Hiệu suất của thuật toán xấp xỉ đối với một số bài toán tối ưu trên đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HỒNG HẠNH HIỆU SUẤT CỦA THUẬT TOÁN XẤP XỈ ĐỐI VỚI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HỒNG HẠNH HIỆU SUẤT CỦA THUẬT TOÁN XẤP XỈ ĐỐI VỚI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĨNH ĐỨC HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Để hồn thành luận văn này, tơi nhận nhiều động viên, giúp đỡ cá nhân tập thể Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Vĩnh Đức Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cảm ơn thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn thầy giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Hạnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Hiệu suất thuật toán xấp xỉ số toán tối ưu đồ thị” hồn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Hạnh DANH MỤC KÍ HIỆU n k Tổ hợp chập k n Pr (A) Xác suất để có A |A| Lực lượng tập A log n Lôgarit số n x Số nguyên lớn không vượt x x Số nguyên bé không nhỏ x η low (G) Số đỉnh bậc thấp đồ thị G η high (G) Số đỉnh bậc cao đồ thị G ηUh.ex (G) Số đỉnh bậc ngoại vi cao tương quan đến tập U ⊂ V đồ thị G = (V, E) ηUh.in.ex (G) Số đỉnh bậc nội vi ngoại vi cao tương quan đến tập U ⊂ V đồ thị G = (V, E) degG (v) Bậc đỉnh u đồ thị G degex G,U (u) Bậc ngoại vi đỉnh u, u ∈ U, tương quan đến tập U ⊂ V đồ thị G = (V, E) µk (G) Số ghép cặp cực đại với k cạnh G ξk (G) Số tập khống chế gồm k đỉnh G ζV1 ,V2 (G) Giá trị (V1 , V2 )-cắt đồ thị G Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm đồ thị 1.2 Hiệu suất thuật toán xấp xỉ Bài toán đường dài 2.1 Thuật toán tham lam toán LPATH 10 2.2 Hiệu suất thuật toán tham lam GrLPATH 15 Bài toán ghép cặp 3.1 17 Thuật toán tham lam toán MIN-MAXL-MATCH 3.2 Hiệu suất thuật toán tham lam GrM Bài toán tập khống chế 18 23 25 4.1 Định nghĩa 25 4.2 Thuật toán tham lam toán MIN-CDS 29 4.2.1 29 Thuật toán MIN-CDS 4.2.2 4.3 Phân tích thuật tốn Hiệu suất thuật toán tham lam GrCDS Bài toán MAX-CUT 31 37 39 5.1 Giá trị nhát cắt 40 5.2 Hiệu suất thuật toán giải toán MAX-CUT 44 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Mở đầu Các tốn tối ưu có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế quy hoạch tuyến tính, tốn học, logic Khi nghiên cứu toán tối ưu, ta mong muốn tìm nghiệm tối ưu thời gian đa thức Tuy nhiên, nhiều toán tối ưu quan trọng thuộc lớp NP-khó Đối với tốn này, ta khơng hi vọng có thuật tốn tìm nghiệm tối ưu thời gian đa thức, P = NP Vì vậy, mục tiêu đưa tìm nghiệm gần tối ưu tốt thời gian đa