đối ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Với các giả thiết về tính lồi của dữ liệu bài toán , Bot – Wanka [2,3] đã xây dựng sáu loại bài toán đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu

Thái Nguyên, năm 2013

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ i

Mục lục ii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU 4

1.1 Các khái niệm và định nghĩa 4

1.2 Bài toán tối ưu vô hướng và các đối ngẫu của nó 5

1.3 Đối ngẫu (D1) và họ các đối ngẫu (D), F 7

1.4 Các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu (DFL),(DF),(DL) và (DP) 11

1.5 Mối quan hệ giữa các đối ngẫu (D1), (D), F vµ (D FL) 18

Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU 27

2.1 Các định nghĩa và khái niệm 27

2.2 Mối quan hệ bao hàm thức giữa DFL, DF, DL và DP 29

2.3 Điều kiện bằng nhau của các tập hợp DFL, DF, DL và DP 35

2.4 Đối ngẫu đa mục tiêu Nakayama 39

2.5 Đối ngẫu đa mục tiêu Wofle 44

2.6 Đối ngẫu đa mục tiêu Weir – Mond 49

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết đối ngẫu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu Với bài toán cực tiểu người ta xây dựng bài toán đối ngẫu cực đại và thiết lập các định lý đối ngẫu mạnh, yếu, ngược Các loại bài toán đối ngẫu thường được nghiên cứu là: đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe, đối ngẫu Weir – Mond, đối ngẫu Nakayama, đối ngẫu Bot – Wanka Các định lý đối ngẫu mạnh có nhiều ứng dụng trong việc xây dựng các thuật toán tìm nghiệm tối ưu

Lý thuyết đối ngẫu cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu đã được phát triển bởi nhiều tác giả như: J Jahn, N Nakayama, P Wolfe, T Weir, B Mond, R.I Bot, G Wanka, (xem chẳng hạn [2], [3], [5] – [7], [9] – [11]) Với các giả thiết về tính lồi của dữ liệu bài toán , Bot – Wanka [2,3] đã xây dựng sáu loại bài toán đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều, thiết lập các định lý đối ngẫu yếu, mạnh và các kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu

Lý thuyết đối ngẫu của Bot – Wanka cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Đối ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu” Đây là đề tài có tính thời sự và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các định lý đối ngẫu yếu

và mạnh của Bot – Wanka [2], [3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón và các kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh của sáu loại bài toán đối ngẫu đó cùng với các kết quả so sánh với các bài toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe, Weir – Mond

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của R.I Bot và G.Wanka (2004) đăng trên tạp chí Optimization

- Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết tối ưu

4 Bố cục của luận văn

- Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1 Sáu loại bài toán đối ngẫu đa mục tiêu và các định lí đối ngẫu

Trình bày các định lí đối ngẫu yếu và mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

(P) với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều Với các giả thiết về tính lồi

của các hàm mục tiêu và ràng buộc, các định lí đối ngẫu mạnh cho bài toán vô hướng (P) được trình bày Từ bài toán vô hướng (P) sáu bài toán đối ngẫu cho (P)

được trình bày cùng với các định lí đối ngẫu yếu và mạnh Một số kết quả về quan

hệ bao hàm thức của các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu (D1), (D ) , và (DFL) được trình bày cùng với các kết quả so sánh tập nghiệm hữu hiệu của các bài toán đối ngẫu đó Các kết quả trình bày trong chương 1 là của R.I Bot và G Wanka [2]

Chương 2 Mối quan hệ giữa sáu loại bài toán đối ngẫu đa mục tiêu

Trình bày các kết quả về quan hệ bao hàm thức giữa sáu loại bài toán đối

ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) đã trình bày trong chương 1 là (D1), (D ) , (DFL), (DF), ( DL) và (DP) Kết quả chỉ ra rằng khi các giả thiết (A f ),(A g ) và (A CQ )

đúng thì với   F , ta có quan hệ bao hàm thức giữa các tập ảnh của các bài toán

FL L F P

D ÖD ÖD D D D và các đẳng thức giữa các tập các phần tử cực đại của các bài toán đối ngẫu:

Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới

PGS-TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luận văn này

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khoá học

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường THPT Phù Lưu, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K19 đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2012

