Cấu trúc (DN) và (DNφ) của đối ngẫu của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LèI CÁM ƠN Tác giá xin trân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng sau đai hoc; Giáo sư, Tien sĩ tồn the thay giáo, giáo Khoa Tốn Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, ó đng viờn giỳp v tao ieu kiắn thu¾n loi đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat suot q trình hoc t¾p, thnc hi¾n đe tài nghiên cúu khoa hoc Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình chí báo giúp đõ em hồn thành Lu¾n văn Tác giá xin trân thành cám ơn UBND tính Vĩnh Phúc, Só GD - ĐT tính Vĩnh Phúc, BGH trưòng THPT Ngơ Gia Tn huy¾n L¾p Thach tính Vĩnh Phúc tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoc t¾p hồn thành lu¾n văn Do thòi gian kien thúc có han nên Lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che thieu sót nhat đ%nh.Tác giá xin chân thành cám ơn nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban hoc viên Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Tác giá Pham Quoc Huy LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn tot nghi¾p “Cau trúc (DN ) (DNϕ) cúa đoi ngau cúa không gian mam hàm hình” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân tác giá khơng trùng vói bat kỳ lu¾n văn khác Trong q trình làm lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Tác giá Pham Quoc Huy Mnc lnc Mé ĐAU 1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Khơng gian loi đ%a phương 1.2 Đoi ngau tô pô yeu 11 1.3 Pôla 13 1.4 Tích tensor cna khơng gian loi đ%a phương .16 1.4.1 Tích tensor xa ánh .16 1.5 Đa thúc không gian loi đ%a phương 18 1.6 Ánh xa hình 24 1.7 Tô pô không gian ánh xa hình 28 1.8 khơng gian mam hàm hình 30 CAU TRÚC (DN) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHƠNG GIAN ¯¯¯ MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH 33 2.1 Khái ni¾m ve bat bien tơ pơ tuyen tính (DN) 34 ¯¯¯ 2.1.1 Lưu ý 34 2.2 M®t so đieu ki¾n tương đương 34 2.3 M®t so ví du 45 ii iii 2.3.1 Khụng gian dóy Kăothe 45 2.3.2 Không gian dãy giám nhanh 46 2.3.3 Không gian chuoi lũy thùa 46 ∗ 2.4 Cau trúc (DN) cna không gian [H(OE )] 47 ¯¯¯ ∗ 2.5 Cau trúc (DN) cna không gian [H(K)] 51 ¯¯¯ CAU TRÚC (DNϕ) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHÔNG GIAN MAM CÁC HM CHNH HèNH 55 3.1 Mđt so khỏi niắm v ví du 55 ∗ 3.2 Cau trúc (DNϕ) cna không gian [H(OE )] .56 ∗ 3.3 Cau trúc (DNϕ) cna khơng gian [H(K)] 57 KET LU¾N 63 TÀI LIfiU THAM KHÁO 64 Mé ĐAU Lý chon đe tài Tù ket cna Mujica [10], khơng gian mam H(K) quy, vói t¾p compact K khơng gian Frechet E Tù đó, ta suy rang [H(K)]∗ m®t khơng gian Frechet Khơng gian Frechet m®t