Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LèI CÁM ƠN Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào, ngưòi thay t¾n tình giúp đõ tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc, trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i tồn the thay giáo trưòng tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tơi hoc t¾p nghiên cúu Trong q trình thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khơng tránh khói nhung han che thieu sót, tơi xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, cô giáo ban hoc viên Hà N®i, tháng 10 năm 2010 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p"Cau trúc cúa khơng gian mam hàm hình"đưoc hồn thành, khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình làm khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 10 năm 2010 Tác giá Đ¾ng Th% Bích Tháo Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian véc tơ tô pô 1.2 Đa thúc không gian loi đ%a phương 12 1.3 Hàm hình 18 1.4 Khơng gian mam hàm hình .23 Chương Cau trúc cúa khơng gian mam hàm hình 26 2.1 Tính quy cna khơng gian mam hàm hình 26 2.2 Tính quy Cauchy cna khơng gian mam hàm hình 31 2.3 M®t so ví du phán ví du ve đieu ki¾n (B) .34 2.4 Tính đay cna khơng gian mam hàm hình 37 KET LU¾N 41 TÀI LIfiU THAM KHÁO 42 Mé ĐAU Lý chon đe tài Trong giỏi tớch phỳc, mđt van e lún oc đoi vói lý thuyet hàm hình tớnh chớnh hỡnh %a phng trờn mđt K cna m®t khơng gian loi đ%a phương Đieu dan đen khái ni¾m mam hàm hình H(K) t¾p K Ý nghĩa quan cna khái ni¾m sn đ%a phương hóa khái ni¾m phan tú, thay cho viắc xột mđt phan tỳ co %nh no ngưòi ta xét lóp tat cá phan tú tương đương đoi vói phan tú Trong khái ni¾m mam ta phân đ¾c điem chung liên ket phan tú tương đương lai vói T¾p mam hàm hình H(K) t¾p compact K có the đưoc xét theo hai khía canh M®t là, ve m¾t đai so ta có the xem m®t vành Các tính chat cna vành H(K) đưoc nghiên cúu r®ng rãi, có the xem: Bănică-Stănilă [2], Siu [7], M¾t khác, H(K) có the đưoc xem m®t khơng gian véc tơ tơ pơ trang b% tơ pô loi đ%a phương tn nhiên bang cách ket hop tơ pơ cna khơng gian hàm hình trờn mđt lõn cắn cna K Theo húng nghiờn cỳu phái ke đen cơng trình cna S B Chae [3], A Grothendieck [10] A Martineau [14, 15], Viắc nghiờn cỳu mđt cỏch trnc tiep tụ pụ lóp khơng gian hàm hình khơng phái ln đưoc tien hành m®t cách de dàng Trong khơng gian mam hàm hình đơi lai cú the nghiờn cỳu mđt cỏch thuắn loi Trờn H(K) ngưòi ta thưòng quan tâm đen tính quy tính đay cna lóp khơng gian Theo hưóng nghiên cúu đó, S B Chae [9] chúng tó