Đối ngẫu mạnh trong bài toán qui hoạch toàn phương không lồi

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I Nghiêm Th% Phưang ĐOI NGAU MANH TRONG BÀI TỐN QUI HOACH TỒN PHƯƠNG KHƠNG LOI LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i – Năm 2016 NGHIÊM TH± PHƯeNG ĐOI NGAU MANH TRONG BÀI TOÁN QUI HOACH TỒN PHƯƠNG KHƠNG LOI Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS TA DUY PHƯeNG Lài cám ơn Trưóc trình bày n®i dung cna bán lu¾n văn thac sĩ chun ngành, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS TS Ta Duy Phưong t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành đe tài Em xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn, Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i day báo em t¾n tình suot q trình hoc t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, đ®ng viên, giúp đõ em suot trình hoc t¾p thnc hi¾n đe tài thnc t¾p Hà N®i, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giá Nghiêm Th% Phưang i Lài cam đoan Tôi xin cam đoan rang so li¾u ket q trình bày khóa lu¾n trung thnc khơng trùng l¾p vói lu¾n văn khác Tơi xin cam đoan rang moi sn giúp đõ cho vi¾c thnc hi¾n khóa lu¾n đưoc cám ơn thơng tin thu trích dan khóa lu¾n đưoc chí rõ nguon goc Hà N®i, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giá Nghiêm Th% Phưang ii Mnc lnc Má đau ii Danh mnc kí hi¾u chĐ viet tat iv Sơ lưac ve lý thuyet đoi ngau 1.1 M®t so đ%nh nghĩa 1.2 M®t so mó r®ng cna đ%nh lý minimax co đien 1.2.1 Đ%nh lý Sion 1.2.2 M®t so mó r®ng cna đ%nh lý minimax co đien 1.3 Đ%nh lý minimax h¾ 1.4 Đ%nh lý minimax cho hàm toàn phương 16 Bài tốn toi ưu hàm tồn phương khơng loi 22 2.1 Toi ưu hàm tồn phương vói m®t han che tồn phương 22 2.2 Toi ưu hàm tồn phương vói nhieu han che tồn phương 34 2.2.1 Toi ưu hàm tồn phương vói hai han che tồn phương 34 2.2.2 Toi ưu hàm tồn phương vói nhieu han che toàn phương 42 Tài li¾u tham kháo 58 i Má đau Lý chon đe tài Lý thuyet đoi ngau đóng vai trò quan trong nghiên cúu tốn toi ưu Có the xây dnng lý thuyet đoi ngau dna đ%nh lý minimax Bài tốn toi ưu hàm tồn phương m®t bưóc phát trien tiep theo cna toán toi ưu tuyen tính Bài báo [7] nghiên cúu chi tiet tốn toi ưu tồn phương khơng loi vói han che tồn phương, tác giá chúng minh đ%nh lý ve đoi ngau manh tốn quy hoach tồn phương (khơng loi) áp dung đe nghiên cúu nhieu van đe cna toán toi ưu hàm toàn phương Các ket cna báo liên quan soi sáng nhieu ket cna tốn toi ưu hàm tồn phương Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna Lu¾n văn trình bày ket ve đoi ngau manh áp dung tốn qui hoach tồn phương khơng loi ii nghiêm thi phưeng Lu¾n văn thac sĩ Tốn hoc Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu trình bày ket ve đoi ngau manh áp dung tốn qui hoach tồn phương khơng loi Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Các tốn toi ưu hàm tồn phương Pham vi nghiên cúu: Các ket ve đoi ngau manh áp dung tốn qui hoach tồn phương không loi Phương pháp nghiên cNu Tong hop, phân tích, h¾ thong kien thúc tài li¾u ve đoi ngau