Cấu trúc Tô pô lồi địa phương trên không gian các hàm chỉnh hình

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff và U là tập con mở của E . Ký hiệu ( )H U là không gian véc tơ của các hàm chỉnh hình trên U . Tô pô mở compact o  là tô pô lồi địa phương tự nhiên nhất trên ( )H U . Tuy nhiên, trong trường hợp vô hạn chiều không gian   ( ), o H U  không có được những tính chất mong muốn, chẳng hạn khi N E  C thì   ( ), o H U  không là không gian thùng. Trong giải tích vô hạn chiều, chúng ta cần xét đến các tô pô mạnh hơn trên ( )H U . Từ các kết quả nghiên cứu của A. Martineau   4 trên các hàm giải tích nhiều biến, tô pô   được đề xuất lần đầu tiên bởi L. Nachbin   5 . Đó là tô pô xác định từ các nửa chuẩn p mang bởi tập compact K trên ( )H U . Tô pô   có nhiều tính chất tốt hơn tô pô 0  . Thế nhưng, chỉ đơn giản khi N E  C thì o     và người ta cũng không thể mô tả được tập định hướng của các nửa chuẩn sinh ra tô pô   . Từ đó, tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên ( )H U đã được giới thiệu bởi G. Coeuré   1 và L. Nachbin   6 là tô pô   sinh bởi tất cả các nửa chuẩn   liên tục. Việc nghiên cứu các tô pô trên không gian hàm chỉnh hình là một lĩnh vực đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Từ cấu trúc tô pô trên không gian ( )H U người ta giải quyết được nhiều vấn đề quan trọng 2 2 trong giải tích phức vô hạn chiều như: Bài toán thác triển giải tích       2 , 6 ; Nghiên cứu đặc trưng của: miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình, miền giả lồi, miền lồi đa thức và miền tồn tại       2 , 7 ; Nghiên cứu về các hàm điều hoà và hàm đa điều hoà   1 ,…. Để hoàn thành luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích em chọn đề tài nghiên cứu: “CẤU TRÚC TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH” 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cấu trúc tô pô lồi địa phương trên không gian các hàm chỉnh hình và quan hệ giữa các tô pô đã nói trên đậy. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các tô pô lồi địa phương trên không gian hàm chỉnh hình và sự tuơng đương của các topo: 0  - tô pô mở compact;   - tô pô mang bởi tập compact; ob  - tô pô bornological liên kết với tô pô o  ; b   - bornological liên kết với tô pô   và tô pô   . 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 5. Dự kiến đóng góp mới Hệ thống hóa một số kiến thức căn bản về không gian các hàm chỉnh hình trên không gian lồi địa phương. Giới thiệu một số cấu trúc tô pô lồi địa phương quan trọng trên không gian ( )H U đã và đang được quan tâm nghiên cứu. 3 3 Nghiên cứu một số tô pô lồi địa phương và các tương đương tô pô đề cập trên không gian ( )H U các hàm chỉnh hình trên tập con mở U trong không gian lồi địa phương E . Trình bày một số ví dụ và các phản ví dụ đối với các tương đương tô pô trên không gian các hàm chỉnh hình. 4 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Đa thức trên không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian véc tơ trên trường  . Một ánh xạ : n L E   được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó tuyến tính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại. Ký hiệu tập hợp tất cả các ánh xạ n tuyến tính bởi   n a L E . Định nghĩa 1.1.2. Một ánh xạ n tuyến tính :L E   được gọi là đối xứng nếu     1 2 (1) (2) ( ) , , , , , , n n L x x x L x x x     , với mọi 1 2 , , , n x x x E và  là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu tiên. Chúng ta ký hiệu   s n a L E là không gian véc tơ của tất cả các ánh xạ n tuyến tính đối xứng trên E . Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ n tuyến tính bởi toàn ánh chính tắc     : n s n a a s L E L E  được xác định bởi công thức      1 2 (1) (2) ( ) 1 , , , , , , ! n n n S s L x x x L x x x n        , ở đó n S ký hiệu là tập tất cả các phép hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên. 5 5 Định nghĩa 1.1.3. Cho E là một không gian véc tơ tô pô lồi địa phương trên  . Một ánh xạ :P E   được gọi là một đa thức n thuần nhất nếu tồn tại một ánh xạ n tuyến tính : n L E   sao cho P L  , trong đó ( ) ; n x x x E   . Ký hiệu   n a P E là không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất trên E . Một đa thức trên E là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần nhất trên E . Ta ký hiệu   a P E là không gian véc tơ tất cả các đa thức trên E . Ví dụ 1.1.4. Giả sử : n n L      là một ánh xạ 2 tuyến tính trên n  . Khi đó tồn tại một ma trận   1 ,1 ij i n j n A a      sao cho   1 1 , ij i j i n j n L z w a z w       , với mọi   1 2 , , n n z z z z   và   1 2 , , n n w w w w   . Do đó, một đa thức 2 thuần nhất : n P    trên n  có dạng     1 1 , ij i j i n j n P z L z z a z z        . Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính. Tuy nhiên nếu chỉ hạn chế trên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được một tương ứng duy nhất. Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất và toán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán       n s n a a n a L E L E P E     6 6 Như một hệ quả của bổ đề phân rã, chúng ta chứng minh được ánh xạ  là một đơn ánh. Do đó, chúng ta nhận được một song ánh chính tắc giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và không gian các đa thức n thuần nhất trên E . Định lý 1.1.5 (công thức phân rã). Cho E là một không gian lồi địa phương trên  . Khi đó, nếu   s n a L L E  và 1 2 , , , n x x x E , thì   1 2 1 1 1 1 ˆ , , , 2 ! i n n n j j n j L x x x L x n                Chứng minh. Bởi tính tuyến tính và tính đối xứng 1 1 1 ˆ , , n n n j j j j j j j j j L x L x x                             1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 ! . ! ! n n i i m m m m m m n n m n n m n n L x x x m m          . Do đó 1 1 1 1 ˆ 2 ! i n n j j n j L x n                      1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 0 1 1 1 ! . ! ! 2 n n n i j i m m m m mm m m n n n n m n n m n i j n n L x x x m m                            Nếu 1 2 1 n m m m     thì 1 1 1 1 1 2 n j m m n n i j n           và các hệ số của   1 2 , , , n L x x x trong khai triển trên bằng 1. Nếu 1 i m  với i nào đó thì 0 j m  với j nào đó. Khi đó chúng ta nhận được 7 7 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 0 j j n n j j j m m m mm m n j j j n i n i n i j                                 . Do đó, tất cả các số hạng khác triệt tiêu và công thức phân rã được chứng minh. Hệ quả 1.1.6. Ánh xạ     : s n n a a L E P E   là một song ánh tuyến tính. Chứng minh. Bởi công thức phân rã   s n a L L E  đồng nhất bằng 0 nếu và chỉ nếu ˆ L đồng nhất bằng 0 . Do đó, ánh xạ  là tuyến tính có hạt nhân bằng 0 và là đơn ánh. Như vậy, nó là một song ánh tuyến tính. Cho A là một tập con của không gian lồi địa phương E và hàm :f A   , ta đặt sup ( ) A x A f f x   . Định lý 1.1.7. Cho E là một không gian lồi địa phương trên  và A là một tập lồi cân trong E . Khi đó ta có ˆ ˆ ! n n A A A n L L L n   , với mọi   s n a L L E  . Chứng minh. Bất đẳng thức thứ nhất là tầm thường vì     ˆ n L A L A  . Theo công thức phân rã, chúng ta có 1 1 1 1 1 ˆ . sup ! 2 n i i n i i n A x A i i n L L x n                 Bởi vì A là lồi cân nên nếu i x A ; với mỗi 1,2, ,i n và 1 i    thì 1 1 n i i i x A n     . Do đó 8 8 1 1 1 ˆ ˆ n n n i i i i i i L x n L x n                    ˆ n A n L  . Từ đó, chúng ta nhận được 1 1 1 1 ˆ . ! ! 