tính quy cna H(K) vói K t¾p compact không gian Banach Đe nghiên cúu cau trúc cna khơng gian mam hàm hình H(K), vói K t¾p compact khơng gian loi đ%a phương metric tơi chon đe tài: "Cau trúc cía khơng gian mam hàm chsnh hình" Lu¾n văn đưoc chia làm chương (ngồi phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo) Chương 1: Kien thúc chuan b% Chng ny oc bat au bang viắc giúi thiắu mđt so cỏc khỏi niắm v a mđt so ket quan ve không gian véc tơ tô pô, can thiet cho trình sú dung sau Tiep theo bang cách tiep c¾n ngan gon chúng tơi se giói thi¾u khái ni¾m ve khơng gian mam hàm hình mà muc đích cna lu¾n án nghiên cúu tính chat tơ pơ lóp khơng gian Chương 2: Cau trúc cna không gian mam hàm hình Vói muc tiêu tâm nghiên cúu van đe quy cna lóp khơng gian mam hàm hình t¾p compact khơng gian loi đ%a phương metric tính đay cna lóp khơng gian mam hàm hình t¾p compact cân khơng gian loi đ%a phương metric, chng ny lan lot trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong m®t so ket q ve tính quy tính đay cna lóp khơng gian Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu tính quy tính đay đn cna khơng gian mam hàm hình H(K) vói K t¾p compact khơng gian loi đ%a phương metric Nhi¾m nghiên cNu Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ lý thuyet ve khơng gian mam hàm hình cau trúc cna Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Tính quy cna khơng gian mam hàm hình H(K) - Tính quy Cauchy cna khơng gian H(K) - Tính đay cna khơng gian H(K) vói K t¾p compact khơng gian loi đ%a phương metric Phương pháp nghiên cNu - Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo - Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu NhĐng đóng góp cúa đe tài Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong mđt so ket ve tính quy tính đay đn dãy cna khơng gian mam hàm hình H(K) vói K t¾p compact khơng gian loi đ%a phương Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian véc tơ tô pô Trong phan này, chúng tụi trỡnh by mđt so khỏi niắm v tớnh chat bán se đưoc sú dung ve sau Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho E m®t khơng gian véc tơ A l mđt cna E i) Tắp A đưoc goi loi neu vói moi x, y ∈ A ta có: λx + µy ∈ A, λ ≥ 0, µ ≥ λ + µ = ii) T¾p A đưoc goi cân neu vói moi x ∈ A λx ∈ A | λ |≤ iii) T¾p A đưoc goi tuy¾t đoi loi neu đong thòi loi cân iv) T¾p tat cá to hop tuyen tính huu han n n λi · xi vói λi ≥ 0, i=1 λi = 1, xi ∈ A i=1 l mđt loi chỳa A v oc goi bao loi cna A v) Bao tuy¾t đoi loi cna A t¾p tat cá to hop tuyen tính huu n n han λi · xi vói | λi |≤ vói moi xi ∈ A (là t¾p hop tuy¾t đoi loi i=1 i=1 nhó nhat chúa A) vi) T¾p A đưoc goi hút neu vói moi x ∈ E, ton tai λ > cho x ∈ µA vói moi µ thóa mãn: | | %nh ngha 1.1.2 Mđt khụng gian véc tơ tơ pơ có m®t só gom nhung lân c¾n loi cna điem goc đưoc goi khơng gian véc tơ tô pô loi đ%a phương (không gian loi đ%a phương) tơ pơ cna goi tô pô loi đ%a phương Đ%nh nghĩa 1.1.3 a) Giá sú E m®t khơng gian véc tơ trưòng K (K = C ho¾c K = R) M®t hàm p xác đ%nh E có giá tr% thnc khơng âm (huu han) đưoc goi m®t núa chuan neu +) p(x) ≥ 0, +) p(λx) =| λ | p(x), +) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), vói moi x, y ∈ E, λ ∈ K b) Mđt nỳa chuan p tng ỳng vúi hop tuy¾t đoi loi hút A đưoc goi hàm cừ cna A Mắnh e 1.1.4 Trong mđt khụng gian loi đ%a phương E, m®t núa chuan p liên tnc chs liên tnc tai điem goc ChNng minh Neu p liên tuc tai điem goc ε > m®t so cho trưóc thỡ ton tai mđt lõn cắn V cho p(x) < ε x ∈ V Do đó, vói a m®t điem tùy ý cna E, ta có: | p(x)−p(a) |≤ p(x−a) < ε x ∈ a+V Q Đ%nh nghĩa 1.1.5 Không gian véc tơ E đưoc goi đ%nh chuan neu tơ pơ cna cú the xỏc %nh oc búi mđt chuan p Mắnh đe 1.1.6 Không gian loi đ%a phương E metric chs tách có mđt c sú lõn cắn cỳa iem goc em oc Tơ pơ cúa m®t khơng gian metric ln ln có the xác đ%nh đưoc bói m®t metric, bat bien đoi vói phép t%nh tien ChNng minh Neu E metric dĩ nhiên tách cú mđt c sú em oc nhung lõn cắn cna điem goc Ngưoc lai, neu E có m®t só lân c¾n đem đưoc, moi lân c¾n đeu chỳa mđt lõn cắn tuyắt oi loi, nờn ton tai mđt c sú (un) nhung lõn cắn tuyắt oi loi Goi pn hàm cõ cna un Đ¾t f (x) = ∞ 2−n inf{pn(x), 1} n=1 The f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) neu f (x) = pn(x) = 0, vói moi n Bói E tách nên x = Đ¾t d(x, y) = f (x − y) d m®t metric d(x + z, y + z) = d(x, y) Như v¾y d bat bien đoi vói phép t%nh tien Trong tơ pơ metric, t¾p hop Vn = {x : f (x) < 2n} lắp thnh mđt só lân c¾n Nhưng Vn mó đoi vói tơ pơ xuat phát bói moi pn f liên tuc Hơn nua Vn ⊂ Un bói neu x ∈/ Un pn(x) ≥ 1, v¾y f (x) ≥ 2−n Thành thú d xác đ%nh tô pô xuat phát cna E Q Đ%nh nghĩa 1.1.7 a) M®t hàm thnc ϕ(x) m®t khơng gian tuyen tính X đưoc goi dưói tuyen tính, neu +) ϕ(x1 + x2) ≤ ϕ(x1) + ϕ(x2), vói moi x1, x2 ∈ X +) ϕ(αx) = αϕ(x), vói moi x ∈ X moi so α ≥ b) M®t phiem hàm dưói tuyen tính ϕ(x) (trong khơng gian thnc hay phúc) m®t sơ chuan neu ϕ(αx) = |α|ϕ(x) vói moi x ∈ X moi so α∈K M¾nh đe 1.1.8 M®t hàm p : X → R sơ chuan chs hàm cõ cúa mđt loi, cõn, hỳt; nú l mđt chuan v chs nú l hm cừ cỳa mđt loi, cân, hút khơng chúa tron m®t đưòng