đối ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN QUANG PHÚ ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN QUANG PHÚ ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ i Mục lục ii MỞ ĐẦU 1 Chương 1: SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU 4 1.1. Các khái niệm và định nghĩa 4 1.2. Bài toán tối ưu vô hướng và các đối ngẫu của nó 5 1.3. Đối ngẫu 1 ()D và họ các đối ngẫu ( ),D   F 7 1.4. Các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu (D FL ),(D F ),(D L ) và (D P ) 11 1.5. Mối quan hệ giữa các đối ngẫu 1 ( ),( ), vµ ( ) FL D D D   F 18 Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU 27 2.1. Các định nghĩa và khái niệm 27 2.2. Mối quan hệ bao hàm thức giữa D FL , D F , D L và D P 29 2.3. Điều kiện bằng nhau của các tập hợp D FL , D F , D L và D P 35 2.4. Đối ngẫu đa mục tiêu Nakayama 39 2.5. Đối ngẫu đa mục tiêu Wofle 44 2.6. Đối ngẫu đa mục tiêu Weir – Mond 49 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết đối ngẫu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Với bài toán cực tiểu người ta xây dựng bài toán đối ngẫu cực đại và thiết lập các định lý đối ngẫu mạnh, yếu, ngược. Các loại bài toán đối ngẫu thường được nghiên cứu là: đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe, đối ngẫu Weir – Mond, đối ngẫu Nakayama, đối ngẫu Bot – Wanka. Các định lý đối ngẫu mạnh có nhiều ứng dụng trong việc xây dựng các thuật toán tìm nghiệm tối ưu. Lý thuyết đối ngẫu cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu đã được phát triển bởi nhiều tác giả như: J. Jahn, N. Nakayama, P. Wolfe, T. Weir, B. Mond, R.I. Bot, G. Wanka, (xem chẳng hạn [2], [3], [5] – [7], [9] – [11]). Với các giả thiết về tính lồi của dữ liệu bài toán , Bot – Wanka [2,3] đã xây dựng sáu loại bài toán đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều, thiết lập các định lý đối ngẫu yếu, mạnh và các kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu. Lý thuyết đối ngẫu của Bot – Wanka cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Đối ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu”. Đây là đề tài có tính thời sự và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các định lý đối ngẫu yếu và mạnh của Bot – Wanka [2], [3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón và các kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh của sáu loại bài toán đối ngẫu đó cùng với các kết quả so sánh với các bài toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe, Weir – Mond. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của R.I. Bot và G.Wanka (2004) đăng trên tạp chí Optimization. - Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 3. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết tối ưu. 4. Bố cục của luận văn - Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. Sáu loại bài toán đối ngẫu đa mục tiêu và các định lí đối ngẫu Trình bày các định lí đối ngẫu yếu và mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều. Với các giả thiết về tính lồi của các hàm mục tiêu và ràng buộc, các định lí đối ngẫu mạnh cho bài toán vô hướng (  P ) được trình bày. Từ bài toán vô hướng (  P ) sáu bài toán đối ngẫu cho (P) được trình bày cùng với các định lí đối ngẫu yếu và mạnh. Một số kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu (D 1 ), (D )  , và (D FL ) được trình bày cùng với các kết quả so sánh tập nghiệm hữu hiệu của các bài toán đối ngẫu đó. Các kết quả trình bày trong chương 1 là của R.I. Bot và G. Wanka [2]. Chương 2. Mối quan hệ giữa sáu loại bài toán đối ngẫu đa mục tiêu Trình bày các kết quả về quan hệ bao hàm thức giữa sáu loại bài toán đối ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) đã