thức Để đạt điều này, người ta thường sử dụng thuật toán xấp xỉ Để đánh giá hiệu suất thuật toán xấp xỉ, ta thường xem xét hiệu suất trường hợp xấu hầu hết trường hợp Hiệu suất trường hợp xấu hiệu suất trường hợp toán Hiệu suất gọi hiệu suất tuyệt đối Hiệu suất xem xét hầu hết trường hợp cho ta thông tin hiệu suất đảm bảo thuật toán xấp xỉ Hiệu suất gọi hiệu suất hầu chắn thuật toán Hiệu suất hầu chắn thể cách khái quát hiệu thực thuật toán xấp xỉ Luận văn nhằm nghiên cứu thuật toán xấp xỉ số toán tối ưu đồ thị đánh giá hiệu suất chúng Cụ thể, luận văn nhằm: • Tìm hiểu kết thuật toán xấp xỉ số toán tối ưu đồ thị • Nghiên cứu phương pháp đánh giá hiệu suất thuật tốn xấp xỉ • Nghiên cứu hiệu suất tuyệt đối hiệu suất hầu chắn thuật toán xấp xỉ số tốn tối ưu đồ thị Luận văn khơng có kết Đóng góp luận văn tổng hợp số kết gần liên quan đến phân tích hiệu suất thuật tốn xấp xỉ số toán tối ưu đồ thị Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương nhằm nhắc lại số khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau; chương lại trình bày kết liên quan đến phân tích xác suất thuật tốn xấp xỉ cho toán quan trọng đồ thị: Bài toán đường dài Các tài liệu tham khảo chương [1, 6, 10, 11] Bài toán ghép cặp Các tài liệu tham khảo chương [14, 5] Bài toán tập khống chế Các tài liệu tham khảo chương [15, 9, 12] Bài toán MAX-CUT Các tài liệu tham khảo chương [13, 8] Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau 1.1 Một số khái niệm đồ thị Mục nhằm nhắc lại số khái niệm sở lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1 Một đồ thị vô hướng G cặp thứ tự G = (V, E), V tập, E đa tập gồm tập lực lượng V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {u, v} ∈ E đỉnh u, v gọi đầu mút cạnh e hay đỉnh liên thuộc với e Khi đó, hai đỉnh u, v gọi kề hay láng giềng Ta thường kí hiệu cạnh {u, v} ngắn gọn uv Định nghĩa 1.2 Cho v đỉnh đồ thị G Bậc đỉnh v G, kí hiệu degG (v), định nghĩa số cạnh G liên thuộc v, tức số tất láng giềng v G 36 Định lí 4.6 Cho đồ thị G = (V, E) tập U ⊆ V với |U | ≥ n2 , |V | = n Khi n đủ lớn, ta có h.in.ex Pr G ∈ Gn : ηU (G) ≥ ≥ − log log n log n h.in.ex Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho biến ηn,m t với h.in.ex < t < Eηn,m , ta có Pr Chọn t = h.in.ex ηn,m h.in.ex Eηn,m log log n =0 Pr h.in.ex ηn,m − h.in.ex Eηn,m h.in.ex Varηn,m t2 t Theo Bổ đề (4.5), ta Pr h.in.ex ηn,m 2 log log n log n =0 Do đó, Pr ηUh.in.ex (G) =0 log log n log n hay Pr G ∈ Gn : ηUh.in.ex (G) ≥1 ≥1− log log n log n Định lí khẳng định η high (G) ≥ ηUh.ex (G) ≥ Do ηUh.ex (G) ≥ ηUh.in.ex (G) nên ta có hệ sau Hệ 4.7 Cho đồ thị G = (V, E) tập U ⊆ V với n ≤ |U | ≤ n, |V | = n Khi n đủ lớn, ta có (i) Pr G ∈ Gn : η high (G) ≥ ≥ − log log n log n (ii) Pr G ∈ Gn : ηUh.ex (G) ≥ ≥ − log log n log n 2 37 Định lí 4.8 Cho G kiện toán MIN-CDS Khi n đủ lớn Pr (G ∈ Gn : GrCDS (G) (2 log log n)2 log n) > − log n Chứng minh Cho đồ thị G với tập đỉnh V có n phần tử Xét họ tập Fn Ui , i = 1, 2, , cho U1 ⊂ U2 ⊂ · · · ⊂ Ui ⊂ · · · ⊂ V U1 ≥ n2 , |Ui+1 | ≥ |Ui | + Khi n > |Ui | ≥ n − 2i n−|Ui | với i = 1, 2, , họ Fn bao gồm nhiều log n tập Vì thế, Ui Fn thỏa mãn n ≤ |Ui | < n Áp dụng khẳng định (ii) Hệ (4.7) cho Ui với i = 1, 2, , ta h.ex Pr ηU i (G) ≥ ≥ − log log n log n (4.3) Do khẳng định (4.3) khẳng định (i) Hệ (4.7) với trường hợp lúc nên họ Fn có nhiều log n tập con, ta thu Pr η high (G) ≥ 1&ηUh.ex (G) i ≥ 1, ∀Ui ∈ Fn (2 log log n)2 ≥1− log n hay Pr (G ∈ Gn : GrCDS (G) (2 log log n)2 log n) > − log n Từ đó, ta có sở để phân tích hiệu suất thuật toán GrCDS 4.3 Hiệu suất thuật toán tham lam GrCDS Từ kết phân tích thuật tốn GrCDS , ta có định lí sau 38 Định lí 4.9 Khi n đủ lớn log log n Pr G ∈ Gn : RGrCDS (G) < + log n (2 log log n)2 >1− log n Chứng minh Với đồ thị G ∈ Gn , theo Định lí (4.3), ta có γ (G) ≥ log n − log log n Vì vậy, OP TCDS (G) ≥ log n − log log n Mặt khác, áp dụng thuật toán GrCDS G, ta GrCDS (G) log n Do đó, ta có RGrCDS (G) = GrCDS (G) log n log log n ≤ 1− log n Như vậy, với hầu hết đồ thị G = (V, E) toán MIN-CDS, ta có kết sau: (i) Thuật tốn GrCDS tìm tập khống chế liên thông với nhiều log |V | đỉnh (ii) Với hầu hết đồ thị G, RGrCDS (G) < + a.s (iii) RGr = CDS log log |V | log |V | 39 Chương Bài tốn MAX-CUT Chương trình bày số kết liên quan đến phân tích xác suất thuật toán xấp xỉ cho toán MAX-CUT Kết lấy từ tài liệu tham khảo [13] Bài toán MAX-CUT phát biểu sau Bài toán 5.1 Cho đồ thị G = (V, E) với tập đỉnh V Hãy tách V thành hai tập rời V1 V2 , V = V1 ∪ V2 , cho V1 V2 có số cạnh nối lớn Hình 5.1: Ví dụ tốn MAX-CUT 40 Hình 5.2: Tách đồ thị G thành hai phần với số cạnh nối lớn Ví dụ 5.1 Xét đồ thị G Hình 5.1 • Nếu chọn V1 = {1} V2 = {2, 3, 4, 5, 6} V1 với V2 có cạnh • Nếu chọn tập V1 = {2, 4, 6} tập V2 = {1, 3, 5} V1 với V2 có cạnh Hình 5.2 Đây số cạnh nối lớn tách tập đỉnh G 5.1 Giá trị nhát cắt Gọi G đồ thị Gn , V1 tập gồm n1 đỉnh V , n1 n CV1 ,V2 (G) tập cạnh V1 V2 G, gọi (V1 , V2 ) -cắt Khi đó, ξV1 ,V2 (G) = |CV1 ,V2 (G)| giá trị (V1 , V2 ) -cắt G Như vậy, đồ thị đầy đủ Kn ∈ Gn , ξV1 ,V2 (Kn ) = n1 (n − n1 ) 41 Ta viết CV1 ,V2 (Kn ) = {ej | j = 1, 2, , q} , q = n1 (n − n1 ) Để đánh giá ξV1 ,V2 (G) hầu hết đồ thị G, ta xét biến ngẫu nhiên ξn,n1 ,n2 := ξV1 ,V2 (G) Gn Khi OP TMC (G) = max ξV1 ,V2 (G) V1 Bây giờ, ta ước lượng ξV1 ,V2 (G) OP TMC (G) hầu hết đồ thị G Bổ đề 5.1 Đối với tập V1 gồm n1 đỉnh V , với n = |V |, ta có Eξn,n1 ,n2 = n1 (n − n1 ) Chứng minh Với đồ thị Gi ∈ Gn cạnh ej ∈ CV1 ,V2 (Kn ), ta định nghĩa biến ngẫu nhiên x (Gi , ej ) sau:   ej ∈ CV ,V (Gi ) x (Gi , ej ) =  e ∈ /C (G ) j đó, i p Eξn,n1 ,n2 = p = p j p i=1 q V1 ,V2 i q Ta có ξV1 ,V2 (Gi ) = p p p x (Gi , ej ) i=1 j=1 q x (Gi , ej ) = j=1 i=1 q p g (ej ) j=1 đó, g (ej ) số đồ thị G ∈ Gn cho ej ∈ CV1 ,V2 (G) Dễ dàng thấy rằng, với cạnh ej , j q, ta có n g (ej ) = 2(k)−1 42 Do đó, n1 (n − n1 ) q n Eξn,n1 ,n2 = 2(k)−1 = p Bổ đề chứng minh Bổ đề 5.2 Với tập V1 gồm n1 đỉnh V , n = |V |, ta có Varξn,n1 ,n2 = n1 (n − n1 ) Chứng minh Ta có Varξn,n1 ,n2 = E (ξn,n1 ,n2 )2 − (Eξn,n1 ,n2 )2 Để tính tốn E (ξn,n1 ,n2 )2 ta định nghĩa biến ngẫu nhiên x (Gi , ej , ek ) với Gi ∈ Gn cặp (ej , ek ) ∈ CV1 ,V2 (Kn ) × CV1 ,V2 (Kn ) sau:   đồng thời ej , ek ∈ CV ,V (Gi ) x (Gi , ej , ek ) = 0 ngược lại đó, i p 1 E (ξn,n1 ,n2 ) = p j, k p = p = = p p q Ta có (ξV1 ,V2 (Gi )) = p p i=1 p q q x (Gi , ej ) i=1 j=1 q x (Gi , ej , ek ) i=1 j=1 k=1 q q p x (Gi , ej , ek ) j=1 k=1 i=1 q q g (ej , ek ) j=1 k=1 đó, g (ej , ek ) số đồ thị G ∈ Gn cho ej , ek ∈ CV1 ,V2 (G) Rõ 43 ràng rằng, với cặp (ej , ek ) CV1 ,V2 (Kn ) × CV1 ,V2 (Kn ), ta có   2(n2 )−2 ej = ek g (ej , ek ) =  2(n2 )−1 e = e j k Do đó, n n q2 − q q q2 q −1 −2 ) ) ( ( 2 = + q.2 q −q + = + 4 E (ξn,n1 ,n2 ) = p 2 Vì q = n1 (n − n1 ) Eξn,n1 ,n2 = n1 (n − n1 )/2 nên E (ξn,n1 ,n2 )2 = (Eξn,n1 ,n2 )2 + n1 (n − n1 ) Vì vậy, Varξn,n1 ,n2 = E (ξn,n1 ,n2 )2 − (Eξn,n1 ,n2 )2 = n1 (n − n1 ) Định lí 5.3 Với hầu hết đồ thị G = (V, E) tập V1 khác rỗng tập đỉnh V , ta có n1 (n − n1 ) − n1 (n − n1 ) n1 (n − n1 ) log n < ξV1 ,V2 (G) < + n1 (n − n1 ) log n n = |V | , n1 = |V1 | Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho biến ngẫu nhiên ξn,n1 ,n2 , ta có Varξn,n1 ,n2 P r (|ξn,n1 ,n2 − Eξn,n1 ,n2 | t) t2 √ n1 (n−n1 ) với số thực t > Chọn t = log n Sử dụng Bổ đề (5.1) Bổ đề (5.2), ta có Pr ξV1 ,V2 (G) − n1 (n − n1 ) n1 (n − n1 ) log n 4 →0 log2 n 44 n → ∞ Điều có nghĩa là, hầu hết đồ thị G, ξV1 ,V2 (G) − n1 (n − n1 ) log n n1 (n − n1 ) < Từ suy điều khẳng định định lí Định lí 5.4 Đối với hầu hết đồ thị G n2 n Pr G ∈ Gn : OP TMC (G) < + log n 8 >1− log2 n đó, n số đỉnh G Chứng minh Theo định nghĩa OP TMC (G) Định lí (5.3), ta có OP TMC (G) = max