thang no ChNng minh Thắt vắy, neu B l mđt loi, cân, hút de thay rang hàm cõ pB cna nghi¾m pB (−x) = pB (x), vói moi α < : pB (αx) = −αpB (−x) = −αpB (x), pB (αx) =| α | pB (x) vói moi α pB m®t sơ chuan Ngưoc lai, neu p m®t sơ chuan t¾p B = {x : p(x) < 1} loi vói x ∈ B, y ∈ B, < α < ta có p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x) +(1−α)p(y) < Hơn nua B cân đoi p(x) < kéo theo p(−x) = p(x) < 1, B hút neu x ∈ X λ > p(x) p(x/λ) = p(x)/λ < De thay p(x) = inf{λ > : x ∈ λB} p(x) = pB (x) Sau cùng, neu p m®t chuan vói moi x ƒ= 0, p(x) > p(αx) = αp(x) ≥ (vói α đn lón), túc αx ƒ= B, chúng tó B Q khơng chúa tron m®t đưòng thang qua v x Mắnh e 1.1.9 Trong mđt khụng gian tuyen tính X cho m®t ho sơ chuan Γ tùy ý Trên X có m®t tơ pơ tương thích vói cau trúc đai so, moi sơ chuan thu®c ho Γ đeu liên tnc Tô pô ay loi đ%a phương nh¾n làm só lân c¾n cúa goc ho tat cá t¾p có dang {x : sup pi(x) < ε} (ε > 0, pi ∈ Γ) 1≤i≤n (1.1) Nó m®t tơ pơ Hausdorff chs (∀x ƒ= 0)(∃p ∈ Γ)p(x) > (1.2) ChNng minh Cho Bo ho tat cá t¾p có dang V = {x : p(x) < 1}, vói p ∈ Γ Khi đó, t¾p V loi, cân, hút nên có m®t tơ pơ X tương hop vói cau trúc đai so, mà moi t¾p V l mđt lõn cắn, tỳc l theo mắnh e 1.1.8, moi sơ chuan p ∈ Γ liên tuc Tô pơ ay loi đ%a phương, vói só lân c¾n ho tat cá t¾p có dang ε \ n i=1 Vi (ε > 0, Vi ∈ Bo) 32 Cho m®t khơng gian loi đ%a phương E bat kỳ, ta có [ P (mE) = P (mEα), α moi P (mEα) m®t khơng gian Banach P (mE) đưoc trang b% bói tơ pơ giói han quy nap P (mE) = lim ind P (mEα) α Đ%nh nghĩa 2.2.1 M®t khơng gian loi đ%a phương E đưoc goi thóa mãn đieu ki¾n (B) neu tơ pơ cna đưoc xác đ%nh bói m®t ho đ%nh hưóng núa chuan {α} cho vói moi P (mEα) có tơ pơ cám sinh cna P (mE), vói moi m ∈ N Neu γ ∈ cs[P(mE)], p(f ) = Bo đe 2.2.2 ∈K supξ γ[dˆm f (ξ)] xác đ%nh m®t núa chuan liên tnc H(K) ChNng minh Ta chúng tó rang han che cna p tói moi H∞(Kα,s) liên tuc Bói han che cna γ tói moi P (mEa) liên tuc, nên ton tai Cα > cho γ(P ) ™ Cα " P "α; vói moi P ∈ P(mEα) Do đó, vói bat kỳ f ∈ H∞(Kα,s) ta có p(f ) = sup γ[dˆm f (ξ)] ™ Cα sup " dˆm f (ξ) "α ξ∈K ξ∈K ™ (Cαm!/sm) sup | f (x) | x∈Kα,s Bo đe 2.2.3 Giá sú E thóa mãn đieu ki¾n (B) Khi đó, vói moi lưói H(K)− Cauchy {fλ} ⊂ H∞(Kα,s) ta có sup " dˆm (fλ − fµ)(ξ) "α → 0; vói moi m ∈ N ξ∈K ChNng minh Bói E thóa mãn đieu ki¾n (B), nên ton tai γ ∈ cs[P(mE)] cho " P "α™ γ(P ), vói moi P ∈ P(mEα) Do đó, supξ∈ K " dˆ m (fλ − fµ)(ξ) "α™ ∈K supξ γ[d (fλ − fµ)(ξ)] ˆ m Theo bo đe 2.2.2, ve phái tien đen nên ta có đieu phái chúng minh Q Bo đe 2.2.4 Cho E m®t khơng