2 n n i n n n A A A i n n L n L L n n        . Định lý được chứng minh. Bổ đề 1.1.8. Nếu   s n a L L E  và   ˆ n a P L P E   thì với mọi ,x y E và   ta có       0 n n r r r r n P x y L x y r                              1 0 n n r r r n P x y P x P y L x y r               . Bổ đề 1.1.9. Cho E là một không gian lồi địa phương trên  . Nếu A là một tập cân trong E và x E , thì A x A P P   . Hơn nữa, nếu 0, x E     và A là một tập lồi thì 1 1 n x A A P P           . Chứng minh. Ta có   sup x A y A P P x y       , sup i y A P x e y        (vì A là tập cân) 9 9   , sup i y A P e x y        (vì tính thuần nhất)   sup y A P y   (theo nguyên lý modul cực đại) A P  . Nếu x A   thì 1 1 1 x A A A A              và do đó ta có 1 1 1 1 n x A A A P P P                    . Không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất liên tục trên không gian lồi địa phương E được ký hiệu bởi   n P E . Không gian véc tơ tất cả các đa thức liên tục trên E được ký hiệu bởi   P E . Mệnh đề 1.1.10. Cho E là một không gian lồi địa phương trên  và   n a P P E  . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương. (a) P là liên tục. (b) P liên tục tại gốc. (c) P bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc. (d) P là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của mỗi điểm). Chứng minh. Các kéo theo ( ) ( ) ( )a b c  là tầm thường. Theo Bổ đề 1.1.9. thì ta nhận được ( ) ( )c d . Vấn đề còn lại là ta chứng minh ( ) ( )c a . Cho   s n A L E  và giả sử ˆ A P . Theo công thức phân rã và ( )c tồn tại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho n V A M    . Với 0 x E tùy ý chọn 0   sao cho 0 x V   . Theo Bổ đề 1.1.7, chúng ta có 10 10         0 0 0 1 sup sup . n R n R R y V y V R n P x y P x A x y R                     0 1 1 sup . n R n R R n R y V R n A x y R                1 . n R n R R n M R             1 1 0 n n M                            khi n   . Như vậy P liên tục tại 0 x và việc chứng minh được hoàn thành. 1.2. Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.2.1. Một tập con U của không gian lồi địa phương E được gọi là mở hữu hạn nếu U F là một tập con mở của không gian Euclide F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E . Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô f t . Các f t lân cận cân lập thành một cở sở đối với f t lân cận của 0 trong E . Định nghĩa 1.2.2. Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn chiều U của không gian lồi địa phương E được gọi là Gâteaux chỉnh hình hoặc G chỉnh hình nếu với mỗi ,a U b E  thì hàm một biến phức   : f f a b    là một hàm chỉnh hình trong một lân cận nào đó của điểm 0 . Ta ký hiệu   G H E là tập tất cả các hàm G chỉnh hình trên E . [...]... hàm f ( x ) tại  n0 Bởi vì khai triển trên là duy nhất nên ta thường ký hiệu Pn, Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên U được ký hiệu bởi H U  13  d n f    n! 14 Chương 2 TÔ PÔ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 2.1 Một số khái niệm Định nghĩa 2.1.1 Cho U là một tập con mở trong không gian lồi địa phương E Tô pô mở compact (hay tô pô hội tụ đều trên tập compact) trên không gian các hàm chỉnh. .. Tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên H U  có cùng các tập bị chặn với tô pô  o (tương ứng   ) được gọi là tô pô bornological liên kết với tô pô  o (tương ứng   ) và được ký hiệu là  ob (tương ứng   b ) Từ các khái niệm và tính chất các tô pô ta dễ dàng thấy mối quan hệ giữa các tô pô trên như sau Mệnh đề 2.2.4 Cho U là tập con mở trong không gian lồi địa phưng E Khi đó, trên không gian các. .. p1  p Mệnh đề được chứng minh Hệ quả 2.2.10 Tô pô   là tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên H U  Đối với tô pô này chuỗi Taylor