manh áp dung tốn qui hoach tồn phương khơng loi Đóng góp cỳa luắn Luắn trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve đoi ngau manh áp dung tốn qui hoach tồn phương khơng loi Danh mnc kí hi¾u chĐ viet tat R t¾p so thnc Rn khơng gian Euclid n chieu ∅ t¾p rong xM x thuđc M x / M x khụng thuđc M x M vúi moi x thuđc M x ton tai x |I| so phan tú cna t¾p I [x1, x2] đoan thang noi hai điem x1 x2 "x" chuan cna x |x| giá tr% tuy¾t đoi cna x CT (a, x) ma tr¾n chuyen v% cna ma tr¾n C tích vơ hưóng cna hai véc tơ a x Chương Sơ lưac ve lý thuyet đoi ngau 1.1 M®t so đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.1.1 T¾p C ⊂ Rn đưoc goi t¾p loi neu tx1 + (1 − t) x2 ∈ C vói moi x1, x2 ∈ C, moi t ∈ [0; 1] Đ%nh nghĩa 1.1.2 Hàm f : C → R xác đ%nh t¾p loi C ⊂ Rn Hàm f đưoc goi hàm loi C, neu vói moi x1, x2 ∈ C, moi t ∈ [0; 1] ta có f tx1 + (1 − t) x2 ≤ tf x1 + (1 − t) f x2 Hàm f đưoc goi loi ch¾t C, neu vói moi x1, x2 ∈ C, moi t ∈ [0; 1] ta có 2 f tx + (1 − t) x < tf x + (1 − t) f x Hàm f đưoc goi hàm tna loi C, neu vói moi x1, x2 ∈ C, moi t ∈ [0; 1] ta có f tx1 + (1 − t) x2 ≤ max f x1 , f x2 nghiêm thi phưeng Lu¾n văn thac sĩ Tốn hoc Hàm f goi hàm lõm C neu −f hàm loi C Hàm f đưoc goi hàm tna lõm C, neu vói moi x1, x2 ∈ C, moi t ∈ [0; 1] ta có f tx1 + (1 − t) x2 ≥ f x1 , f x2 Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho X không gian tôpô f :X→R Hàm f đưoc goi núa liên tnc dưói (l.s.c) tai x0 neu moi so thnc α ∈ R mà f (x0) > α ton tai lân c¾n mó U cna x0 X cho f (x) > α vói moi x ∈ U Hàm f đưoc goi núa liên tnc (u.s.c) tai x0 neu moi so thnc α ∈ R mà f (x0) < α ton tai lân c¾n mó V cna x0 X cho f (x) 0, giá sú x cnc tieu đ%a phương cna L (x, y) R2 Neu xi > 0, i = 1, 2, x cnc tieu toàn cuc Ngoài ra, {x1, x2} = 0, chang han x1 = Khi x2 cnc tieu đ%a phương cna y (x2 − 1) t¾p hop x ∈ R2 x1 = , x2 = + 0, nghĩa x = (0, 0) Do đó, đieu ki¾n (i) Đ%nh lý 22.2.5 thóa mãn Vì 2 2 L (x, 1) = x1x2 + x + x − = 0.5(x1 + x2) +0.5 x + x −1 → +∞ 2 x ∈ R+2 , "x" → +∞, đieu ki¾n (ii) đ%nh lý đưoc thóa mãn vói y∗ = Do đó, theo đ%nh lý x1 x2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x + x ≤ = in x 1x2 + y x + x2 − f sup 2 2 y∈R+ x∈R+ đieu có the kiem tra trnc tiep tù thúc x1 x2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x2 + x2 ≤ = su p in f x1x2 + y x2 + x2 − = 0, 2 y∈R+ x∈R+ c¾n đat đưoc tai y = Ví dn 2.2.4 (Example 4,[7]) Xét toán {f (x) := −x1 − x2 } x∈R2 vói han che x2 ≤ 2x4 −8x3 +8x2 +2, x2 ≤ 4x4 −32x3 +88x2 −96x1 +36, 1 1 1 ≤ x1 ≤ 3, ≤ x2 ≤ Ta đưa vào thêm bien x3 = x2 ta viet lai ràng bu®c đa thúc nhieu bien sau −2x2 + 8x1x3 − 8x3 − x2 − ≤ 0, −4x2 + 32x1x3 − 88x3 + 96x1 − x2 − 36 ≤ 0, x − 3x1 ≤ 0, x2 − 4x2 ≤ 0, (2.43) x − x3 = (2.44) Vì x23 khơng có h¾ so dương (2.44)-(2.45) nên hàm Lagrange tương úng L (x, y) khơng the dương ng¾t vói moi y ∈ R5 + Bây giò ta thay the ràng bu®c (2.45) cuoi bói x2 + 0.11x3 − x3 ≤ Có the thay rang hàm Lagrange L (x, y) loi ng¾t vói y ∈ R5 (2.45) + Nói cách khác, thay (2.42) ta xét toán biên {−x1 − x2| (2.43) , (2.45)} (2.46) x∈R3 Có the kiem tra rang max L (x, y) đat đưoc tai y = (0, 0, 0, 0.5, T 0.6632) x∈R3 y∈R+ vói L (., y) loi ng¾t, theo Đ%nh lý 2.2.3 ta có đoi ngau manh Th¾t T x = (0.7539, 2.0001, 2.2727) = arg L (x, y) x∈R3 L (x, y) = max L (x, y) = −5.5076 x∈R3 y∈R+ Ví dn 2.2.5 (Example 5, [7]) Xét tốn cnc tieu hàm tồn phương lõm vói ràng bu®c tuyen tính sau đây: , −50"x" x∈R10 + c x Ax ≤ b, xi ∈ [0, 1] , i = 1, 2, , , 10 T  −6 −1 −2 A=  6   −5  −3 −3 −2 −6 −2 −2  −3  −3    −8 −9    −3 −9 −8 −9 −9   −5   9 5 −8 −4 −5 −9 −7 −1 (2.47)  −2 T c = (48, 42, 48, 45, 44, 41, 47, 42, 45, 46) , b = (−4, 22, −3, T −23, −12) Đây biên cna toán 2.6 [2] bang cách thay the b3 = −6 tốn 2.6 [8] bói b3 = −3 Han che ≤ xi ≤ 1, i = 1, , 10,, có the viet thành 10 ràng bu®c tồn phương x2 − xi ≤ 0, i = 1, , 10,, v¾y ta có tong c®ng 15 ràng bu®ci (2.48) Giái SDP, có the kiem tra rang max y∈R15 inf10 L (x, y) đat đưoc tai y cho + x∈R T L (x, y) loi ng¾t đat cnc tieu tai x = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1) , mà điem chap nh¾n đưoc cna (2.48) Giá tr% toi ưu −47 đoi ngau manh đat đưoc theo Đ%nh lý 2.2.3 Bo đe 2.2.2 (Lemma 5, [7]) Ma trắn R Rdìd vúi hắ so đưòng chéo rii > h¾ so ngồi đưòng chéo rij ≤ 0, i ƒ= j Giá thiet rang có y > cho RT y > (2.48) Khi ma tr¾n ngh%ch đáo R− dương, nghĩa có tat cá phan tú đeu dương Chúng minh Đ%nh nghĩa ma tr¾n đưòng chéo dương D := diag[rii]i=1,2, ,d ma tr¾n khơng âm G = D − R, hay R = D − G Khi đó, (2.48) có nghĩa σ := Dy − GT y > < D−1GT y = y − D−1σ < y Khơng mat tính tong qt, ta có the giá thiet rij ≤ 0, ay ma tr¾n GD−1 bat qui Giá sú λmax [.] giá tr% riêng lón nhat cna ma tr¾n.Hien nhiên D−1 GT không âm, theo Đ%nh lý Perron - Frobenius −1 T D G y i λmax GD−1 = λmax D−1GT = max y>0 i=1,2, ,d yi D−1GT y i ≤ max < yi i=1,2, ,d Cũng theo Đ%nh lí Perron - Frobenius, ma−1 tr¾n I − GD−1 ngh %ch ma tr¾n ngh%ch đáo I − GD−1 dương Khi đó, rõ ràng −1 R−1 = D−1 I − GD−1 dương Bài toán tồn phương khơng loi xuat hi¾n tù tốn sau đây: d xj Rijxj + σi ≤ 0, i = 1, 2, i Riixi + "x " i : ,−x d, mi n xi∈RNi,i=1,2, , d T jƒ=i (2.49) < σi, ≤ Rij ∈ RNi×Ni, i, j = 1, 2, , d (2.50) T i=1 vói xi vectơ RNi , Rij l ma trắn nỳa xỏc %nh dng Ni ì Ni chieu Đ%nh lý 2.2.6 (Theorem 9, [2]) Tù toán (2.50) ta có đoi ngau 88 Lagrange, nghĩa sup L (x, y) = max d + L (x, y) = xT (2.51) y∈R+ xi∈RNi,i=1,2, ,d xi∈RNi,i=1,2, ,d y∈R d d L (x, y) , mi n I + i yj Rji − yiRii i=1 d xi + σiyi i=1 jƒ=i Chúng minh Đ¾t d η := sup Ni ,i=1,2, , y∈Rd xi∈R  i   xT I + yj Rji − yiRii xi + d + d  σ iy i , i=1 jƒ=i i=1 Nghĩa  d η = sup  σiyi I + y∈R+d  i=1 jƒ=i  yj Rji − yiRii ≥ 0, i = 1, 2, , d ,(2.52)  v¾y tai nghi¾m toi ưu y ∈ Rd+ cna (2.52), hàm L (x, y) loi x = (x1, , xd) ∈ RN1 × × RNd Đe chúng minh (2.52) ta chí can chúng tó đieu ki¾n (*) cna Bo đe 2.1 d (x1, , xd) ∈ a.r.g thóa mãn, nghĩa ton tai y ∈ R+ xi∈RNi,i=1, , d cho (x1, , xd) thóa mãn (2.50) nua   L (x, y) yi xT Riixi − i xT Rijxj − σi = 0, i = 1, 2, , d (2.53) j jƒ=i Chú ý rang nghi¾m toi ưu y ∈ Rd+ cna (2.53) phái thóa mãn I+ jƒ=i yj Rji − yiRii ≤ 0, i = 1, 2, , d (2.54) Thnc v¾y, neu vói i đó, I + yj Rji − yiRii > jƒ=i Khi ta có the lay ˜ yi > yi cho I + y¯j Rji − y¯i Rii ≥ jƒ=i Đ¾t i   y j ƒ= y R + nghi¾m chap nh¾n đưoc cna (2.53) j ˜∈d y= yi j = ˜ i thóa mãn (2.53)  ˜ d d σyi ˜ , y khơng the nghi¾m toi ưu σ iy i < cna i= i=1 i Vì v¾y, tai điem toi ưu cna moi ma tr¾n I + y¯j Rji − y¯iRii xi ∈ RNi , "˜ " = 1, jƒ=i phái suy bien Do yi > 0, i = 1, 2, , d ton tai ˜ xi i = 1, 2, , d cho  T x ˜i I + y¯iRii ˜  y¯j Rji − x = 0, i = 1, 2, , d, (2.55) i j=ƒ i xT xi rij := ho¾c dưói đ%nh nghĩa R = [rij ]i,j=1,2, ,d vói rii := ˜i Rii ˜ xT xj , i ƒ= j, −˜j Rij ˜ T RT y = (1, 1, , 1) > Theo Bo đe 2.2, R−1 dương p = R−1σ > 0, mà nghi¾m cna h¾ phương trình tuyen tính T T x x p = σi, i = 1, 2, , d i − j x Rijxj (2.56) jƒ ˜j ˜ pi ˜i Rii =i ˜ Vói p đó, rõ ràng rang xi := nh¾n √ pi x ˜ , i = 1, 2, , d chap i đưoc cna (2.50) thóa mãn (2.52), v¾y (2.54) đưoc chúng minh hồn tồn Ket lu¾n chung Dna theo [7], Lu¾n văn trình bày đe tài "Đoi ngau manh toán qui hoach tồn phương khơng loi", bao gom n®i dung sau: -Đ%nh lý minimax h¾ -Toi ưu hàm tồn phương vói m®t han che tồn phương -Toi ưu hàm tồn phương vói nhieu han che tồn phương Đe tài van nhieu van đe chưa đưoc giái quyet mong đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc lĩnh vnc toi ưu the giói, ú cú Viắt Nam H Nđi, ngy 10 thỏng 11 năm 2016 94 Tài li¾u tham kháo [1] Ekeland, I., Temam, R., Convex Analysic and Variational Problems American Elsevier, North-Holtand (1976) [2] Floudas, C., Pardalos, P, A collection of test problems for constrained global optimization algorithms Lecture Notes in Comput Sci, vol 455, Spring (1990) [3] H Konig, A general minimax theorem based on connectedness, Arch Math, 59 (1992), 55-64 [4] H Konig, Addendum, A general minimax theorem based on connectedness, Arch Math, 64 (1995), 139-143 [5] Hoàng Tuy (2012), Topologocal Minimax Theorems: Old and New, 391-405 [6] H Tuy, On a general minimax theorem, Dokl Akad Nauk SSSR 219 (1974), No 4( in Russian), English translation: Soviet Math Dokl 15 (1974), 1689-1693 [7] H Tuy, H D Tuan (2013), Generalized S-Lemma and strong duality in nonconvex quadratic programming, J.Glob Optim., 56, 10451072 95 nghiêm thi phưeng Lu¾n văn thac sĩ Toán hoc [8] M A Geraghty and B.-L Lin, Topological minimax theorems, Proc Amer Math Soc, 91 (1984), 337-380 [9] Sion, M., On general minimax theorems Pacific J Math (1958), 171-176 96 ... minimax cho hàm toàn phương 16 Bài tốn toi ưu hàm tồn phương khơng loi 22 2.1 Toi ưu hàm tồn phương vói m®t han che tồn phương 22 2.2 Toi ưu hàm tồn phương vói nhieu han che tồn phương 34 2.2.1...NGHIÊM TH± PHƯeNG ĐOI NGAU MANH TRONG BÀI TOÁN QUI HOACH TỒN PHƯƠNG KHƠNG LOI Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS... phương vói hai han che tồn phương 34 2.2.2 Toi ưu hàm tồn phương vói nhieu han che toàn phương 42 Tài li¾u tham kháo 58 i Má đau Lý chon đe tài Lý thuyet đoi ngau đóng vai trò quan trong