gian loi đ%a phương thúa ieu kiắn (B) Giỏ sỳ K l mđt t¾p compact E X ⊂ H∞(Kα,s) t¾p b% ch¾n Khi đó, moi lưói H(K)−Cauchy {fλ} nam X H∞(Kα,s)−Cauchy vói moi t < s ChNng minh Bói X t¾p b% ch¾n cna H∞(Kα,s) nên ton tai C > cho sup | fλ(x) |≤ C, x∈K α,s vói moi λ Theo bat thúc Cauchy, ta có m m fλ (ξ) ™ supξ∈K α C/s (1/m!)dˆ M¾t khác, theo bo đe 2.2.3, ta có , vói moi λ (2.2) m (fλ − fµ )(ξ) supξ∈K →0 (2.3) (1/m!)dˆ Tù (2.2) ta có sup |(fλ − fµ )(x)| ™∞ sup (1/m!)dˆm (fλ − fµ )(ξ) tm x∈Kα, m=0 ξ∈K k s ≤ sup α dˆm (fλ − fµ ) (ξ) α ξ∈K, vói moi k ∈ N tm + ∞ k+1 2C m t m, s m! Cho s > 0, ta chon k ∈ N cho ∞ 2C ∞ ≤ k+1 sm t m = 2C (t/s)m s k+1 Theo (2.3), ta có the tìm λ0 cho m m k sup d (fλ − fµ)(ξ) t≤ ˆ m! α ξ∈K s, vói moi λ, µ ≥ λ0 Tù sup x∈Kα,s |(fλ − fµ)(x)| ≤ s vói moi λ, µ ≥ λ0 Q Tù đ%nh lý 2.1.4 bo đe trên, ta nh¾n đưoc tính quy Cauchy sau Đ%nh lý 2.2.5 Cho E m®t khơng gian loi đ%a phương met- ric thóa mãn đieu ki¾n (B) cho K t¾p compact E Khi đó, H(K) = lim ind H∞(Kα,s) m®t giói han quy nap quy Cauchy α,s nghĩa là, cho X t¾p b% ch¾n H(K) ton tai α ∈ cs(E) s > cho (a) X b% chúa b% ch¾n H∞(Kα,s) (b) Moi lưói {fλ} ⊂ X H(K)− Cauchy neu chs neu H∞(Kα,s)− Cauchy 2.3 M®t so ví dn phán ví dn ve đieu ki¾n (B) Trưóc trình bày van đe này, chúng tơi đưa thêm m®t khỏi niắm ve ieu kiắn (A) %nh ngha 2.3.1 Mđt khơng gian loi đ%a phương E đưoc goi thóa mãn đieu ki¾n (A) neu tơ pơ cna xác đ%nh bói m®t ho đ%nh hưóng núa chuan {α} cho vúi moi ton tai mđt b% ch¾n Bα cna E mà ánh cna mđt lõn cắn cna E/ 35 Moi quan h¾ giua đieu ki¾n (A) đieu ki¾n (B) đưoc khang đ%nh m¾nh đe dưói M¾nh đe 2.3.2 Cho E m®t khơng gian loi đ%a phương tùy ý, đieu ki¾n (A) kéo theo đieu ki¾n (B) ChNng minh Giá sú E thóa mãn đieu ki¾n (A) α, m co đ%nh Khi đó, ton tai m®t t¾p b% ch¾n Bα ⊂ E mà ánh πα(Bα) cna nú l mđt lõn cắn cna E/ Ta có the giá sú sau πα(Bα) ⊃ {x ∈ E/α; α(x) ™ 1} (2.4) Cho P ∈ P(mEβ ), ta xác đ%nh γ(P ) = sup |P (x)|; x∈Bα vói Bα t¾p b% ch¾n E Cβ = sup β(x) < ∞ vói moi β Do đó, x∈Bα vói P ∈ P( m E) γ(P ) ™ sup "P "β [β(x)]m =βC m "P "β x∈Bα Khi đó, γ m®t núa chuan liên tuc P( m E) = lim ind P(mEβ ) β Cho x ∈ E vói α(x) ™ 1, theo (2.4) ta có πα(x) ∈ πα(Bα) nghĩa πα(x) = πα(y) vói y ∈ Bα Do α(x − y) = v¾y P (x) = P (y), vói moi P ∈ P(mE) Tù suy "P "α = sup |P (x)| ™ sup |P (y)| = γ(P ) α(x)™1 y∈Bα Như v¾y, P(mEα) có tơ pơ cám sinh cna P(m E) Q Ví dn 2.3.3 Tích cna m®t ho tùy ý khơng gian núa chuan thóa mãn đieu ki¾n (A) thóa mãn đieu ki¾n (B) ChNng minh Cho E = bói núa chuan γ Khi Q γ∈Γ Eγ , ó Eγ không gian