trưòng hop đien hình cna khơng gian loi đ%a phương metric đay vói nhieu tính chat đ¾c trưng cna giái tích phúc vơ han chieu Vi¾c nghiên cúu sâu ve lóp khơng gian có đưoc nhò vào tính chat tơ pơ đ¾c trưng cna Các bat bien tơ pơ tuyen tính đưoc đe xuat tù nhung năm 1980 đen tró thành m®t hưóng nghiên cúu đưoc nhieu nhà Tốn hoc quan tâm Các bat bien tơ pơ tuyen tính đem lai nhung đ¾c trưng đep đe cho lóp khơng gian Frechet Nhung ket đat đưoc ve sn phân loai lóp khơng gian đem lai nhieu áp dung cho nhieu lĩnh vnc cna Toán hoc giái tích Cau trúc cna khơng gian [H(K)]∗ đưoc m®t so tác giá quan tâm nghiên cúu Chang han, E = Cn, Zaharjuta [16] chúng tó rang [H(K)]∗ có tính chat.Ω chí K t¾p compact L - quy Ket q cna Meise -Vogt [9] ve cau trúc loai (Ω) đoi vói khơng gian mam hàm hình xác đ%nh không gian Frechet hach, đưoc P T Danh – N V Kh [3] mó r®ng tói trưòng hop đoi vói khơng gian Frechet Các cau trúc loai Ω Ω˜ cna lóp khơng gian đưoc∞ N V Đơng [6] nghiên cúu M®t so đ¾c trưng đoi vói cau trúc (LB ), (DN ) Ω˜ cna lóp khơng gian mam thu đưoc bói L M Hái – P H Bang [7] Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan em chon đe tài “CAU TRÚC (DN ) VÀ (DNϕ) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHƠNG GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH” Bo cuc cna lu¾n văn ngồi phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo đưoc trình bày ba chương Chương Chương đưoc bat đau bang viắc giúi thiắu mđt so cỏc khỏi niắm v a m®t so ket q quan ve khơng gian loi đ%a phương; khái ni¾m ve c¾p đoi ngau tơ pơ pơla; tích tensor; đa thúc khơng gian loi %a phng v mđt so khỏi niắm ve ỏnh xa hình tơ pơ khơng gian ánh xa hình Chương Trình bày khái ni¾m ve bat bien tô pô (DN ) , đưa mđt so ieu kiắn tng ng v vớ du ve bat bien tơ pơ tuyen tính (DN ) Trình bày hai ket ve cau trúc (DN ) cna đoi ngau cna khơng gian mam hàm hình Chương Trong chương chúng tơi trình bày khái ni¾m ve bat bien tơ pơ tuyen tính (DNϕ) khơng gian Frechet Hai ket chương đe khơng gian [H(OE )]∗ có tính chat (DNϕ) E l mđt khụng gian Frechet tiắm cắn chuan cú só tuy¾t đoi; đoi vói đoi ngau cna khơng gian mam cna hàm hình [H(K)]∗ có tính chat (DNϕ) K phái t¾p compact cân khơng gian Frechet Hilbert ti¾m c¾n chuan Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu ve cau trúc (DN ) (DNϕ) cna đoi ngau cna không gian mam hàm hình Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve bat bien tô pô tuyen tính (DN ), (DNϕ) khơng gian Frechet Nghiên cúu cau trúc (DN ) (DNϕ) cna không gian [H(OE )]∗ không gian [H(K)]∗ Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu DN kien úng gúp luắn Trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve bat bien tơ pơ tuyen tính lóp khơng gian Frechet đieu ki¾n tương đương cna thơng qua h¾ só lân c¾n h¾ đem đưoc núa chuan xác đ%nh tơ pơ cna a mđt so ieu kiắn tng ng cna cỏc t¾p compact K khơng gian Frechet E đe tù xác đ%nh cau trúc (DN ) (DNϕ) cna không gian Frechet [H(OE )]∗ [H(K)]∗ Chương M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Khơng gian loi đ%a phương Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho E m®t khụng gian vộc t v A l mđt cna E i) T¾p A đưoc goi loi neu vói moi x, y ∈ A ta có λx + (1 − λ)y ∈ A, λ ≥ 0, ii) T¾p A đưoc goi cân neu vói moi x ∈ A ta có λx ∈ A |λ| ≤ iii) T¾p A đưoc goi loi tuy¾t đoi neu đong thòi loi cân iv) T¾p tat cá to hop tuyen tính huu han n λixi vói λi ≥ n λi = 1, xi A i=1 0, i= l mđt loi chúa A đưoc goi bao loi cna A v) Bao tuy¾t đoi loi cna A t¾p tat cá to hop tuyen tính huu n n han λixi vói λi ≥ 0, λi ≤ vói moi xi ∈ A (là t¾p tuy¾t đoi loi i=1 nhó nhat chúa A.) i=1 vi) T¾p A đưoc goi hút neu vói moi x ∈ A, ton tai λ > cho x ∈ µA vói moi µ mà |µ| ≥ λ Đ%nh nghĩa 1.1.2 M®t khơng gian véc tơ có m®t só gom nhung lân c¾n cân loi cna điem goc đưoc goi không gian véc tơ loi đ%a phương (không gian loi đ%a phương) tô pô cna goi tơ pơ loi đ%a phương Đ%nh nghĩa 1.1.3 a) Giá sú E m®t khơng gian véc tơ tô pô loi đ%a phương K (K = C hoắc K = R) Mđt hm p xỏc %nh E có giá tr% thnc khơng âm (huu han) đưoc goi núa chuan neu vói moi x, y ∈ E λ ∈ K ta có +) p(x) ≥ +) p (λx) = |λ| p (x) +) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) b) M®t núa chuan p tương đương vói t¾p hop tuy¾t đoi loi hút A đưoc goi hàm cõ cna t¾p A M¾nh đe 1.1.1 Trong m®t khơng gian loi đ%a phương E, m®t núa chuan, p liên tnc chs liên tnc tai điem goc ChNng minh Neu p liên tuc tai điem goc ε > m®t so cho trúc thỡ ton tai mđt lõn cắn V cho p (x) < ε x ∈ V Do đó, vói a m®t điem tuỳ ý cna E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε x ∈ a + V Q Đ%nh nghĩa 1.1.4 Không gian véc tơ E đưoc goi đ%nh chuan neu tơ pơ cna cú the xỏc %nh oc búi mđt chuan p Mắnh đe 1.1.2 Không gian loi đ%a phương E metric chs tách có mđt c sú lõn cắn cỳa iem goc em oc Tơ pơ cúa m®t khơng gian metric ln có the xác đ%nh đưoc bói m®t metric, bat bien đoi vói phép t%nh tien ChNng minh Neu E metric dĩ nhiên tách có mđt c sú em oc nhung lõn cắn cna iem goc Ngưoc lai, giá sú E có m®t só lân c¾n đem đưoc Khi đó, bói moi lân cắn eu chỳa mđt lõn cắn tuyắt oi loi, nờn ton tai mđt c sú (un) nhung lõn cắn tuyắt đoi loi Goi pn hàm cõ cna un 56 i) E khơng gian ti¾m c¾n chuan ii) Ton tai p cho vói moi q “ p, ton tai k “ q đe vói moi ε > ta có the chon M > thố