ξV1 ,V2 (G) < max V1 n1 n1 (n − n1 ) + n1 (n − n1 ) log n n2 n < + log n 8 Vì vậy, n2 n Pr G ∈ Gn : OP TMC (G) < + log n 8 >1− log2 n Định lí chứng minh 5.2 Hiệu suất thuật toán giải toán MAX-CUT Để giải toán MAX-CUT ta sử dụng thuật toán ES Thuật toán thực sau: Trên đầu vào đồ thị G = (V, E) với tập đỉnh V Ban đầu, ta khởi tạo hai tập V1 = ∅ V2 = ∅ Bước Chọn tùy ý đỉnh V chưa đánh dấu đưa vào V1 đánh dấu đỉnh 45 Bước Chọn tiếp đỉnh V chưa đánh dấu đưa vào tập V2 đánh dấu Bước Lặp lại bước đến khơng có thể, nghĩa ||V1 | − |V2 || dừng Khi đó, ta tách V thành hai tập V1 , V2 có lực lượng tương đối Bước Đầu thuật toán tập cạnh V1 V2 Từ kết ước lượng kết phân tích thuật tốn ES, ta có Định lí 5.5 Cho G kiện toán Khi n đủ lớn Pr G ∈ Gn : ES (G) > n2 n − log n 8 >1− log2 n Chứng minh Theo Định lí (5.3), ta có ξV1 ,V2 (G) − Pr n1 (n − n1 ) n1 (n − n1 ) log n 4 log2 n hay Pr ξV1 ,V2 (G) − n1 (n − n1 ) < n1 (n − n1 ) log n 1− log2 n Từ đó, ta có Pr ξV1 ,V2 (G) > Vì n1 n n1 (n − n1 ) − n1 (n − n1 ) log n nên ta có n2 n Pr ξV1 ,V2 (G) > − log n 8 1− log2 n 1− log2 n 46 Điều có nghĩa n2 n − log n Pr G ∈ Gn : ES (G) > 8 >1− log2 n Từ kết phân tích thuật tốn ES ta có khẳng định sau Định lí 5.6 Khi n đủ lớn Pr G ∈ Gn : RES (G) < + log n n >1− log2 n Chứng minh Theo Định lí (5.4) Định lí (5.5) ta có n2 n ES (G) > − log n 8 OP T (G) < n2 n + log n 8 đó, n số đỉnh G Do đó, RES (G) = OP TMC (G) log n 1− log2 n Như vậy, thuật toán ES toán MAX-CUT có hiệu suất hầu a.s chắn RES = Vì thế, hầu hết trường hợp nghiệm tìm gần với nghiệm tối ưu 47 Kết luận Luận văn nghiên cứu hiệu suất thuật toán xấp xỉ số toán tối ưu đồ thị: Với toán đường dài nhất: Thuật toán tham lam toán LPATH tìm đường có độ dài lớn |V | + |V | log|V | với hiệu suất hầu chắn không vượt 2 Với toán ghép cặp: Thuật toán GrM toán MIN-MAXLMATCH cho ta ghép cặp cực đại với số cạnh lớn |V | + a.s |V | log |V | hiệu suất hầu chắn RGr = M Với toán tập khống chế : Bằng thuật toán GrCDS , ta ln tìm tập khống chế liên thơng với nhiều log |V | đỉnh có hiệu suất nhỏ + log log|V | log|V | Đối với toán MAX-CUT : Bằng thuật toán xấp xỉ thời gian tuyến tính ES, ta ln tìm nghiệm tối ưu có hiệu suất RES (G) < 1+ log |V | |V | a.s hiệu suất hầu chắn RES = Nhờ việc phân tích hiệu suất hầu chắn cho tốn NP-khó này, ta nhận thấy nhiều tốn chứng minh khó, thực khó số “hiếm” trường hợp 48 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Phương, Trần Vĩnh Đức, Lê Công Thành, Hiệu suất thuật toán tham lam toán đường dài đồ thị, 2017 Báo cáo hội nghị kỷ niệm 60 năm thành