Nguyễn Quang Phú

Chương 1SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU

VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU

Chương 1 trình bày các định lí đối ngẫu mạnh và yếu của R.I Bot và G

Wanka [2] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) với ràng buộc nón trong không gian

hữu hạn chiều Các định lí đối ngẫu yếu được trình bày trong trường hợp tổng quát, các định lí đối ngẫu mạnh được trình bày với các giả thiết về tính lồi của các hàm

dữ liệu Từ định lí đối ngẫu cho bài toán vô hướng (P), các định lí đối ngẫu yếu và

mạnh cho sáu loại bài toán đối ngẫu được trình bày cho bài toán (P) Một số kết quả

về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu (D1), (D ) , (DFL) được trình bày cùng với các kết quả so sánh về tập nghiệm hữu hiệu của các bài toán đối ngẫu

1.1 Các khái niệm và định nghĩa

Xét bài toán tối ưu xuất phát với ràng buộc nón:

Định nghĩa 1.2

Một phần tử xA được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường của (P) nếu

nó là nghiệm hữu hiệu Pareto và nếu tồn tại một số M > 0 sao cho với mỗi i và



x A thỏa mãn f x i( )  f x i( ), tồn tại ít nhất một số j sao cho f x j( ) f x j( ) và

( ) ( ) ( ) ( )

x  ri domf sao cho g x( ')intK

1.2 Bài toán tối ưu vô hướng và các đối ngẫu của nó

Cho ( , 1 2, ,m)T là véc tơ cố định trong m

i

Để nghiên cứu đối ngẫu của bài toán đa mục tiêu (P) trước hết chúng ta trình

bày đối ngẫu cho ( P) bằng cách áp dụng cách tiếp cận liên hợp

Xét các bài toán đối ngẫu vô hướng :

‡

,

* * , 1, , 1 1

( ) sup ( ) ( )

n i

inf(P)max(D L)max(D F)max(D FL )

Chứng minh của định lý 1.1 có trong [10] Chú ý rằng (D )L là bài toán đối ngẫu Lagrang của (P )

Ta nhắc lại các điều kiện tối ưu cho bài toán vô hướng (P ) trong [9]

Định lý: 1.2

(a) Giả sử (A f),(A g) vµ (ACQ) đúng và x là một nghiệm của ( P)

Khi đó, tồn tại ( , ),p q p (p1 , ,p m)  n  n,qK* 0 là một nghiệm của (D FL )

sao cho điều kiện tối ưu sau thỏa mãn:

1.3 Đối ngẫu (D1) và họ các đối ngẫu (D), F

Bài toán đối ngẫu đa mục tiêu đầu tiên của (P) là:

( , , , )

l

l

l m

1( , , , ) ( ) ( ) ( ) , 1,

m

i i i

Tiếp theo, chúng tôi trình bày các định lý đối ngẫu yếu và mạnh cho các bài

toán đa mục tiêu (P) và (D1)

Định lý 1.3 ( Đối ngẫu yếu cho (D1 ))

Không tồn tại x A vµ ( , , , )p q  t  B1 thỏa mãn ( , , , ) m ( )

Do đó ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.4 (Đối ngẫu mạnh cho (D 1 ))

Giả sử rằng (A f),(A g) vµ (ACQ) đúng, và x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P) Khi đó, tồn tại một nghiệm hữu hiệu ( , , , )p q  t B1 của bài toán đối ngẫu (D 1 ) và tính đối ngẫu mạnh đúng f x( ) h p q l( , , , ). t

Chứng minh

Nếu x là nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (P), thì tồn tại một véc

tơ  ( , ,1 m)Tintm ([4]) sao cho x là nghiệm của bài toán vô hướng:

 

 

x 1

( ) : inf ( )

m

i i i

A Theo định lý 1.2 sự tồn tại nghiệm ( , )p q  của bài toán đối ngẫu (D FL ) sao cho các điều kiện tối ưu (i),(ii) và (iii) trong định lí 1.2 thỏa mãn

1

K i i

{ : int : ( ) ( ( ), , ( )) sao cho ( ) 1, ( , , ) int }.

m m

( , , , )

Định lý 1.5 (Đối ngẫu yếu cho (D), F )

Với mỗi F không tồn tại x A vµ ( , , , )p q  t  B thỏa mãn h( , , , )p q t m f x( )