mãn || ||q ™ M|| ||p + ε|| ||k Ví dn 3.1.1 Tù m¾nh đe 3.1.1 ta có khơng gian Kothe λ(A) ti¾m c¾n chuan neu chí neu ton tai p cho vói moi q “ p, ton tai k “ q đe vói moi ε > 0, ta có the chon M > thố mãn aj,q ™ Maj,p + εaj,k; vói moi j ∈ N∗ 3.2 ∗ Cau trúc (DNϕ) cúa không gian [H(OE )] Đ%nh lý 3.2.1 Neu E l mđt khụng gian Frechet tiắm c¾n chuan có só tuy¾t đoi [H(OE )] ∗ khơng gian Frechet ti¾m c¾n chuan ChNng minh Ta chí rang ton tai m®t hàm ψ tăng ch¾t (0; +∞) cho ∃p ∀q ∃k, C > ∀r > : Wq ⊆ Cψ(r)Wp + Wk (3.1) r Bói E m®t khụng gian tiắm cắn chuan nờn ton tai mđt hm dương tăng ch¾t ϕ (0; +∞) đe ∃p ∀q ∃k, C > ∀j “ : a aj,k j,q ϕ ™C aj,q aj,p Ta thay (3.1) đưoc thố mãn vói moi ψ < r ™ Khi r > chon (Cm)m∈M ∈ Wq, ta có l ogr |m|“α (Cm)∈ Wk vói α = α(r) log2 r “ (3.2) M¾t khác tù (3.2) ta có |C | m : |m| ™ α, m ∈ M˜α sup mm |m| |m| amk a q m m |Cm| m sup :m∈ : |m| ™ α, m ∈ M˜α |m| |m| am a k   q M m  α  : |m| ™ α, m ∈ M˜α ™ C sup  q a ϕ  p  a ™ sup ™ , vói M˜α = r m ∈ M : −α log C + m1 a1,q log ϕ + + mn log ϕ a1,p |Cm| ˜ : m ∈/ M α , |m| ™ α m sup m |m| |m| amp ™ sup m |Cm| m |m| |m| amq sup :m∈ M an,p q m a ap : |m| ™ α, m ∈/ M˜α ™ ψq,p(r), ψq,p(r) = sup a m ap an,q ™ l ogr q : |m| ™ α, m ∈/ < +∞ M˜α Ta chon ψ cho lim =0 ∀q ∃k, C > ∀r > : Wq ⊂ Cψ(r)Wp + Wk r ∗ Đieu chúng tó rang [H(OE )] có tính chat (DNϕ) ψq,p(r) ψ(r) 3.3 Cau trúc (DNϕ) cúa khơng gian [H(K)] Q ∗ Đe chuan b% cho vi¾c trình bày ket q ve cau trúc (DNϕ) cna khơng gian [H(K)] ∗ vói K t¾p compact khơng gian Frechet - Hilbert ti¾m c¾n chuan, chúng tơi trình by mđt so cỏc khỏi niắm oc Vogt [15], giói thi¾u nghiên cúu moi quan h¾ vói hàm tú Ext (E, F ) Đ%nh nghĩa 3.3.1 Cho E F khơng gian Frechet vói dãy tăng núa chuan || ||1 ™ || ||2 ™ xác đ%nh tơ pơ E ho¾c F, tương úng Xác đ%nh ||y|| k = sup {|y(x)| : ||x||k ™ 1} chuan đoi ngau cna || ||k vói ∗ y ∈ E∗ ho¾c F ∗ Ta nói rang cho (E, F ) ∈ (S∗ ) : ∃n0 ∀µ ∃k ∀K, m ∃n, S ∀x ∈ En, y ∈ F∗ ||x||m||y|| (E, F ) ∈ (S∗)0 k ∗ k ™ S ||x||n||y||∗ + ||x||n ||y||∗ k µ : ∃n0 ∀µ ∃k ∀K, m, R > ∃n, S ∀x ∈ En, y ∈ F∗ ||x||m||y||∗ cho k k ™ S||x||n||y||∗ K + R ||x||n ||y||∗ µ (E, F ) ∈ (S1) : ∃n0 ∀µ ∃k ∀K, m, R > ∃n, S cho B (Em, Fk) ⊂ S B (En, Fk) + R B (En0 , Fk) Trong B (Em, Fk) hình cau đơn v% L (Em, Fk) Đ%nh lý 3.3.1 Neu E khơng gian Frechet - Hilbert ti¾m c¾n chuan K l mđt compact, cõn E thỡ [H(K)] ti¾m c¾n chuan Đe chúng minh đ%nh lý ta sú dung bo đe sau Bo đe 3.3.1 Neu E khơng gian Frechet - Hilbert ti¾m c¾n chuan thỡ ton tai mđt chs so I v mđt khơng gian Frechet hach ti¾m c¾n chuan F cho E không gian cúa A2 (I)⊗ˆ F π ChNng minh Theo bo đe 5.4 [14], ta thay rang ton tai m®t khơng gian