Cấu trúc Tô pô lồi địa phương trên không gian các hàm chỉnh hình

MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cho E không gian lồi địa phương Hausdorff U tập mở E Ký hiệu H (U khơng gian véc tơ hàm chỉnh hình ) U Tô pô mở compact  tô pô lồi địa phương tự nhiên H (U ) o Tuy nhiên, trường hợp vô hạn chiều không gian  H (U ),  o  khơng có tính chất mong muốn, chẳng hạn E N C  H (U ),  o  không không gian thùng Trong giải tích vơ hạn chiều, cần xét đến tô pô mạnh Martineau  4 H (U ) Từ kết nghiên cứu A hàm giải tích nhiều biến, tơ pơ   L Nachbin đề xuất lần  5 Đó tơ pơ xác định từ nửa chuẩn mang tập compact K H (U ) Tô pô  tô pô  Thế nhưng, đơn giản p có nhiều tính chất tốt N E  C    người ta mô tả tập định hướng nửa chuẩn sinh tơ pơ   Từ đó, tơ pơ lồi địa phương mạnh H (U giới thiệu ) G Coeuré 1 L Nachbin  6 tô pô   sinh tất nửa chuẩn   liên tục Việc nghiên cứu tơ pơ khơng gian hàm chỉnh hình lĩnh vực nhiều nhà toán học quan tâm Từ cấu trúc tô pô không gian H (U người ta giải nhiều vấn đề quan trọng ) giải tích phức vơ hạn chiều như: Bài tốn thác triển giải tích   2 ,  6  ; Nghiên cứu đặc trưng của: miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình, miền giả lồi, miền lồi đa thức miền tồn hàm điều hoà hàm đa điều hoà 1 ,…   2 ,  7  ; Nghiên cứu Để hoàn thành luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Tốn Giải tích em chọn đề tài nghiên cứu: “CẤU TRÚC TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cấu trúc tô pô lồi địa phương khơng gian hàm chỉnh hình quan hệ tơ pơ nói đậy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tô pô lồi địa phương không gian hàm chỉnh hình tuơng đương topo:  - tô pô mở compact;  - tô pô mang  tập compact;  - tô pô bornological liên kết với tô pô  ;  ob o b bornological liên kết với tô pô   tô pô   Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp Hệ thống hóa số kiến thức khơng gian hàm chỉnh hình không gian lồi địa phương Giới thiệu số cấu trúc tô pô lồi địa phương quan trọng không gian H (U quan tâm ) nghiên cứu Nghiên cứu số tô pô lồi địa phương tương đương tô pô đề cập khơng gian H (U hàm chỉnh hình tập mở U ) không gian lồi địa phương E Trình bày số ví dụ phản ví dụ tương đương tơ pơ khơng gian hàm chỉnh hình Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa thức không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1 Cho E không gian véc tơ trường □ Một ánh xạ n L : E  □ gọi n tuyến tính E tuyến tính theo biến, cố định biến lại Ký hiệu tập hợp tất ánh xạ n tuyến tính   L aE n Định nghĩa 1.1.2 Một ánh xạ n tuyến tính xứng L : E  □ gọi đối L  x , x2 , , xn   L  x  (1), x (2), , x (n)  , với x1, x2 , , xn  phép hoán vị n số tự nhiên đầu E không gian véc tơ tất ánh xạ tiên Chúng ta ký hiệu Ls En   a n tuyến tính đối xứng E Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng liên kết với ánh xạ n tuyến tính s: xác định cơng thức n s n E L E tồn ánh tắc L     a a s L x , , , x  x   n  S n! Sn L x , x   (1) , , x  (2)  (n)  , n ký hiệu tập tất phép hoán vị n số tự nhiên Định nghĩa 1.1.3 Cho E không gian véc tơ tô pô lồi địa phương □ Một ánh xạ P : E  □ gọi đa thức n tồn ánh xạ n tuyến tính n L : E  □ cho P  L   ,   n Pa E (x)  x ; x  E Ký n không gian véc tơ tất đa hiệu thức n E Một đa thức E tổng hữu hạn đa thức E Ta ký hiệu Pa  E  không gian véc tơ tất đa thức E Ví dụ 1.1.4 Giả sử n L:□ □ Khi tồn ma trận n  □ ánh xạ tuyến tính   1in,1 jn A  aij L  z, w    1in 1 jn với z   z , z , zn thức P:□  □ n n □n cho aij ziwj , w   w1 , w2 , wn  □ n Do đó, đa  □ □ có dạng n P z   L z, z   1in 1 jn aij zizj Trong trường hợp tổng qt khơng có tương ứng 1-1 đa thức n ánh xạ n tuyến tính Tuy nhiên hạn chế tập hợp ánh xạ n tuyến tính đối xứng thu tương ứng Theo định nghĩa đa thức n toán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán L a E  L E  n s n a  □   Pa E n Như hệ bổ đề phân rã, chứng minh ánh xạ  đơn ánh Do đó, nhận song ánh tắc khơng gian ánh xạ n tuyến tính đối xứng không gian đa thức n E Định lý 1.1.5 (công thức phân rã) Cho E không gian lồi địa phương □ Khi đó, L x,x 1 LL , , x  n s  E  n x1, , ,  E , x2 x n   x   Lˆ a    n n j j n   j1 n! i 1   Chứng minh Bởi tính tuyến tính tính đối xứng n n  n  ˆ L    j x j   L    j x j , ,   j x j  j1  j1   j1  m1 m2 mn     n!  n L  x x m1  x m2  m1 ! mn !  mn 0mi n  mi n Do    n n  Lˆ  x n  j j   j1  n!  1 m n  m1  m2  i n  0mi n mi n n n! L  x x m1  m2 x m1 ! mn ! mn n     m11 mn 1      n  j 1  i jn  m 1 n Nếu m1  m2   mn   m 1 1 . n n  2n hệ số  j 1 i jn L  x1, x2 , , xn khai triển  Nếu mi  với i nhận mj  với j Khi   m11  mn 1   n  j 1  j  j 1 1in  m11   mj1 1 mj11 j1 j1  . mn 1 n 0  j 1 1in,i j Do đó, tất số hạng khác triệt tiêu công thức phân rã chứng minh s Hệ 1.1.6 Ánh xạ  : L  E  P  E  n a n s Chứng minh Bởi công thức phân rã L  L song ánh tuyến tính đồng   E n a Lˆ đồng Do đó, ánh xạ  tuyến tính có hạt nhân đơn ánh Như vậy, song ánh tuyến tính Cho A tập không gian lồi địa phương E hàm f : A  □ , ta đặt f A  sup f (x) xA Định lý 1.1.7 Cho E không gian lồi địa phương □ A tập lồi cân E Khi ta có Lˆ nn ˆ L , n  A n! A L A với LL s E  n a   ˆ Chứng minh Bất đẳng thức thứ tầm thường L  A   L A ta1có Theo cơng thức phân rã, chúng L  n A n  su p n! i1 xiA 1in Lˆ  x  n   i1 i i   n ... nghiên cứu: “CẤU TRÚC TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHƠNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cấu trúc tô pô lồi địa phương khơng gian hàm chỉnh hình quan hệ... hình khơng gian lồi địa phương Giới thiệu số cấu trúc tô pô lồi địa phương quan trọng không gian H (U quan tâm ) nghiên cứu Nghiên cứu số tô pô lồi địa phương tương đương tô pô đề cập không gian. .. (U hàm chỉnh hình tập mở U ) không gian lồi địa phương E Trình bày số ví dụ phản ví dụ tương đương tô pô không gian hàm chỉnh hình Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa thức không gian lồi địa phương