chuan sinh α1(x) = sup γ(xγ ) (I ⊂ Γ huu han) γ∈I xác đ%nh m®t t¾p đ%nh hưóng núa chuan sinh tơ pơ E Neu B = {x ∈ E : γ(xγ ) ™ 1,vói moi γ ∈ Γ} B t¾p b% ch¾n cna E παt (B) m®t hình cau đơn v% đóng cna E/α1 Q Ví dn 2.3.4 Cho X m®t khơng gian tơ pơ quy đay E = C(X) khơng gian tat cá hàm liên tuc X, vói tơ pơ mó compact Khi E thóa mãn đieu ki¾n (A) thóa mãn đieu ki¾n (B) ChNng minh Tơ pơ cna E đưoc xác đ%nh bói ho đ%nh hưóng núa chuan αk : f → supx∈K |f (x)|, vói K t¾p compact X Cho B = {f ∈ E : |f (x)| ™ 1, vói moi x ∈ X} Khi (B) t¾p b% ch¾n cna E Co đ%nh t¾p compact K X cho πk : E → E/αk phép chieu tac Khi ta có πk (B) ⊃ f ∈ E/α : α (f ) ™ k k K Giá sú U t¾p mó chúa K vói |f | ™ Cho f ∈ E vói |f | ™ U Bói X quy đay nên ton tai φ : X → [0, 1] liên tuc, vói φ = K φ = U\K Cho g = φ · f g = f K, |g| ™ |f | ™ U g = U\K Vì v¾y, αK (f − g) = g ∈ B Do đó, πK (f ) = πK (g) ∈ πK (B) Q Ví dn 2.3.5 Cho U m®t t¾p mó liên thơng cna C n H(U ) đưoc trang b% tơ pơ mó compact Khi đó, H(U ) khơng gian Fréchet vói chuan liên tuc Bói H(U ) khơng chuan nên H(U ) khơng thóa mãn đieu ki¾n (A) đieu ki¾n (B) ChNng minh Giỏ sỳ K l mđt compact cna U có phan khác rong Khi f → sup |f (x)|, x∈K xác đ%nh m®t chuan liên tuc H(U ) Bói H(U ) khơng gian Montel nên đoi ngau manh Erβ không gian Montel Do khơng gian Fréchet Q 2.4 Tính đay cúa khơng gian mam hàm hình Tính đay cna khơng gian mam hàm hình đưoc đe xuat lan đau tiên bói L.Nachbin [5] Khi E khơng gian Banach, tính đay cna H(K) đưoc chúng minh bói Dineen [4] Sau đó, Dineen chúng tó tính đay cna H(K) E tích đem đưoc cna khơng gian Banach Nhó lai rang m®t DF − không gian tna đay đay nên trưòng hop đoi vói khơng gian metric ta chí can nghiờn cỳu tớnh ay cna mđt úng, b% ch¾n Đe chúng minh tính đay cna H(K) ta can m®t so ket sau Đ%nh nghĩa 2.4.1 M®t phép phân tích cna khơng gian véc tơ tơ pơ E m®t dãy khơng gian khác rong (En)∞n= cna E cho vói moi x ∈ E có the ∞ bieu dien m®t cách nhat dưói dang x i= xi, xi ∈ Ei vói = i) moi i = 1, 2, 38 M®t phép phân tích cna khơng gian véc tơ tơ pơ E đưoc goi Schauder neu ton tai m®t dãy phép chieu trnc giao liên tuc (Qn)∞ ii) n= ∞ Q (x) n cho Qn(E) = En x = i= Ta kí hi¾u S t¾p tat cá dãy so phúc (αn)∞ n= cho lim n→∞ sup |αn|1/n ≤ Neu {En}n m®t phân tích Schauder đoi vói (E, τ ) ta nói {En}n ∞ ∞ ∞ phân tích S-Schauder xn ∈ E (αn)n= ∈ S kéo αnxn ∈ n= n= 1 neu theo E Phép phân tích m®t phép phân tích S tuy¾t đoi neu vói moi ∞ p ∈ cs(E) (αn)n= ∈ S núa chuan ∞ ∞ p˜( xn ) = n= |αn |p(xn ) n=1 liên tuc M¾nh đe 2.4.2 Cho U mđt mú