Kothe hach λ(B) vói chuan liên tuc cho (E, λ(B)) ∈ 1(S∗) bói mắnh e 3.2 [13], ta xõy dnng oc mđt dãy khóp ngan → λ(B) → λ(A) → ω → Trưòng hop E m®t khơng gian Hilbert bo đe tam thưòng Khi E chí m®t khơng gian Frechet, tù bo đe 3.3 [15] ta suy rang (E, λ(B)) ∈ , ta chon mđt so I cho moi khơng gian (S∗)0 Hilbert Ek cau vói m®t khơng gian cna A2(I) Ta đong nhat tích tenxơ A2 (I)⊕ˆ λ(B) vói khơng gian cna tat cá y = (yj ) cho vói moi (yj ) π∈ A 2(I) k ∈ N ta có ||y||k = sup ||yj||2bj,k < +∞, j Trong || ||2 ký hi¾u chuan cna A 2(I) Tiep tuc chúng tó đieu ki¾n (E, λ(B)) ∈ ∈ (S1) Th¾t kéo theo đieu ki¾n E, A2 (I)⊕ˆ λ(B) ∗ (S )0 π v¾y, thay y = fj vào đieu ki¾n (S1∗) , vói fj véc tơ đơn v% thú j ∗ không gian [λ(B)] , ta thu đưoc ||x||m bj,k Tù ta suy S ||x||n bj, + 1 1 bj,k n 0 Vm ⊂ S bj, K (3.3) R bj,µ K ™ ||x||n0 V + R bj,µ V n0 (3.4) Vm hình cau đơn v% Em Ta giá sú rang Fk = x = (x1, x2, ) : ||x||k = sup ||xj||2bj,k < +∞ j Em không gian Hilbert sinh bói || ||m Khi m®t ánh xa B ∈ (Em, Fk) có the viet dưói dang Bx = (Bx1, Bx2, )vói Bj ∈ V , j “ bj, m k Ngưoc lai, vói moi Bj xác đ%nh cho ta m®t ánh xa Bx = (Bx1, Bx2, ) hình cau đơn v% B (Em, Fk) cna L (Em, Fk) Áp dung (3.4) ta nh¾n đưoc Bj ⊂ S b j, K Vn + b 1 R j, µ V n0 , B (Em, Fk) ⊂ SB (En, Fk) + B (Bn0 , Fµ) R Đieu có nghĩa ∈ (S1) E, A2 (I)⊕ˆ λ(B) π Lay tích tensor vói A (I) ta nh¾n đưoc dãy khóp → A2 (I)⊗ˆ λ(B) → A2 (I)⊗ˆ λ(A) → A (N ) π N → π Tù m¾nh đe 2.1 [15] ta suy Ext E, A2 (I)⊗ˆ π = λ(B) N Tù suy rang phép nhung tn nhiên T : E → A2(I) có the nâng tói m®t tốn tú tuyen tính liên tuc Tˆ : E → A2 (I)⊗ˆ λ(A) Do T đơn ánh có ánh đóng ChNng minh đ%nh lý 3.3.1 π Q Ta chon so I v mđt khụng gian Frechet hach tiắm cắn chuan F cho E l mđt khụng gian cna A2 (I)⊗ˆ F Tù A2 (I)⊗ˆ F i) cú mđt hắ c bỏn cỏc nỳa chuan Hilbert, bang cách áp dung khai trien Taylor cna moi phan tú H(K) tai ∈ K ta thay rang moi t¾p b% ch¾n H(K) ánh cna mđt b% chắn trong H (e(K)) dúi ỏnh xa han che Trong e : E → A2 (I)⊗ˆ F ánh xa nhúng tac ∗ ∗ π Đieu suy rang [H(K)] khơng gian cna [H(e(K))] Do đó, ∗ đ%nh lý đưoc chúng minh neu ta chúng tó đưoc rang [H(e(K))] tiắm cắn chuan ii) Cho{|| "|k}k1 l mđt hắ c bán núa chuan cna F thoá mãn 2|| ||k ™ || ||k+1 vói k “ Do F ti¾m c¾n chuan nên ta có (AS) ∃p ∀q ∃k :|| · ||p ∼ || · ||q Uk || ||p ∼ || ||q é đây, ta viet neu tơ pơ sinh bói || ||p || ||q tương đương iii) Chúng ta kiem tra rang vói p, q k (AS) πn ∼ πn W n k p q vói n “ Trong hình cau đơn v% Wn k ⊗ˆ A (I)⊗ˆ F A2 (I)⊗ˆ F ⊗ π s cna núa chuan πn k ˆ π ¸¸ π π x cám sinh bói || "|k Đe van đe đưoc đơn gián, ta chí can xét n = Cho {fm} ⊂ Wk vói π2 p (fm) → m → ∞ Bói A2 (I)⊗ˆ F A2 (I)⊗ˆ F ∼= A2 (I)⊗ˆ A2 (I)⊗ˆ F F ⊗ˆ ⊗ˆ π π π ∼= L π π π F , A (I)⊗ˆ A (I)⊗ˆ F ∗ 2 π π ta thay dãy {fm} có the xem m®t dãy ∗ 2 ,f m, ⊂ L F , A (I)⊗ˆ A (I)⊗ˆ F ˆ π π thoá mãn sup , ω ◦ fˆm (u) : u ∈ U 0, ω ∈ (V ⊗ V ⊗ Uk ) k , m “ 1, ™ 0 π fˆm = sup , ω ◦ fˆm (u) : u ∈ U , ω ∈ (V ⊗ V ⊗ Up ) , → p k m → ∞ Trong V hình cau đơn v% cna A2(I) Giá sú rang πp2 fˆm ƒ→ m → ∞, moi m “ ton tai ωm ∈ (V ⊗ V ⊗ Uq) cho sup , ωm ◦ fˆm (u) : u ∈ U , “ ε vói ε > q Đieu mâu thuan, ,ωm ◦ fˆm , ⊂ U ωm ◦ fˆm m → ∞ k → p Đieu lai ta chúng tó rang vói p, q k (AS) ta có || ||∗ ∼ || ||∗ Wk Trong iv) p q ||µ||∗k = sup {|µ (f )| : f ∈ H∞ (e (K) + conv (V ⊗ V ⊗ Uq)) , ||f ||k ™ 1} vói µ ∈ [H (e(K))] ∗ * Wk = ,µ ∈ [H (e(K))] : ||µ||k ™ 1, Giá sú rang {µj} ⊂ Wk vói ||µj||∗ p → j → ∞ Chon δk > cho e(K) + conv (V ⊗ V ⊗ Uk) ⊂ δk (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq)) Viet khai trien Taylor cna moi f ∈ H ∞ (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq)) dưói dang ¸ f (λω) f (ω) = Pnf (ω), Pnf λn+1 (2πi) dλ |λ| n (ω) = =1 n“0 Ta suy rang vói moi ε > ton tai N cho Pn j f < ε, µ n> N vói j “ f ∈ H ∞ (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq)) , ||f ||q ™ Sú dung (iii) ta suy rang vói j đn lón ta có Pn j f µ < ε; vói moi ||f ||q ™ n> N Do vói j đn lón ta có vói |µj (f )| < 2ε, f ∈ H ∞ (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq)) "|f||q ™ Tù suy rang ||µj||∗ → j → ∞ q KET LU¾N Lu¾n văn giái quyet nhung van đe dưói Chương Trình bày khái ni¾m ve không gian loi đ%a phương, đoi ngau tô pô yeu, tơ pơ pơla, tích tensor, ánh xa hình, tơ pơ khơng gian ánh xa hình, khơng gian mam hàm hình Chương Chúng tơi giói thi¾u ve bat bien tơ pơ tuyen tính (DN ) khơng gian Frechet m®t so đieu ki¾n tương đương ví du ve khơng gian Frechet có tính chat (DN ) Hai ket q ó khơng gian ∗ [H (OE )] có tính chat (DN ) neu E khơng gian Frechet có só tut đoi tính chat (DN ); Đe khơng gian [H(K)]∗ có tính chat (DN ) K t¾p compact Cn cho K = Kˆ U , Kˆ U bao hình cna K mđt lõn cắn Stein U no ú cna K Chương Chúng tơi trình bày khái ni¾m ve bat bien tơ pơ tuyen tính (DNϕ) khơng gian Frechet Hai ket q chương đe khơng gian [H(OE )]∗ có tính chat (DNϕ) E mđt khụng gian Frechet tiắm cắn chuan cú c sú tuy¾t đoi; đoi vói đoi ngau cna khơng gian mam cna hàm hình [H(K)]∗ có tính chat (DNϕ) K phái t¾p compact cân khơng gian Frechet Hilbert ti¾m c¾n chuan Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] N V Khuê - L M Hái, Cơ só lý thuyet hàm giái tích hàm t¾p II, Nhà xuat bán giáo duc, 2001 [B] Tài li¾u tieng Anh [2] A Aytuna, On Stein manifolds M for which O(M ) is isomorphic to O(∆n) as Frechet