Giả sử F và (A f),(A g) vµ (ACQ)đúng Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại một nghiệm hữu hiệu ( , , , )p q  t B của bài toán đối ngẫu (D) và tính đối ngẫu mạnh đúng f x( ) h( , , , ).p q  t

( ) inf ( )

m

i i i

A Giống như trong chứng minh định lí 1.4 chúng ta chú ý rằng định lí 1.2 đảm bảo sự tồn tại các nghiệm ( , )p q  của (D FL ) sao cho các điều kiện tối ưu (i),(ii)

Điều này có nghĩa là ( , , , ),p q  t q ( , ,q1 q m) là điểm chấp nhận được của

(D) Hơn nữa, từ định lí 1.2(i) ta suy ra f x i( )h i( , , , ), p q  t i1, ,m

Tính cực đại của ( , , , )p q  t được suy ra từ định lí 1.5

1.4 Các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu (D FL ),(D F ),(D L ) và (D P )

Trong phần này chúng tôi tiếp tục trình bày các bài toán đối ngẫu đa mục

tiêu khác của bài toán (P) Với tất cả các đối ngẫu đa mục tiêu chúng ta chứng minh

đối ngẫu yếu và mạnh

Chúng ta cho bắt đầu với bài toán sau:

( , , , )

( ) -max ( , , , )

FL

FL FL

( , , , )

FL

FL

FL

m m

Định lí 1.7 (Đối ngẫu yếu cho (D FL ))

Không tồn tại x A vµ ( , , , )p q  y  BFL thỏa mãn ( , , , ) m ( )

Định lí 1.8 ( Đối ngẫu mạnh cho (D FL )

Giả sử (A f),(A g) vµ (ACQ)đúng Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu p q, , , y BFL của bài toán đối ngẫu (D FL ) và tính đối ngẫu mạnh đúng: f x( ) h FL( , , , )p q  y y

Chứng minh

Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (P), thì tồn tại một

véc tơ  ( , ,1 m)Tintm ([4]) sao cho x là nghiệm của bài toán vô hướng:

1

( ) inf ( )

m

i i x

Bằng cách làm tương tự, ta sử dụng dạng của hàm mục tiêu của đối ngẫu vô hướng

   D F vµ D L , chúng ta đưa vào 2 bài toán đối ngẫu đa mục tiêu khác cho (P)

p y

B ,

( , , )

F

F

F

m m

( , , )

L

L

F

m m

Định lí 1.9 ( Đối ngẫu yếu của (D F ))

Không tồn tại x A vµ ( , , )p  y  BF thỏa mãn ( , , ) m ( )

Định lí 1.10 ( Đối ngẫu yếu của (D L ))

Không tồn tại x A vµ ( , , )q  y  BF thỏa mãn ( , , ) m ( )

m

T

i i i m

i i i

Định lí được chứng minh

Định lí 1.11 ( Đối ngẫu mạnh của (D F ))

Giả sử (A f),(A g) vµ (ACQ)đúng Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu p, , y BF của (D F ) và tính đối ngẫu mạnh đúng: f x( ) h F( , , )p  y y

i

A Theo định lí 1.1 về tính đối ngẫu mạnh, ta có tồn tại một nghiệm p (p1, ,p m) của

Định lí 1.12 ( Đối ngẫu mạnh cho (D L ))

Giả sử (A f),(A g) vµ (ACQ)đúng Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu q, , y BL của (D L ) và tính đối ngẫu mạnh đúng: f x( ) h q L( , , ) y y

i

A

Theo định lí 1.1 về tính đối ngẫu mạnh, tồn tại một nghiệm q K* 0 của (D L) sao cho

Bài toán đa mục tiêu chúng tôi trình bày ở đây có sử dụng bài toán vô hướng

(P) Vì vậy bài toán đối ngẫu sẽ là

( , )

P

P

P

m m

Định lí 1.13[2] ( Đối ngẫu yếu cho (D P ))

Không tồn tại x A vµ ( , ) y  BP thỏa mãn ( , ) m ( )

P



 và h P( , ) y  f x( )

Định lí 1.14[2] ( Đối ngẫu mạnh cho (D P ))

Giả sử (A f),(A g) đúng Nếu x là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu  ,y  BP của (D P ) và tính đối ngẫu mạnh đúng:

( ) P( , )

f x h  y y

Nhận xét 1.2

Chú ý rằng để có tính đối ngẫu mạnh giữa (P) và (DP) ta không cần giả thiết (A CQ)