lập ĐHBK Hà Nội [2] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [3] Lê Công Thành, Lý thuyết độ phức tạp tính tốn NXB Khoa học tự nhiên cơng nghệ, 2013 [4] G Ausiello, M Protasi, A Marchetti-Spaccamela, G Gambosi, P Crescenzi, V Kann, Complexity and Approximation: Combinatorial Optimization Problems and Their Approximability Properties, Springer-Verlag New York, 1999 [5] M Chlebìk and J Chlebìková, Approximation hardness of minimum edge dominating set and minimum maximal matching In Proceedings of 14th International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC), Lecture Note in Computer Science, Springer-Verlag, 2003, 415-426 49 [6] Harold N Gabow and Shuxin Nie, Finding long paths, cycles and circuits International Symposium on Algorithms and Computation, Lecture Notes in Computer Science 5369 Springer-Verlag, 2008, 752763 [7] M R Garey and D S Johnson, Computers and Intractability - A Guide to the NP-completeness W H Freeman, 1979 [8] M.X Goemans and D.P.Williamson, Improved approximation algorithms for maximum cut and satisfibility problems using semidefinite programming, J.ACM 42 (1995) 1115-1145 [9] S Guha and S Khuller, Approximation algorithms for connected dominating sets, Algorithmica 20 (1998), 374-387 [10] D Karger, R Motwani, and G.D.S Ramkumar, On approximating the longest path in a graph Algorithmica, 18(1997), 82-98 [11] B Monien, How to find long paths efficiently Ann Discrete Math, 25(1985), 239-254 [12] L Ruan, H Du, X.Jia, W.Wu, Y Li and K.I Ko, A greedy approximation for minimum connected dominating set, Theoretical Computer Science 329 (2004), 325-330 [13] L C Thanh, On the approximability of Max-Cut Vietnam J Math 34:4 (2006), 389-395 [14] L C Thanh, Performance analysis of greedy algorithms for Max-IS and Min-Maxl-Match Vietnam J Math 36:3 (2008), 327-336 50 [15] L C Thanh, Minimum connected dominating sets in finite graphs Vietnam J Math 38:2 (2010), 157–168 ... kết thuật toán xấp xỉ số tốn tối ưu đồ thị • Nghiên cứu phương pháp đánh giá hiệu suất thuật toán xấp xỉ • Nghiên cứu hiệu suất tuyệt đối hiệu suất hầu chắn thuật toán xấp xỉ số toán tối ưu đồ thị. .. suất gọi hiệu suất hầu chắn thuật toán Hiệu suất hầu chắn thể cách khái quát hiệu thực thuật toán xấp xỉ Luận văn nhằm nghiên cứu thuật toán xấp xỉ số toán tối ưu đồ thị đánh giá hiệu suất chúng... hợp Hiệu suất trường hợp xấu hiệu suất trường hợp toán Hiệu suất gọi hiệu suất tuyệt đối Hiệu suất xem xét hầu hết trường hợp cho ta thông tin hiệu suất đảm bảo thuật toán xấp xỉ Hiệu suất gọi hiệu