mãn ϕ(0) = pt [ϕ]t = ξ thỏa mãn lim sup s→0+ δX (pt , ϕ(t)) = a s (2.18) 54 Cho ϕ : ∆(r) → X ánh xạ Nếu (X, pt ) = (X1 , pt ) ∪ ∪ (Xv , pt ) phân hoạch mầm (X, pt ) vào thành phần bất khả quy, rút lại r > cần thiết, tồn ϕ(∆(r)) ⊂ X¯i với vài ¯i, ta giả sử X¯i đa tạp phức Cho δ khoảng cách liên hợp đến metric Hermit X¯i Từ Mệnh đề 2.1.2 ta thu δ(pt+s , ϕ(s)) = O(δ(pt+s , ϕ(s)) = O(|s|2 ) s → 0, δX (pt+s , ϕ(s)) = s→0 s Lập luận phần cuối Mệnh đề 2.4.3 ta dễ dàng thu (2.18) lim+ Vì bổ đề chứng minh Sau ta chứng minh Mệnh đề 2.4.5 Chọn p, q ∈ X , từ Mệnh đề 2.4.1 ta δX (p, q) ≤ δX (p, q) (2.19) Cho γ : [a, b] → X đường cong liên tục giải tích thực khúc nối p q Cho a = t0 < t1 < < tn = b phân hoạch đoạn [a, b] lựa chọn theo cách γ|[ti−1 ,ti ] , 1, , n, giải tích thực Theo Bổ đề 2.4.4 ti δX (γ(ti−1 ), γ(ti )) ≤ L1X (γ|[ti −1,ti ] ) = KX (γ(t), j1 γ(t))dt, ti−1 i = 55 đó, theo bất đẳng thức tam giác, n δX (p, q) ≤ δX (γ(ti−1 ), γ(ti )) i=1 ti n KX (γ(t), j1 γ(t))dt ≤ i=1 t i−1 b KX (γ(t), j1 (t))dt = a = L1X (γ) Lấy giá trị bị chặn lớn tất γ , ta thu (2.19) Chú ý 2.4.1 Các giả thuyết Mệnh đề 2.4.5 thỏa mãn với không gian giải tích với điểm kì dị cô lập, điểm kì dị có giao chuẩn tắc 56 Kết luận Luận văn trình bày số kiến thức sau đây: Hệ thống lại số kiến thức không gian metric, không gian topo, hàm chỉnh hình; Nhắc lại khái niệm giả khoảng cách Kobayashi định nghĩa không gian phức hyperbolic; Mở rộng kết Royden sang trường hợp không gian phức; Mối quan hệ metric Kobayashi giả khoảng cách Kobayashi 57 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức Hyperbolic, NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] Do Duc Thai (1991), Royden-Kobayashi pseudometric and tautness of normalization of complex spaces, Boll U.M.I.,VIII, Ser A5, No 2, 147-156 [5] G Fisher (1976), Complex Analytic Geometry, Springer-Verlag, L.N.M no 538 [6] H Royden (1971), Remarks on the Kobayashi metric, In: Several Complex Variables II Lect Notes in Math 189 Springer, Berlin , 125-137 [7] S Venturini (1996), The Kobayashi metric on complex spaces, Math Ann 305, 25-44