hội tụ tuyệt đối và nó cảm sịnh trên mỗi   P E n tô pô   22 23 Chương 3 MỘT SỐ TƯƠNG ĐƯƠNG TÔ PÔ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 3.1 Một số điều kiện tương đương tô pô trên H (U ) Trong phần này chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trong chương trước với lý thuyết... trên không gian các hàm chỉnh hình H U  là tô pô sinh bởi các nửa chuẩn p f   f K  sup f ( x ) , xK ở đó K chạy trên tất cả các tập con compact trong U , ta ký hiệu tô pô này bởi  o Tô pô  o là tô pô tự nhiên nhất được xét trên không gian các hàm chỉnh hình H U  Tuy nhiên, tô pô này không phải luôn có các tính chất mong muốn và vì lý do đó   đã được đề xuất Tô pô này có nhiều tính chất tốt,... rằng tô pô   có các tính chất tô pô tốt trên không gian các hàm chỉnh hình Mệnh đề 2.2.2 Giả sử U là tập con mở trong không gian lồi địa phương E Khi đó  H U  ,   là giới hạn quy nạp của một dãy các không gian Frechet và do đó nó là không gian thùng, bornological  Chứng minh Với mỗi phủ mở tăng đếm được V   Vn n1 của U , đặt  HV U   f  H U  : f Vn   , n Khi trang bị trên HV... một số mối quan hệ giữa các tô pô trên không gian mầm các hàm chỉnh hình H (U ) Định nghĩa 3.1.1 (i) Một phép phân tích của không gian véc tơ tô pô E là một dãy  các không gian con khác rỗng  En n1 của E sao cho với mỗi x  E có thể  biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x   xi , trong đó xi  Ei với mỗi i 1 i  1, 2, (ii) Một phép phân tích của không gian véc tơ tô pô E được gọi là  Schauder...  là không gian thùng nếu và chỉ nếu các điều   kiện sau được thỏa mãn (1)  P ( E n ),  o b  là không gian thùng với mỗi n   (2) Tô pô  o b là tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên H (U ) , trên đó chuỗi Taylor hội tụ tuyệt đối và nó cảm sinh tô pô  ob trên P ( n E ) với mỗi n Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.3, nếu  H (U ),  o b  là không gian thùng   thì  P ( E n ),  o b  là không gian. .. U  Tô pô   trên H U  là tô pô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửa chuẩn mang bởi các tập con compact của U Định nghĩa 2.1.3 Cho U là một tập con mở trong không gian lồi địa phương E Một nửa chuẩn p trên H U  được gọi là   liên tục nếu với  mỗi phủ mở đếm được tăng  Vn n1 của U tồn tại một số nguyên dương n0 và số c  0 sao cho p f   c f Vn ; với mọi f  H U  0 Tô pô   trên. .. gian lồi địa phưng E Khi đó, trên không gian các hàm chỉnh hình H U  ta có mối quan hệ giữa các tô pô sau đây (1)  0      b (2)  0   ob    b  Ký hiệu S là tập tất cả các dãy số phức  n n1 sao cho limsup  n n 17 1/ n  1 18 ˆ d n f (0) là một hàm chỉnh hình trên tập con mở U n! n0  Bổ đề 2.2.5 Cho f    trong không gian lồi địa phương E và    n n1  S Khi đó ˆ d n f (0)... trên H U  là tô pô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửa chuẩn   liên tục 2.2 Quan hệ giữa các tô pô và một số tính chất của chúng Mệnh đề 2.2.1 Cho E là một không gian lồi địa phương và U là một tập con mở của E Khi đó, trên H U  ta có  o       Chứng minh Bởi vì f K  f V với mọi V chứa K , nên ta suy ra  o    Bây giờ, giả sử rằng p là một nửa chuẩn   liên tục trên H U   được . “CẤU TRÚC TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH” 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cấu trúc tô pô lồi địa phương trên không gian các hàm chỉnh hình. một số kiến thức căn bản về không gian các hàm chỉnh hình trên không gian lồi địa phương. Giới thiệu một số cấu trúc tô pô lồi địa phương quan trọng trên không gian ( )H U đã và đang được. số tô pô lồi địa phương và các tương đương tô pô đề cập trên không gian ( )H U các hàm chỉnh hình trên tập con mở U trong không gian lồi địa phương E . Trình bày một số ví dụ và các