cõn cỳa mđt khụng gian loi đ%a phương E τ tô pô loi đ%a phương H(U ) cho {P(nE), τ} m®t phép phân tích S tuy¾t đoi H(U ) Khi H(U ) đay đú neu chs neu (P(nE), τ ) đay đú ChNng minh Cho (fa)a∈Γ m®t lưói Cauchy (H(U ), τ ) Khi đó, n dˆ fα (0) m®t lưói Cauchy (P(nE), τ ) vói moi n v¾y n! ˆ α∈Γ dnfα(0) E), α → ∞ vói moi n Cho p m®t núa chuan τ n → Pn ∈ P( n! liên tuc H(U ), giá sú p(f ) = ∞ p n=0 dˆ n f (0) vói f = ∞ n= n! H(U ) Khi đó, vói ε > ta có the tìm đưoc αo ∈ Γ cho ∞ dˆn f (0) ∈ n! 39 dˆ n fα (0) − n! n=0p dˆn fβ (0) ≤ ε, n! vói moi α, β ∈ Γ, α ≥ αo, β ≥ αo Do k ˆn d f α (0) p − Pn ≤ ε n! vói moi α ≥ αo k nguyên dương Đ¾c bi¾t k k (0) ˆn d f αo p(P ) p + ε vói moi k n n! ≤ n=0 n=0 n=0 nên ∞ n= p(Pn) < ∞ Tù kéo theo f = ∞ n= Pn ∈ H(U ) Cũng vói chúng minh v¾y ta chúng tó ∞ dˆ n n! − Pn ≤ ε n=0p fα (0) vói moi α ≥ αo fα → f vói α → ∞ Đ%nh lý đưoc chúng minh Q M¾nh đe 2.4.3 Cho E không gian loi đ%a phương metric n m®t so ngun dương Khi đó, P( n E) tô pô τω tô pô thùng liên ket vói τ0 Nghĩa τω = τ0,t ChNng minh (P(nE), ) l mđt DF -khụng gian bornological vúi hắ c bán t¾p b% ch¾n Bm = {P ∈ P(n E) : ||P ||m ≤ 1} , V ó Vm l mđt hắ c bỏn cỏc lõn cắn cna E gom t¾p cân, loi, đóng Theo ([4], hắ quỏ 3.38) Bm l mđt compact cna (P(nE), τ0) Bói τω tơ pơ thùng nên τω ≥ τ0,t Tù suy rang τω = τ0,t Q H¾ q 2.4.4 Neu E khơng gian loi đ%a phương metric (P(nE), τω) m®t khơng gian loi đ%a phương đay vói moi so nguyên dương n ChNng minh Theo ([4], m¾nh đe 3.5) không gian (P(nE), τ0) đay nên P( n E) trang b% tô pô thùng liên ket đay Áp dung m¾nh đe Q ta nh¾n đưoc đieu phái chúng minh Đ%nh lý 2.4.5 Neu K t¾p compact cân cúa m®t khơng gian loi đ %a phương metric E H(K) khơng gian loi đ%a phương đay ChNng minh Theo h¾ q 2.4.3 khơng gian (P(nE), τω) đay vói ∞ moi n Neu dãy (Pn) n= m®t dãy đa thúc thuan nhat cho ∞ ∞ vói moi núa chuan p H(K), dãy )n= b% p (Pn) < n= (Pn ∞ ch¾n H(K) Bói H(K) giói han quy nap quy nên ton tai mđt lõn cắn V cna K v > cho sup ||Pn||λV = M < ∞ n Do ∞ ∞ ||Pn||V ≤ M n=0 ∞ n= n= λn < ∞, Pn ∈ H(K) Tù m¾nh đe 2.4.1 ta nh¾n đưoc tính đay cna H(K) Q KET LU¾N Lu¾n văn úng gúp mđt so ket quỏ sau õy 1) Hắ thong hóa m®t so kien thúc bán ve hàm hình khơng gian mam hàm hình H(K) 2) Trình bày tính quy tính quy Cauchy cna H(K) K t¾p compact khơng gian loi đ%a phương metric 3) Trình bày tính đay cna H(K) K t¾p compact cân cna m®t khơng gian loi đ%a phương metric 4) Đưa m®t so ví du, phán ví du ve đieu ki¾n (B) đám báo cho tính quy Cauchy tính đay cna khơng gian mam hàm