spaces, Manucrpta Math 62 (1988) 297 – 315 [3] P T Danh and N V Khue, Structure of spaces of germs of holomorphic functions, Publ Mat Vol 41 (1997), 467-480 [4] S Dineen, Holomorphic functions on (Co, Xb)- Modules, Math Annalen, 196 (1972), 106-116 [5] S Dineen, Complex Analysis in locally Convex Spaces, Mathematics Studies, North – Holland, (1981) [6] N V Dong, Proper holomorphic surjections and the properties Ω, Ω˜ of spacse of germs of holomorphic functions, Publications of CFCA (1997), 31-38 ∞ [7] L M Hai and P H Bang, On the property ˜ ¯ (LB ) of germs of holomorphic functions and the properties Ω, Ω of the Hartogs do- mains in infinite dimensions, Acta mathematica Vietnamica, Volume 25, Number 1, 2000, pp 33–47 64 65 [8] L M Hai and N V Khue, Some characterirations of the Properties (DN ) and Ω˜ , Math Scand 87 (2000), 240 - 250 [9] R Meise and D Vogt, Struceture of spaces of germs of holomorphic functions on infinite dimensional polydiscs, Studia Math 75 (1983) 235-252 [10] J Mujica, Spaces of germs of holomorphic functions, studies in analysis Advances in Mathematics, Sup Studies (1979) 1-14 [11] R A Ryan, Holomorphic mappings on A1 , Transaction of the American Mathematical Society 320 (2) (1987) 797 – 811 [12] H H Schaefer , Topological Vector Spaces, Springer- Verlag, Berlin and NewYork, 1971 [13] T Terzioglu and D Vogt, On asymptotically normable Frechet spaces, Note di Matematica Vol 11 (1991), 289 - 296 [14] D Vogt, Some results on continuous linear maps between Frechet spaces, in Funtional Analysis: Surveys and Recent Results, K D Bierstedt, B Fuchssteiner (Eds), North - Holland Math Studies 90 (1984) 349-381 [15] D Vogt, On the functor Ext1(E, F ) for Frechet spaces, Studia Math 85 (1987) 163-197 [16] V P Zaharjuta, Isomorphism of spaces of analytic funtions, Sov Math Dokl 22 (1980) 631 – 634 (Russian) [C] Tài li¾u tieng Pháp [17] Ph Noverraz, Psuedo convexité, convexité polynomiale et domains d’holomorphie en dimension infinie, North-Holland Publ., Amsterdam, 1973 ... thúc không gian loi đ%a phương 18 1.6 Ánh xa hình 24 1.7 Tô pơ khơng gian ánh xa hình 28 1.8 khơng gian mam hàm hình 30 CAU TRÚC (DN) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHÔNG GIAN ¯¯¯ MAM CÁC HÀM... 2.3.2 Không gian dãy giám nhanh 46 2.3.3 Không gian chuoi lũy thùa 46 ∗ 2.4 Cau trúc (DN) cna không gian [H(OE )] 47 ¯¯¯ ∗ 2.5 Cau trúc (DN) cna không gian [H(K)] 51 ¯¯¯ CAU TRÚC... CÚA ĐOI NGAU CÚA KHƠNG GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH 55 3.1 M®t so khái ni¾m ví du 55 ∗ 3.2 Cau trúc (DNϕ) cna không gian [H(OE )] .56 ∗ 3.3 Cau trúc (DNϕ) cna không gian [H(K)] 57 KET