trình bày trong chương 1 là (D 1 ), (D )  , (D FL ), (D F ), ( D L ) và (D P ). Kết quả chỉ ra rằng khi các giả thiết (A f ),(A g ) và (A CQ ) đúng thì với  F , ta có quan hệ bao hàm thức giữa các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu: 1       mm FL L F P D D D D D DÖÖ và các đẳng thức giữa các tập các phần tử cực đại của các bài toán đối ngẫu: 1 max max max max max max       FL F L P v D v D v D v D v D v D Các quan hệ bao hàm thức giữa sáu loại bài toán đối ngẫu đó cũng được so sánh với các bài toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe và Weir – Mond. Các kết quả được trình bày trong chương 2 la của R.I. Bot và G. Wanka [3]. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS- TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luận văn này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khoá học. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường THPT Phù Lưu, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K19 đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2012. Nguyễn Quang Phú Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU Chương 1 trình bày các định lí đối ngẫu mạnh và yếu của R.I. Bot và G. Wanka [2] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều. Các định lí đối ngẫu yếu được trình bày trong trường hợp tổng quát, các định lí đối ngẫu mạnh được trình bày với các giả thiết về tính lồi của các hàm dữ liệu. Từ định lí đối ngẫu cho bài toán vô hướng (  P ), các định lí đối ngẫu yếu và mạnh cho sáu loại bài toán đối ngẫu được trình bày cho bài toán (P). Một số kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu (D 1 ), (D )  , (D FL ) được trình bày cùng với các kết quả so sánh về tập nghiệm hữu hiệu của các bài toán đối ngẫu. 1.1 Các khái niệm và định nghĩa Xét bài toán tối ưu xuất phát với ràng buộc nón: ( ) min ( )   xA P v f x ,   12 : ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 0    nT m K x g x g x g x g xA , trong đó   12 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) à :       Tn mi f x f x f x f x v f , i = 1,…,m, là những hàm chính thường, : , 1, , à      nk i g j k v K là nón lồi đóng với int  K . Xác định thứ tự bộ phận 21  K xx nếu và chỉ nếu 12 x x K . Từ “v-min” có nghĩa là nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán ()P . Định nghĩa 1.1 Một phần tử x A được gọi là nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán (P) nếu ( ) ( )    m f x f x , với xA suy ra ( ) ( )f x f x . Ở đây nón m   là được xác định nghĩa bởi   12 ( ( , , , )) , 0, 1, mT mi y y y y y i m      . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định nghĩa 1.2 Một phần tử x A được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường của (P) nếu nó là nghiệm hữu hiệu Pareto và nếu tồn tại một số M > 0 sao cho với mỗi i và x A thỏa mãn ( ) ( ) ii f x f x , tồn tại ít nhất một số j sao cho ( ) ( ) jj f x f x và ( ) ( ) ( ) ( ) ii jj f x f x M f x f x    . Bây giờ chúng ta đưa vào ba giả thiết tổng quát: () f A các hàm , 1, , i f i m lồi và 1 () m ii ri domf    , () g A Hàm g là lồi theo nón K, tức là 12 , , [0,1] n xx      , 1 2 1 2 ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )g x g x g x x K           () CQ A tồn tại 1 ' ( ) m ii x ri domf   sao cho ( ') intg x K . 1.2. Bài toán tối ưu vô hướng và các đối ngẫu của nó Cho 12 ( , , , ) T m      là véc tơ cố định trong m   và xét bài toán vô hướng 1 ( ) inf ( )      A m ii x i P f x . Để nghiên cứu đối ngẫu của bài toán đa mục tiêu (P) trước hết chúng ta trình bày đối ngẫu cho ()  P bằng cách áp dụng cách tiếp cận liên hợp. Xét các bài toán đối ngẫu vô hướng : * 0 i=1 ( ) sup inf [ ( ) ( )]       n K m T L i i x q D f x q g x ‡ , ** , 1, , 11 ( ) sup ( ) ( ) n i mm F i i i A i i p i m ii D f p p               , 0 * ** , 1, , 11 ( ) sup ( ) ( ) ( )              n i q K mm T FL i i i i i p i m ii D f p q g p , ở đây A 0, nÕu x (x) , nÕu x        A A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 kí hiệu hàm chỉ của tập hợp A Mặt khác với một hàm : n f ta kí hiệu:   ** : , ( ) sup ( ) a nT x f f p p x f x       là hàm liên hợp của f ,   * : 0, KT K q q x x K     là nón đối ngẫu của K. Định lý 1.1[10] Giả sử rằng giá trị cực tiểu của ( ),(inf( ))PP  là hữu hạn và các giả thiết   ( ), vµ (A ) f g CQ AA đúng. Khi đó, các bài toán đối ngẫu ( ),( ) vµ ( ) L F FL D D D    có nghiệm và tính đối ngẫu mạnh đúng, tức là inf( ) ax( ) ax( ) ax( ) L F FL P m D m D m D      . Chứng minh của định lý 1.1 có trong [10] . Chú ý rằng L (D )  là bài toán đối ngẫu Lagrang của (P )  . Ta nhắc lại các điều kiện tối ưu cho bài toán vô hướng (P )  trong [9]. Định lý: 1.2 (a) Giả sử ( ),( ) vµ (A ) f g CQ AA đúng và x là một nghiệm của ()P  . Khi đó, tồn tại * 1 ( , ), ( , , ) , 0 nn m K p q p p p q     là một nghiệm của () FL D  sao cho điều kiện tối ưu sau thỏa mãn: (i) * ( ) ( ) ( ); 1, , T i i i i f p f x p x i m   (ii) ( ) 0 T q g x (iii)                   * 11 ( ) ( ) T mm T i i i i ii q g p p x (1.1) (b) Giả sử x điểm chấp nhận được của ()P  và ( , )pq là điểm chấp nhận được của () FL D  thỏa mãn (i),(ii) và (iii). Khi đó, x là một nghiệm của ( ), ( , )P p q  là một nghiệm của () FL D  , và tính đối ngẫu mạnh đúng, tức là * 1 1 1 ( ) ( ) ( )*( ) m m m T i i i i i i i i i i f x f p q g p              . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.3. Đối ngẫu 1 ()D và họ các đối ngẫu ( ),D   F Bài toán đối ngẫu đa mục tiêu đầu tiên của (P) là: 1 1 ( , , , ) ( ) : - max ( , , , ) l p q t D v h p q t   B ,             1 ( , , , ) . ( , , , ) . . ( , , , ) l l l m h p q t h p q t h p q t , với             ** 1 1 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) , 1, m lT j j j i i j m i i i h p q t f p q g p t j m , các biến đối ngẫu: 1 ( , ) , , n n k m p p p q       11 ( , , ) , ( , , ) T m T m mm t t t        và tập hợp các ràng buộc * 1 1 ( , , , ) : int , 0, 0 m m ii K i p q t q t              B . Đối ngẫu (D 1 ) là bài toán cực đại véc tơ mà chúng ta cũng xét nghiệm hữu hiệu Pareto, nhưng theo nghĩa cực đại. Tiếp theo, chúng tôi trình bày các định lý đối ngẫu yếu và mạnh cho các bài toán đa mục tiêu (P) và (D 1 ). Định lý 1.3 ( Đối ngẫu yếu cho (D 1 )) Không tồn tại 1 vµ ( , , , )x p q t  AB thỏa mãn ( , , , ) ( ) m l h p q t f x     và ( , , , ) ( ) l h p q t f x   . Chứng minh: Chúng ta giả sử rằng tồn tại 1 vµ ( , , , )x p q t  AB sao cho  ( ) ( , , , ), l ii f x h p q t [...]... nhận được của  ( D ) Hơn nữa, từ định lí 1.2(i) ta suy ra fi ( x )  hi ( p, q ,  , t ), i  1, , m  Tính cực đại của ( p, q ,  , t ) được suy ra từ định lí 1.5 1.4 Các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu (DFL),(DF),(DL) và (DP) Trong phần này chúng tôi tiếp tục trình bày các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu khác của bài toán (P) Với tất cả các đối ngẫu đa mục tiêu chúng ta chứng minh đối ngẫu yếu và... có các quan hệ bao hàm thức giữa các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu: D1   m Ö D   m Ö DFL  DF  DL  DP và các đẳng thức giữa các tập các phần tử cực đại của các bài toán đối ngẫu: v max D1  v max D  v max DFL  v max DF  v max DL  v max DP Các quan hệ bao hàm thức giữa sáu loại bài toán đối ngẫu đó cũng được so sánh với các bài toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe, Weir – Mond Các kết quả... BP của (D P ) và tính đối ngẫu mạnh đúng: f ( x )  h P ( , y )  y Nhận xét 1.2 Chú ý