hình Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Anh [1] A Baerstein II (1971), "Representation of holomorphic functions by boundary intergrals", Trans Amer Math Soc, (160), 27-37 [2] C Bănică and O Stăcsilă (1976), Algebraic Methods in the global of complex spaces, John Wiley, London - NewYork - Sydney - Toronto [3] S B Chae (1971), "Holomorphic germs on Banach spaces", Ann Inst Fourier Grenoble, (21), 107-141 [4] S Dineen (1971), "Holomorphy types on a Banach space", Studia Math, (39), 241-288 [5] L Nachbin (1967), "On the topology of the space of all holomophic functions on a given open subset", Indag Math,(29), 366-368 [6] H H Schaefer (1971), Topological Vector Spaces, SpringerVerlag, Berlin and NewYork [7] Y T Siu (1969), " Noetherianness of rings of holomorphic function on Stein compact subsets", Prc Amer Math Soc, (21), 483-489 [B] Tài li¾u tieng Pháp [8] J A Barroso (1971), "Topologias nos espacos de aplicacoes holomorfas entre espacos localmente convexos", Anais Acad Brasil Ciencias, (43), 527-546 [9] S B Chae (1970), "Sur les espaces localement convexes de germes holomorphes", C R Acad Sci Paris,, (271), 990-991 43 [10] A Grothendieck (1955), Produits tensoriels topologiques et spaces nucléaires, Amer Math Soc, Providence, Rhode Island, (16) [11] A Grothendieck (1958), Espaces vectoriels topologiques, 2nd ed, Soc Mat Sao Paulo [12] A Hirschowitz (1971), "Bornologie des espaces de fonctions analytiques en dimension infinie", Seminaire Pierre Lelong 1969/70, (205), 21-33 [13] A Hirschowitz (1972), "Prolongement analytiques en dimension in- finie", Ann.Inst.Fourier, (22), 255-292 [14] A Martineau (1963), "Sur les fonctionnelles analytiques et la transformation de Fourier- Borel", J Anal Math, (11), 1-164 [15] A Martineau (1966), "Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes", Math Ann, (163), 62-68 [16] Ph Noverraz (1973), Pseudo-convexité, convexité polinomiale et domains d’holomorphie en dimension infinie, North-Holland Publ, Amsterdam ... 1.1 Không gian véc tơ tô pô 1.2 Đa thúc không gian loi đ%a phương 12 1.3 Hàm hình 18 1.4 Không gian mam hàm hình .23 Chương Cau trúc cúa khơng gian mam hàm hình. .. cúu tính chat tơ pơ lóp không gian Chương 2: Cau trúc cna không gian mam hàm hình Vói muc tiêu tâm nghiên cúu van đe quy cna lóp khơng gian mam hàm hình t¾p compact khơng gian loi đ%a phương metric... cna khơng gian mam hàm hình 26 2.2 Tính quy Cauchy cna khơng gian mam hàm hình 31 2.3 M®t so ví du phán ví du ve đieu ki¾n (B) .34 2.4 Tính đay cna khơng gian mam hàm hình 37