1.5 Mối quan hệ giữa các đối ngẫu (D1), (D), F vµ (D FL)

Bây giờ chúng ta trình bày mối quan hệ bao hàm thức giữa 3 bài toán đối ngẫu (D1), (D), F vµ (D FL)

Chú ý rằng để tìm nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán đối ngẫu đa mục tiêu

thực chất là xác định phần tử cực đại của tập ảnh của hàm mục tiêu trên tập các ràng

buộc Đó là lí do tại sao để so sánh các đối ngẫu (D1), (D), F vµ (D FL) chúng ta

phải phân tích mối quan hệ giữa các tập ảnh tương ứng

* *

1 1

1( ) ( ) , 1, ,

m T

i i i

Bây giờ ta định nghĩa

1( )

m T

i i m

i i

1( )

m T

i i m

i i i

Nhưng ta chú ý rằng dD1, có nghĩa là bao hàm thức D1D là chặt

Ta kí hiệu điều này bởi D1Ö D, F

( ) ( ) 2

t t

Điều này có nghĩa là ( , m1 j j, , ) FL

 

1 , ,

D D F , và D FLcĩ thể khác nhau ((xem 1.9)) nhưng cĩ cùng phần tử cực đại

Để làm điều này ta xét các tập cực đại tương ứng vmax ,vmaxD1 D,Fvà vmaxD FL Tất cả các tập này là tập con của m

+) Ta chứng minh: vmaxD1vmaxD FL

Giả sử dvmaxD1 tøc lµ dD1m và từ (1.9) ta cĩ: dD FL Khi đĩ, tồn tại phần tử ( , , , )p q  t  BFL sao cho yh FL( , , , )p q  y d

Bây giờ ta giả sử rằng dvmaxD FL do định nghĩa của phần tử cực đại, tồn tại

( , , , )p q t BFL sao cho d d m \ 0   d ™d, nghĩa là d i  d i, i 1, , vµ m d j d j

với ít nhất một j1, ,m Như vậy

*

1 1

1 : ( )

i i

cực đại trong D FL

Vậy vmaxD1vmaxD FL (*)

+) Ta chứng minh: vmaxD FL vmaxD1

Cho dvmaxD FL Khi đó, tồn tại p in,i1, , ,m qk vµ intm sao cho

i i

1

m T

i i i

Mặt khác, (1.12) đảm bảo ( , , , )p q  t BFLvà tính cực đại của d trong D FLkéo theo không thể có được d d ( m \ 0 ) (  d™d)

Cho d v maxD Khi đó, dD m vµ dD FL (do(1.9)) Ta giả sử rằng

Từ hai định lý 1.15 và 1.16 ta nhận được với mỗi F ,

v maxD1  v maxD  v maxD FL

Chương 2MỐI QUAN HỆ GIỮA SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

ĐA MỤC TIÊU

Chương 2 trình bày các kết quả của R.I Bot và G Wanka [3] về quan hệ bao hàm thức của sáu loại bài toán đối ngẫu     D1 , D , D FL      , D F , D L , D P đã đưa vào trong chương 1 trong trường hợp tổng quát và trường hợp thỏa mãn các giả

thiết (A f ), (A g ) và (A CQ ) Kết quả chỉ ra rằng khi các giả thiết (A f ), (A g ) và (A CQ) đúng thì ta có các quan hệ bao hàm thức giữa các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu:

2.1 Các định nghĩa và khái niệm

Chương này trình bày mối quan hệ giữa những bài toán đối ngẫu trong lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Ta xét bài toán đa mục tiêu sau đây:

trong đó f x( )  ( ( ),f x1 f x2 ( ), , f m( ))x T v fà :i n        ,i 1, ,m, là những hàm chính thường, :n , 1, , à k

i

g j k v K là nón lồi đóng với intK, xác định thứ tự bộ phận: x2 K x1 nếu và chỉ nếu x1 x2 K Chúng ta xét nghiệm hữu hiệu Pareto và hữu hiệu chính thường theo nón thứ tự m





Đối với bài toán (P) chúng ta đã xét trong chương 1 sáu bài toán đối ngẫu

và chứng minh các định lí đối ngẫu yếu, và dưới giả thuyết của (A f ),(A g ) và