Về đối ngẫu Lagrange của bài toán tối ưu lồi có ràng buộc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN LỆ THUỶ VỀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI CÓ RÀNG BUỘC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN LỆ THUỶ VỀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI CÓ RÀNG BUỘC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Đỗ Văn Lƣu THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i MỤC LỤC Trang MỤC LỤC i MỞ ĐẦU Chƣơng ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÀ ÁP DỤNG CHO QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH 1.1 HÀM LIÊN HỢP 1.1.1.CÁC PHÉP TOÁN VỀ HÀM LỒI 1.1.2 HÀM LIÊN HỢP 1.2 ĐẶC TRƢNG CỦA TÍNH ĐỐI NGẪU MẠNH 14 1.2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 14 1.2.2 ĐẶC TRƯNG HÀM TỰA CỦA TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC 19 1.2.3 ĐẶC TRƯNG CỦA SỰ SAI KHÁC ĐỐI NGẪU ỔN ĐỊNH 21 1.3 QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH LỒI 31 Chƣơng ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪULAGRANGE 40 2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM 40 2.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪU MẠNH 43 2.3 ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỐI NGẪU MIN – MAX 50 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Lí thuyết đối ngẫu phận quan trọng lí thuyết tối ưu hoá Người ta thường nghiên cứu đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe đối ngẫu Mond-Weir với định lí đối ngẫu yếu, mạnh, ngược Sự sai khác đối ngẫu vấn đề quan trọng lí thuyết đối ngẫu Trong toán quy hoạch sai khác đối ngẫu có nghĩa giá trị toán gốc toán đối ngẫu Khi giá trị toán đối ngẫu đạt tính chất sai khác đối ngẫu trở thành tính đối ngẫu mạnh Nhiều nghiên cứu đối ngẫu Lagrange đưa điều kiện quy đảm bảo tính chất sai khác đối ngẫu Jeyakumar [6] nghiên cứu điều kiện cần đủ cho đối ngẫu mạnh đối ngẫu min-max cho toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón ràng buộc tập Jeyakumar-Li [8] thiết lập điều kiện cần đủ cho sai khác đối ngẫu ổn định cho toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón áp dụng cho toán quy hoạch bán xác định lồi Lí thuyết đối ngẫu Lagrange nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính chọn đề tài: '' Về đối ngẫu Lagrange toán tối ưu lồi có ràng buộc '' Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 2.Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1.Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày định lí đối ngẫu Lagrange cho toán tối ưu lồi có ràng buộc nón, bao gồm: Các điều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn kiện quy đặc trưng cho đối ngẫu Lagrange mạnh đối ngẫu min-max Jeyakumar [6] cho toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón ràng buộc tập, điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu ổn định Jeyakumar-Li [8] cho toán tối ưu lồi với ràng buộc nón với áp dụng cho toán quy hoạch bán xác định lồi 2.2.Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Đọc, dịch tài liệu từ hai báo tiếng Anh Jeyakumar Jeyakumar-Li - Sử dụng kết hai báo để viết luận văn 3.Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi kiến thức lí thuyết tối ưu 4.Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI VÀ ÁP DỤNG CHO QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH Trình bày định lí đối ngẫu Lagrange Jeyakumar-Li [8] điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu ổn định toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón áp dụng cho toán quy hoạch bán xác định lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE Trình bày định lí đối ngẫu Lagrange Jeyakumar [6] điều kiện quy đặc trưng cho đối ngẫu mạnh đối ngẫu min-max toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón ràng buộc tập Nhân dịp xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS-TS Đỗ Văn Lưu, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ hoàn thành khoá học Tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo tỉnh Yên Bái, trường THPT Lê Quý Đôn, gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K18 quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2012 Nguyễn Lệ Thuỷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng I ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÀ ÁP DỤNG CHO QUI HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH Chương I trình bày định lí đối ngẫu Lagrange Jeyakumar-Li [8] (2009), điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu ổn định toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón, với áp dụng cho toán quy hoạch bán xác định lồi 1.1.HÀM LIÊN HỢP Một số kiến thức giải tích lồi trình bày mục cần thiết cho nội dung luận văn 1.1.1 CÁC PHÉP TOÁN VỀ HÀM LỒI Giả sử X không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D  X, f : D     Nhắc lại: Trên đồ thị (epigraph) hàm f định nghĩa sau: epi f   x, r   D   : f  x   r  Miền hữu hiệu (effective domain) f xác định sau: domf  x  D : f  x    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm f gọi lồi D epif tập lồi X   Hàm f gọi lõm D - f lồi D Chú ý f lồi domf lồi Hàm f gọi thường (proper) domf   f  x   ,  x  D  Định lý 1.1.1[1] Giả sử f1, , f m hàm lồi thường X Khi đó, tổng f1   f m hàm lồi Định lý 1.1.2 Giả sử F tập lồi X   f  x   inf  :  x,    F  (1.1.1) Khi đó, f hàm lồi X Chú ý: Ta qui ước infinum tập  (các số thực)  Chứng minh     r, x ,    F Nếu f  x1   r , từ (1.1.1) suy ra:  1     s, x ,    F Suy ra: Nếu f  x2   s ,  2   x  1    x ,   1       F Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (0< 