rằng để có tính đối ngẫu mạnh giữa (P) và (DP) ta không cần giả thiết ( ACQ ) 1.5 Mối quan hệ giữa các đối ngẫu ( D1 ),( D ),   F vµ (DFL ) Bây giờ chúng ta trình bày mối quan hệ bao hàm thức giữa 3 bài toán đối ngẫu ( D1 ),( D ),   F vµ (DFL ) Chú ý rằng để tìm nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán đối ngẫu. .. (Đối ngẫu mạnh cho (D1)) Giả sử rằng ( Af ),( Ag ) vµ (ACQ ) đúng, và x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P) Khi đó, tồn tại một nghiệm hữu hiệu ( p, q ,  , t ) B1 của bài toán đối ngẫu (D1) và tính đối ngẫu mạnh đúng f ( x )  h l ( p, q ,  , t ) Chứng minh Nếu x là nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (P), thì tồn tại một véc tơ   (1, , m )T  int  m ([4]) sao cho x là nghiệm của. .. không gian hữu hạn chiều của được đưa vào bởi Jahn trong [5] Bài toán đa mục tiêu chúng tôi trình bày ở đây có sử dụng bài toán vô hướng ( P ) Vì vậy bài toán đối ngẫu sẽ là ( DP ) v-max h p ( , y ) , (  , y )Bp  h1P ( , y )   y1          P   , h ( , y )            P     hm ( , y )   ym  với hjP ( , y)  y j , j  1, , m, các biến đối ngẫu  =(1 , , m )T... toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe, Weir – Mond Các kết quả đó được minh họa bằng các ví dụ 2.1 Các định nghĩa và khái niệm Chương này trình bày mối quan hệ giữa những bài toán đối ngẫu trong lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Ta xét bài toán đa mục tiêu sau đây: ( P) v  min f ( x) , xA   A  x   n : g ( x)  ( g1 ( x), g 2 ( x), , g m ( x))T  0 , K trong đó f ( x)  ( f1 ( x), f 2 ( x), , f m ( x))T và... D  v max DFL Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Chương 2 MỐI QUAN HỆ GIỮA SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU Chương 2 trình bày các kết quả của R.I Bot và G Wanka [3] về quan hệ bao hàm thức của sáu loại bài toán đối ngẫu  D1  ,  D  ,  DFL  ,  DF  ,  DL  ,  DP  đã đưa vào trong chương 1 trong trường hợp tổng quát và trường hợp thỏa mãn... (1.4) m Định lí được chứng minh Định lí 1.8 ( Đối ngẫu mạnh cho (DFL) Giả sử ( Af ),( Ag ) vµ (ACQ ) đúng Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu  p, q ,  , y  BFL của bài toán đối ngẫu (DFL) và tính đối ngẫu mạnh đúng: f ( x )  h FL ( p, q ,  , y )  y Chứng minh Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (P), thì tồn tại một véc tơ   (1, ,... y   BFL và f ( x )  h FL ( p, q ,  , y )  y Tính cực đại của  p, q ,  , y  được suy ra từ định lí 1.7 Bằng cách làm tương tự, ta sử dụng dạng của hàm mục tiêu của đối ngẫu vô hướng  D  vµ  D  , chúng ta đưa vào 2 bài toán đối ngẫu đa mục tiêu khác cho (P)   F L  DF  v- max h F ( p, , y) , ( p , , y )BF Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... đại của ba tập hợp này bằng nhau, tức là với mỗi  F , vmax D1 = vmax Dα = vmax DFL (2.2) trong đó vmaxA kí hiệu tập các phần tử cực đại của tập A   m theo thứ tự bộ phận  m  Kí hiệu tập ảnh của các bài toán (DF), (DL) và (DP) bởi DF:=hF(F), DL:=hL(L) và DP:=hP(P) , trong đó F, L và P là tập chấp nhận được của các bài toán đối ngẫu (DF), (DL) và (DP) và hF , hL và hP là các hàm mục tiêu đối . 1 SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU Chương 1 trình bày các định lí đối ngẫu mạnh và yếu của R.I. Bot và G. Wanka [2] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) với. đối ngẫu đa mục tiêu (D FL ),(D F ),(D L ) và (D P ) Trong phần này chúng tôi tiếp tục trình bày các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu khác của bài toán (P). Với tất cả các đối ngẫu đa mục tiêu. các kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu. Lý thuyết đối ngẫu của Bot – Wanka cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu được nhiều tác giả quan tâm nghiên